七年级上册数学全册单元试卷测试卷附答案
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选(难)
1.已知长方形纸片ABCD,点E,F,G分别在边AB,DA,BC上,将三角形AEF沿EF翻折,点A落在点处,将三角形EBG沿EG翻折,点B落在点处.
(1)点E,,共线时,如图,求的度数;
(2)点E,,不共线时,如图,设,,请分别写出、满足的数量关系式,并说明理由.
【答案】(1)解:如图中,由翻折得: ,
(2)解:如图,结论: .
理由:如图中,由翻折得:
,
如图,结论:,
理由: ,
,
.
【解析】【分析】(1)根据翻折不变性得:,由此即可解决问题.(2)根据翻折不变性得到:,根据分别列等式可得图和的结论即可.
2.如图在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,且a、b满足|2a+4|+|b-6|=0
(1)求A,B两点之间的距离;
(2)若在数轴上存在一点C,且AC=2BC,求C点表示的数;
(3)若在原点O处放一个挡板,一个小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动;同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动:设运动的时间为(秒).
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离(用t表示);
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间
【答案】(1)解:因为,
所以2a+4=0,b-6=0,
所以a=?2,b=6;
所以AB的距离=|b?a|=8;
(2)解:设数轴上点C表示的数为c.
因为AC=2BC,
所以|c?a|=2|c?b|,即|c+2|=2|c?6|.
因为AC=2BC>BC,
所以点C不可能在BA的延长线上,则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上.
①当C点在线段AB上时,则有?2 得c+2=2(6?c),解得c= ; ②当C点在线段AB的延长线上时,则有c>6, 得c+2=2(c?6),解得c=14. 故当AC=2BC时,c= 或c=14; (3)解:①因为甲球运动的路程为:1×t=t,OA=2, 所以甲球与原点的距离为:t+2; 乙球到原点的距离分两种情况: (Ⅰ)当0?t?3时,乙球从点B处开始向左运动,一直到原点O, 因为OB=6,乙球运动的路程为:2×t=2t, 所以乙球到原点的距离为:6?2t; (Ⅱ)当t>3时,乙球从原点O处开始一直向右运动, 此时乙球到原点的距离为:2t?6; ②当0 解得t= ; 当t>3时,得t+2=2t?6, 解得t=8. 故当t= 秒或t=8秒时,甲乙两小球到原点的距离相等. 【解析】【分析】(1)先根据非负数的性质求出a、b的值,再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离;(2)分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解;(3)①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长,乙球到原点的距离分两种情况:(Ⅰ)当0<t≤3时,乙球从点B处开始向左运动,一直到原点O,此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离;(Ⅱ)当t>3时,乙球从原点O处开始向右运动,此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离;②分两种情况:(Ⅰ)0≤t≤3,(Ⅱ)t>3,根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程,解方程即可. 3.已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b,且满足|a+3|+(b-9)2018=0,O为原点 (1)试求a和b的值 (2)点C从O点出发向右运动,经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍,求点C的运动速度? (3)点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动,同时点P从点A出发以5个单位每秒的速度向左运动,点Q从点B出发,以20个单位每秒的速度向右运动.在运动过程中, M、N分别为PD、OQ的中点,问的值是否发生变化,请说明理由. 【答案】(1)解:a=-3,b=9 (2)解:设3秒后,点C对应的数为x 则CA=|x+3|,CB=|x-9| ∵CA=3CB ∴|x+3|=3|x-9|=|3x-27| 当x+3=3x-27,解得x=15,此时点C的速度为 当x+3+3x-27=0,解得x=6,此时点C的速度为 (3)解:设运动的时间为t 点D对应的数为:t 点P对应的数为:-3-5t 点Q对应的数为:9+20t 点M对应的数为:-1.5-2t 点N对应的数为:4.5+10t 则PQ=25t+12,OD=t,MN=12t+6 ∴为定值. 【解析】【分析】(1)根据几个非负数之和为0,则每一个数都是0,建立关于a、b的方程,求出a、b的值,就可得出点A、B所表示的数。 (2)根据点C从O点出发向右运动,经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的 3倍,可表示出CA=|x+3|,CB=|x-9|,再由CA=3CB,建立关于x的方程,求出方程的解,然后求出点C的速度即可。 (3)根据点的运动速度和方向,分别用含t的代数式表示出点D、P、Q、M、N对应的数,再分别求出PQ、OD、MN的长,然后求出的值时常量,即可得出结论。 4.如图,以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=70°,将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.(注:∠DOE=90°) (1)如图①,若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上,则∠COE=________°;(2)如图②,将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度数; (3)如图③,将直角三角板DOE绕点O转动,如果OD始终在∠BOC的内部,试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系?并说明理由. 