一元二次方程的解法综合练习
1．一元二次方程的解法有____种，分别是___________,____________,____________，____________。
2．一元二次方程的一般形式_______________,其解为_______________。 3.利用直接开平方法解下列方程
(1) 4（x-3）2=25 (2) 024)2x 3(2
=-+
4．利用因式分解法解下列方程
(1) x 2 （2） 3(1)33x x x +=+
5.利用配方法解下列方程 （1） 2
1302
x x ++
= （2）012632
=--x x
6.利用公式法解下列方程
（1）322
-=-x x （2）3x 2
-5(2x+1)=0
7.选用适当的方法解下列方程
（1） x （x ＋1）－5x ＝0 （2）5x 2 — 5
2=0
（3）7x=4x 2+2 （4）2
2
(21)9(3)x x +=-
（5）2(x －3) 2＝x 2－9 （6）(x ＋1) 2＝4x
（7）8)2(=+x x （8）()()0165852=+-+-x x
（9）())3(21+=+x x x （10）（1－3y ）2+2（3y －1）=0
1.用公式法求解
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b ±√(b2-4ac)]/(2a) , (b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
⑴2x2-8x+5=0 ⑵3x2+7x+1=0 ⑶x2-6x+7=0
⑷x2+5x+1=0 ⑸4x2-9x+3=0 ⑹x2+9x+3=0
2.用配方法求解
①用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
②先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
③将二次项系数化为1：x2+b/ax = - c/a
④方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+b/ax+( b/2a)2= - c/a+( b/2a)2
⑤方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= - c/a+( b/2a)2
⑥当b2-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢( b/2a)2
⑴3x2-4x-2=0 ⑵x2-6x=1 ⑶4x2-9x=-3
⑷x2+9x=3 ⑸x2-5x=-1 ⑹6x2-8x+1=0
3.用直接开方法求解
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .
⑴（x-2)2=9 ⑵9x2-24x+16=11 ⑶4x2-12x=11
⑷（x+4)2.+8=9 ⑸8x 2=24 ⑹(2x-3)2=16
4.用因式分解法求解
把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
⑴(x+2)2=3x+6 ⑵-2x 2+13x-15=0 ⑶2x 2+3x=0
⑷(x+3)(x-6)=-8 ⑸4(x-3)2=x(x-3) ⑹x 2-3x-4=0
用适当方法计算
1、052222
=--x x 2、2884x x -=
3、0152=+-x x
4、()()2232
-=-x x x
5、272=-x x
6、x 2+3x -4=0
一元二次方程单元测试
一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分) 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x 2=8 (a ≠3)
B.ax 2
+bx+c=0
23
2057
x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( )
A.x 2
+x=1 B.2x 2
-x-12=12； C.2(x 2
-1)=3(x-1) D.2(x 2
+1)=x+2
3.一元二次方程2x 2
-3x+1=0化为(x+a)2
=b 的形式,正确的是( )
A. 23162x ??-= ???;
B.2312416x ??-= ???;
C. 2
31416x ?
?-= ???
; D.以上都不对
4.关于x 的一元二次方程()2
2
110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）
A 、1
B 、1-
C 、1或1-
D 、1
2
5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2
-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11
B.17
C.17或19
D.19
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2
2870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A 、3 C 、6 D 、9
7.使分式2561
x x x --+ 的值等于零的x 是( )
A.6
B.-1或6
C.-1
D.-6
8.若关于y 的一元二次方程ky 2
-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>7
4
且k ≠0
9.已知方程22
=+x x ，则下列说中，正确的是（ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2
（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大2
10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2
=1000 B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2
]=1000 二、填空题:(每小题4分,共20分)
11.用______法解方程3(x-2)2
=2x-4比较简便.
12.如果2x 2
+1与4x 2
-2x-5互为相反数,则x 的值为________.
13.2
2____)(_____3-=+-x x x
14.若一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.
15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2
+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.
16.一元二次方程x 2
-3x-1=0与x 2
-x+3=0的所有实数根的和等于____.
17.已知
x 2
+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.
18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.
19.已知x x 12，是方程x x 2
210--=的两个根，则1112x x +
等于__________.
20.关于x 的二次方程2
0x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .
三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）
21.2
2
(3)5x x -+=
22.2
30x ++=
四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）
23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.
