人教A版高中数学必修四课件：3.1.1 两角差的余弦公式

你认为会是 cos(α-β)=cosα-cosβ吗?
公式cos(α-β)的推导，以及公式的结构。
方法：利用单位圆和向量
问题：设∠xOA=α，∠xOB=β，那么向量 uuur uuur
OA , OB 夹角θ的余弦值是多少？
解：点A (cos ,sin )，
y A
点B (cos ,sin )
B
x
那么 OA cosα,sinα
O
OB cosβ,sinβ
OA cosα,sinα OB cosβ,sinβ
y
∵ OAOB
1
cos cos sin sin A 又OAOB OA OB cos -1
θ
B
α
β
o
1x
cos( )
-1
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
对于任意角 α,β
结 论 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
22
22
6 2 4
思考：你会求sin 75 的值吗?
例1已知
cosα=
-
3 5
α
π 2
,
π
求cos
π 4
α
的值.
解:
∵
cos
=
-
3 5
π 2
,
π
∴ sin = 1 cos2 4
5
cos( π - ) cos π cos + sin π sin
4
4
4
2 2
3 5
24 25
2 10
2、公式的结构特点及应用
例2.已知sin 4 , ( , ), cos 5 ,
5

【训练 1】 求下列三角函数式的值： (1)sin1π2；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°．
解 (1)原式＝cos(π2－1π2)＝cos51π2＝cos[π4－(－π6)]
＝cosπ4cos(－π6)＋sinπ4sin(－π6)＝
6－ 4
2．
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0．
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×47 3＝12． 又∵β∈0，π2，∴β＝π3．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5143×47 3＝12． 又∵β∈0，π2，∴β＝π3．
cos(－60°)＝cos 60°＝12．
(3)原式＝cos15°－8c°o－s 8s°in 15°sin 8°
＝cos
15°cos
8°＋sin 15°sin cos 8°
8°－sin
15°sin
8°
＝cos
15°cos cos 8°
8°＝cos
15°＝cos(60°－45°)＝
6＋ 4
2．
答案
(1)D
题型二 给值求值
【例 2】 设 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中 α∈π2，π，β ∈0，π2，求 cosα＋2 β．
解 因为 α∈π2，π，β∈0，π2． 所以 α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2． 因为 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，

提示： (1)正确.α，β不仅是任意的角，而且还可以是个 “团体”. (2)正确.cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°. (3)正确.cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° =cos(75°-15°)=cos 60°= 1 .
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
两角差的余弦公式
cosα cosβ +sinα sinβ 1.公式:cos(α -β )=______________________. C (α -β ) 2.简记符号:______.
任意角 3.使用条件:α ,β 都是_______.
2
答案：(1)√
(2)√
(3)√
【知识点拨】 对公式C(α-β)的两点理解 (1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦 ,右边的式子 是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记 忆公式. (2)公式的适用条件. 公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团 体”,如 cos(
5 4 5
值为( A.0
) B. 4 C.0 或 4 D.0或± 4
5 5 5 3 2.已知sin α = 2 , α ∈( , 3 )且cos β = ， β ∈( 0, )， 4 3 2 2
求cos(α -β )的值.
【解题探究】1.cos(α+β)= 展开？
4 应如何利用两角差的余弦公式 5
【解析】1.选C.cos 50°cos 20°+sin 50°sin 20° =cos(50°-20°)=cos 30°=

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变式训练1求值: (1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°; (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°). 解:(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76° =sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°) =cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
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4.做一做:(1)cos 15°= . (2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=
2 3 2 1 30°= 2 × 2 + 2 × 2 6+ 2 . 4
.
解析:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 60°= .
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探究一 利用两角差的余弦公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值: (1)cos(-375°); (2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°; (3)cos(α+45°)cos α+sin(α+45°)sin α;

