2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-083圆锥曲线解答题b

第8咅卩分：圆锥曲线答案：D2 ,23. (浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理))若双曲线》一右=1(Q > 0,方> 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的丄，则该双曲线的渐近线方程是（）一、选择题1(.金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷(理科))2 2若双曲线务—寻=1的一条渐近线方程为彳+y=o.则此双曲线的离心率为B3710 10C. 2^2D. V102 (宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)).已知林，佗是双曲线的两个焦点，PQ 是经过许且垂直于实轴的眩，若\PQF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为B(A)(B) A /2 +1(C) V2 — 1(D) -\pl ----43 (台州市2008学年第一学期理.)己知抛物线/ =«(x-l)的焦点是坐标原点，则以抛 物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为BA. 1B. 2C. 3D. 42 2 2 3.双曲线与—t = l(d,b>0)的一条渐近线与椭圆二 b~ er cr2 + * = l （d>b 〉o ）交于点 MN ,则 MN 二 CA. a^bB. y/2aC.』2(/ +，)D. ^2(a 2-b 2)1.((2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题(理))已知定点A (3, 4),点P 为抛物线y~4x 上一动点，点P 到直线兀二一1的距离为<1,则PA|+d 的最小值为()A. 2^5B. 2C. 4A /2D. 4^5答案：A2 2学镖今期怖扃期联如趣(*))若双曲线各一丄y = 1(。

> 0" > 0)的两个顶点er tr三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是()B. y = ±V2xC. y = ±V3xD. y = ±2y[2x4A、x±2y = 0B、2x± y = 0C^ x±y/3y - 0 y/^x±y = 02 2答案：C解析：对于双曲线^7-^7 = 1（^>0,/7>0）的一个焦点到一条渐近线的距离因为crh , 而-匕=丄，因此b = — c,a = 7c2 -h2 = — c,2c 4 2 2因此其渐近线方程为x±V3y = 0.a 34.（宁波市2008学年度第一学期高三期末数（理））已知片，竹是双曲线的两个焦点，PQ是经过耳且垂直于实轴的弦，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（A）（B） V2 + 1 （C） V2 — 1 （D）----4答案：B二、填空题1.（浙江省嘉兴市）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线），二X的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为▲. . 2■、代或2+語2.（浙江省嘉兴市文）已知椭圆中心在原点，一个焦点为（、代，0）,且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是▲・—+ V2 =143.（浙江省嘉兴市文）己知等边三角形的一个顶点位于抛物线/=%的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为▲. 3. 2-、疗或2+馆・4•（金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷（理科）抛物线y2 = 4x的焦点坐标为_____________ 4. （1, 0）兀25.（浙江省宁波市•文）若抛物线y2 = -2px （p > 0）的焦点与双曲线一-y2 = 1的左焦点重合，则p的值▲• 42 26.（台州市2008学年第一学期理）已知双曲线+ -壬十>0,〃>0）的离心率e二2,则距离为半径的圆的方程是— 答案：/ +y 2 二42. （宁波市2008学年度第一学期高三期末数（文）〉若抛物线J 2 = -2px （p > 0）的焦点与双曲线—-/= 1的左焦点3重合，则p 的值 _____ . 答案：4三、解答题1.浙江省嘉兴市2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编13新课程标准内容一、选择题1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)已知命题p: "x ÎR ，cos x ≤1，则（ ）A ．1cos ,:≥∈∃⌝x R x pB ．:p Ø" x ∈R，cos x ≥1C ． 1cos ,:>∈∃⌝x R x pD ．:p Ø" x ∈R，cos x ＞1答案：C2、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)给出下面的程序框图，那么输出的数是 （ ）A ．2450 B. 2550 C. 5050 D. 4900 答案：C3、(广东省2008届六校第二次联考)如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )A. 2(20cm +B. 221cmC. 2(24cm +D. 224cm 答案：A4、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2， 且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形， 该三棱柱的左视图面积为（ ）.A. 4B. 32C. 22D.3答案：B俯视图左视图_B _1_A _1_B_A_B _1 _A _1_B _A正视图俯视图7 8 994 4 6 4 7 35、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9, 23,28时，则解密得到的明文为（ ）.A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7答案：C6、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5解析：f (1.40625)=－0.054< 0，f (1.4375)=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线一、选择题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.0.5B.1C. 2D. 4 答案：C2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于A ．53 B ．54 C ．135 D ．1312 答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ ） A ．4 B ．6 C ．22 D ．24答案：B4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 （ ）Ａ．钝角； Ｂ．直角； Ｃ．锐角； Ｄ．都有可能； 答案：C5、(江西省五校2008届高三开学联考)从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是A ．]23,35[ B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[答案：A6、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知点A, F 分别是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BA BF ⋅=0，则椭圆的离心率e 为（ ▲ ）A.21(5－1) B.21(3－1) C.25 D.22 答案：A7、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )A.23 C.49答案：B8、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 A ． 2B ． 3C ．233D ．2 2答案：B9、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||OH FA 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1答案：C10、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ…,则|FA |的取值范围是（ ）（A ）)23,41[ （B ）13(,442+（C ）]23,41( （D ）]221,41(+答案：D11、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为( ) A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 答案：B12、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）A.3-B. 13- C. 3D.13答案：B13、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)设,x y R ∈，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),x y 的轨迹为除去x 轴上点的（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．双曲线的一支D ．一个椭圆答案：D 14、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ） A 8 B 219 C 10 D 221答案：B15、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知21,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是 （ ）A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线 答案：B16、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2=4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则|PA|+d 的最小值为（ ）A ．4B ．52C ．6D ．328-答案：B17、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)椭圆的长轴为A 1A 2，B 为短轴一端点，若︒=∠12021BA A ，则椭圆的离心率为A ．33B ．63C ．32D ．12答案：B18、(东北三校2008年高三第一次联考)设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A ．16322=-y xB ．132322=-y xC ．1964822=-y x D ．1241222=-y x 答案：A19、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（ ）A ．12B ．13C ．23D ．14答案：B20、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知AB 是椭圆92522y x +=1的长轴，若把线段AB 五等份，过每个分点作AB 的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C 、D 、E 、G 四点，设F 是椭圆的左焦点，则FG FE FD FC +++的值是（ ） A ．15B ．16C ．18D ．20答案：D21、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 答案：B22、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)若抛物线1262222=+=y x px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案：D23、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.4答案：D24、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,), (,)P x y Q x y 两点，若126x x +=，则||PQ =A.5B. 6C.8D.10 答案：C25、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，若120PF PF =，121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．53答案：D26、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)如图2所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为（ ） A ．15- B ．15+C ．13-D ．3+1答案：D27、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）. A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 C.解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，答案：C 28、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为A ．53B C ．54D解析：由已知得9,20,a b ab a b +==>∴5,4a b ==，c ∴=，c e a ∴==，选D 。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x 又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又，∠CAB 为钝角.0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-.当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。

52、（河南省开封市2008届高三年级第一次质量检）双曲线二-二 = 1（。

〉0,力〉0）的左、右焦点分别为R 、a- b-F 2, 0为坐标原点，点A 在双曲线的右支上，点B 在双曲线左准线上，F\d^AB,OF\OA^OAOB.（1） 求双曲线的离心率e ；（2） 若此双曲线过C （2, V3 ）,求双曲线的方程；（3）在（2）的条件下，D" D,分别是双曲线的虚轴端点（D,在y 轴正半轴上）,过D 】的直线7交双曲线M 、N, D 2M ± D 2N,求直线Z 的方程。

