2009年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知a 和b 都是单位向量，并且向量2c a b =+与54d a b =-互相垂直．则a 和b 的夹角,=<>a b ______．
2．1
cos 290+?______． 3．如图，过O 外一点M 引圆的切线切O 于点B ，联结MO 交O 于点A ，已知
4MA =，MB =N 为弧AB 的中点．则曲边三角形（阴影面积）的面积等于______．
4的值是______．
5．在平面直角坐标系中，不论m 取何值时，抛物线()()2
2132y mx m x m =++-+都不通过的直线1y x =-+上的点的坐标是______（写出全部符合条件点的坐标）．
二、解答题
6．Rt ABC ?内切圆的半径为r ，直角的角平分线的长为t ．求证：Rt ABC ?的两条直
角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程()222
20t x x tr -+-=的根． 7．求函数:N N f ++→，使得
（1）()11f =；
（2）对于所有的N x y +∈、，()()()f x y f x f y xy +=++都成立．
8．如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线与BC 交于点M 、与DC 的延长线交于点N ，CMN ?的外接圆O 与CBD ?的外接圆的另一交点为K ．证明：
（1）点O 在CBD ?的外接圆上；
（2）90AKC ∠=?．
9．证明：任给7个实数，其中必存在两个实数x 、y 满足013
x y xy -≤
<+.
参考答案
1．3
π 【解析】
【详解】
设a 和b 的夹角,a b θ=．则根据向量垂直的条件得
()()220=254=51048c d a b a b a a b a b b ?=+?-+?-?-
=56cos 86cos 3θθ+-=-． 由此1cos 2θ=．所以=3
πθ． 2
【解析】
【详解】
11cos290cos70+-??
=
4sin 70303?-?= 3．48.3π-
【解析】
【详解】
根据条件，延长MO 交O 于点C ．设O 的半径为r ．则42MC r =+．
由切割线定理得2MB MA MC =?，
即 48 ()=442r +．
解得 4.r =
所以， 4.OC OA AM ===
联结OB ．在Rt OBM ?中，sin 60MB MOB MOB OM ∠===?∠=?． 因此，弧AB 的度数为60?，而N 为弧AB 的中点，则弧AN 的度数为30?．
联结ON ．则30MON ∠=?．从而，
111sin30=848.222
MON S OM ON ?=?????= 而扇形AON 的面积为23044=.3603
ππ?? 故阴影图形的面积为48.3
π- 4．4
【解析】
【详解】
.x
两边立方并整理得36400.x x --=
观察知，4是方程的一个根．所以，()()
244100.x x x -++= 由2=4410=240?-?-<，知方程24100x x ++=无实根．
故方程36400x x --=只有唯一的实根 4.x =
5．()()311034.22??-- ???
，，，，，
【解析】
【详解】 由()()()()()2
2132312y mx m x m m x x x =++-+=+-+- 可知，抛物线一定过点()()1,13,5.A B ---、
过点A B 、分别作y 轴的平行线交直线1y x =-+于点()()1,03,4.C D 、-
过点A B 、的直线1y x =-+交于点31,22E ??-
??
?． 则C D E 、、三点满足条件．
6．()22220.t x x tr -+-=
【解析】
【详解】
如图，设Rt ABC ?中，90C ∠=?，,,AB c AC b CB a ===，内切圆的圆心为O ．联结OA OB 、．则
1.2
ABC S ab ?= ①
又()11=
sin45sin45.22ABC ADC BDC S S S bt at a b ???=+?+?+ 故().
ab a b =+ ② 而()12ABC OBC OAC OAB S S S S r a b c ????=++=
++ ()()()21=2=.2
r a b c b r r a b r a b r r +++-+-=+- 与式①比较得
()222.ab a b r r =+- ③
联立式②、③得
22
a b ab +== 据韦达定理知，以,a b 为根的一元二次方程为
22
2
x x =，
即()222
20.t x x tr -+-=
7．见解析
【解析】
【详解】
设函数:N N f ++→满足题设条件．
对于正整数n k 、有()()()()2
1.f k n f kn f n kn +=++ 令1,2,,1k m =???-并相加得
()()()()()
221121=2m m f mn mf n m n mf n n -??=+++???+-+??，
对所有的正整数m n 、都成立．
特别地，当1n =时，
()()
1.2m m f m += ①
式①定义了在正整数集合上的函数.f
经检验，()()
12m m f m +=是问题的唯一解．
由函数的解析式可知函数满足题中的结论(1)(2).
8．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【详解】
（1）如图，由题设知.BMA MAD BAM ∠=∠=∠因此，.BA BM =同理，.MC CN =联结OC ．则OC 平分.NCM ∠联结OB OM OD 、、．设.BAD θ∠=则
()1=180=9022
COD BCD OCM θθθ∠=∠+∠+?-?+， 180=18090.2
BMO OMC OCM θ
∠=?-∠?-∠=?+
因此，.BMO OCD ∠=∠
故OBM ? ≌ ODC ?．
从而，.OBC ODC ∠=∠
于是，B O C D 、、、四点共圆，也就是点O 在CBD ?的外接圆上．
（2）由（1）知.OB OD =
又KO OC =，由B K O C 、、、和D 都在同一个圆上，则点K C 、关于BD 的中垂线对称， 且.BK CD AB ==
又因KBD CDB ABD ∠=∠=∠，所以，点K 与A 是关于BD 的对称点，即.AK BD ⊥ 又因KC BD ，所以，AK KC ⊥，即90.AKC ∠=?
9．见解析
【解析】
【详解】
设7个实数分别为127tan tan tan θθθ，
，，， 且不妨设127ππ22θθθ-
<≤≤≤<. 将区间ππ,22??- ???平均分成6个子区间：ππππππππππ,,,00,,,2336666333，，，，，????????????----- ? ? ? ? ? ?????????????
. 由抽屉原理，上述7个()17i i θ≤≤中必有某两个数在同一个子区间内，不妨设j θ、()116j j θ+≤≤在同一个子区间内.
因1π06j j θθ
+≤-<，所以，()1π 0tan tan 63j j θθ+≤
-<=， 即11tan tan 01tan tan j j
j j θθθθ++-≤<+?. 记1tan ,tan j j x y θθ+==，即得所要证的不等式.