2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编

08圆锥曲线

三、解答题(第二部分)

26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C ：22a

x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36

，过右

焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。

（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；

（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：OM ＝cos θ＋sin θ成立。

解：(1）设椭圆的焦距为2c ,因为36

=a c ，所以有322

22=-a

b a ，故有223b a =。从而椭圆C 的方程可化为：22233b y x =+ ① ………2分

易知右焦点F 的坐标为（0,2b ），

据题意有AB 所在的直线方程为：b x y 2-= ② ………3分 由①，②有：032642

2

=+-b bx x ③

设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有：

.4

2

2,423200210b b x y b x x x -=-==+=

所以3

1

00-==

x y K ON ，即为所求。 ………5分 (2）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数μλ,，使得等式μλ+=成立。设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：

),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，所以

2121,y y y x x x μλμλ+=+=。 ………7分

又点在椭圆

C

上，所以有

2

2212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理为

2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。 ④

由③有：4

3,2232

2121b x x b x x =?=+。所以

6936)(234)2)(2(332

2

2

2212121212121=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤

又A ﹑B 在椭圆上，故有22

222221213)3(,3)3(b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑤，⑥代入④可得：122=+μλ。 ………11分

对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式μλ+=成立，而122=+μλ

在直角坐标系y o x --中，取点P （μλ,），设以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，显然

θμθλsin ,cos ==。

也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在角θ（θ∈R ）使等式：＝cos θ＋sin θ成立。 27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

（1）求曲线C 的方程；

（2）过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线 ①当m 求直线时,1=λ的方程；

②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。

（1）解法一：设1|2|||),,(-+=y MF y x M 则由题设得，

…………1分

即

1|2|)1(22-+=-+y y x

当y x y y x y 4,1)1(,22

22=+=-+-≥化简得时；

…………3分 当,3)1(,22

2--=-+-

…………4分

化简得3882

-<+=y y x 与不合 故点M 的轨迹C 的方程是y x 42

=

…………5分

（1）解法二：2:)0,1(-=y l F M 的距离比它到直线

到点点 的距离小于1， ∴点M 在直线l 的上方，

点M 到F （1，0）的距离与它到直线1:-='y l 的距离相等

…………3分

为准线的抛物线为焦点是以的轨迹点l F C M '∴,

所以曲线C 的方程为y x 42

=

…………5分

（2）当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，

设直线m 的方程为)22(),2(2k kx y x k y -+=-=-即， 代入0)1(84422=-+-=k kx x y x 得 （☆）

…………6分

m R k k k 直线所以恒成立对,,0)22(162∈>+-=?与曲线C 恒有两个不同的交点

设交点A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ， 则)1(8,42121-==+k x x k x x

…………7分

①由的中点是弦得点且AB P 1,==λλ，

01,44,421=-∴===+∴y x m k k x x 的方程是直线得则

…………9分

②)22)(1(4]4))[(1()()(||22122122212212+-+=-++=-+-=k k k x x x x k y y x x AB 点O 到直线m 的距离2

1|22|k

k d +-=

，

242)1()1(422|1|4||2

1

-+-=+--=?=

∴?k k k k k d AB S ABO …………10分 24)1()1(4,2424=-+-∴=?k k S ABO ，

2)1(1)1(,02)1()1(2224-=-=-=--+-∴k k k k 或（舍去）

20==∴k k 或

…………12分

当,0时=k 方程（☆）的解为22± 若223122222,22,2221-=---=

-==λ则x x

若2232

22222,22,2221+=-+=

=-=λ则x x

…………13分

当,2时=k 方程（☆）的解为224± 若223222222,224,22421+=---=

-=+=λ则x x

若2232

22222,224,22421-=++-=+=-=λ则x x

…………14分

所以，223223-=+=λλ或

28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为()

