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2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-083圆锥曲线解答题b

2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编

08圆锥曲线

三、解答题(第二部分)

26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C :22a

x +22b y =1(a >b >0)的离心率为36

,过右

焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ,B 两点,N 为弦AB 的中点。

(1)求直线ON (O 为坐标原点)的斜率K ON ;

(2)对于椭圆C 上任意一点M ,试证:总存在角θ(θ∈R )使等式:OM =cos θ+sin θ成立。

解:(1)设椭圆的焦距为2c ,因为36

=a c ,所以有322

22=-a

b a ,故有223b a =。从而椭圆C 的方程可化为:22233b y x =+ ① ………2分

易知右焦点F 的坐标为(0,2b ),

据题意有AB 所在的直线方程为:b x y 2-= ② ………3分 由①,②有:032642

2

=+-b bx x ③

设),(),,(2211y x B y x A ,弦AB 的中点),(00y x N ,由③及韦达定理有:

.4

2

2,423200210b b x y b x x x -=-==+=

所以3

1

00-==

x y K ON ,即为所求。 ………5分 (2)显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量OM ,有且只有一对实数μλ,,使得等式μλ+=成立。设),(y x M ,由1)中各点的坐标有:

),(),(),(2211y x y x y x μλ+=,所以

2121,y y y x x x μλμλ+=+=。 ………7分

又点在椭圆

C

上,所以有

2

2212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理为

2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。 ④

由③有:4

3,2232

2121b x x b x x =?=+。所以

6936)(234)2)(2(332

2

2

2212121212121=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤

又A ﹑B 在椭圆上,故有22

222221213)3(,3)3(b y x b y x =+=+ ⑥ 将⑤,⑥代入④可得:122=+μλ。 ………11分

对于椭圆上的每一个点M ,总存在一对实数,使等式μλ+=成立,而122=+μλ

在直角坐标系y o x --中,取点P (μλ,),设以x 轴正半轴为始边,以射线OP 为终边的角为θ,显然

θμθλsin ,cos ==。

也就是:对于椭圆C 上任意一点M ,总存在角θ(θ∈R )使等式:=cos θ+sin θ成立。 27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

(1)求曲线C 的方程;

(2)过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线 ①当m 求直线时,1=λ的方程;

②当△AOB 的面积为24时(O 为坐标原点),求λ的值。

(1)解法一:设1|2|||),,(-+=y MF y x M 则由题设得,

…………1分

1|2|)1(22-+=-+y y x

当y x y y x y 4,1)1(,22

22=+=-+-≥化简得时;

…………3分 当,3)1(,22

2--=-+-

…………4分

化简得3882

-<+=y y x 与不合 故点M 的轨迹C 的方程是y x 42

=

…………5分

(1)解法二:2:)0,1(-=y l F M 的距离比它到直线

到点点 的距离小于1, ∴点M 在直线l 的上方,

点M 到F (1,0)的距离与它到直线1:-='y l 的距离相等

…………3分

为准线的抛物线为焦点是以的轨迹点l F C M '∴,

所以曲线C 的方程为y x 42

=

…………5分

(2)当直线m 的斜率不存在时,它与曲线C 只有一个交点,不合题意,

设直线m 的方程为)22(),2(2k kx y x k y -+=-=-即, 代入0)1(84422=-+-=k kx x y x 得 (☆)

…………6分

m R k k k 直线所以恒成立对,,0)22(162∈>+-=?与曲线C 恒有两个不同的交点

设交点A ,B 的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A , 则)1(8,42121-==+k x x k x x

…………7分

①由的中点是弦得点且AB P 1,==λλ,

01,44,421=-∴===+∴y x m k k x x 的方程是直线得则

…………9分

②)22)(1(4]4))[(1()()(||22122122212212+-+=-++=-+-=k k k x x x x k y y x x AB 点O 到直线m 的距离2

1|22|k

k d +-=

242)1()1(422|1|4||2

1

-+-=+--=?=

∴?k k k k k d AB S ABO …………10分 24)1()1(4,2424=-+-∴=?k k S ABO ,

2)1(1)1(,02)1()1(2224-=-=-=--+-∴k k k k 或(舍去)