24.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？
25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
26.解答题（本题9分）
已知关于x 的方程2
2
2(2)40x m x m +-++=两根的平方和比两根的积大21，求m 的值
《一元二次方程》复习测试题参考答案 一、选择题：
1、B
2、D
3、C
4、B
5、D
6、B
7、A
8、B
9、C 10、D 二、填空题： 11、提公因式 12、-23或1 13、94 ，3
2
14、b=a+c 15、1 ，-2
16、3 17、-6 ，、x 2
-7x+12=0或x 2
+7x+12=0 19、-2 20、2 ，1（答案不唯一，只要符合题意即可）
三、用适当方法解方程：
21、解：9-6x+x 2
+x 2
=5 22、解：2
=0
x 2
(x-1)(x-2)=0 x 1=x 2 x 1=1 x 2=2 四、列方程解应用题：
23、解：设每年降低x ，则有
(1-x)2
=1-36%
(1-x)2
=0.64 1-x=±0.8 x=1±0.8
x 1=0.2 x 2=1.8（舍去） 答：每年降低20%。 24、解：设道路宽为xm (32-2x)(20-x)=570
640-32x-40x+2x 2
=570 x 2
-36x+35=0 (x-1)(x-35)=0
x 1=1 x 2=35（舍去） 答：道路应宽1m
25、⑴解：设每件衬衫应降价x 元。 (40-x)(20+2x)=1200
800+80x-20x-2x 2
-1200=0 x 2
-30x+200=0 (x-10)(x-20)=0 x 1=10(舍去) x 2=20
⑵解：设每件衬衫降价x 元时，则所得赢利为 (40-x)(20+2x)
=-2 x 2
+60x+800
=-2(x 2
-30x+225)+1250
=-2(x-15)2
+1250
所以，每件衬衫降价15元时，商场赢利最多，为1250元。 26、解答题：
解：设此方程的两根分别为X 1,X 2，则 (X 12+X 22
)- X 1X 2=21
(X 1+X 2)2
-3 X 1X 2 =21
[-2(m-2)]2-3(m 2
+4)=21 m 2
-16m-17=0 m 1=-1 m 2=17
因为△≥0，所以m ≤0，所以m ＝-1
一元二次方程的解法同步练习
第1题. 解一元二次方程2
120x x --=，结果正确的是（ ）
Ａ．1243x x =-=， Ｂ．1243x x ==-，
Ｃ．1243x x =-=-，
Ｄ．1243x x ==，
答案：B
第2题. 若方程2
0x m -=有整数根，则m 的值可以是 （只填一个）． 答案：如0149m = ，，，，
第3题. 方程2
20x x -=的解是 ． 答案：1220x x ==，；
第4题. 方程2
2x x =的解是1x = 、2x = ．
答案：1202x x ==，；
第5题. 解方程：（1）2250x -=；（2）2
(3)2x +=． 答案：（1）1255x x ==-，；
（2）1233x x =-+=--
第6题. 已知2
2
2
(1)4x y ++=，求2
2
x y +． 答案：2
2
1x y +=． 第7题. 用配方法解方程：
（1）2
2740x x --=；（2）2
3230x x +-=．
答案：（1）14x =，21
2
x =-
；（2）113x -+=，213x -=．
第8题. 用配方法求代数式2
57x x -+的最小值．
答案：2
2
535724x x x ??-+=-+ ??