3 1，=v 的直线l 过椭圆C ：x 2a 2＋y

2

b

2＝

1(a ＞b ＞0)的焦点以及点(0，32-)，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上。

⑴求椭圆C 的方程。

⑵过点E(-2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足0cot 63

4

≠∠=?MON ON OM ，(O 为坐标原点)，求直线m 的方程。

解：⑴直线: l y =-l

的直线方程为y =② 解①②得3

2

x =

，∵椭圆中心O(0，0)关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上， ∴23

232

a c =?=， …………………（2分） ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，∴222, 6, 2c a

b ===，

故椭圆C 的方程为22

162

x y += ③…………………（4分）

⑵当直线m 的斜率存在时，设: (2)m y k x =+ ，代入③并整理得

2222(31)121260k x k x k +++-=，设1122(,) (,)M x y N x y ，

， 则2212122212126

, 3131

k k x x x x k k -+=?=++……………（5分）

∴2122

)31

k MN x k +=-==+，……（7分） 点O 到直线m

的距离d =

∵OM ON MON ?=∠

，即cos cos sin MON OM ON MON MON

∠?∠=∠ ，

又由0≠?ON OM 得 cos 0MON ∠≠，

∴

sin OMN OM ON MON S ?∠== 9分） 而12OMN S MN d =?

，∴MN d ?=

=，

解得3k =±

，此时: 2)3

m y x =±+ …………………………………（11分） 当直线m 的斜率不存在时，: 2m x =-

，也有OMN S = 经检验，上述直线m 均满足0OM ON ?≠

，

故直线m 的方程为

20 2x x +==-或

29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知12(2, 0), (2, 0)F F -，点

P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E .

（Ⅰ）求轨迹E 的方程；

（Ⅱ）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.

（i ）设点(, 0)M m ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ?=

成立？若

存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. （ii ）过P 、Q 作直线12x =

的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记||||||

PA QB AB λ+=，求λ的取值范

围.

解：（Ⅰ）由12||||2PF PF -=<12||F F 知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，

由2,22c a ==，∴2

3b =，故轨迹E 的方程为).1(13

2

2

≥=-x y x …（3分） （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得

0344)3(2222=++--k x k x k ，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，

∴2212

2212230

403430

3k k x x k k x x k ?-≠?

?>???+=>-?

?+??=>-?

， 解得23k > ………………………………………（5分） （i ）∵1212()()MP MQ x m x m y y ?=--+

212122222121222222222()()(2)(2)

(1)(2)()4(1)(43)4(2)433

x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k

k k =--+--=+-+++++++=-++--

2

22

3(45)3

m k m k -+=+-……………………（7分） 假设存在实数m ，使得0MP MQ ?=

，

故得2223(1)(45)0m k m m -+--=对任意的32

>k 恒成立，

∴2

210450

m m m ?-=??--=??，解得 1.m =-

∴当1m =-时，0MP MQ ?=

.

当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)P Q -及(1,0)M -知结论也成立，

综上，存在1m =-，使得0MP MQ ?=

. …………………………………………（8分）

（ii ）∵1,2a c ==，∴直线1

2x =

是双曲线的右准线，…………………………（9分） 由双曲线定义得：2211||||||2PA PF PF e ==，21

||||2

QB QF =，

方法一：

∴21||

2||PQ AB λ==

21=

2||k == …………………………………………（10分）

∵2

3k >，∴21103k <

<

，∴12λ<<………………………………………（11分） 注意到直线的斜率不存在时，2

1

|,|||=

=λ此时AB PQ ， 综上，.33,21?

??

?

???∈λ ………………………………………………………………（12分） 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ

与双曲线右支有二个交点，∴

23

3

π

π

θ<<

，过Q 作QC PA ⊥，垂足为C ，则||2

PQC π

θ∠=-，

∴||||

2||2||

PQ PQ AB CQ λ=

=11

2sin 2cos()

2

π

θ

θ==

-

……………………………………………………（10分） 由

23

3π

πθ<<

sin 1,θ<≤

故：1

2λ?∈???

30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的离心率e ＝2，且1B 、2

B 分别是双曲线虚轴的上、下端点

（Ⅰ）若双曲线过点Q （2，3），求双曲线的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若M 、N 是双曲线上不同的两点，且2221,B M B N B M B N λ=⊥

，求直线MN 的

方程

解：（Ⅰ）∵双曲线方程为 2),0,0(122

22=>>=-e b a b

y a x

∴2

2223,2a a c b a c =-==，

∴双曲线方程为 132

2

22=-

a y a x ，又曲线C 过点Q （2，3）， ∴9,3,13342

22

2===-b a a

a ∴双曲线方程为 .19

32

2=-y x ………………5分 （Ⅱ）∵22B M B N λ=

，∴M、B 2、N 三点共线

∵21B M B N ⊥ , ∴1MN B N ⊥

（1）当直线MN 垂直x 轴时，不合题意

（2）当直线MN 不垂直x 轴时，由B 1（0，3），B 2（0，－3）， 可设直线MN 的方程为3-=kx y ，①

∴直线1B N 的方程为 .31

+-

=x k

y ② 由①，②知 22

2633

(,),11

k k N k k -++ 代入双曲线方程得 9)

