线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学 ： 学号：
线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业， 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明：
○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律
结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ．
(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为 可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即． 1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上 的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个 向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它 扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，
。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。
几种矩阵完备算法的研究与实现 ——《矩阵分析》课程仿真作业报告* 刘鹏飞 电?系2016210858 摘要 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵恢复可以通过 求解?个与核范数有关的凸优化问题来实现。由此诞?了许多矩阵恢复的算 法，?如FPC算法等。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度较慢。在此基 础上，APG算法经过改进，能够提升迭代速度。但最?化核范数并不是求解 矩阵完备问题的唯??法，其中OptSpace算法构造了?个在流形上的优化问 题，相?于前两种算法能够以更?的精度恢复出原始矩阵。本?主要总结了 FPC、APG和OptSpace三种算法的步骤。特别地，对于OptSpace算法，本 ?提出了求解其中两个?优化问题的具体算法。最后，本?通过仿真实验和理 论分析?较了三种算法的特点，并给出了OptSpace算法的精度?于APG算 法的解释。 关键词：矩阵完备，核范数，FPC，APG，OptSpace 1介绍 1.1矩阵完备及其算法综述 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵完备可以描述成这样?个问题：对于?个m×n的矩阵M，其秩为r，我们只有对M中的部分采样，记*报告中所涉及到的仿真代码可在https://https://www.doczj.com/doc/0e17582156.html,/s/1jHRcY8m下载 1
这些采样位置组成的集合为?，那么是否有可能从已知的部分元素中恢复出整个矩阵M。假如M为低秩矩阵，并且已知的元素?够多并且?够均匀地分布在整个矩阵中，那么我们可以通过解如下优化问题来恢复出原始矩阵[1]： min rank(W) s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-1)但是，问题(1-1)是?个NP难的?凸问题。在?定条件下，问题(1-1)可以转化成?个最?化核范数的问题。对于矩阵W m×n，W的核范数定义为其奇异值之和，即 ∥W∥?=min(m,n) ∑ k=1 σk(W)(1-2) 其中，σk(W)表?W第k?的奇异值。问题(1-1)可以转化成： min∥W∥? s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-3)对于(1-3)中带等式约束的问题，进?步地，可以将它凸松弛成?个?约束的 优化问题[2][3][4]： min 1 2 ∥A(W)?b∥22+μ∥W∥?(1-4) 其中，b是由矩阵中采样位置对应的元素组成的p×1维向量，p=|?|（|·|表?集合的势）；A:R m×n?→R p是?个线性映射，A(W)=(W ij)|(i,j)∈?；μ是?个可以调整的参数。 对于(1-4)中的?约束问题，?献[2][3]分别提出了Fixed Point Continuation （FPC）和Singular Value Thresholding（SVT）的算法。本?认为，这两种算法虽然出发点不同，但其实质都是梯度下降法，没有本质的差别，在算法实现上也基本?样。因此，本?只研究其中?种，即FPC算法。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度慢，效率不?。在此基础上，?献[4]做出了改进，提出?种Accelerated Proximal Gradient Singular Value Thresholding（APG）算法（该算法是在SVT算法上改进的，本?认为FPC和SVT实质上是?种算法，故不做区别），能够?幅度地提?收敛速度。 前?提到的?种算法，都是从(1-1)中的最?化秩的问题出发，经过?步步凸松弛得到的。与上述基本思路不同，?献[5]提出了OptSpace算法，它实质上是通过解另?种优化问题来实现矩阵完备： min F(W)= ∑ (i;j)∈? ∥M ij?W ij∥2 s.t.rank(W)=r(1-5)
§5 线性变换的矩阵表示式 上节例10中，关系式 ()T x Ax = ()n x R ∈ 简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即 ()n i Ae i i ,,2,1 ==α， 可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式 ()11122(), ,() n n n T x T e e x T x e x e x e ==++ +???? 1122()()() n n x T e x T e x T e =++ + ()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα=== 总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式 ()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =. 把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有 定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基 n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为 11112121212122221122(),(),(), n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++ +??=+++???? =++ +? 记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.