? ∴最小值为34．
第9题. 用公式法解下列方程（1）2
30x -+=；（2）2
1x x +=．
答案：（1）12x x ==（2）112x -+=
；212
x -=． 第10题. 用公式法解关于x 的方程2
2
(32)0x m x m n n --+-=． 答案：12x m n =+，2x m n =-．
第11题. 已知关于x 的方程2
(21)0mx m x m -++=有两个实数根，则m 的取值范围是________ 答案：1
4
m -
≥且0m ≠
第12题. 方程2
2(4)60x kx x --+=没有实数根，则k 的取值范围是_______． 答案：116k >
且12
k ≠ 第13题. 当m 为何值时，2
2(2)220x m x m -++-=有两个相等实数根，并求此时方程的解． 答案：2
2
4(2)8(22)0b ac m m -=+--=，12m ∴=，210m =． 当12m =时，方程解为121x x ==； 当210m =时，方程根为123x x ==．
第14题. 23tan 0x α-+=有两个相等的实数根，则锐角α=________ ． 答案：45
第15题. 一张正方形硬纸片，其边长为60cm ，要在它的四个面上各截取一个小正方形后（截取的小正方形边长相等）折成一个底面积为2
1600cm 的无盖的长方体盒子，求截取的小正方形的边长．
答案：解：设边长为cm x ，依题意有2
(602)1600x -= 解之得110x =，250x =（舍去） 答：截取的小正方形边长为10cm ．
第16题. 一矩形铁片，长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，做成高是5cm ，容积为3
300cm 的无盖的长方体盒子，求铁皮的长和宽．
答案：解：设宽为cm x ，则长为2cm x ．依题意得5(210)(10)300x x --=．
第17题. 要做一个容积为3
750cm ，高为6cm ，底面长比宽多5cm 的无盖长方体盒子，应选用多大尺寸的长方形铁片？
答案：解：设长为cm x ，则宽为()5cm x -，依题意得6(12)(125)750x x ---=． 第18题. 竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2
012
h V t gt =-
，其中重力加速度g 以10米／秒2
计算．爆竹点燃后以初速度020V =米／秒上升．问经过多长时间爆竹离地15米？
答案：解：设x 秒．
21
1520102
x x =-?
第19题. 某物体在做匀速运动时，路程S 与时间t 存在着下列关系式：2
15S t t =+，试问：当t =_____时，该物体运动了250个单位长度． 答案：10
第20题. 运动员掷标枪时，为使标枪掷出距离最远，应使标枪与水平线成45
角向斜上方抛出，
抛出的距离S 与标枪出手速度V 之间满足2210
V S =+，若王成掷出了48米的好成绩，请求标
枪出手时的速度．
答案：解：2
48210
V =+，解之得1V =2V =-（舍去） 第21题. 两个数的差等于5，积等于50，则这两个数是______． 答案：105--，或510，
． 第22题. 用一根长44cm 的铁丝，折成一个面积为2
85cm 的矩形，求此矩形的长和宽？ 答案：长为17cm ，宽为5cm ．
第23题. 某工厂制造一种产品，原来每件的成本价是500元，销售价是625元，经市场预测，现在该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为使两个月后的原销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 答案：10%
第24题. 某进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，若该商品每涨价1元，其销售量减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少元？ 答案：60元或80元．
第25题. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数． 答案：35或53．
第26题. 某商场今年一月份销售额60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降
10%，以后改进了管理，激发了员工积极性，月销售额大幅上升，到四月份销售额反猛增到96
万元，求三、四月份平均每月增长率？ 答案：33.3%
第27题. 某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值达175亿元，问二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x ，根据题意得方程为
_________．
答案：2
5050(1)50(1)175x x ++++=
第28题. 某服装原价为200元，连续两次涨价%a ，售价为242元，则a 的值为________． Ａ．5 Ｂ．10 Ｃ．15 Ｄ．20
答案：Ｂ
第29题. 某种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降价成本（ ） Ａ．8.5% Ｂ．9%
Ｃ．9.5% Ｄ．10%
答案：Ｄ
第30题. 用适当的方法解方程：
（1）2
9(2)16x +=；（2）2
(3)6x x +=；（3）2
1)0x x ++=．
答案：（1）123x =-
，210
3
x =-；（2）11x =，29x =；（3）1x =21x =-． 第31题. 已知12m -=，试解关于x 的方程(1)3(2)(2)mx x x x -+=+- ． 答案：当3m =时，解为11x =，21
4
x =-
；当1m =-时，解为1x =． 第32题. 已知方程2
()4()()0a x b x c x ----=， 求证：（1）此方程必有实数根；
（2）若a b c ，，为ABC △的三边，方程有两个相等的实数根，则ABC △为等边三角形．
答案：证明：（1）2222
48()()()0b ac a b b c a c ??-=-+-+-??≥．∴必有实数根．
（2） 方程有两个相等的实数根，2
40b ac ∴-=．
a b c ∴==，ABC ∴△为等边三角形．
(8715)第33题. 已知2
2
560x xy y --=（0x ≠），求y
x
的值． 答案：1-或
56
第34题. 已知三角形两边长分别为3和8，第三边的数值是一元二次方程2
17660x x -+=的根，求此三角形的周长． 答案：17
第35题. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
Ａ．
1
12x x
-= Ｂ．2
12y y +=
Ｃ．260x x --=
2
20+=
答案：Ｄ
第36题. 已知方程2
720ax x +-=的一根是2-，那么a 的值是_______，方程的另一根为__________． 答案：144
，
第37题. 长方形的长比宽多2cm ，面积为2
48cm ，则它的周长是______． 答案：28cm
第38题. 当x =______ 答案：5-
第39题. 若2
326x x -+的值为8，则代数式2
312
x x -+的值是_______． 答案：2
第40题. 代数式2
(21)2(1)4m x m x -+++是完全平方式，则m =_______． 答案：1或5
一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程解法练习题 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3 、9642=-x x 三、 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、223 14y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x
四、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、 x 2+4x -12=0 3、0862=+-x x 4、03072=--x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法) 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、2 260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
