2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析
一、选择题 ............................................................................................................................... 1 二、填空题 ............................................................................................................................... 3 三、大题 .. (5)
一、选择题
【浙江卷】2．椭圆22
194
x y +=的离心率是 A
B
C ．
23
D ．
59
【解析】33
e ==，选B.
【全国1卷（理）】10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10
【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴 易知1
1cos 22AF GF AK AK AF P P GP P
θ?
??+=??
=??
???=--= ?????
（几何关系）
（抛物线特性）
cos AF P AF
θ?+=∴
同理1cos P AF θ=
-，1cos P
BF θ
=+
∴2
2221cos sin P P
AB θθ
=
=- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π
2
θ+ 2222πcos sin 2P P
DE θθ=
=
??+ ???
而24y x =，即2P =．
∴22
112sin cos AB DE P θθ??+=+ ???
2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24
θ=216
16
sin 2θ
=
≥，当π4θ=取等号 即AB DE +最小值为16，故选A
【全国Ⅱ卷（理）】9.若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆
()
2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）
A ．2 B
C
D
【解析】取渐近线b
y x a
=
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
=得224c a =，24e =，2e =．
【全国III 卷（理）】5.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)
的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆
22
1123
x y += 有公共焦点，则C 的方程为( ) A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22
1
43x y -=
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y
，则b a =
又∵椭圆22
1123
x y +
=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②
由①②解得2,a b ==C 的方程为22
145
x y -
=，故选B.
【全国III 卷（理）】10.已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，
且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )
A.6
B.3
C.2
D.
13 【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径， ∴22
2ab
d a a b
==+ 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =
∵222
b a
c =-，可得()
2223a a c =-，即2223
c a =
∴6c e a ==，故选A
【天津卷】（5）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，离心率为2.若经过F
和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.22
144
x y -= B.22
188x y -=
C.
22
148x y -=
D.22
184x y -=
【解析】由题意得22
4,14,22188
x y a b c a b c ==-?===?-=- ，故选B.
二、填空题
【全国1卷（理）】15.已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，
b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 【解析】如图，
OA a =，AN AM b ==
∵60MAN ∠=?
，∴AP =
，OP ==
∴tan AP OP θ=又∵tan b a θ=
b a =，解得223a b =
∴e =
【全国2卷（理）】16.已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN = ． 【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
【北京卷】（9）若双曲线2
2
1y x m
-=
，则实数m =_______________.
【解析】.
132m
m +=?= 【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2
213
x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 . 【解析】右准线方程为33101010
x =
=
，渐近线为33y x =±，则31030
(,)1010
P ，31030(
,)1010Q -，1(10,0)F -，2(10,0)F ，则30
2102310
S =?=. 【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F
的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .
三、大题
【全国I 卷（理）】20.（12分）已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），
P 3（–13 ），P 4（13
）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
20.解：（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P
又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，
三点 将(
)23011P P ?- ??，，代入椭圆方程得2221
1
3
14
1
b a
b ?=??
??+=??，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 22112
1A A P A P B y y k k m m m ----+=
+==-
得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶
()()
1122A x y B x y ，，，
联立22
440
y kx b
x y =+??+-=?，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb
x x k -+=
+,21224414b x x k -?=+ 则221212
11P A P B y y k k x x --+=
+()()212121
12x kx b x x kx b x x x +-++-=
222
2
2
8888144414kb k kb kb
k b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ?=--，此时64k ?=-，存在k 使得0?>成立．
∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =-
所以l 过定点()21-，
． 【全国II 卷（理）】20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦
点F .
．解：⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又0
NM ?== ?
∴
M x ?
?
???
，又M 在椭圆上． ∴2
21
2x +=，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠， 由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=，
∴2
13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=． 设直线OQ ：3Q y y x =
?-，
因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1
3
P Q P y y x x -?=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-?+，
∵33P Q P y y x =+，
∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，
直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
【全国III 卷（理）】20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.
解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立：222
y x
x my ?=?=+?得2240y my --=，
2416m ?=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．
1212OA OB
x x y y ?=+ 12(2)(2)my my =++
21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=
∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． (2)若圆M 过点P ，则0AP BP ?= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=
21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=
化简得2210m m --=解得1
2
m =-或1
①当1
2m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，
12012
y y y +==-，001924x y =-+=，
半径||r OQ ==
则圆229185
:()()4216
M x y -++=
②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q
x y ，
12
012
y y y +==，0023x y =+=，
半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=
【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12
)作直线l 与抛物线C
交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.
（18）解：（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P =
1
2
∴C :y 2=x ，
∴焦点坐标（
14，0），准线：x =-14
. （Ⅱ）设l ：y =kx +
12
，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，OP ：y =x ，ON ：y =22y
x x ，
由题知A (x 1，x 1)，B (x 1，
12
2
x y x ) 212y kx y x
?
>+???=??k 2x 2
+（k -1）x +14=0，x 1+x 2=21k k -，x 1·x 2=2
14k . 111212111222
1122,
22x kx x y x x y kx kx x x x ?
?+ ?
+??+=++=+
由x 1+x 2=
21k k -，x 1x 2=21
4k
， 上式()211112
1
122122124k
k kx kx k x x x k x -=+=+-?=∴A 为线段BM 中点. 【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1
(0)22
22x y E :+a b a b
=＞＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为
1
2
，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.
17.解:（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12
c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴2
28a c =②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22
143
x y +=. （2）设00(,)P x y ，则000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)
x y x y x y x y +?
=-+???-?=--??
，整理得02
01x x x y y =-??-?=??，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴222
0020
(1)33y x y -=，∴2
200169,77x y ==，故点P 的坐标是4737
(,)77
.
【江苏卷】B .[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵A = ，B =. (1) 求AB ;
(2)若曲线C 1;22
y =182
x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.
B.解:（1）AB ==.
（2）设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ???
?
???
???
=????????
，