1()1(9)1(3632

222222=+--+?k k k k ，得0162

4=+-k k ， 解得

2

3k =±

1)k =±， 故直线MN 的方程为

1)3y x =±-

31、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点为F 1、F 2，

离心率为e . 直线a ex y l +=:与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设.AB AM λ= （Ⅰ）证明：2

1e -=λ； （Ⅱ）若21,4

3

F PF ?=

λ的周长为6；写出椭圆C 的方程. 解：（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线x a ex y l 与+=:轴、y 轴的交点，

所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e

a

-

…………2分 由2222222 1b a c a b y c x b y a

x a ex y +=?????=

-=?????=++=这里得 …………4分 所以点M 的坐标是).,(),(,),(22a e

a

a b c e a AB AM a b c λλ=-=-得。由

即 22

1e a a

b e

a c e a

-=???????==-λλλ，解得 ………………6分 证法二：因为A 、B 分别是直线x a ex y l 与+=:轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是

).,0(),0,(a e a

- ………………2分 设M 的坐标是).,(),(),(0000a e

a

y e a x AM y x λλ=+=得，

，由

????

?

=-=.

)

1(00a y e a x λλ ………………4分 因为点M 在椭圆上，所以 122

220=+b

y a x

即 .11)1(1)()]1([2

2222222

=-+-=+-e

e b a a e a

λλλλ，所以 .110)1()1(222224e e e e -=-==-+--λλλλ，即，解得 …………6分

（Ⅱ）当21 .22

1

43F MF c a c ?===

由，所以时，λ的周长为6，得622=+c a 所以.13

4 .3,1,22

22

2

2

=+=-===y x c a b c a 椭圆方程 32、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆，

（Ⅰ）求定点N 的坐标；

（Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：

① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2．

解：（1）因为抛物线px y 22=的准线的方程为2-=x

所以4=p ，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点， -----------2分 所以定点N 的坐标为)0,2( ----------------------------3分 （2）假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在， -----------4分 设l 的方程为)4(1-=-x k y ，()1±≠k ------------------------5分 以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆N 的半径为2， ----6分 方法1：因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -------7分 即111

22

=+-=

k k d ，解得34

0或=k ， -------------------------------8分

当0=k 时，显然不合AB 中点为)1,4(E 的条件，矛盾！ --------------9分 当3

4

=

k 时，l 的方程为01334=--y x ----------------------------10分

由??

?==--x

y y x 0

1334，解得点A 坐标为()13,13， ------------------11分

由???-==--x

y y x 01334，解得点B 坐标为??? ??-713,713， ------------------12分

显然AB 中点不是)1,4(E ，矛盾！ ----------------------------------13分 所以不存在满足条件的直线l ． ------------------------------------14分

方法2：由?

??=-=-x y x k y )4(1，解得点A 坐标为???

??----114,114k k k k ， ------7分

由??

?-=-=-x

y x k y )4(1，解得点B 坐标为???

??+--+-k k k k 114,114， ------------8分

因为AB 中点为)1,4(E ，所以

81

1

4114=+-+--k k k k ，解得4=k ， ---------10分 所以l 的方程为0154=--y x ，

圆心N 到直线l 的距离

17

17

7， -------------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ----13分

所以不存在满足条件的直线l ． -------------------------------------14分 方法3：假设A 点的坐标为),(a a ，

因为AB 中点为)1,4(E ，所以B 点的坐标为)2,8(a a --， -------------8分 又点B 在直线x y -=上，所以5=a ， ----------------------------9分 所以A 点的坐标为)5,5(，直线l 的斜率为4，

所以l 的方程为0154=--y x ， -----------------------------10分

圆心N 到直线l 的距离

17

17

7， -----------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分 所以不存在满足条件的直线l ．

33、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知圆C ：224x y +=.