7、()02152 =--x 8、0432=-y y 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122 =-+x 13、22244a b ax x -=- 14、36 31352=+x x 15、()()213=-+y y 16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32 =--+a x a x 18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
一元二次方程解法的综合运用 [内容] 教学目标 (一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法： (二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想； (三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法. 教学重点的难点 重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法. 难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧. 教学过程设计 (一)复习 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.不完全的一元二次方程有哪几种? 3.解一元二次方程有哪四种方法? (二)新课 同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过 程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现 的错误. 例1 解方程：x(x-1)=3x(x+1) 分析：(启发学生一起想)先化为一般形式. 解：原方程化为(1-3)x 2-(1+3)x=0,提取公因式x,得x[(1-3)x-(1+3)]=0,x=0,(1-3)x-(1+3)=0. (二次根式运算的结果，应化为最简二次根式) 例2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0. 分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式. 观察题目的结构可见，把3x+2换元为t ，则原方程就是t 的一元二次方程. 解：设3x+2=t,原方程变为t 2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t 1=3,t 2=5.即3x+2=3或3x+2= 5.故x 1=31 1 3,x 2=1. 注：本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x 1=1 3,x 2=1. 例3 解方程：144x 2=61-208x. 解：原方程化为144x 2+208x-61=0,则 a=144,b=208,c=-61.b 2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61. (此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积) b 2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82 (4×169＋9×61)=82×1225=(8×35) 2＞0,原方程有实根.
一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能： 一、填空题： 1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2．已知，关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， · 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ． 6．(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ． 7．不解方程，判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 ． 8．(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ． 9．已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ． 二、选择题： 11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立，则a 的值为( ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2 12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13．方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析：1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握） 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
湘教版九年级数学上册 第2章 反比例函数 一元二次方程 2．2 一元二次方程的解法 根据平方根的意义解一元二次方程 专题训练题 1．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．0或2 D ．0或－2 2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＝1 B ．a ＋b ＋c ＝0 C ．a －b ＋c ＝0 D ．a －b ＋c ＝1 3．已知m 是一元二次方程x 2－x －1＝0的一个根，那么代数式m 2－m 的值等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2 4．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥－34 B ．m ≥0 C ．m ≥1 D ．m ≥2 6．方程x 2－3＝0的根是( ) A ．x ＝3 B ．x 1＝3，x 2＝－3 C ．x ＝ 3 D ．x 1＝3，x 2＝－ 3 7．一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( ) A ．x －6＝－4 B ．x －6＝4 C ．x ＋6＝4 D ．x ＋6＝－4 8．方程－4x 2＋1＝0的解是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．x ＝±12 D ．x ＝±2 9．方程(x －4)2＝11的根为( ) A ．x 1＝－4＋11，x 2＝－4－11 B ．x 1＝4＋11，x 2＝4－11 C ．x 1＝11＋4，x 2＝11－4 D ．x 1＝4＋11，x 2＝－4－11 10．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，它的解的正确表述为( ) A ．都能用直接开平方法求解得x ＝－m ±n B ．当n ≥0时，x ＝m ±n C ．当n ≥0时，x ＝－m ±n D ．当n ≥0时，x ＝±n －m 11．下列方程中，适合用直接开平方法求解的是( ) A ．x 2＋5x ＋1＝0 B ．x 2－6x －4＝0 C ．(x ＋3)2＝16 D ．(x ＋2)(x －2)＝4x 12．方程4x 2－81＝0的解为________． 13．解下列方程： (1)16x 2＝25； (2)(2x ＋1)2－1＝0.
一元二次方程概念与解法测试题 姓名： 得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是 。 1． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（ ）； （A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
一元二次方程 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 ． 难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.