【答案】(1)20 (2)解:如图②,∵OC平分∠EOB,∠BOC=70°, ∴∠EOB=2∠BOC=140°, ∵∠DOE=90°, ∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°, ∵∠BOC=70°, ∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20° (3)解:∠COE-∠BOD=20°, 理由是:如图③,∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°,∠COE+∠COD=∠DOE=90°, ∴(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD) =∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD =∠COE-∠BOD =90°-70° =20°, 即∠COE-∠BOD=20° 【解析】【解答】⑴如图①,∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°; 【分析】(1)根据角度的换算可知∠COE和∠BOC互余,那么根据∠COB=70°可得∠COE=20°; (2)根据角平分线和∠BOC可得∠BOE=140°,∠COE=∠BOC=90°,所以它的余角∠COD=20°; (3)一个是直角∠EOD,,一个是70°∠BOC,这两个角里都包含了同一个角∠COD,那么大家都减去这个∠COD的度数,剩下的两角差与原两角差是一致的,所以可得出结论∠COE-∠BOD=20°。 5.已知直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分别相交于点E,F. (1)如图1,若∠1=60°,求∠2,∠3的度数. (2)若点P是平面内的一个动点,连结PE,PF,探索∠EPF,∠PEB,∠PFD三个角之间的关系. ①当点P在图(2)的位置时,可得∠EPF=∠PEB+∠PFD请阅读下面的解答过程并填空(理由或数学式) 解:如图2,过点P作MN∥AB 则∠EPM=∠PEB(________) ∵AB∥CD(已知)MN∥AB(作图) ∴MN∥CD(________) ∴∠MPF=∠PFD (________) ∴________=∠PEB+∠PFD(等式的性质) 即:∠EPF=∠PEB+∠PFD ②拓展应用,当点P在图3的位置时,此时∠EPF=80°,∠PEB=156°,则∠PFD=________度. ③当点P在图4的位置时,请直接写出∠EPF,∠PEB,∠PFD三个角之间关系________.【答案】(1)解:∵∠2=∠1,∠1=60° ∴∠2=60°, ∵AB∥CD ∴∠3=∠1=60° (2)两直线平行,内错角相等;如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,内错角相等;∠EPM+∠MPF;124;∠EPF+∠PFD=∠PEB 【解析】【解答】(2)①如图2,过点P作MN∥AB,则∠EPM=∠PEB(两直线平行,内错角相等) ∵AB∥CD(已知),MN∥AB, ∴MN∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行) ∴∠MPF=∠PFD(两直线平行,内错角相等) ∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD(等式的性质) 即∠EPF=∠PEB+∠PFD; 故答案为:两直线平行,内错角相等;如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,内错角相等;∠EPM+∠MPF; ②过点P作PM∥AB,如图3所示: 则∠PEB+∠EPM=180°,∠MPF+∠PFD=180°, ∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°, 即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°, ∴∠PFD=360°﹣80°﹣156°=124°; 故答案为:124; ③∠EPF+∠PFD=∠PEB. 故答案为:∠EPF+∠PFD=∠PEB. 【分析】(1)利用对顶角相等,可证∠1=∠2,可求出∠2的度数,再根据两直线平行,同位角相等,就可求出∠3的度数。 (2)① 利用两直线平行,内错角相等,可证∠EPM=∠PEB,再根据同平行于一条直线的两直线平行,可证得MN∥CD,然后根据两直线平行,内错角相等,可证得结论;②利用平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,可证∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°,代入计算可求出∩PFD的度数;③利用平行线的性质可证∠EPF,∠PEB,∠PFD三个角之间关系。 6.如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点. (1)若AC=8 cm,CB=6 cm,求线段MN的长; (2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?写出你的结论并说明理由; (3)若点C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图. 【答案】(1)解:点M、N分别是AC、BC的中点, ∴CM= AC=4cm, CN= BC=3cm, ∴MN=CM+CN=4+3=7cm 所以线段MN的长为7cm (2)解:MN的长度等于 a, 根据图形和题意可得: MN=MC+CN= AC+ BC= (AC+BC)= a (3)解:MN的长度等于 b, 根据图形和题意可得: MN=MC-NC= AC- BC= (AC-BC)= b. 【解析】【分析】(1)据“点M、N分别是AC,BC的中点”,先求出MC、CN的长度,再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可.(2)据题意画出图形即可得出答案.(3)据题意画出图形即可得出答案. 7.已知:在和中,,,将如图摆放,使得的两条边分别经过点和点 . (1)当将如图1摆放时,则 ________度. (2)当将如图2摆放时,请求出的度数,并说明理由. (3)能否将摆放到某个位置时,使得、同时平分和?直接写出结论________(填“能”或“不能”) 【答案】(1)240 (2)∠ABD+∠ACD=40°; 理由如下: ∵∠E+∠F=100° ∴∠D=180°?(∠E+∠F)=80° ∴∠ABD+∠ACD=180°?∠A?∠DBC?∠DCB=180°?40°?(180°?80°)=40°; (3)不能 【解析】【解答】解:(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?40°=140° 在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180° ∴∠BCD+∠CBD=180°?∠D 在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180° ∴∠E+∠F=180°?∠D ∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100° ∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°; 故答案为:240; ( 3 )不能.假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°,与三角形内角和定理矛盾,所以不能. 