解：（1） FQ = ABm 四边形住ABO 是平行四边形2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线三、解答题（第三部分） 51、（河北省正定中学2008年高三第五次月考）已知直线/过椭圆E: / +2寸=2的右焦点F ,且与E 相交于 两点. （1）设OR = ?（OF + OQ ）（。

为原点）,求点R 的轨迹方程;（2）若直线/的倾斜角为60° ,求一L + —的值.\PF\ \QF\ 解：⑴设P （m ）, GW 况）顼（x,y ） OR = g(OP+。

) n (x,y) = ?[(x,，乂)+ (叫,为)]n <由 工2 +2,2 =2n ：+y2 =]易得右焦点尸（1,0）----- （2 分）当直线Zlx 轴时，直线/的方程是：x = l,根据对称性可知R （l,0） 当直线I 的斜率存在时，可设直线I 的方程为y = Rx-1） 4上之 A E w (2k 2+ l)x 2 - 4k 2X + 2Zr 2 - 2 = 0 A = 8^2+8>0; x, +x 2 = （5分）于是R(x,y):x=工1 ：工2 = c 艾，； y = *(x — i )2 2k- +1消去参数参得x 2 +2y 2-x = O 而R(l, 0)也适上式，故R 的轨迹方程是7 +2y 2-x = O- (8分)(2)设椭圆另一个焦点为F, 在 APF'F 中 ZPFF' = 120°,| F'F\= 2,设 | PF |= m ,则 | PF' |= 2^2 由余弦定理得(2y/2-m)2 = 22 +m 2-2-2-//z-cosl20° =>m = —%—— 2^2 + 1 同理，在八QF'F,设|涉|=〃，贝\\\QF'\= 2y/2-m 也由余弦定理得(2^2-n)2 =2之 +〃2 -2-2-n-cos60° => 〃 = —%——2^2-1 于是京房—?+旦=2H（12 分）函无-函=0,即函诙2 =0:.~OAL~BF^,.•.四边形F^ABO是菱形..•.函|=|孩|习反|=仁-- * \ A 1^ \ n 4- c 0由双曲线定义得|AR |= 2a + c,e='-^-=^—^- = - + l, \AB\ c e:.e--e -2 = 0,e = 2(e = -1 舍去)(2) e = 2 = ；a2 2c — 2d, 1)2 = 3。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编07立体几何三、解答题(第四部分)76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．（1）求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值； （2）求二面角C -DE -C 1的平面角的正切值．解：以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的 正向建立空间直角坐标系A -xyz ，则有D (0，3，0)、D 1(0，3，2)、E (3，0，0)、F (4，1，0)、C 1(4，3，2)．于是，1(3,3,0),(1,3,2)DE EC =-=，1(4,2,2)FD =-．（1）设EC 1与FD 1所成角为β，则1111cos |||14||||1EC FD EC FD β===⨯． （2）设向量(,,)x y z =n 与平面C 1DE 垂直，则有133013202DE x y x y z x y z EC ⎫⊥-=⎫⎪⇒⇒==-⎬⎬++=⊥⎭⎪⎭n n ．∴(,,)(1,1,2),222zz z z =--=--n 其中z ＞0．取n 0=(-1，-1，2)，则n 0是一个与平面C 1DE 垂直的向量． ∵向量1AA =（0，0，2）与平面CDE 垂直，∴n 0与1AA 所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角．∵0101cos ||||1AA AA θ===⨯n n ，∴tan θ= 77、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD （如图2）.（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:=MACB PDCMA V V ；（Ⅲ）在M 满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.（I ）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴ …………2分.PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂…4分（II ）由（I ）知⊥PA 平面ABCD ∴平面PAB ⊥平面ABCD . …………5分 在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h 则312213131h h h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=∆- 21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P…………8分要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即即M 为PB 的中点. …………10分（Ⅲ）连接BD 交AC 于O ，因为AB//CD ，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD∴O 不是BD 的中心……………………10分 又∵M 为PB 的中点∴在△PBD 中，OM 与PD 不平行 ∴OM 所以直线与PD 所在直线相交 又OM ⊂平面AMC∴直线PD 与平面AMC 不平行.……………………15分78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点． （1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ； （2）求证：PC 1∥面MNQ ． 主要得分步骤：（1）AB ⊥面PCC 1； 4′MN ∥AB ，故MN ⊥面MNQ MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ； 7′（2）连AC 1、BC 1，BC 1∥NQ ，AB ∥MN 面ABC 1∥面MNQ 11′PC 1在面ABC 1内．∴PC 1∥面MNQ ． 13′ 79、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒,2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥. (Ⅰ)求证：1AC ⊥平面1A BC ； (Ⅱ)求1CC 到平面1A AB 的距离； (Ⅲ)求二面角1A A B C --的大小.解法1：(Ⅰ)∵1A D ⊥平面ABC ,∴平面11AAC C ⊥平面ABC , 又BC AC ⊥,∴BC ⊥平面11AA C C , 得1BC AC ⊥,又11BA AC ⊥,∴1AC ⊥平面1A BC .…………………4分(Ⅱ)∵11AC A C ⊥,四边形11AA C C 为菱形,故12AA AC ==, 又D 为AC 中点,知∴160A AC ∠=︒.取1AA 中点F ,则1AA ⊥平面BCF ,从而面1A AB ⊥面BCF ,…………6分过C 作CH BF ⊥于H ,则CH ⊥面1A AB ,在Rt BCF ∆中,2,BC =1CC 到平面1A AB的距离为7CH =.…………………8分(Ⅲ)过H 作1HG A B ⊥于G ,连CG ,则1CG A B ⊥,从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角,在1Rt A BC∆中,12AC BC ==,∴CG =…………10分 1B ACD 1A 1B 1C在Rt CGH ∆中,7sin CH CGCGH ∠==,故二面角1A A B C --的大小为7arcsin.…………………12分解法2：(Ⅰ)如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系, 则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =,1(2,1,)BA t =--,(2,0,0)CB =,由10A C CB ⋅=,知1AC CB ⊥, 又11BA AC ⊥,从而1AC ⊥平面1A BC .…………………4分 (Ⅱ)由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =设平面1A AB 的法向量为(,,)n x y z =,1AA =,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,设1z =,则33(,n =-.…………6分 ∴点1C 到平面1A AB 的距离1||2217||AC n n d ⋅==.…………………8分(Ⅲ)设面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =,1(0,CA =-,(2,0,0)CB =,∴1020m CA y m CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩.…………10分 设1z =,则3(0,m =,故77||||cos ,m n m n m n ⋅⋅<>==-,根据法向量的方向可知二面角1A A B C --的大小为7.…………………12分80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，截面DAN 交PC 于M. （Ⅰ）求PB 与平面ABCD 所成角的大小； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面ADMN ；（Ⅲ）求以AD 为棱，PAD 与ADMN 为面的二面角的大小. （I ）解：取AD 中点O ，连结PO ，BO.△PAD 是正三角形，所以PO ⊥AD ，…………1分 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以，PO ⊥平面ABCD ， …………3分 BO 为PB 在平面ABCD 上的射影，所以∠PBO 为PB 与平面ABCD 所成的角.…………4分由已知△ABD 为等边三角形，所以PO=BO=3，所以PB 与平面ABCD 所成的角为45°. ………………5分 （Ⅱ）△ABD 是正三角形，所以AD ⊥BO ，所以AD ⊥PB ， ………………6分 又，PA=AB=2，N 为PB 中点，所以AN ⊥PB ， ………………8分 所以PB ⊥平面ADMN. ………………9分 （Ⅲ）连结ON ，因为PB ⊥平面ADMN ，所以ON 为PO 在平面ADMN 上的射影， 因为AD ⊥PO ，所以AD ⊥NO ， ………………11分 故∠PON 为所求二面角的平面角.因为△POB 为等腰直角三角形，N 为斜边中点，所以∠PON=45°……………12分81、(山东省济南市2008年2月高三统考)如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，1面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求锐二面角B —PD —C 的余弦值． 解：（1）如图，连接AC ，∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴AC 必经过F1分又E 是PC 的中点， 所以，EF ∥AP2分∵EF 在面PAD 外，PA 在面内， ∴EF ∥面PAD4分（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD面ABCD=AD ，∴CD ⊥面PAD ， 又AP ⊂面PAD ，∴AP ⊥CD6分 又∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，AP ⊥面PCD 7分 又AD ⊂面PAD ，所以，面PDC ⊥面PAD8分（3）由P 作PO ⊥AD 于O ，以OA 为x 轴，以OF 为y 轴，以OP 为z 轴，则A （1，0，0），P （0，0，1）9分由（2）知(1,0,1)AP =-是面PCD 的法向量，B （1，1，0），D （一1，0，0），(2,1,0)BD =--，(1,0,1)PD =--10分设面BPD 的法向量(,,)n x y z =，由,n PD n BD ⊥⊥得200x y x z --=⎧⎨--=⎩取1x =，则(1,2,1)n =--，向量(1,0,1)AP =-和n= 11分所以，锐二面角B —PD —C12分82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点. （1）求证：AM//平面BDE ；（2）求二面角A —DF —B 的大小.