一元二次方程之概念 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题 1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 一元二次方程之根 一、选择题 1．方程x（x-1）=2的两根为（）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1 a C．x1=a，x2= 1 a D．x1=a2，x2=b2 3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）． A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题 1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 3．方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题：(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） （A ）22)1(2-=-x x （B ）01232=+-x x （C ）042=-x x （D ）02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为（ ） （A ）4121==x x （B ）2121==x x （C ）,01=x 212=x （D ）,2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)＝6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ） （A ）因式分解法 （B ）直接开平方法 （C ）配方法 （D ）公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2 –3x + 4＝0 （B ）x 2–x –3＝0 （C ）x 2–12x + 36＝0 （D ）x 2–2x + 3＝0 5、已知ｍ是方程012 =--x x 的一个根，则代数ｍ2 －ｍ的值等于 （ ） A 、１ B 、－１ C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +（ ） A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48＝0的解, 则这个三角形 的周长是（ ）（A ）11 （B ）17 （C ）17或19 （D ）19 8. 下列说法中正确的是 （ ）（A ）方程2 80x -=有两个相等的实数根; （B ）方程252x x =-没有实数根;（C ）如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么0?=; （D ）如果a c 、异号，那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10＝0有实数根, 则K 的最大整数值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）–1 （D ）0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0，那么 （ ） （A ）0==q p ; （B ）0,0≠=q p ; （C ）0,0=≠q p ; （D ）0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是 （ ） A ． 若x 2=4，则x ＝2 B ．方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1 C ．若x 2 +2x +k =0有一根为2，则8＝－k D ．若分式1 2 32－＋－x x x 值为零，则x ＝1，2 二、填空题：(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时，分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ，则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax （a ≠0）的两根分别为1，—2，则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=，则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中，024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20，则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元，今年上升到720万元，如果这两年平均每年增长率相同，则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ，则k =____________。 15.已知关于x 的方程（2k+1）x 2 －kx+3=0，当k______时，?方程为一元二次方程，? 当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．
一元二次方程应用题典型题型归纳 （一）传播与握手问题 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一 个人传染了个人。 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有 个队参加比赛。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有 个队参加比赛。 5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组 共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？ 6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有 多少人？ 7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （二）平均增长率问题 变化前数量×（1 x）n＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均 每次降价率是。 3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始 涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。 4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同， 求每次降价的百分率？
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. （三）商品销售问题 售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额 1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件) 与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产 品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 (1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？ (2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？ 3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。 为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0；(2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9；(4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0； (3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0.
3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)． 4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0；
(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (2)5(x－3)2＝x2－9；