（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程;

（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+

，求动点

Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，

y

2=4y

l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()

3,1-，其距离为32，满足题意……… 2分

②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，

即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1

|2|12++-=

k k ，3

4

k =

， 故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分

（Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,,则N 点坐标是()0,0y …… 7分

∵OQ OM ON =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，2

0y

y = …………9分

又∵420

20

=+y x ，∴44

2

2

=+y x …………………………… 10分 由已知，直线m ∥ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分

∴Q 点的轨迹方程是

22

1(0)164

y x y +

=≠，…………………… 12分 轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆， 并去掉(2,0)±两点。

34、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？

解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C 是以原点为顶点，F (0,1)

为焦点的抛物线………………………………2分

∵

12

p

= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2

4x y =………4分

（2）设圆的圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)，

∴圆的方程为 2222()()(2)x a y b a b -+-=+- ……………………………7分 令0y =得：2

2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x 方法1：不妨设12

x x >，

1x =

2x =…………………………10分

∴12x x -=

又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2

4a b =，

∴ 124x x -=，即EG ＝4--------------------------------------------------------13分 ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2：∵122x x a +=，1244x x b ?=- ∴

22121212()()4x x x x x x -=+-?22(2)4(44)41616a b a b =--=-+

又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2

4a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -= ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕

35、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与椭圆2223(0)x y a a +=>相交于A 、

B 两个不同的点，与x 轴相交于点

C ，记O 为坐标原点.

（1）证明：2

2

2

3.3k a k

>+； （2）若OAB ?=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程． （1）证明：由 (1)y k x =+得1

1.x y k

=

- 将1

1x y k =

-代入2223x y a +=消去x 得 22

236(1)30.y y a k k

+-+-= ① ………………………… 3分

由直线l 与椭圆相交于两个不同的点得

222363

4(1)(3)0,

a k k

?=-+->整理得223(1)3a k +>，即22

2

3.3k a k

>+ ………5分 （2）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得122

63k

y y k +=

+

∵2,AC CB =

而点(1,0)C -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+

得122y y =-代入上式，得22

6.3k

y k -=+ ……………8分 于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-?

=

29||32

k k =≤=+--------11分 其中，上式取等号的条件是23,k =

即k = ……………………12分 由22

6.3k

y k -=

+

可得2y =

将2k y ==

2k y ==2

15.a =

∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是22315.x y +=

36、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟考试)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；

（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

则?????==??

???=+=28

11

422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12

82

2=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =

2

1 m x y l +=

∴2

1

的方程为：……………………………………………………5分 由0422128

212

22

2

=-++∴???????=++=m m x x y x m x y ……………………………………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，

分

且解得8...........................................................0,22,

0)42(4)2(22≠<<->--=?∴m m m m

（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可…………9分 设42,2),,(),,(2

21212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且……………………10分

则2

1

,21222111--=

--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x

42,222121-=-++m x x m x x ……………………………………………………10分

而)2)(2()

2)(1()2()1(2121211221221121----+---=

--+--=+x x x y x y x y x y k k )

2)(2()1(4)2)(2(42)

2)(2()

1(4))(2()2)(2()

2)(121

()2)(12

1(212212*********------+-=

----+++=

----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x

13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分

故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分

37、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率为36

，F

为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M 、N 两点在椭圆C 上，且)0(>=λλFN MF ，定点A （－4，0）. （1）求证：当1=λ时.，⊥； （2）若当1=λ时有3

106

=

?AN AM ，求椭圆C 的方程； （3）在（2）的条件下，当M 、N 两点在椭圆C 运动时，当MAN ∠??tan 的值为

, 求出直

线MN 的方程.

解：（1）设)0,(),,(),,(2211c F y x N y x M ， 则),(),,(2211y c x NF y x c MF -=--=，

当1=λ时，c x x y y 2,,2121=+=-∴=，

由M ，N 两点在椭圆上，2

22122

22222212

2

1

),1(),1(x x b

y a x b y a x =∴-=-=∴

若21x x -=，则c x x 2021≠=+（舍去），21x x =∴ （4分）

.),0,4(),2,0(2c y ⊥∴+==∴ 。（5分）

（2）当1=λ时，不妨设242

22)4(),,(),,(a

b c a b c N a b c M -+=?∴- （6分）

又3

106

16865,2,2322222

=

++∴==c c c b c a ，2=∴c ， （8分） 椭圆C 的方程为.12

62

2=+y x 。 （9分）

（3）因为||||2tan N M AMN y

y AF S MAN -==∠???（10

分）

由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|y M -y N （11

分）

当MN ⊥

x 轴时, |y M -y N |=|MN|=22b a =≠故直线MN 的斜率存在, （12分）

不妨设直线MN 的方程为)0(),2(≠-=k x k y 联立?