（1）解：记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ………………1分∵O ，M 分别是AC 、EF 的中点，且四边形ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM//OE ，又OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM//平面BDE.……………………4分（2）在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF ，垂足为S ，连接BS ，∵AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，AD AF=A ，∴AB ⊥平面ADF.…………………………6分 又DF ⊂平面ADF ，∴DF ⊥AB ，又DF ⊥AS ，AB AS=A ，∴DF ⊥平面ABS. 又BS ⊂平面ABS ， ∴DF ⊥SB.∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角.……………………8分 在Rt △ASB 中，AS ,2,36==AB ∴3tan =∠ASB∴∠ASB=60°.……………………………………10分 （本题若利用向量求解可参考给分） 83、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且BC AC =． （1）求证：⊥AM 平面EBC ；（2）求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； （3）求二面角C EB A --的大小． 解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形，EC AM AC EA ⊥⊥∴,． ………………………1分∵平面⊥ACDE 平面ABC ，又∵AC BC ⊥，⊥∴BC 平面EAC ． ……………………2分 ⊂AM 平面EAC ，⊥∴BC AM ．……………3分 ⊥∴AM 平面EBC ． ………………4分 (Ⅱ)连结BM ，⊥AM 平面EBC ，ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角． ………5分 设a BC AC EA 2===，则a AM 2=，a AB 22=， ………………………6分21sin ==∠∴AB AM ABM ， ︒=∠∴30ABM ．即直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30…8分（Ⅲ）过A 作EB AH ⊥于H ，连结HM ． ……………………9分⊥AM 平面EBC ，EB AM ⊥∴．⊥∴EB 平面AHM ．AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． ……10分 ∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ．⊥∴EA AB ． 在EAB Rt ∆中， EB AH ⊥，有AH EB AB AE ⋅=⋅． 由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得a AB 22=，a EB 32=，322aEB AB AE AH =⋅=∴． ………………10分 23sin ==∠∴AH AM AHM ．︒=∠∴60AHM ．∴二面角C EB A --等于︒60． ……………………12分 解法二: ∵四边形ACDE 是正方形 ，EC AM AC EA ⊥⊥∴,， ∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ， ………2分 ∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴， 分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系xyz A -．设2===BC AC EA ，则),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ，M 是正方形ACDE 的对角线的交点， )1,1,0(M ∴．……………4分 （Ⅰ）=AM )1,1,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=，0,0=⋅=⋅∴， ……………………………………4分 CB AM EC AM ⊥⊥∴,⊥∴AM 平面EBC ． ………………5分（Ⅱ） ⊥AM 平面EBC ，∴为平面EBC 的一个法向量，…………6分)0,2,2(),1,1,0(==AB AM ，21==∴．……………7分︒=60．∴直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． ……8分(Ⅲ) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x =，则⊥且⊥，0=⋅∴AE n 且0=⋅AB n ． ⎩⎨⎧=⋅=⋅∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即⎩⎨⎧=+=.0,0y x z 取1-=y ，则1=x ， 则)0,1,1(-=．………………10分 又∵AM 为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=，21-==∴，设二面角C EB A --的平面角为θ，则21c c o s ==θ，︒=∴60θ．∴二面角C EB A --等于︒60．…12分84、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的余弦值； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离. （Ⅳ）求证：平面BDF ⊥平面ABCD解法一：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE. .AE CB ⊥∴ .BCE AE 平面⊥∴（Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ，∵正方形ABCD 边长为2，∴BG ⊥AC ，BG=2，⊥BF 平面ACE ，（Ⅲ）过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD. 设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --=.3131EO S h S ACD ACB ⋅=⋅∴∆∆ ⊥AE 平面BCE ，.EC AE ⊥∴ .3326221122212121=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴EC AE EO DC AD h ∴点D 到平面ACE 的距离为.332 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直 线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行 于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 O —xyz ，如图.⊥AE 面BCE ，BE ⊂面BCE ， BE AE ⊥∴， 在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点，).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1C E A OE -∴=∴).2,2,0(),0,1,1(== 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则⎩⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,0,0,0x y y x 即解得⎩⎨⎧=-=,,x z x y 令,1=x 得)1,1,1(-=是平面AEC 的一个法向量.又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=，.3331||||),cos(==⋅=∴n m ∴二面角B —AC —E 的大小为.33arccos （III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=， ∴点D 到平面ACE 的距离.33232||,cos |||==>=<⋅=n d 85、(山西大学附中2008届二月月考)如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 是棱AC 的中点，E 是棱1CC 的中点，AE 交1A D 于点.H（1）求证：1AE A BD ⊥平面；（2）求二面角1D BA A --的大小（用反三角函数表示）； （3）求点1B 到平面1A BD 的距离.（1）证明：建立如图所示， )0,2,1( )0,1,2(1-=--=A)3,0,0(-=∵0221+-=⋅A 0)3(000=-++=⋅ ∴BD AE D A AE ⊥⊥,1 即AE ⊥A 1D ， AE ⊥BD ∴AE ⊥面A 1BD （2）设面DA 1B 的法向量为),,(1111z y x n =由⎩⎨⎧=++-=-⇒=⋅=⋅020)3(0 0111111y x z n A n ∴取)0,1,2(1=n设面AA 1B 的法向量为 0,0),,(12122222=⋅=⋅=A n A n z y x n ，则由)3,0,3( 0203222222=∴⎩⎨⎧==++-⇒n y z y x 取， 5151256,21=⋅>=<n n 由图可知二面角D —BA 1—A 为锐角，∴它的大小为arcos515（3）)0,2,0(1=B B ，平面A 1BD 的法向量取)0,1,2(1=n 则B 1到平面A 1BD 的距离d=55252||||111==n 86、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），AD =1AA =1，2AB =，点E 是AB 上的动点(1)若直线1D E EC 与垂直，请你确定点E 的位置，并求出此时异面直线1AD 与EC 所成的角 (2) 在（1）的条件下求二面角1D EC D --的大小[解]解法1：由1D E EC 与垂直⇒DE 与CE 垂直-----1分 设AE=x,在直角三角形DEC 中求得1x =-----2分 所以点E 是AB 的中点--------------3分取CD 的中点Q ，则AQ 平行与EC ，所以1D AQ ∠是所求的角------4分求解1D AQ ∆得1D AQ ∠=3π-------------5分 异面直线1AD 与EC 所成的角为3π-------6分解法2：利用向量法分别以DA ，DC ，D 1D 所在的直线为X 轴建立坐标系---------------------------------1分设AE=x ， 根据直线1D E EC 与垂直⇒1x =-----2分所以点E 是AB 的中点--------------3分写出A （1，0，0） E （1，1，0 ） C （0，2，0） 1D （0，0，1）---------4分1(1,0,1),(1,1,0)AD CE =-=-设1AD CE 与的夹角为θ cos θ=12-----------------5分 异面直线1AD 与EC 所成的角为3π-----------6分 （2）解法1：由1D E EC 与垂直⇒DE 与CE 垂直，所以1D EC ∠是所求1D EC D --的平面角---8分1D DE 求解直角得 1tg D ED ∠=-------11分二面角1D EC D --是arc 分解法2：利用向量法求得二面角1D EC D --是arc 87、。