20==∴k k 或

…………12分

当,0时=k 方程(☆)的解为22± 若223122222,22,2221-=---=

-==λ则x x

若2232

22222,22,2221+=-+=

=-=λ则x x

…………13分

当,2时=k 方程(☆)的解为224± 若223222222,224,22421+=---=

-=+=λ则x x

若2232

22222,224,22421-=++-=+=-=λ则x x

…………14分

所以,223223-=+=λλ或

28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为()

3 1,=v 的直线l 过椭圆C :x 2a 2+y

2

b

2=

1(a >b >0)的焦点以及点(0,32-),椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上。

⑴求椭圆C 的方程。

⑵过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于点M 、N ,且满足0cot 63

4

≠∠=?MON ON OM ,(O 为坐标原点),求直线m 的方程。

解:⑴直线: l y =-l

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的直线方程为y =② 解①②得3

2

x =

,∵椭圆中心O(0,0)关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上, ∴23

232

a c =?=, …………………(2分) ∵直线l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0),∴222, 6, 2c a

b ===,

故椭圆C 的方程为22

162

x y += ③…………………(4分)

⑵当直线m 的斜率存在时,设: (2)m y k x =+ ,代入③并整理得

2222(31)121260k x k x k +++-=,设1122(,) (,)M x y N x y ,

, 则2212122212126

, 3131

k k x x x x k k -+=?=++……………(5分)

∴2122

)31

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k MN x k +=-==+,……(7分) 点O 到直线m

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的距离d =

∵OM ON MON ?=∠

,即cos cos sin MON OM ON MON MON

∠?∠=∠ ,

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又由0≠?ON OM 得 cos 0MON ∠≠,

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sin OMN OM ON MON S ?∠== 9分) 而12OMN S MN d =?

,∴MN d ?=

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=,

解得3k =±

,此时: 2)3

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m y x =±+ …………………………………(11分) 当直线m 的斜率不存在时,: 2m x =-

,也有OMN S = 经检验,上述直线m 均满足0OM ON ?≠

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故直线m 的方程为

20 2x x +==-或

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29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知12(2, 0), (2, 0)F F -,点

P 满足12||||2PF PF -=,记点P 的轨迹为E .

(Ⅰ)求轨迹E 的方程;

(Ⅱ)若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.

(i )设点(, 0)M m ,问:是否存在实数m ,使得直线l 绕点2F 无论怎样转动,都有0MP MQ ?=

成立?若

存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由. (ii )过P 、Q 作直线12x =

的垂线PA 、QB ,垂足分别为A 、B ,记||||||

PA QB AB λ+=,求λ的取值范

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围.

解:(Ⅰ)由12||||2PF PF -=<12||F F 知,点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支,

由2,22c a ==,∴2

3b =,故轨迹E 的方程为).1(13

2

2

≥=-x y x …(3分) (Ⅱ)当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程为(2)y k x =-,与双曲线方程联立消y 得

0344)3(2222=++--k x k x k ,设11(,)P x y 、22(,)Q x y ,

∴2212

2212230

403430

3k k x x k k x x k ?-≠?

?>???+=>-?

?+??=>-?

, 解得23k > ………………………………………(5分) (i )∵1212()()MP MQ x m x m y y ?=--+

212122222121222222222()()(2)(2)

(1)(2)()4(1)(43)4(2)433

x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k

k k =--+--=+-+++++++=-++--

2

22

3(45)3

m k m k -+=+-……………………(7分) 假设存在实数m ,使得0MP MQ ?=

故得2223(1)(45)0m k m m -+--=对任意的32

>k 恒成立,

∴2

210450

m m m ?-=??--=??,解得 1.m =-

∴当1m =-时,0MP MQ ?=

.

当直线l 的斜率不存在时,由(2,3),(2,3)P Q -及(1,0)M -知结论也成立,

综上,存在1m =-,使得0MP MQ ?=

. …………………………………………(8分)

(ii )∵1,2a c ==,∴直线1

2x =

是双曲线的右准线,…………………………(9分) 由双曲线定义得:2211||||||2PA PF PF e ==,21

||||2

QB QF =,

方法一:

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∴21||

2||PQ AB λ==

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21=

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2||k == …………………………………………(10分)

∵2

3k >,∴21103k <

<

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,∴12λ<<………………………………………(11分) 注意到直线的斜率不存在时,2

1

|,|||=

=λ此时AB PQ , 综上,.33,21?