14
所以cosβ =cos[(α +β )-α ]
=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα
(11)153431. 14 7 14 7 2
【方法技巧】给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路 已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值, 要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要 灵活地进行拆角或凑角的变换.
3
3
3
512 3 523. 3 23 2 6
2.由tanα =2得sinα =2cosα ,
又sin2α+cos2α=1,所以cos2α= 1 ,
5
因为α∈ ( 0 , )，
2
所以 cos 5,sin2 5,
5
5
因为 c o s( ) c o s c o s sin sin ,
12
C .1 2
D .3 2
【审题路线图】1.两角差的余弦公式的特点⇒利用诱 导公式sin195°=-sin15°求解. 2.已知和差的式子⇒通过平方构造cosα cosβ , sinα sinβ ⇒求值. 3.- 2 π5 ⇒利用诱导公式转化为特殊角的差求值.
12
【解析】1.选B.原式=cos75°cos15°sin75°sin(180°+15°)=cos75°cos15°+ sin75°sin15°=cos(75°-15°) =cos60°= 1 .
2
2.cos(-15°)的值是 ( )
A. 6 2 2
C. 6 2 4
B. 6 2 2
D. 6 2 4
【解析】选D.cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°) =cos60°cos45°+sin60°sin45°

请你利用两个三角板拼出一个15 °角，并尝试计算cos 15 °的 值. （三角板可以重叠）
巧拼三角板
巧拼三角板
巧拼三角板
Y
1
15°
O
15°
1X
探究Y
A
4？5°
P C
O
15°
B
M1 X
cos(450300)=co s4 5 0co s3 0 0 sin450sin300
探 究 co ) s c(c oo s ss i sn in
cos45o 2 2
（2）填上适当的数字，并给出结果： cos ° cos °+ sin °sin °= ?
备用
小结 正用
逆用
变用
co ) s c(c oo s ss i sn i
实例
向量
三角函数线
作业 1. 查一查：“两角差的余弦公式”还 有其它推导方法吗？
2. 试一试：运用“两角差的余弦公式” 能推导出“两角和的余弦、正弦公式” 吗？ 3.做一做：课本P137
α 、β为任意角，上述公式还成立吗？
y
α的终边 A A（ cosα、 sinα）
B（ cosβ 、sinβ)
θ
B β的终边
O
x
向量法推导公式
向量法推导公式
思考： cos θ与cos（α-β）什么关系呢？
y α的终边 A
θ
y
β的终边
B B β的终边
θ
Aα的终边Ox源自Ox(图1)
(图2)
2k,kZ 2n,nZ
cos
sin 20o
( 3 ) 求 值 ： c o s 8 0 o c o s 5 0 o s i n 1 0 0 o s i n ( 5 0 o ) . + sin80o sin50o

思考：以上推导是否有不严谨之处？ 思考：以上推导是否有不严谨之处？
当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到 是任意角时， 一个角θ∈[0 2π） θ∈[0， cosθ=cos(α一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β) 若θ∈[0，π ]，则 OA ⋅OB = cosθ = cos(α − β ) ]， θ∈[0， ∈[0， 若θ∈[π,2π)，则2π -θ∈[0，π ]，且 ∈[π,2π)， ,2π) 2π–θ)=cosθ=cos(α2π θ)=cosθ=cos(α OA ⋅OB = cos(2π θ)=cosθ=cos(α-β)
例
提示： 提示：
提示： 提示：
课堂练习
1.已知cosθ=–5 θ∈(π,3π／2)求 1.已知cosθ= 5／13, θ∈(π,3π／2)求 已知cosθ= cos(θ+π／6)的值 的值. cos(θ+π／6)的值. sin²15 ---。 2.cos ²15 °–sin 15 °= ------- ---。 15 sin 3.在 ABC中 sinAsinB=cosAcosB,则 3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则 ABC是 △ABC是 (). (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定 不确定. (C)锐角三角形 (D)不确定.
2. cos(θ + 210 ) cos(θ − 24 0 ) + sin(θ + 210 ) sin(θ − 24 0 ) =
2 2
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
在以上公式中
我们将 β 换成 -β 就得到两角和的余弦公式