四川理21．（本小题满分12分）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，，离心率2e =，右准线为l ，M N ，是l 上的两个动点，120F M F N =u u u u r u u u u rg ．（Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u ra b ，的值；（Ⅱ）证明：当MN u u u u r 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．21．解：由222a b c -=与2c e a ==，得222a b =．10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，20F ⎫⎪⎪⎝⎭，，l的方程为x =．设12))M y N y ，，，则11F M y ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u u r ，，22F N y ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u u r ，， 由120F M F N =u u u u r u u u u r g得 212302y y a =-<g ． ①（Ⅰ）由12F M F N ==u u u u r u u u u r= ②= ③ 由①、②、③三式，消去12y y ，，并求得24a =． 故2a =，b ==． （Ⅱ）22222121212121212()22246MN y y y y y y y y y y y y a =-=+---=-=u u u u r ≥，当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，MN u u u u r．此时，12121212)0)2F M F N y y y y F F ⎫⎫+=+=+==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，，，，．故12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 广东文B 卷 20．（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图6所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．20．解：（1）由28()x y b =-得218y x b =+ 当2y b =+时，4x =±，G ∴点的坐标为(42)b +，14y x '=，4|1x y ='= 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-，即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(20)b -，； 由椭圆方程得1F 点的坐标为(0)b ，，2b b ∴-=，即1b =，因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-． （2）Q 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ， ∴以PAB ∠为直角的Rt ABP △只有一个， 同理以PBA ∠为直角的Rt ABP △只有一个；若以APB ∠为直角，设P 点的坐标为2118x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则A B ，坐标分别为( 由22212108AB AB x x ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r g 得421510644x x +-=， 关于2x 的一元二次方程有一解，x ∴有二解，即以APB ∠为直角的Rt ABP △有二个； 因此抛物线上共存在4个点使ABP △为直角三角形．全国卷2文科11．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心图6率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．15．2 全国卷2文科 22．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k=或38k=．······················································································6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F，到AB的距离分别为1h==2h==·······················································9分又AB==，所以四边形AEBF的面积为121()2S AB h h=+12===≤当21k=，即当12k=时，上式取等号．所以S的最大值为 ························ 12分解法二：由题设，1BO=，2AO=．设11y kx=，22y kx=，由①得2x>，21y y=->，故四边形AEBF的面积为BEF AEFS S S=+△△222x y=+ ····································································································9分===当222x y =时，上式取等号．所以S的最大值为． ······································· 12分全国卷I 文科14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．14．12全国卷I 文科15．在ABC △中，90A ∠=o，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．15．12全国卷I 文科 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =则离心率2e =（2）过F 直线方程为()ay x c b=-- 与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b +=124x =-=将数值代入，有4=解得3b =最后求得双曲线方程为：221369x y -=． 全国理II14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．14．2 全国理II15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．15．38全国理II 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作．．．．．．答无效．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、、成等差数列，且BF u u u r 与FA u u u r同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 21．解（Ⅰ）设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，右焦点为(0)(0)F c c >，，则222c a b =+．不妨设10l bx ay -=：，20l bx ay +=：，则FA b ==u u u r，OA a ==u u u r ．因为222AB OA OB +=u u u r u u u r u u u r ，2OB AB OA =-u u u r u u u r u u u r ， 所以222(2)AB OA AB OA +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，于是得4tan 3AB AOB OA ∠==u u u r u u u r ．又BF u u u r 与FA u u u r 同向，故12AOF AOB ∠=∠，所以22tan 41tan 3AOF AOF ∠=-∠． 解得1tan 2AOF ∠=，或tan 2AOF ∠=-（舍去）．因此12b a =，2a b =，c ==．所以双曲线的离心率c e a ==． （Ⅱ）由2a b =知，双曲线的方程可化为22244x y b -=．① 由1l 的斜率为12，c =知，直线AB的方程为2()y x =-．②将②代入①并化简，得2215840x b --=．设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1215x x +=，2128415b x x =g ．③AB 被双曲线所截得的线段长12l x x =-=g ．④将③代入④，并化简得43bl =，而由已知4l =，故36b a ==，． 所以双曲线的方程为221369x y -=． 全国卷2理科（+选修II ）9．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(2全国卷2理科（+选修II ）15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．15．3+全国卷2理科（+选修II ） 21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==······················································· 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 12=== ≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ························ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ···································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ······································· 12分 江苏卷12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==．【答案】2山东理 22．（本小题满分14分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，． （Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（Ⅰ）证明：由题意设221212120(2)22x x A x B x x x M x p p p ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，．由22x py =得22x y p =，得xy p'=，所以1MA x k p =，2MB x k p=． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p+=-， 直线MB 的方程为202()x y p x x p+=-． 所以211102()2x xp x x p p+=-，① 222202()2x xp x x p p+=-．② 由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x x x +=，即0122x x x =+． 所以A M B ，，三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时， 将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以12x x ，是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p-+===-，所以2AB k p=．由弦长公式得AB ==又AB = 所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅲ）解：设33()D x y ，，由题意得1212()C x x y y ++，， 则CD 的中点坐标为12312322x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭，， 设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线AB 上，代入得033x y x p=． 若33()D x y ，在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =．即(00)D ，或2022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(02)M p -，适合题意．（2）当00x ≠，对于(00)D ，，此时2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，2212022CDx x pk x +=221204x x px +=， 又0AB x k p=，AB CD ⊥， 所以22220121220144AB CDx x x x x k k p px p ++===-g g ， 即222124x x p +=-，矛盾．对于20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点．综上所述，仅存在一点(02)M p -，适合题意．山东文13．221412x y -= 山东文22．解：（Ⅰ）由题意得22245253ab a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩，又0a b >>，解得25a =，24b =．因此所求椭圆的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．解方程组22154x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得222045A x k =+，2222045A k y k =+， 所以22222222202020(1)454545AAk k OA x y k k k+=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知(0)MO OA λλ=≠，所以222MO OA λ=，即2222220(1)45k x y k λ++=+，因为l 是AB 的垂直平分线， 所以直线l 的方程为1y x k=-， 即x k y=-， 因此22222222222220120()4545x y x y x y x y x yλλ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+==++g ， 又220x y +≠， 所以2225420x y λ+=，故22245x y λ+=． 又当0k =或不存在时，上式仍然成立．综上所述，M 的轨迹方程为222(0)45x y λλ+=≠． （2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得222045Ax k =+，2222045A k y k =+，由221541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2222054M k x k =+，222054M y k =+， 所以2222220(1)45AAk OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22220(1)54k OM k+=+． 解法一：由于22214AMB S AB OM =g △ 2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++2222400(1)(45)(54)k k k +=++ 22222400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥222221600(1)4081(1)9k k +⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，140229AMB S =⨯=>△． 当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．解法二：因为222222111120(1)20(1)4554k k OAOMk k +=+++++2224554920(1)20k k k +++==+，又22112OA OMOAOM+g ≥，409OA OM g ≥，当且仅当224554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，此时AMB △面积的最小值是409AMB S =△． 当0k =，140229AMB S =⨯=>△．当k不存在时，140429AMB S ==>△．综上所述，AMB △的面积的最小值为409．福建文12．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1，3)B ．(]13，C ．(3，+∞)D ．[)3+∞，福建文 22．（本小题满分14分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为F （1，0），且过点(20)，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：4x =与x 轴交 于点N ，直线AF 与BN 交于点M ．（ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上；（ⅱ）求AMN △面积的最大值．22．本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）由题设2a =，1c =，从而2223b a c =-=．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）（ⅰ）由题意得(10)F ，，(40)N ，，设()A m n ，，则()(0)B m n n -≠，，22143m n +=．……① AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0n x m y ---=，(4)(4)0n x m y -+-=．