??

?

???∈λ ………………………………………………………………(12分) 方法二:设直线PQ 的倾斜角为θ,由于直线PQ

与双曲线右支有二个交点,∴

23

3

π

π

θ<<

,过Q 作QC PA ⊥,垂足为C ,则||2

PQC π

θ∠=-,

∴||||

2||2||

PQ PQ AB CQ λ=

=11

2sin 2cos()

2

π

θ

θ==

-

……………………………………………………(10分) 由

23

πθ<<

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sin 1,θ<≤

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故:1

2λ?∈???

30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的离心率e =2,且1B 、2

B 分别是双曲线虚轴的上、下端点

(Ⅰ)若双曲线过点Q (2,3),求双曲线的方程;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若M 、N 是双曲线上不同的两点,且2221,B M B N B M B N λ=⊥

,求直线MN 的

方程

解:(Ⅰ)∵双曲线方程为 2),0,0(122

22=>>=-e b a b

y a x

∴2

2223,2a a c b a c =-==,

∴双曲线方程为 132

2

22=-

a y a x ,又曲线C 过点Q (2,3), ∴9,3,13342

22

2===-b a a

a ∴双曲线方程为 .19

32

2=-y x ………………5分 (Ⅱ)∵22B M B N λ=

,∴M、B 2、N 三点共线

∵21B M B N ⊥ , ∴1MN B N ⊥

(1)当直线MN 垂直x 轴时,不合题意

(2)当直线MN 不垂直x 轴时,由B 1(0,3),B 2(0,-3), 可设直线MN 的方程为3-=kx y ,①

∴直线1B N 的方程为 .31

+-

=x k

y ② 由①,②知 22

2633

(,),11

k k N k k -++ 代入双曲线方程得 9)

1()1(9)1(3632

222222=+--+?k k k k ,得0162

4=+-k k , 解得

2

3k =±

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1)k =±, 故直线MN 的方程为

1)3y x =±-

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31、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知椭圆C :)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点为F 1、F 2,

离心率为e . 直线a ex y l +=:与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设.AB AM λ= (Ⅰ)证明:2

1e -=λ; (Ⅱ)若21,4

3

F PF ?=

λ的周长为6;写出椭圆C 的方程. 解:(Ⅰ)证法一:因为A 、B 分别是直线x a ex y l 与+=:轴、y 轴的交点,

所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e

a

-

…………2分 由2222222 1b a c a b y c x b y a

x a ex y +=?????=

-=?????=++=这里得 …………4分 所以点M 的坐标是).,(),(,),(22a e

a

a b c e a AB AM a b c λλ=-=-得。由

即 22

1e a a

b e

a c e a

-=???????==-λλλ,解得 ………………6分 证法二:因为A 、B 分别是直线x a ex y l 与+=:轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是

).,0(),0,(a e a

- ………………2分 设M 的坐标是).,(),(),(0000a e

a

y e a x AM y x λλ=+=得,

,由

????

?

=-=.

)

1(00a y e a x λλ ………………4分 因为点M 在椭圆上,所以 122

220=+b

y a x

即 .11)1(1)()]1([2

2222222

=-+-=+-e

e b a a e a

λλλλ,所以 .110)1()1(222224e e e e -=-==-+--λλλλ,即,解得 …………6分

(Ⅱ)当21 .22

1

43F MF c a c ?===

由,所以时,λ的周长为6,得622=+c a 所以.13

4 .3,1,22

22

2

2

=+=-===y x c a b c a 椭圆方程 32、(广东省佛山市2008年高三教学质量检测一)抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ,该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到定点N 的距离相等,圆N 是以N 为圆心,同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆,

(Ⅰ)求定点N 的坐标;

(Ⅱ)是否存在一条直线l 同时满足下列条件:

① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点,且AB 中点为)1,4(E ; ② l 被圆N 截得的弦长为2.

解:(1)因为抛物线px y 22=的准线的方程为2-=x

所以4=p ,根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点, -----------2分 所以定点N 的坐标为)0,2( ----------------------------3分 (2)假设存在直线l 满足两个条件,显然l 斜率存在, -----------4分 设l 的方程为)4(1-=-x k y ,()1±≠k ------------------------5分 以N 为圆心,同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆N 的半径为2, ----6分 方法1:因为l 被圆N 截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1, -------7分 即111

22

=+-=

k k d ,解得34

0或=k , -------------------------------8分

当0=k 时,显然不合AB 中点为)1,4(E 的条件,矛盾! --------------9分 当3

4

=

k 时,l 的方程为01334=--y x ----------------------------10分

由??