1
3
【例 2】 已知 sin α= , ∈ 0,
π
2
2
7
, cos = , 是第四象限角,
求 cos( − )的值.
分析:分别求得 cos α,sin β 的值,利用 C(α-β)求得.
-13-
3.1.1 两角差的余弦公式
题型一
题型二
题型三
解:∵sin α=
1
,
3
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2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
-4-
3.1.1 两角差的余弦公式
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Z 知识梳理
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Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
两角差的余弦公式
(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
(2)此公式简记作C(α-β).
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D典例透析
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【做一做1】 cos 17°等于(
)
A.cos 20°cos 3°-sin 20°sin 3°
B.cos 20°cos 3°+sin 20°sin 3°
3.1.1 两角差的余弦公式
题型一
题型二
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题型三
解:∵sin +
π
4
∴cos
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【答案】B
第七页，共20页。
3．cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝______. 【答案】12
4．cos 15°＝________.
【答案】6＋ 4ຫໍສະໝຸດ 2第八页，共20页。
要点阐释 1．公式 cos (α－β)的本质是：用单角 α 和 β 的三角函数表示角 α－β 的余弦；公式 cos (α－β)的特点是：α－β 的余弦等于 α 和 β 的余弦之积与 α 和 β 的正弦之积的和． 2．公式 cos (α－β)中的 α 和 β 是任意角，不要误以为 α 和 β 中只能是锐角． 3．熟练应用公式不仅仅是正用公式，还要能逆用公式、变用 公式，同时也要会创造条件应用公式，如 2β＝(α＋β)－(α－β)、α ＝(α＋β)－β 等．
第十六页，共20页。
3．已知 α，β 为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝ 1100，求 α－β 的 值．
【答案】－π4
第十七页，共20页。
误区解密 不考虑角的范围而出错 【例题】 已知 α，β，γ 是锐角，sin α＋sin β＝sin γ，cos α＋ cos β＝cos γ，求 α－γ 的值． 错解：由已知得，sin α－sin γ＝－sin β，cos α－cos γ＝－cos β， 两式分别平方得， sin2α－2sin αsin γ＋sin2γ＝sin2β，cos2α－2cos αcos γ＋cos2γ＝ cos2β， 两式相加得，1－2(cos αcos γ＋sin αsin γ)＋1＝1， 即 cos(α－γ)＝12，故 α－γ＝±π3. 错因分析：没有考虑角的范围，出现了不易发现的错误．
第十四页，共20页。
解：因为 α 是第二象限的角，所以 2kπ＋π2<α<2kπ＋π(k∈Z)， 因为 β 是第三象限的角，所以－β 是第二象限的角，即 2kπ＋π2<－ β<2kπ＋π(k∈Z)，两式相加得到 4kπ＋π<α－β<4kπ＋2π(k∈Z)，可 见 α－β 的终边在第三、四象限或在 y 轴的非正半轴上．再由 cos α ＝－4401得，sin α＝491.由 sin β＝－275得，cos β＝－2245.从而 cos(α－β) ＝cos αcos β＋sin αsin β＝－4401×－2254＋491×－275＝1809275.故 α －β 是第四象限的角．

思
考 .那么对于任意角a，此等式成立吗？若成立，你会用几 种方法予以证明？
第十一页，编辑于星期日：四点 二十四分。
例2：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
逆用公式时注意观察是否只有两个角
第十二页，编辑于星期日：四点 二十四分。
( 3 ) 由公式日：四点 二十四分。
1、利用和（差）角公式，求下列各式的值： 2、求下列各式的值：
(3)分析：因为cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)，且△ABC是锐角 三角形,所以cos(A+B)>O.
所以cos Acos B＞sin Asin B.所以两者大小能确定.
第九页，编辑于星期日：四点 二十四分。
例1：
第十页，编辑于星期日：四点 二十四分。
由以上解答可以看到，在本题条件下有
与差的正弦公式？
由和角正弦公式，你能得到差角的正弦 公式吗？
第六页，编辑于星期日：四点 二十四分。
2.由两角和与差的正弦、余弦公式如 何推导两角和与差的正切公式？
第七页，编辑于星期日：四点 二十四分。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式: cos( ) cos cos sin sin 简记：
第十四页，编辑于星期日：四点 二十四分。
第十五页，编辑于星期日：四点 二十四分。
课后作业： 习题3.1
3题、7题
思 考
能用同一个函数表示吗？
第十六页，编辑于星期日：四点 二十四分。
青春是有限的，智慧是无穷的，
趁短暂的青春，学习无穷的智慧。
富足
贫瘠
第十七页，编辑于星期日：四点 二十四分。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、
正切公式（一）
第一页，编辑于星期日：四点 二十四分。