(3)t 2－22t ＋18＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12. 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝± 5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13.∵ 实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516. 直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1 ＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>＝－3±412×4＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418 . (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.
《一元二次方程》典型例题一 例 指出下列方程中哪些是一元二次方程？ （1）)12(3652+=+x x x （2）x x =28 （3）532=x （4）y x 342= （5）02=-x （6）24)3()15(x x x x x ++=- 解：（1）整理得：x x x 366522+=+ 移项，合并得：0632=-+x x ∴ 是一元二次方程 （2）移项得：082=-x x ∴ 是一元二次方程 （3）532=x ∵方程的分母中含有未知数 ∴它不是一元二次方程 （4）0342 =-y x ∵ 方程中含有两个未知数 ∴ 它不是一元二次方程 （5）02=-x ∵01≠-=a ∴它是一元二次方程 （6）整理得：222435x x x x x ++=- 移次，合并得：04=x ∵二次项系数合并后为0 ∴它不是一元二次方程 说明：对方程要先进行整理，然后再根据条件： ①整式方程 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数为2
只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程． 《一元二次方程》典型例题二 例 若032 2=-+-p p x px 是关于x 的一元二次方程，则（ ）. (A) p 为任意实数 (B ) 0=p (C) 0≠p ( D) 0=p 或1 分析与解：显然方程0322=-+-p p x px 是关于x 的整式方程，且方程中含有一个未知数x ，若想让它满足一元二次方程的定义，需使未知数的最高次数为2的系数0≠p ，故应选（C ）． 《一元二次方程》典型例题三 例 关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 是不是一元二次方程？ 分析：此方程是不是一元二次方程，可直接根据定义判断，看它是否同时满足一元二次方程定义的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.观察方程易知它已满足(1)、（2）两条，能否满足条件： 解：.032212? ??≠-+=+m m m 由于1=m 时，0322=-+m m 所以不存在m 的值同时满足且21=+m 0 322≠-+m m 故关于x 的方程（322-+m m ）1351=++x x m 不是一元二次方程. 《一元二次方程》典型例题四 例 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项系数，一次项系数及常数项． （1）x x 352 = （2）03)12(2=-+-x x
https://www.doczj.com/doc/0416673474.html, ------------------华夏教育资源库 https://www.doczj.com/doc/0416673474.html, ------------------华夏教育资源库 一元二次方程解法举例 教学目标：1.巩固一元二次方程的四种解法 2.灵活选用一元二次方程的四种解法解方程 教学重点： 一元二次方程的四种解法的灵活运用 教学难点：能准确把握方程的特征，选用适当的解法. 教学准备：小黑板 教学过程： 复习引入：1. 一元二次方程02 =++c bx ax 的求根公式为 . 2.一元二次方程解法有哪几种？各有那些步骤？ 对于方程02=++c bx ax （a ≠0，042≥-ab b ） 若b=0，则宜用 法解，其根为 ； 若c=0，则宜用 法解，其根为 ； 若b ≠0，c ≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法. 讲授新课： 范例讲解 例1 选用适当的方法解方程： （1）()922=-x ；（直接开平方法） （2）222 =-t t ；（配方法） （3）()()052432922=--+x x ；（因式分解法） （4）4.013.001.02 -=-x x ；（化小数系数为整数系数后再因式分解） （5）x x 2 21232=-；（去分母后用公式法） （6）1417522-=mx x m （m ≠0）.（因式分解法） （7）()()x x x 211=-+；（先整理后，再确定适当的方法，配方法） （8）()()742322 +=+m m ；（先整理后，再确定适当的方法，公式法） （9）()()0812151222 =-+++x x .（因式分解法） 例2 （1）当x= 时，31432 +-x x 的值与22-x 的值相等.
一元二次方程典型例题整理版 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法
环球教育学科教师辅导讲义 学员姓名：xxx年级：初三课时数：3 班主任：xxx 辅导科目：数学学科教师：王兴华 课题一元二次方程的解法 授课时间及时段2014-06-19 授课类型T T C 教学目标 1.学习掌握通公式法和因式分解法解一元二次方程 2.灵活选择合适的方法解一元二次方程 一、回顾 ?1.一元二次方程的含义：_____________________________________________________________. ?2.一元二次方程的一般形式：_____________________________________________________. ?3.一元二次方程的解法： ①直接开平方法 *适用形式： *答题基本步骤： ②配方法 *含义： *答题基本步骤： *可以解决的题型： *处理一元二次方程和二次三项式有什么不同： 友情提醒：请在不熟的知识点上用着重符号标出，课后及时巩固训练哦！！ XXX，很高兴在环球之家又见面了，孔子曰：温故而知新，可以为师矣！我们一起回 顾上次所学习的知识吧！
二、引入与讲解 ?1.求根公式法： ①用公式法解一元二次方程的前提是: *必须是一般形式的一元二次方程: )0(02 ≠=++a c bx ax . *042 ≥-ac b ②解一元二次方程的基本步骤： Step1:化为一元二次方程的一般形式； Step2:确定c b a ,,和ac b 42 -的值； Step3:代入求根公式 1.用公式法解一元二次方程。 （1）x x x 3)1)(1(=-+ （2）03322 =+-x x 练一练： （1）6)6(=+x x （2）01222=+-x x )0(02≠=++a c bx ax 还记得如何用配方法推导出一元二次方程 的解吗？（请你快速的推导一遍） XXX ，你知道为什么要确定 ac b 42-的值吗？ a ac b b x 242-±-=小博士提醒：求根公式一定要熟练记忆和运用。
专题：一元二次方程的八种解法 方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤： (1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式； (2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式； (3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解. 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－25＝0; (2)4x2＝1； (3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0； (5)3(x＋1)2＝1 3 ； (6)(3x＋2)2＝25； (7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.
方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. (3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式. (4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解. (5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0; （3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；
3.用配方法解下列方程： (1)3x 2 ＋6x －5＝0; (2)12 x 2－6x －7＝0. (3)x 2 ＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0； 方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解 用因式分解法解一元二次方程的“四步法” （“右化零，左分解，两因式，各求解”） 4.用因式分解法解下列方程： (1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；