?==--x

y y x 0

1334,解得点A 坐标为()13,13, ------------------11分

由???-==--x

y y x 01334,解得点B 坐标为??? ??-713,713, ------------------12分

显然AB 中点不是)1,4(E ,矛盾! ----------------------------------13分 所以不存在满足条件的直线l . ------------------------------------14分

方法2:由?

??=-=-x y x k y )4(1,解得点A 坐标为???

??----114,114k k k k , ------7分

由??

?-=-=-x

y x k y )4(1,解得点B 坐标为???

??+--+-k k k k 114,114, ------------8分

因为AB 中点为)1,4(E ,所以

81

1

4114=+-+--k k k k ,解得4=k , ---------10分 所以l 的方程为0154=--y x ,

圆心N 到直线l 的距离

17

17

7, -------------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,矛盾! ----13分

所以不存在满足条件的直线l . -------------------------------------14分 方法3:假设A 点的坐标为),(a a ,

因为AB 中点为)1,4(E ,所以B 点的坐标为)2,8(a a --, -------------8分 又点B 在直线x y -=上,所以5=a , ----------------------------9分 所以A 点的坐标为)5,5(,直线l 的斜率为4,

所以l 的方程为0154=--y x , -----------------------------10分

圆心N 到直线l 的距离

17

17

7, -----------------------------11分 因为l 被圆N 截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,矛盾! ---------13分 所以不存在满足条件的直线l .

33、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知圆C :224x y +=.

(1)直线l 过点()1,2P ,且与圆C 交于A 、B 两点,若||AB =l 的方程;

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(2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ,设m 与y 轴的交点为N ,若向量OQ OM ON =+

,求动点

Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

解(Ⅰ)①当直线l 垂直于x 轴时,则此时直线方程为1=x ,

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y

2=4y

l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()

3,1-,其距离为32,满足题意……… 2分

②若直线l 不垂直于x 轴,设其方程为()12-=-x k y ,

即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分 设圆心到此直线的距离为d ,则24232d -=,得1=d ∴1

|2|12++-=

k k ,3

4

k =

, 故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分 综上所述,所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分

(Ⅱ)设点M 的坐标为()00,y x ,Q 点坐标为()y x ,,则N 点坐标是()0,0y …… 7分

∵OQ OM ON =+ ,∴()()00,,2x y x y = 即x x =0,2

0y

y = …………9分

又∵420

20

=+y x ,∴44

2

2

=+y x …………………………… 10分 由已知,直线m ∥ox 轴,所以,0y ≠,…………………………… 11分

∴Q 点的轨迹方程是

22

1(0)164

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y x y +

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=≠,…………………… 12分 轨迹是焦点坐标为12(0,F F -,长轴为8的椭圆, 并去掉(2,0)±两点。

34、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1,记点P 的轨迹为曲线C .

(1)求点P 的轨迹方程;

(2)设圆M 过A (0,2),且圆心M 在曲线C 上,EG 是圆M 在x 轴上截得的弦,试探究当M 运动时,弦长EG 是否为定值?为什么?

解:(1)依题意知,动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离,曲线C 是以原点为顶点,F (0,1)

为焦点的抛物线………………………………2分

12

p

= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2

4x y =………4分

(2)设圆的圆心为(,)M a b ,∵圆M 过A (0,2),

∴圆的方程为 2222()()(2)x a y b a b -+-=+- ……………………………7分 令0y =得:2

2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ,2(,0)x 方法1:不妨设12

x x >,

1x =

2x =…………………………10分

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∴12x x -=

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又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上,∴2

4a b =,

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∴ 124x x -=,即EG =4--------------------------------------------------------13分 ∴当M 运动时,弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2:∵122x x a +=,1244x x b ?=- ∴

22121212()()4x x x x x x -=+-?22(2)4(44)41616a b a b =--=-+

又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上,∴2

4a b =, ∴ 212()16x x -= 124x x -= ∴当M 运动时,弦长EG 为定值4〕

35、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与椭圆2223(0)x y a a +=>相交于A 、

B 两个不同的点,与x 轴相交于点

C ,记O 为坐标原点.