【分析】(1)要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°;∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,从而得出答案; (2)要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠ACB-(∠BCD+∠CBD)的度数.根据三角形内角和定理,∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°;根据三角形内角和定理得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-(∠BCD+∠CBD)=140°-100°=40°; (3)不能,假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB,则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°,与三角形内角和定理矛盾,所以不能. 8.如图,已知 . (1)如图1,求证:; (2)为,之间的一点,,,平分交于点G, 如图2,若,求的度数; 【答案】(1)证明:如图1,作 . ∵,∴, ∴, ∵, ∴ (2)解:如图2,作 . ∵,∴,∴ ∵,∴,∴ ∵平分,∴ ∵,∴ ∵,∴ . 【解析】【分析】(1)作,根据平行线性质得,则∠BEF=∠B,∠D=∠DEF,所以∠D=∠B+∠BED; (2)作,根据平行线性质得,则, ,由已知求出,可得∠GDF=70°,再根据平行线的性质和角平分线即可得的度数. 9.问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系? 小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论) 问题情境2 如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论) 问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题: 已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F (1)如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数; (2)如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。 (3)若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________. 【答案】(1)解:根据问题情境2,可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF ∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F ∴∠AEF=∠FBE,∠CDF=∠FDE ∴∠FBE+∠FDE=∠BFD ∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360° ∴80°+∠BFD+∠BFD=360° ∴∠BFD=140° (2)结论为:6∠M+∠E=360° 证明:∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF ∴∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM ∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F ∴∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM ∵∠ABE+∠CDE+∠E=360° ∴6(∠ABM+∠CDM)+∠E=360° ∵∠M=∠ABM+∠CDM ∴6∠M+∠E=360° (3)证明:根据(2)的结论可知 2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360° 2n(∠ABM+∠CDME)+∠E=360° ∵∠M=∠ABM+∠CDM ∴2n∠M+m°=360° ∴∠M= 【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是:∠P+∠B+∠D=360°,问题情境2:图3中∠B,∠P,∠D之间关系是:∠P=∠B+∠D; 【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB,利用平行线的性质,可证得结论。 (1)利用问题情境2的结论,可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF,再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE,∠CDF=∠FDE,再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°,就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°,解方程求出∠BFD的度数即可。 (2)根据已知可得出∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM,再根据角平分线的定义得出,∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°,可推出6(∠ABM+∠CDM)+∠E=360°,变形即可证得结论。 (3)根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°,再根据∠M=∠ABM+∠CDM,代入变形即可得出结论。 10.如图①,△ABC中,BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D. (1)若,,求∠D的度数; (2)若把∠A截去,得到四边形MNCB,如图②,猜想∠D、∠M、∠N的关系,并说明理由. 【答案】(1)解:∵BD平分∠ABC, ∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°, ∵CD平分△ABC的外角, ∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°, ∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°. (2)解:猜想:∠ D = ( ∠ M + ∠ N ? 180 ° ). ∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°, ∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE. =180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE. =180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE. = ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= , 或写成 【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°,根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°,最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数; (2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解. 11.