第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线 性变换 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但 （4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-
第七章线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有， ，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，， 则有 ，
。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数； 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有， ，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，， 。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的 变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：，，；， ，；，， ，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。 （2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，， 都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故；同理有：，得， 即得；依次类推可得，即得，进而得 。
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换在某组基下对应的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变， 因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211） =1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就 知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与?在这组基上的作用 相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i Λ= 那么A= B. 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出， 基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个 线性变换 A , 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ=
定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ= 定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)） =A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下 ???+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是 ]练习：7, 8, 9
§3 线性变换的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。 空间V 中任一向量ξ可以被基12,, ,n εεε表示出，即有关系式 1122n n x x x ξεεε=++ +， （1） 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的象A ξ与基的象12,,,n A A A εεε之间也必然有相同的关系： )(2211n n x x x A A εεεξ+++= )()()(2211n n A x A x A x εεε+++= （2） 上式表明，如果我们知道了基12,,,n εεε的象，那么线性空间中任意一个向量ξ的象也就知道了，或者说 1．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相 同，即 n i B A i i ,,2,1, ==εε， 那么A =B 。 证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量ξ，等式A B ξξ=成立。而由（2）及假设，即得 ξεεεεεεξB B x B x B x A x A x A x A n n n n =+++=+++= 22112211 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说， 2．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。对于任意一组向量12,,,n ααα一定有一个线性变换A 使 ,1,2, ,i i A i n εα== （3） 证明 我们来作出所要的线性变换。设 ∑==n i i i x 1εξ 是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为 1 n i i i A x ξα ==∑ （4） 下面来证明变换A 是线性的。 在V 中任取两个向量， ∑∑====n i i i n i i i c b 1 1 ,εγεβ。 于是 ∑=+=+n i i i i c b 1 )(ελβ， P k kb k n i i i ∈=∑=,1εβ。 按所定义的A 的表达式（4），有
第五节 线性变换的矩阵表示 分布图示 ★ 线性变换的矩阵表示式 ★ 线性变换在给定基下的矩阵 ★ 线性变换与其矩阵的关系 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-5 内容要点 一、线性变换在给定基下的矩阵 定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为 ???????+++=??????????+++=+++=, )(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为 A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =， 其中A =??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定. 二、线性变换与其矩阵的关系 设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ， 下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα , 结论 在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的. 三、线性变换在不同基下的矩阵 已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则 AP P B 1-=. 定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩. 结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r . (ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -. 例题选讲
第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ?x,y ∈V , k,l ∈K 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点旋转θ 角的操作就是一个线性变换。 [证明] 12x ξξ??=???? 12y Tx ηη?? ==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθ ηξθξθ =+?? =-+? 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ??????=??????-? ????? 2 R ∈ 可见该操作T 为变换，下面证明其为线性变换 12x x x ???=???? 12z z z ?? =????2R ∈，k ，l R ∈ 11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +?????? ++=?????? +?????? 1122cos sin ()sin cos kx lz T kx lz kx lz θ θθθ+?? ??+=??? ?+-???? 1122cos sin cos sin sin cos sin cos x z k l x z θ θθθθ θθ θ???? ????=+????????--? ??????? ()()k Tx l Tz =+ ∴ T 是线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为
第四讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 1，定义：T 是到自身的一个映射，满足()n V F x ?∈V 中的任意元，均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足线性性：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y ∈V , k,l F ?∈称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?????????=∈????????????? ，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 θ[证明] 12 2,x R x ξξ?????∈=????12y Tx ηη????==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξ?=+????=?+??θ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ???? ??????? ?=????????????? 2R ∈ 可见T 为变换，下面证明其为线性变换. [例2] 次数不超过-1的全体实多项式[x]构成实数域上的一个n 维的线性空 间，微分算子n n P d dx D =是[x]上的一个线性变换。 n P [证明] Remark: [x]上的积分变换n P 0 (())()x J p x p s ds =∫ 不是[x]上的线性变换，为 C[0,1]上的线性变换。 n P [例3])上对任意固定α为线性变换0=时称零变 (n V F ,()F T λα∈=λ。换； λ
1λ=时称恒等变换。 [例4] 上定义，选定，为上线性变换。 n F (),n n A T X AX A F ×=∈A T n F 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素（T(0)=T(0x)=0(Tx)=0） （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素（T (-x )=(-1)(Tx )=-(Tx )） （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] Remark: 线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。 3, 线性变换相关的空间 ★象空间 {}|(),..()n V F s t T βαβα=?∈=()R T ()N T dimR(T)为线性变换T 的秩 ★零空间 {}|()0T αα== dimN(T)为线性变换T 的零度。 [例] 求线性变换的象空间和零空间。 A T 4. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0 ,0x V T x ?∈=（3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有， 则称1T ＝2T . 12T x T x =（4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，2() 121T T x T x Tx +=+（5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()() kT x k Tx =负变换：() (T x Tx ?=?)