设00()M x y ，，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎨-+-=⎩， ②，③由②，③得05825m x m -=-，0325ny m =-由于222222(58)3434(25)(25)x y m n m m -+=+-- 2222(58)34(25)(25)m n m m -=+-- 222(58)124(25)m n m -+=-222(58)3694(25)m m m -+-=-1=．所以点M 恒在椭圆C 上．（ⅱ）设AM 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=得22(34)690t y ty ++-=． 设11()A x y ，，22()M x y ，，则有：122634t y y t -+=+，122934y y t -=+12y y -==．令234(4)t λλ+=≥，则12y y λ-===因为4λ≥，1104λ<≤，所以当114λ=，即4λ=，0t =时， 12y y -有最大值3，此时AM 过点F ． AMN △的面积12121322AMN S FN y y y y =-=-g △有最大值92． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）由题意得(10)F ，，(40)N ，，设()A m n ，，则()(0)B m n n -≠，，22143m n +=．……① AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0n x m y ---=，……②(4)(4)0n x m y -+-=．……③由②，③得：当52x ≠时，5825x m x -=-，325yn x =-．……④ 由④代入①，得221(0)43x y y +=≠． 当52x =时，由②，③得：3(1)023(4)0.2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得00n y =⎧⎨=⎩，，与0n ≠矛盾．所以点M 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠，即点M 恒在椭圆C 上． （ⅱ）同解法一．福建理11．双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(1，3)B ．(]13，C ．(3，+∞)D ．[)3+∞，福建理21．（本小题满分12分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<，求a 的取值范围．21想，考查运算能力和综合解题能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形， 所以OF =， 即123bg ，解得b 2214a b =+=，因此，椭圆方程为22143x y +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，． (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，22222224(1)OA OB a AB a a +==>，，因此，恒有222OA OB AB +<． （ⅱ）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入22221x y a b+=，整理得22222222()20a b m y b my b a b +++-=，所以222212122222222b m b a b y y y y a b m a b m-+=-=++，． 因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角．即11221212()()0OA OB x y x y x x y y ==+<u u u r u u u rg g ，，恒成立．2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++222222222222(1)()21m b a b b m a b m a b m +-=-+++22222222220m a b b a b a a b m -+-+=<+．又a 2+b 2m 2>0，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m ∈R 恒成立， 即2222222a b m a a b b >-+对m ∈R 恒成立．当m ∈R 时，222a b m 最小值为0，所以22220a a b b -+<．2222a a b b <-，2224(1)a a b b <-=，因为a >0，b >0，所以a <b 2，即210a a -->，解得a >或a <(舍去)，即a >综合（i ）（ii ），a 的取值范围为⎫+⎪⎪⎝⎭∞．解法二：（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时，x =1代入22222221(1)1A y b a y a b a -+==，．因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2，222(1)4AA y y+<，21Ay >，即21a a->1，解得a >或a < (舍去)，即a >． （ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设11()A x y ，，22()B x y ，．设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221x y a b+=，得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2 k 2-a 2 b 2=0，故22222212122222222a k a k a b x x x x b a k b a k -+==++，因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2，所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2， 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立．x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 222222222222222222222222222()(1)a k a b a k a a b b k a b k k k b a k b a k b a k --+-=+-+=+++．由题意得（a 2-a 2 b 2+b 2）k 2-a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立．①当a 2-a 2 b 2+b 2>0时，不合题意；②当a 2-a 2 b 2+b 2=0时，a =12+； ③当a 2-a 2 b 2+b 2<0时，a 2-a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4-3a 2 +1>0，解得a 2>a 2>，a >，因此a ．综合（i ）（ii ），a 的取值范围为12⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭∞．辽宁文6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，辽宁文11．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4辽宁文21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA u u u r ⊥OB uuu r ？此时AB u u u r的值是多少？21．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． ······································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． ····························································· 6分 OA OB ⊥u u u r u u u r，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥u u u r u u u r ． ················································ 8分当12k =±时，12417x x +=m ，121217x x =-．AB ==u u u u r而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=，所以17AB =u u u u r ． ····················································································· 12分辽宁理6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，辽宁理10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3CD ．92辽宁理 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA u u u r ⊥OB uuu r，求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA u u u r |>|OB uuu r|．20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． ······································································· 3分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． ····························································· 5分 若OA OB ⊥u u u r u u u r，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±． ································································· 8分 （Ⅲ）2222221122()OA OB x y x y -=+-+u u u u r u u u u r22221212()4(11)x x x x =-+--+12123()()x x x x =--+ 1226()4k x x k -=+．因为A 在第一象限，故10x >．由12234x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >， 故220OA OB ->u u u u r u u u u r ，即在题设条件下，恒有OA OB >u u u u r u u u u r． ································································ 12分安徽文14．已知双曲线2212x y n n--=1n = ．14．4安徽文 22．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞，其相应于焦点(20)F ，的准线方程为4x =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(20)F -，倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A B ，两点．求证：22cos AB =-θ；（Ⅲ）过点1(20)F -，作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A B ，和D E ，，求AB DE +的最小值．22．本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识．考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力．本小题满分14分． 解：（Ⅰ）由题意得：222224c ac a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，．∴ 2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，．∴椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）方法一：由（I ）知，1(20)F -，是椭圆C的左焦点，离心率e = 设l 为椭圆的左准线，则l ：4x =-．作1AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ，l 与x 轴交于点H （如图）．Q 点A 在椭圆上，11||||2AP AA ∴=11|||cos )F H AF θ=+1||cos 2AF θ=．1||AF ∴=同理1||BF =．112||||||2cos AB AF BF θ∴=+==-． 方法二： 当π2θ≠时，记tan k θ=，则(2)AB y k x =+：， 将其代入方程2228x y +=．得2222(12)88(1)0k x k x k +++-=．设1122()()A x y B x y ，，，，则12x x ，是此二次方程的两个根．2122812k x x k ∴+=-+，21228(1)12k x x k -=+．第（22）题图||AB ===22)12k k +==+． ① 22tan k θ=Q，代入①式得2||2cos AB θ=-． ②当π2θ=时，||AB =仍满足②式．2||2cos AB θ∴=-．（Ⅲ）设直线AB 的倾斜角为θ，由于DE AB ⊥，由（Ⅱ）可得，22||||2cos 2sin AB DE θθ==--，．2||||2sin 24AB DE θ+===+． 当π4θ=或3π4θ=时，||||AB DE +取得最小值3．安徽理22． (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：过点M，且左焦点为1(F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(41)P ，的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ．证明：点Q 总在某定直线上．22．本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）由题意：2222222211c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，，．解得2242a b ==，． 所求椭圆方程为22142x y +=． （Ⅱ）方法一：设点Q A B ，，的坐标分别为1122()()()x y x y x y ，，，，，， 由题设知AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r，，，均不为零，记AP AQ PB QBλ==u u u r u u u ru u u r u u u r ．则0λ>且1λ≠．又A P B Q ，，，四点共线，从而AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． 于是12124111x x y y λλλλ--==--，． 121211x x y y x y λλλλ++==-+，． 从而22212241x x x λλ-=-， ………………① 2221221y y y λλ-=-．…………………② 又点A B ，在椭圆C 上，即221124x y +=，………………③222224x y +=，………………④①2+⨯②并结合③，④得424x y +=．即点()Q x y ，总在定直线220x y +-=上． 方法二：设点()Q x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，，由题设， PA PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r，，，均不为零 且PA PB AQ QB =u u u r u u u r u u u r u u u r ，又P A Q B ，，，四点共线，可设PA AQ PB BQ λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，（01λ≠±，）．于是 114111x yx y λλλλ--==--，， ① 224111x yx y λλλλ++==++，． ② 由于11()A x y ，22()B x y ，在椭圆C 上，将①、②分别代入C 的方程2224x y +=，整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+=． ③ 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+=． ④④-③，得8(22)0x y λ+-=．0λ≠Q ，220x y ∴+-=．即点()Q x y ，总在定直线220x y +-=上．湖北文10．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④11c c <22c a ． 其中正确式子的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④湖北文20．(本小题满分13分)已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF △的面积为l 的方程．20．本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力． （满分13分）（Ⅰ）解法1：依题意，由224a b +=，得双曲线方程为222221(04)4x y a a a-=<<-．将点(3代入上式，得229714a a -=-． 解得218a =（舍去）或22a =，故所求双曲线方程为22122x y -=． 解法2：依题意得，双曲线的半焦距2c =．122a PF PF =-== 22a ∴=，2222b c a =-=． ∴双曲线C 的方程为22122x y -=．（Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理， 得22(1)460k x kx ---=． ①Q 直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，。