如图,EF⊥AB于F,CD⊥AB于D,点在AC边上,且∠1=∠2= . (1)求证:EF∥CD; (2)若∠AGD=65°,试求∠DCG的度数. 【答案】(1)证明:∵EF⊥AB于F,CD⊥AB于D, ∴∠BFE=∠BDC=90°, ∴EF∥CD. (2)解:∵EF∥CD, ∴∠2=∠DCE=50°, ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠DCE, ∴DG∥BC, ∴∠AGD=∠ACB=65°, ∴∠DCG= 【解析】【分析】(1)由垂直的定义,可求得∠BFE=∠CDF=90°,可证明EF∥CD; (2)利用(1)的结论,结合条件可证明DG∥BC,利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ,则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得. 12.将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON,∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°),保持三角板OBC不动,将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转,旋转时间为t秒 (1)当t=________秒时,OM平分∠AOC?如图2,此时∠NOC﹣∠AOM=________°; (2)继续旋转三角板MON,如图3,使得OM、ON同时在直线OC的右侧,猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系?并说明理由; (3)若在三角板MON开始旋转的同时,另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转,当OM旋转至射线OD上时同时停止,(自行画图分析) ①当t=________秒时,OM平分∠AOC? (4)②请直接写出在旋转过程中,∠NOC与∠AOM的数量关系. 【答案】(1)2.25;45 (2)解:∠NOC﹣∠AOM=45°, ∵∠AON=90°+10t, ∴∠NOC=90°+10t﹣45° =45°+10t, ∵∠AOM=10t, ∴∠NOC﹣∠AOM=45° (3)3 (4)解:②∠NOC﹣∠AOM=45°. ∵∠AOB=5t,∠AOM=10t,∠MON=90°,∠BOC=45°, ∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t,∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t, ∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t, ∴∠NOC﹣∠AOM=45°. 【解析】【解答】解:(1)∵∠AOC=45°,OM平分∠AOC, ∴∠AOM= =22.5°, ∴t=2.25秒, ∵∠MON=90°,∠MOC=22.5°, ∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°; 故答案为:2.25,45; ·(3)①∵∠AOB=5t,∠AOM=10t, ∴∠AOC=45°+5t, ∵OM平分∠AOC, ∴∠AOM= AOC, ∴10t= (45°+5t), ∴t=3秒, 故答案为:3. 【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°,于是得到t=2.25秒,由 于∠MON=90°,∠MOC=22.5°,即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°;(2)根据题意得∠AON=90°+10t,求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t,即可得到结论;(3)①根据题意得∠AOB=5t,∠AOM=10t,求得∠AOC=45°+5t,根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC,列方程即可得到结论;(4)②根据角的和差即可得到结论. 13.如图1,已知线段AB=16cm,点C为线段AB上的一个动点,点D、E分别是AC和BC 的中点. (1)若点C恰为AB的中点,求DE的长; (2)若AC=6cm,求DE的长; (3)试说明不论AC取何值(不超过16cm),DE的长不变; (4)知识迁移:如图2,已知∠AOB=130°,过角的内部任一点C画射线OC,若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC,试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关. 【答案】(1)解:∵点C恰为AB的中点, ∴AC=BC= AB=8cm, ∵点D、E分别是AC和BC的中点, ∴DC= AC=4cm,CE= BC=4cm, ∴DE=8cm (2)解:∵AB=16cm,AC=6cm, ∴BC=10cm, 由(1)得,DC= AC=3cm,CE= CB=5cm, ∴DE=8cm (3)解:∵点D、E分别是AC和BC的中点, ∴DC= AC,CE= BC, ∴DE= (AC+BC)= AB, ∴不论AC取何值(不超过16cm),DE的长不变 (4)解:∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC, ∴∠DOC= ∠AOC,∠EOC= ∠BOC, ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= (∠AOC+∠BOC)= ∠AOB=65°, ∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关 【解析】【分析】(1)由点C恰为AB的中点,得到AC=BC的值,再由点D、E分别是AC 和BC的中点,求出DE的值;(2)由(1)得,DC= AC的值,CE= CB的值,得到DE的值;(3)由点D、E分别是AC和BC的中点,得到不论AC取何值(不超过16cm),DE 的长不变;(4)由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,根据角平分线定义,得到 ∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB,得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关. 14.