????=+-=126

)2(2

2y

x x k y ，得024)31(2

22=-++k ky y k ， 2

2

4312424|

|k k k y y N M ++=

-∴解得k=±1。 此时，直线的MN 方程为02=--y x ，或02=-+y x 。 （14分） 38、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l :1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥. (Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程；

(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、

CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，．求证：直线MN 必过定点)0,3(R ．

解：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为：1x =-．点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．…………………….2分 ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．

∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =．…………4分

故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：2

4(0)y x x =>． ……….7分 (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，直线AB 的方程为)1(-=x k y …………….8分

则?????==)2(4)1(422B

B A

A x y x y

（1）—（2）得k y y B A 4=+，即k

y M 2

=，……………………………………9分

代入方程)1(-=x k y ，解得12

2+=k

x M ．

所以点Ｍ的坐标为222

(1,)k k

+．……………………………………10分

同理可得：N 的坐标为2(21,2)k k +-．

直线MN 的斜率为2

1k k

x x y y k N M N M MN -=

--=，方程为 )12(1222

---=+k x k

k k y ，整理得)3()1(2

-=-x k k y ，………………12分 显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，

所以直线MN 恒过定点R (3,0)． (14)

39、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 的斜率之积为34

-．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点1,02??

???

作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的

取值范围．

解：（Ⅰ）依题意，有3

224

PA PB y y k k x x ?=

?=--+（2x ≠±）

，化简得 22

143

x y +=（2x ≠±）， 这就是动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）依题意，可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --，则有

22

22

()()143()()14

3x m y n x m y n ?+++=???--?+=??， 两式相减，得

4430

01

4342

EF mx n n x y k m y x -+=?==-=

-，由此得点M 的轨迹方程为 226830x y x +-=（0x ≠）．

设直线MA ：2x my =+（其中1

m k

=

），则 22

22

2(68)211806830

x my m y my x y x =+??+++=?+-=?，

故由22(21)72(68)0||8m m m ?=-+≥?≥，即

18k ≥，解之得k 的取值范围是11,88??-????

． 40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，-10) （1）求双曲线方程；

（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； （3）求△F 1MF 2的面积. 解：（1） ∵离心率e=2

∴设所求双曲线方程为x 2

-y 2

=λ(λ≠0)

则由点(4，-10)在双曲线上 知λ=42

-(-10)2

=6

∴双曲线方程为x 2-y 2

=6

（2）若点M(3,m)在双曲线上

则32

-m 2

=6 ∴m 2

=3

由双曲线x 2

-y 2

=6知F 1(23,0),F 2(-23,0)

∴09)32()332,)(332,(2221=-+=+---=?m m m MF MF ∴21MF MF ⊥,故点M 在以F 1F 2为直径的双曲线上. （3）22MF F S ?=

2

1

×2C ×|M|=C|M|=23×3=6 41、(广东省五校2008年高三上期末联考)椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =

2

2

，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λ

．

（1）求椭圆方程；

（2）若OA ＋OB ＝ 4OP λ

，求m 的取值范围．

解：（1）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，c a ＝2

2

，

∴a ＝1，b ＝c ＝

2

2

， 故C 的方程为：y 2

＋x 2

12＝1 ………………………………………4分

（2）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ，

∴λ＋1＝4，λ＝3 ………………………………………………6分 设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）

????

?

y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1

得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0

Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*）

x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2

………………………………………………9分

∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴?

????

x 1＋x 2＝－2x 2

x 1x 2＝－3x 2

2 消去x 2，得3（x 1＋x 2）2

＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1

k 2＋2

＝0

整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 ………………………………………………11分

m 2

＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 2

4m 2－1， 因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2

＝2－2m 24m 2－1

>0，∴－1

2

容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立

即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1

2

，1） ………………………14分

42、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为

4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.