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编03数列与数学归纳法三、解答题(二)51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数且任意的、都有（1）若数列（2）求的值.解：（1）而（2）由题设，有又得上为奇函数. 由得于是故52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn .求证：．解：（Ⅰ）∴当时，，即是等比数列．∴；……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，则有而故，解得，………………………………7分再将代入得成立，所以．………………………………………………………………8分（III）证明：由（Ⅱ）知，所以，………………………………………………… 9分由得所以，…………………… 12分从而．即． (14)分53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。

（I）求的值；（II）求的通项公式。

（III）（理做文不做）由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b}，求的值。

解：（），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．……理4分（文6分）（）当时，由于，，……，所以。

又，，故．当n=1时，上式也成立，所以……理8分（文12分）（III）bn=32n-2-3n-1+2, ∴=9. (12)54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。

解：（1）∵，∴2分∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列。

4分（2）9分（3）当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－4855、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记,求证：.解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0，∴a3=5，a5=9，公差∴………………3分又当n=1时，有b1=S1=1－当∴数列{bn}是等比数列，∴…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………9分∴∴…………………………12分56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有，记Sn为数列{an}的前n项和.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意n∈N+，都有bn+1>bn.解：（1）在已知式中，当n=1时，∵a1>0∴a1=1………………………………………………………………1分当n≥2时，①②①－②得，∵an>0∴==2Sn－an∵a1=1适合上式…………………………3分.当n≥2时，=2Sn－1－an－1 ④③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………5分（2）∵∴⑤………………………………………………………….7分当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为⑥依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………..9分当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为⑦依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，∴……………………………………………………………………………..11分∴∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn……………………………12分57、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列的通项公式．（2）若，求数列的前项和．（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.解：（1）点都在函数的图像上，,当时，当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为…….3分（2）由求导可得过点的切线的斜率为，..①由①×4，得②①-②得：………………………………………………………………..7分（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得ｍ＝27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为…………12分58、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知是数列的前项和，，且，其中.(1)求数列的通项公式；(2)(理科)计算的值. ( 文科) 求.解：①---------2分又也满足上式，（）数列是公比为2，首项为的等比数列 ----------- 4分-------------- 6分②②-------------（9分）于是---------------（12分）59、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)函数对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.（1）求的值；（2）数列的通项公式。