如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠BAD的平分线AG交BC于点G. (1)求证:∠BAG=∠BGA; (2)如图2,∠BCD的平分线CE交AD于点E,与射线GA相交于点F,∠B=50°. ①若点E在线段AD上,求∠AFC的度数; ②若点E在DA的延长线上,直接写出∠AFC的度数; (3)如图3,点P在线段AG上,∠ABP=2∠PBG,CH∥AG,在直线AG上取一点M,使∠PBM=∠DCH,请直接写出∠ABM:∠PBM的值. 【答案】(1)证明:∵AD∥BC, ∴∠GAD=∠BGA, ∵AG平分∠BAD, ∴∠BAG=∠GAD, ∴∠BAG=∠BGA; (2)解:①∵CF平分∠BCD,∠BCD=90°, ∴∠GCF=45°, ∵AD∥BC,∠ABC=50°, ∴∠AEF=∠GCF=45°;∠DAB=180°﹣50°=130°, ∵AG平分∠BAD, ∴∠BAG=∠GAD=65°, ∴∠AFC=65°﹣45°=20°; ②如图: ∵∠AGB=65°,∠BCF=45°, ∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°; (3)解:有两种情况: ①当M在BC的下方时,如图: ∵∠ABC=50°,∠ABP=2∠PBG, ∴∠ABP=()°,∠PBG=()°, ∵AG∥CH, ∴∠BCH=∠AGB=65°,∵∠BCD=90°,∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°, ∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=( +25)°=()°, ∴∠ABM:∠PBM=()°:25°= ; ②当M在BC的上方时,如图: 同理得:∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=(﹣25)°=()°, ∴∠ABM:∠PBM=()°:25°= ; 综上,∠ABM:∠PBM的值是或. 【解析】【分析】(1)根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA,由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD,即可得答案.(2)①根据CF平分∠BCD,∠BCD=90°,可求出∠GCF的度数,由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度数,根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可;②根据三角形外角性质求出即可;(3)根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论,分别求出∠PBM和∠ABM的值即可. 15.己知AB∥CD,点E在直线AB,CD之间。 (1)如图①,试说明:∠AEC=∠BAE+∠ECD; (2)若AH平分∠BAE,将线段CE沿射线CD平移至FG。 ①如图②,若∠AEC=90°,FH平分∠DFG,求∠AHF的度数; ②如图③,若FH平分∠CFG,试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。 【答案】(1)解:如图① 【法1】过点E作直线EK∥AB 因为AB∥CD,所以EK∥CD 所以∠BAE=∠AEK,∠DCE=∠CEK 所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD 【法2】连接AC,则∠BAC+∠DCA=180° 则∠BAC+∠DCA=180° 即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180° 所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC 即∠AEC=∠BAE+∠ECD (2)解:①【法1】因为AH平分∠BAE,FH平分∠DFG,所以∠BAH=∠EAH,∠DFH=∠GFH 又因为FG∥CE,所以∠GFD=∠ECD 由(1)知,∠AHF=∠BAH+∠DFH = ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE = (∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45° 【法2】因为AH平分∠BAE,所以∠BAH=∠EAH 因为HE平分∠DFG,设∠GFH=∠DFH=x 又CE∥FG,所以∠ECD=∠GFD=2x 又∠AEC=∠BAE+∠ECD,∠AEC=90° 所以∠BAH=∠EAH=45°-x 由(1) 知,易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45° ②【法1】因为AH平分∠BAE,FH平分∠CFG,所以∠BAH=∠EAH,∠CFH=∠GFH 又因为FG∥CE,所以∠GFD=∠ECD 由(1)知,∠AHF=∠BAH+∠DFH = ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD = ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD) =90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC 【法2】设∠BAH=∠EAH=x,∠CED=y,则∠GFD=y 因为HF平分∠CFG,所以∠GFH=∠CFH=90°- 由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y ∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH =x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90° 所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°) 【解析】【分析】(1)过点E作直线EK∥AB,根据平行线的性质即可求解;也可连接AC,根据平行线的性质和三角形内角和定理求解; (2)①根据(1)的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH,再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF,即可求解;也可设∠GFH=∠DFH=x,则∠BAH=45°-x,再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解; ②根据(1)的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH,结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来;也可设∠BAH=∠EAH=x,∠CED=∠GFD=y,则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y,再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.