(1)证明:2

2

2

3.3k a k

>+; (2)若OAB ?=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程. (1)证明:由 (1)y k x =+得1

1.x y k

=

- 将1

1x y k =

-代入2223x y a +=消去x 得 22

236(1)30.y y a k k

+-+-= ① ………………………… 3分

由直线l 与椭圆相交于两个不同的点得

222363

4(1)(3)0,

a k k

?=-+->整理得223(1)3a k +>,即22

2

3.3k a k

>+ ………5分 (2)解:设).,(),,(2211y x B y x A 由①,得122

63k

y y k +=

+

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∵2,AC CB =

而点(1,0)C -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+

得122y y =-代入上式,得22

6.3k

y k -=+ ……………8分 于是,△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-?

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=

29||32

k k =≤=+--------11分 其中,上式取等号的条件是23,k =

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即k = ……………………12分 由22

6.3k

y k -=

+

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可得2y =

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将2k y ==

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2k y ==2

15.a =

∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是22315.x y +=

36、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟考试)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2,1),平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

(1)求椭圆的方程; (2)求m 的取值范围;

(3)求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

解:(1)设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

则?????==??

???=+=28

11

422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12

82

2=+y x (2)∵直线l 平行于OM ,且在y 轴上的截距为m 又K OM =

2

1 m x y l +=

∴2

1

的方程为:……………………………………………………5分 由0422128

212

22

2

=-++∴???????=++=m m x x y x m x y ……………………………………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,

且解得8...........................................................0,22,

0)42(4)2(22≠<<->--=?∴m m m m

(3)设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可…………9分 设42,2),,(),,(2

21212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且……………………10分

则2

1

,21222111--=

--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x

42,222121-=-++m x x m x x ……………………………………………………10分

而)2)(2()

2)(1()2()1(2121211221221121----+---=

--+--=+x x x y x y x y x y k k )

2)(2()1(4)2)(2(42)

2)(2()

1(4))(2()2)(2()

2)(121

()2)(12

1(212212*********------+-=

----+++=

----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x

13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分

故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分

37、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率为36

,F

为椭圆在x 轴正半轴上的焦点,M 、N 两点在椭圆C 上,且)0(>=λλFN MF ,定点A (-4,0). (1)求证:当1=λ时.,⊥; (2)若当1=λ时有3

106

=

?AN AM ,求椭圆C 的方程; (3)在(2)的条件下,当M 、N 两点在椭圆C 运动时,当MAN ∠??tan 的值为

, 求出直

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线MN 的方程.

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解:(1)设)0,(),,(),,(2211c F y x N y x M , 则),(),,(2211y c x NF y x c MF -=--=,

当1=λ时,c x x y y 2,,2121=+=-∴=,

由M ,N 两点在椭圆上,2

22122

22222212

2

1

),1(),1(x x b

y a x b y a x =∴-=-=∴

若21x x -=,则c x x 2021≠=+(舍去),21x x =∴ (4分)

.),0,4(),2,0(2c y ⊥∴+==∴ 。(5分)

(2)当1=λ时,不妨设242

22)4(),,(),,(a

b c a b c N a b c M -+=?∴- (6分)

又3

106

16865,2,2322222

=

++∴==c c c b c a ,2=∴c , (8分) 椭圆C 的方程为.12

62

2=+y x 。 (9分)

(3)因为||||2tan N M AMN y

y AF S MAN -==∠???(10

分)

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由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|y M -y N (11

分)

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当MN ⊥

x 轴时, |y M -y N |=|MN|=22b a =≠故直线MN 的斜率存在, (12分)

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不妨设直线MN 的方程为)0(),2(≠-=k x k y 联立?

????=+-=126

)2(2

2y

x x k y ,得024)31(2

22=-++k ky y k , 2

2

4312424|

|k k k y y N M ++=

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-∴解得k=±1。 此时,直线的MN 方程为02=--y x ,或02=-+y x 。 (14分) 38、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥. (Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;

(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、

CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ,.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .

解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线.…………………….2分 ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.

∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =.…………4分

故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:2

4(0)y x x =>. ……….7分 (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,,,直线AB 的方程为)1(-=x k y …………….8分

则?????==)2(4)1(422B

B A

A x y x y

(1)—(2)得k y y B A 4=+,即k

y M 2

=,……………………………………9分

代入方程)1(-=x k y ,解得12

2+=k

x M .

所以点M的坐标为222

(1,)k k

+.……………………………………10分

同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-.

直线MN 的斜率为2

1k k

x x y y k N M N M MN -=

--=,方程为 )12(1222

---=+k x k

k k y ,整理得)3()1(2

-=-x k k y ,………………12分 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程,

所以直线MN 恒过定点R (3,0). (14)

39、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中,已知点(2,0)A 、(2,0)B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34

-.

(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)过点1,02??

???

作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的

取值范围.

解:(Ⅰ)依题意,有3

224

PA PB y y k k x x ?=

?=--+(2x ≠±)

,化简得 22

143

x y +=(2x ≠±), 这就是动点P 的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有

22

22

()()143()()14

3x m y n x m y n ?+++=???--?+=??, 两式相减,得

4430

01

4342

EF mx n n x y k m y x -+=?==-=

-,由此得点M 的轨迹方程为 226830x y x +-=(0x ≠).

设直线MA :2x my =+(其中1

m k

=

),则 22

22

2(68)211806830

x my m y my x y x =+??+++=?+-=?,

故由22(21)72(68)0||8m m m ?=-+≥?≥,即

18k ≥,解之得k 的取值范围是11,88??-????

. 40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1、F 2在坐标轴上,离心率为2且过点(4,-10) (1)求双曲线方程;

(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M 在以F 1F 2为直径的圆上; (3)求△F 1MF 2的面积. 解:(1) ∵离心率e=2

∴设所求双曲线方程为x 2

-y 2

=λ(λ≠0)

则由点(4,-10)在双曲线上 知λ=42

-(-10)2

=6

∴双曲线方程为x 2-y 2

=6

(2)若点M(3,m)在双曲线上

则32

-m 2

=6 ∴m 2

=3

由双曲线x 2

-y 2

=6知F 1(23,0),F 2(-23,0)

∴09)32()332,)(332,(2221=-+=+---=?m m m MF MF ∴21MF MF ⊥,故点M 在以F 1F 2为直径的双曲线上. (3)22MF F S ?=

2

1

×2C ×|M|=C|M|=23×3=6 41、(广东省五校2008年高三上期末联考)椭圆C 的中心为坐标原点O ,焦点在y 轴上,离心率e =

2

2

,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l 与y 轴交于点P (0,m ),与椭圆C 交于相异两点A 、B ,且AP =PB λ

(1)求椭圆方程;

(2)若OA +OB = 4OP λ

,求m 的取值范围.

解:(1)设C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0),设c >0,c 2=a 2-b 2,由条件知a-c =22,c a =2

2

∴a =1,b =c =

2

2

, 故C 的方程为:y 2

+x 2

12=1 ………………………………………4分

(2)由AP =λPB 得OP -OA =λ(OB -OP ),(1+λ)OP =OA +λOB ,

∴λ+1=4,λ=3 ………………………………………………6分 设l 与椭圆C 交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)

????

?

y =kx +m 2x 2+y 2=1

得(k 2+2)x 2+2kmx +(m 2-1)=0

Δ=(2km )2-4(k 2+2)(m 2-1)=4(k 2-2m 2+2)>0 (*)

x 1+x 2=-2km k 2+2, x 1x 2=m 2-1k 2+2

………………………………………………9分

∵AP =3PB ∴-x 1=3x 2 ∴?

????

x 1+x 2=-2x 2

x 1x 2=-3x 2

2 消去x 2,得3(x 1+x 2)2

+4x 1x 2=0,∴3(-2km k 2+2)2+4m 2-1

k 2+2

=0

整理得4k 2m 2+2m 2-k 2-2=0 ………………………………………………11分

m 2

=14时,上式不成立;m 2≠14时,k 2=2-2m 2

4m 2-1, 因λ=3 ∴k ≠0 ∴k 2

=2-2m 24m 2-1

>0,∴-1

2

容易验证k 2>2m 2-2成立,所以(*)成立

即所求m 的取值范围为(-1,-12)∪(1

2

,1) ………………………14分

42、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为

4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M.