2008年高考文科数学分类汇编——圆锥曲线一、选择题1、（2008年天津文）设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ B ）A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=2、（2008年江西文）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)3、（2008年上海文）设P 是椭圆1162522=+y x 上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则||||21PF PF +等于( D )A ．4B ．5C ．8D ．10.4、（2008年湖北文）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 1；④11c a ＜22c a ． 其中正确式子的序号是 （ B ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④5、（2008年全国Ⅱ文）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ B ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+ 6、（2008年辽宁文）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01， D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7、（2008年辽宁文）已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ D ） A ．1B ．2C ．3D ．48、（2008年福建文）双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ B ） A ．(1，3)B ．(]13，C ．(3，+∞)D ．[)3+∞，9、（2008年海南宁夏文）双曲线221102x y -=的焦距为（ D ）A ．32B ．42C ．33D ．4310、（2008年湖南文）若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ C ） A ．(12⎤⎦，B ．)2⎡+⎣，∞C ．(121⎤+⎦，D ．)21⎡++⎣，∞ 11、（2008年重庆文）若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ C ） A ．2B ．3C ．4D ．4212、（2008年北京文）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1、（2008年宁夏海南文）过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为 .答案：532、（2008年浙江文）已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．答案：83、（2008年全国Ⅰ文）在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ ．解：12．不妨设2c ＝AB ＝4，AC ＝3，则CB ＝5，由椭圆定义可得2a ＝AC ＋CB ＝8，于是2.2c e a=4、（2008年全国Ⅱ文）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ． 解：25、（2008年全国I 文）已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ． 解：126、（2008年山东文）7、（2008年安徽文）已知双曲线2212x yn n--=1的离心率为3，则n = ． 解：48、（2008年江西文)已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两条渐近线方程为33y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为 ．解：223144x y -= 9、（2008年海南宁夏文）过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．解：5310、 （2008年天津文）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．解：22(1)18x y ++=11、（2008年上海文）若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 解：1-三、解答题 1、（2008年湖南文）已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若存在过点A (1,0)的直线l ,使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ的取值范围.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．由条件知c ＝2，且22a c＝λ，所以a 2＝λ，b 2＝a 2－c 2＝λ－4．故椭圆的方程是221(4).4x y λλλ+=-＞ (Ⅱ)依题意，直线l 的斜率存在且不为0，记为k ，则直线l 的方程是y ＝k (x －1).设点F (2,0)关于直线l 的对称点为F ′(x 0,y 0)，则00002(1),22 1.2y x k yk x +⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩解得02022,12.1x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 因为点F ′(x 0，y 0)在椭圆上，所以222222()()11 1.4k k k λλ+++=-即 λ(λ－4)k 4＋2λ(λ－6)k 2＋(λ－4)2＝0.设k 2＝t ,则λ(λ－4)t 2＋2λ(λ－6)t －(λ－4)2＝0.因为λ＞4，所以2(4)(4)λλλ--＞0．2234(6)4(4)0,2(6)0(4)λλλλλλλλ⎧∆=-+->⎪∴--⎨>⎪-⎩解得46λ<<．2、（2008年广东文）设b ＞0，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点F （0，b ＋2）作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ．已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【解析】（1）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；（2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个． 若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21(,1)8x x +，A 、B 两点的坐标分别为(2,0)-和(2,0)，222421152(1)108644PA PB x x x x ∙=-++=+-= ．关于2x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形．3、（2008年北京文）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y =x . 设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以1222 2.AB x x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以12. 2.2ABC h S AB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m . 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上，所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-= 所以2123262.2m AB x x -=-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即2.2m BC -=所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++ 所以当m =-1时，AC 边最长.（这时12640=-+ ＞） 此时AB 所在直线方程为1y x =-.4、（2008年全国Ⅱ文）设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)、B (0,1)是它的两个顶点，直线 )0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相较于E 、F 两点.(Ⅰ)若 DF ED 6=,求k 的值； (Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值.（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=， 故212214x x k=-=+．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k=+==+；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+．所以221012714k k=++，化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． （Ⅱ）解：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+，22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+．又2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+214(12)525(14)k k +=⨯⨯+22(12)14k k +=+22144214k kk ++=+22≤，当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22 5、（2008年福建文）如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l ：4x =与x 轴交DFB y x AOE于点N ，直线AF 与BN 交于点M ． （ⅰ）求证：点M 恒在椭圆C 上； （ⅱ）求AMN △面积的最大值．【解析】（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0，n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),则有()()()()0000110,(2)440,(3)n x m y n x m y ---=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩由②，③得x 0=523,52850-=--m ny m m . 222222002222222222(58)3(58)3434(25)(25)4(25)(25)(58)12(58)36914(25)4(25)x y m n m n m m m m m n m mm m --+=+=+-----+-+-===--由于所以点M 恒在椭圆G 上.(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0. 设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x|y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则|y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ|y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=-6、（2008年山东文）已知曲线11(0)x y C a b ab+=>>：所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C 的内切圆半径为253．记2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆2C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上异于椭圆中心的点．（1）若MO OA λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（2）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求AMB △的面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意得2224552523ab a ab b a b⎧=⎧⎪=⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪+⎩，椭圆2C 的标准方程为22154x y +=． （Ⅱ）（1）设M （x ，y ），A （x 0，y 0），则由MO OA λ=得2222200()x y x y λ+=+．……………………………①由于l ⊥线段AB ，M ∈l 且M 异于椭圆中心，得000x x y y +=．……②因为点A 在椭圆2C 上运动，所以2200154x y +=．………………………③ 由①②③消去x 0，y 0得2222145x y λλ+=，即为所求点M 的轨迹方程． （2）因为12AMB S AB OM OA OM =⨯⨯=⨯222222220000()()x y x y x y x y =+⨯+=++22x y λ+=，又点M 坐标同时满足222222154145x y x y λλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22220(1)9x y λ+=+． 于是220(1)20140()999AMB S λλλλ+==+≥ ，当且仅当1λλ=即1λ=时取“＝”．所以AMB △的面积的最小值为409． 7、（2008年四川文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1和F 2 ，离心率22e =，点F 2到右准线l 的距离为2.(Ⅰ)求a b 、的值；(Ⅱ)设M 、N 是右准线l 上两动点，满足120.F M F M ∙=证明：当.MN取最小值时，2122F F F M F N ++=0.解：（1）因为ce a=,F 2到l 的距离2a d c c =-,所以由题设得22,22c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 2, 2.c a == 由2222, 2.b a c b =-==得(Ⅱ)由2c =,a =2得12(2,0),(2,0).F F -l 的方程为22x =.故可设12(22,),(22,).M y N y由120F M F M ∙=知122(22,)(222,)0,y y +-=得y 1y 2＝－6,所以y 1y 2≠0,216y y =-,12112166||||||||2 6.||MN y y y y y y =-=+=+≥当且仅当16y =±时，上式取等号，此时y 2＝－y 1,所以，212212(22,0)(2,)(2,)F F F M F N y y ++=-++=（0，y 1+y 2）=0.8、（2008年安徽文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞，其相应于焦点F (2，0)的准线方程为x =4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点F 1(－2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.，求证：2422cos AB =-θ；（Ⅲ）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求AB DE+的最小值．解：（Ⅰ）由已知得222422c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩，又222a b c =+，所以24b =． 故所求椭圆C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）设直线AB 方程为tan (2)y x θ=+，代入椭圆C 的方程22184x y +=得2222(12tan )8tan 8(tan 1)0x x θθθ+++-=． 设点A 、B 的坐标分别为112(,),(,)x y xy ，则221212228tan 8tan 8,12tan 12tan x x x x θθθθ-+=-⋅=++．于是2212121tan ()4AB x x x x =+θ⋅+-⋅42222264tan 48(tan 1)(12tan )1tan (12tan )θ-⨯θ-+θ=+θ⋅+θ 222222242(1tan )42(cos sin )4212tan cos 2sin 2cos +θθ+θ===+θθ+θ-θ，得证． （Ⅲ）由（Ⅱ）2242(1tan )12tan AB +θ=+θ，因为AB DE ⊥，所以2242(tan 1)tan 2DE θ+=θ+．