(1)求抛物线方程；

(2)过M 作MN⊥FA，垂足为N ，求点N 的坐标。 解：(1)抛物线y 2

=2p x 的准线为x = -2p ，于是4+2

p

=5，∴p =2. ∴抛物线方程为y 2

=4x ……6分

(2)∵点A 是坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)， 又∵F(1，0)，∴k FA =34；MN⊥FA，∴k MN =-4

3， 则FA 的方程为y =

34(x -1)，MN 的方程为y -2= -43

x ， y =34(x -1) x =5

8

解方程组 ，得 y-2= -43x y =5

4

∴N 的坐标(

58，5

4

)…….12分

43、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)设向量(0,2),(1,0)a b ==

，过定点(0,2)A -，以a b λ+ 方向向量的直线与经过点(0,2)B ，以向量2b a λ-

为方向向量的直线相交于点P ，其中R λ∈

（1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）设过(1,0)E 的直线l 与C 交于两个不同点M 、N ，求EM EN ?

的取值范围

解：（1）设(,)P x y ∵(0,2),(1,0)a b ==

，

∴(0,2)(1,0)(,2)a b λλλ+=+= ，2(1,0)2(0,2)(1,4)b a λλλ-=-=-

2分 过定点(0,2)A -，以a b λ+

方向向量的直线方程为：2(2)0x y λ-+=

过定点(0,2)P ，以2b a λ-

方向向量的直线方程为：420x y λ+-=

联立消去λ得：2284x y +=∴求点P 的轨迹C 的方程为2284x y += 6分 （2）当过(1,0)E 的直线l 与x 轴垂直时，l 与曲线C 无交点，不合题意，

∴设直线l 的方程为：(1)y k x =-，l 与曲线C 交于1122(,)(,)M x y N x y 、

由222222

(1)8)24084

y k x k x k x k x y =-??+-+-=?+=?(

4222122

2122

44(8)(4)02848k k k k k x x k k x x k ?

?=-+->?-<

+=?+?

?-=?+? 1122(1,),(1,)EM x y EN x y =-=- ∴1122121212(1,)(1,)1EM EN x y x y x x x x y y ?=-?-=--++

22

2

2

1212121222421(1)(1)(1)

88

k k x x x x k x x x x k k k -=--++--+=+-+++222

4(1)28488

k k k +==-++ ∵

2

08k ≤<，∴EM EN ? 的取值范围是19

[,)24

44、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知曲线C 的方程为：22

(4)1()kx k y k k R +-=+∈ （1）若曲线C 是椭圆，求K 的取值范围；

（2）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为

3

π

，求此双曲线的方程. 解：（1）当014k k k ≠≠-≠且且时,方程为:

22

1114x y k k k k

+=++-

它表示椭圆的充要条件是101

002244114k k k k k k k k k k +?>??

+?>?<<<

++?≠?-?

或 （2）方程表示双曲线的充要条件是：

4011041

1><<--

k k k 或或 当14k k <->或时两焦点在x 轴上:2

211,4

k k a b k k ++==-

其一条渐近线斜率为：b

a

=∈∞解得:k=6(4,+)

此时双曲线的方程为：22

17762

x y -= 当10k -<<时，双曲线焦点在y 轴上：2

211

,4k k a b k k

++==--

其一条渐近线斜率为：

b

a

=?解得:k=6(-1,0) 综上可得双曲线方程为：22

17762

x y -= 45、(河北衡水中学2008年第四次调考)如图所示，已知圆()2

2

3100x y ++=，定点A （3,0），M 为圆C 上一

动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0AM AP NP AM ==

，点N 的轨迹为曲线E 。

（1）求曲线E 的方程；

（2）求过点Q （2,1）的弦的中点的轨迹方程。

解：（1）∵2,0AM AP NP AM ==

∴NP 为AM 的中垂线，NA NM = …………2分

又因为10CN NM +=，所以106CN NA +=> 所以动点N 的轨迹是以点(3,0)C -和(3,0)A 为焦点的椭圆， 且210a = …………4分

所以曲线E 的方程为：

22

12516

x y +=； …………6分 （2）设直线与椭圆交与1122(,),(,)G x y H x y 两点，中点为00(,)S x y 由点差法可得：弦的斜率0121212120

1616()

25()25x y y x x k x x y y y -+=

=-=-

-+…………8分