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(1)求抛物线方程;

(2)过M 作MN⊥FA,垂足为N ,求点N 的坐标。 解:(1)抛物线y 2

=2p x 的准线为x = -2p ,于是4+2

p

=5,∴p =2. ∴抛物线方程为y 2

=4x ……6分

(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0),∴k FA =34;MN⊥FA,∴k MN =-4

3, 则FA 的方程为y =

34(x -1),MN 的方程为y -2= -43

x , y =34(x -1) x =5

8

解方程组 ,得 y-2= -43x y =5

4

∴N 的坐标(

58,5

4

)…….12分

43、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)设向量(0,2),(1,0)a b ==

,过定点(0,2)A -,以a b λ+ 方向向量的直线与经过点(0,2)B ,以向量2b a λ-

为方向向量的直线相交于点P ,其中R λ∈

(1)求点P 的轨迹C 的方程;

(2)设过(1,0)E 的直线l 与C 交于两个不同点M 、N ,求EM EN ?

的取值范围

解:(1)设(,)P x y ∵(0,2),(1,0)a b ==

∴(0,2)(1,0)(,2)a b λλλ+=+= ,2(1,0)2(0,2)(1,4)b a λλλ-=-=-

2分 过定点(0,2)A -,以a b λ+

方向向量的直线方程为:2(2)0x y λ-+=

过定点(0,2)P ,以2b a λ-

方向向量的直线方程为:420x y λ+-=

联立消去λ得:2284x y +=∴求点P 的轨迹C 的方程为2284x y += 6分 (2)当过(1,0)E 的直线l 与x 轴垂直时,l 与曲线C 无交点,不合题意,

∴设直线l 的方程为:(1)y k x =-,l 与曲线C 交于1122(,)(,)M x y N x y 、

由222222

(1)8)24084

y k x k x k x k x y =-??+-+-=?+=?(

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4222122

2122

44(8)(4)02848k k k k k x x k k x x k ?

?=-+->?-<

+=?+?

?-=?+? 1122(1,),(1,)EM x y EN x y =-=- ∴1122121212(1,)(1,)1EM EN x y x y x x x x y y ?=-?-=--++

22

2

2

1212121222421(1)(1)(1)

88

k k x x x x k x x x x k k k -=--++--+=+-+++222

4(1)28488

k k k +==-++ ∵

2

08k ≤<,∴EM EN ? 的取值范围是19

[,)24

44、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知曲线C 的方程为:22

(4)1()kx k y k k R +-=+∈ (1)若曲线C 是椭圆,求K 的取值范围;

(2)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角为

3

π

,求此双曲线的方程. 解:(1)当014k k k ≠≠-≠且且时,方程为:

22

1114x y k k k k

+=++-

它表示椭圆的充要条件是101

002244114k k k k k k k k k k +?>??

+?>?<<<

++?≠?-?

或 (2)方程表示双曲线的充要条件是:

4011041

1><<--

k k k 或或 当14k k <->或时两焦点在x 轴上:2

211,4

k k a b k k ++==-

其一条渐近线斜率为:b

a

=∈∞解得:k=6(4,+)

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此时双曲线的方程为:22

17762

x y -= 当10k -<<时,双曲线焦点在y 轴上:2

211

,4k k a b k k

++==--

其一条渐近线斜率为:

b

a

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=?解得:k=6(-1,0) 综上可得双曲线方程为:22

17762

x y -= 45、(河北衡水中学2008年第四次调考)如图所示,已知圆()2

2

3100x y ++=,定点A (3,0),M 为圆C 上一

动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足2,0AM AP NP AM ==

,点N 的轨迹为曲线E 。

(1)求曲线E 的方程;

(2)求过点Q (2,1)的弦的中点的轨迹方程。

解:(1)∵2,0AM AP NP AM ==

∴NP 为AM 的中垂线,NA NM = …………2分

又因为10CN NM +=,所以106CN NA +=> 所以动点N 的轨迹是以点(3,0)C -和(3,0)A 为焦点的椭圆, 且210a = …………4分

所以曲线E 的方程为:

22

12516

x y +=; …………6分 (2)设直线与椭圆交与1122(,),(,)G x y H x y 两点,中点为00(,)S x y 由点差法可得:弦的斜率0121212120

1616()

25()25x y y x x k x x y y y -+=

=-=-

-+…………8分