因此2221142(1tan )12tan tan 2AB DE ⎛⎫+=+θ+⎪+θθ+⎝⎭4224242122(tan 2tan 1)122tan 2tan 5tan 22tan 2tan 1θ+θ+==θθ+θ++θ+θ+ 221221221621132214tan 2tan ==++θ++θ≥ 当且仅当221tan tan θ=θ即tan 1θ=±时取“＝”． 所以AB DE +的最小值是1623．9、 （2008年全国I 文)双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB、、成等差数列，且BF 与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴22431b a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a = 则离心率52e =．（2）过F 直线方程为()ay x c b=--与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，5c b =代入，化简有2215852104x x b b-+=222121212411()4a a x x x x x x b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦将数值代入，有2232528454155b b ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得3b =最后求得双曲线方程为：221369x y -=．10、（2008年湖北文）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(37)P ，在双曲线C 上． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF △的面积为22，求直线l 的方程．（Ⅰ）解法1：依题意，由224a b +=，得双曲线方程为222221(04)4x y a a a-=<<-． 将点(37)，代入上式，得229714a a-=-． 解得218a =（舍去）或22a =，故所求双曲线方程为22122x y -=． 解法2：依题意得，双曲线的半焦距2c =．2222122(32)(7)(32)(7)22a PF PF =-=++--+=，22a ∴=，2222b c a =-=．∴双曲线C 的方程为22122x y -=． （Ⅱ）解法1：依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得22(1)460k x kx ---=． ①直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，22211033(4)46(1)0k k k k k ≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨-<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，．， (31)(11)(13)k ∴∈--- ，，，． ②设1122()()E x y F x y ，，，，则由①式得12241k x x k +=-，12261x x k=--， 于是2222121212()()(1)()EF x x y y k x x =-+-=+-2222121222231()411k k x x x x k k-=++-=+- ． 而原点O 到直线l 的距离221d k=+，222222112223223122111OEFk k S d EF k k kk --∴==+=--+ △． 若22OEFS =△，即242222322201k k k k-=⇔--=-，解得2k =±． 满足②．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为22y x =+和22y x =-+解法2：依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得22(1)460k x kx ---=． ①直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，22211033(4)46(1)0k k k k k ≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨-<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，．， (31)(11)(13)k ∴∈--- ，，，．② 设1122()()E x y F x y ，，，，则由①式得2212121222223()411k x x x x x x k k ∆--=+-==--．③当E F ，在同一支上时（如图1所示），12121122OEF OQF OQE S S S OQ x x OQ x x =-=-=- △△△； 当E F ，在不同支上时（如图2所示），121211()22OEF OQF OQE S S S OQ x x OQ x x =+=+=- △△△． 综上得1212OEF S OQ x x =- △，于是由2OQ =及③式， 得222231OEF k S k-=-△． 若22OEFS =△，即22223221k k-=-4220k k ⇔--=， 解得2k =±，满足②．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为22y x =+和22y x =-+．11、（2008年江西文)已知抛物线2y x =和三个200000000()(0)()(0)M x y P y N x y y x y -≠>，，，，，，，过点M 的一条直线交抛物线于A B ，两点，AP BP ，的延长线分别交抛物线于点E F ，． （1）证明E F N ，，三点共线；y xＦ1 Ｆ2QO FE 图 1y xQE Ｆ1 Ｆ2 O F图2（2）如果A B M N ，，，四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A B ，的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．（1）证明：设221122()()()()E E F F A x x B x x E x y F x y ，，，，，，，，则直线AB 的方程222121112()x x y x x x x x -=---， 即1212()y x x x x x =+-．因为00()M x y ，在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ①又直线AP 方程：21001x y y x y x -=+ 由210012x y y x y x x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得2210010x y x x y x ---= 所以21001211E x y y x x x x x -+=⇒=-，221E y y x = 同理，02F y x x =-，2022F y y x =所以直线EF 的方程：21201212y x x y y x x x x x ⎛⎫+=--⎪⎝⎭ 令0x x =-得0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上， 所以E F N ，，三点共线． （2）解：由已知A B M N ，，，共线，有0000()()A y y B y y -，，，，以AB 为直径的圆方程：2200()x y y y +-=由22002()x y y y x y⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得22000(21)0y y y y y --+-= 所以0y y =，01y y =-．要使圆与抛物线有异于A B ，的交点，则010y -≥，所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有相异于A B ，的交点()T T T x y ，． 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为000(1)1T y y y y -=--=．y x OAF B E MN P12、（2008年浙江文）已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和到直线58y =-距离相等的点的轨迹．l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2QBQA为常数．（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则2213||28NP x y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，N 到直线58y =-的距离为58y +．由题设得22135288x y y ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+．（Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．在Rt QMA △中，因为 222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2222(1)2||1x x k MA k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+．所以222222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++ . 2|1||2|||21x kx QA k++=+ ，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+ ．AB OQ y xl M AB OQ y xl M当2k =时，2||55||QB QA =， 从而所求直线l 方程为220x y -+=．解法二：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．过Q (10)-，垂直于l 的直线11:(1)l y x k =-+． 因为||||QA MH =，所以2|1||2|||21x kx QA k ++=+ ，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+． 当2k =时，2||55||QB QA =， 从而所求直线l 方程为220x y -+=．13、（2008年陕西文）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y k x=+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．x Ay 11 2 M N B O AB OQ yxl M Hl 1即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥ x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． 又222121212||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-2222114(1)11622k k k k ⎛⎫=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭． 22216111684k k k +∴=++ ，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．14、（2008年天津文）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，，一条渐近线的方程是520x y -=．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围． （Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，由题设得2295.2a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ② 将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．由题设可得 2219981254542km m k k =-- ． 整理得222(54)k m k-=，0k ≠．将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， 整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．解得502k <<或54k >． 所以k 的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∞，，，，∞． 15、（2008年上海文）已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．解：（1）所求渐近线方程为202y x -=，202y x +=． （2）设P 的坐标为00()x y ，，则Q 的坐标为00()x y --，． 0000(1)(1)MP MQ x y x y λ==----，，2220003122x y x =--+=-+．02x ≥，λ∴的取值范围是(]1-∞-，． （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率202k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，．由计算可得，当102k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，222()11s k k k=+-； 当1222k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，2221()1k s k k k k +=++． s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是2222211012()2112122k k k s k k k k k k ⎧+<⎪-⎪=⎨+⎪+<<⎪+⎩，≤，，． 16、（2008年重庆文）如图，(20)M -，和(20)N ，是平面上的两点，动点P 满足：2PM PN -=．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线12l x =：的距离，若22PM PN =，求PM d 的值．解：（Ⅰ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长22a =的双曲线． 因此半焦距2c =，实半轴1a =，从而虚半轴3b =，所以双曲线的方程为2213y x -=． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及答（21）图，易知1PN≥，因22PM PN=，①知PM PN >，故P 为双曲线右支上的点，所以2PM PN =+．② 将②代入①，得2220PN PN --=，解得1174PN ±=，舍去1174-，所以1174PN +=．因为双曲线的离心率2ce a==，直线12l x =：是双曲线的右准线，故2PNe d ==， 所以12d PN =，因此2244117PM PM PN PN d PN PN ====+．解法二：设()P x y ，．yxOP12l x =： (20)M -， (20)N ， yx答（21）图O Pld M N因1PN≥知222PM PN PN PN =>≥，故P 在双曲线右支上，所以1x ≥．由双曲线方程有2233y x =-． 因此22222(2)(2)33(21)21PM x y x x x x =++=++-=+=+，22222(2)(2)33441PN x y x x x x =-+=-+-=-+．从而由22PM PN =得2212(441)x x x +=-+，即281010x x -+=．所以5178x +=（舍去5178x -=）． 有917214PM x +=+=，111728d x +=-=．故91781174117PM d +==++ ．17、（2008年辽宁文）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4．设点P 的轨迹为C ． (Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点，.k 为何值时?OB OA ⊥此时|AB |的值是多少？解：（Ⅰ）设P （x ，y ）,由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0,3),(0,3)-为焦长，长半轴为2的椭圆.它的短半轴222(3)1,b =-=故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足 2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥ ．当12k =±时，12417x x += ，121217x x =-．2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-，而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=， 所以46517AB =。