数列专题复习
一、等差数列的有关概念：
1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n
a a a n
+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为
等差数列。
2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
8
33
d <≤） 3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=
，1(1)
2
n n n S na d -=+
。 如（1）数列 {}n a 中，*
11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152
n S =-，
则1a ＝ ＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；
（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：
2*
2*
12(6,)1272(6,)
n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2
a b
A +=
。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及
n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）
5、等差数列的性质：
（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有
2m n p a a a +=.
如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）； (4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、
*{}(,)p nq a p q N +∈、
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a
a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.
如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：
225）
（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）
；()1-n :n S =偶奇：S 。 如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且
()n
n
A f n
B =，则21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若
3
41
3-+=
n n T S n n ，那么=n n b a ___________（答：6287n n --） (7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增
等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
???
? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。上述两种
方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大
值。（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）
（3）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则（ ） A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0
D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 （答：B ）
(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.
二、等比数列的有关概念：
1、等比数列的判断方法：定义法
1
(n n
a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11
n n
n n a a a a +-=
(2)n ≥。 如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：5
6
）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
2、等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
如等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和q .（答：
6n =，1
2
q =
或2） 3、等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q
-=-11n a a q
q -=-。
如（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）； （2）
)(1010
∑∑==n n
k k
n
C
的值为__________（答：2046）
；
特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4、等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何
两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数
,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及
n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，
2
2,,,,a a a aq aq q q ...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)
,,,aq aq q
a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有
2m n p a a a = .
如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则31
32
31
0l o
g l o g l o g a a a +
++
=
（答：10）。
(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*
{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若
{}{}n n a b 、成等比数列，
则{}n n a b 、{}n n
a
b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列
232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.
如（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1lo g 1
lo g a n a n x x +=+(*)n N ∈，且
12100100x x x +++= ，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）
； （2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）
(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，
则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.
(4) 当1q ≠时，b aq q
a
q q a S n n n +=-+--=
1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。
如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）
(5) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.如设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）
(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，
1S a qS =+奇偶.
(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若
)(1
N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，
则{}n a 是等差数列；③若()n
n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）
三、数列通项公式的求法
一、公式法
①???≥-==-)2()111n S S n S a n n
n （；
②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.
例 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为
11
3
222
n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n
a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法
例 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。 例 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n n n a a +-=?+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法
例 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为
1
2(1)5n n n
a n a +=+，
进而求出
13211221
n n n n a a a a a a a a a ---????? ，即得数列{}n a 的通项公式。 四、取倒数法
例 已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1
211
+=
--n n n a a a ，求通项公式n a 。
解 将1
211+=
--n n n a a a 两边取倒数得：
2111=--n n a a ，这说明}1
{n a 是一个等差数列，
首项是
11
1
=a ，公差为2，所以122)1(11-=?-+=n n a n ，即121-=n a n . 五、待定系数法
例 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列
{}n a 的通项公式。
例 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为
115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求
出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 六、对数变换法
例 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123n n n a a +=??转化为
1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++
+++=+++，从而可知数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3lg 2
{lg }4164n a n +++的通项
公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 七、迭代法
例 已知数列{}n a 满足3(1)2115n
n n n
a a
a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2
1n
n n n
a a ++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n
n n a n a +=+??，即
1
lg 3(1)2lg n n n
a n a +=+，再由累乘法可推知
(1)
12
3!2
132
11221
lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=?????= ，从而1(1)3!2
2
5
n n n n n a --??=。
八、数学归纳法
例 已知数列{}n a 满足1122
8(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由122
8(1)
(21)(23)n n n a a n n ++=+
++及1
89a =，得。。。。。。 由此可猜测22(21)1
(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当1n =时，212
(211)18
(211)9
a ?+-==?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，
122
8(1)
(21)(23)k k k a a k k ++=+
++。。。。。。
由此可知，当1n k =+时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何*
n N ∈都成立。 九、换元法
例 已知数列{}n a
满足111
(14116
n n a a a +=
++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令n b =2
1(1)24
n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=
-
，代入11(1416
n n a a +=++得。。。。。。即22
14(3)n n b b +=+
因为0n b =≥
，故10n b +=≥则123n n b b +=+，即113
22
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-，
所以{3}n b -
是以13332b -===为首项，以2
1
为公比的等比数列，因此1
21132()
()2
2n n n b ---==，则21()32n n b -=+
21
()32
n -=+，得 2111
()()3423
n n n a =
++。 十、构造等差、等比数列法
① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 例 已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】∴)3(231+=++n n a a ∴.3224311-=??=++-n n n n a a 【反思归纳】递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；
② 在q pa a n n +=+1中令p
q
x x a a n n -=
?==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a . 例 已知数列{}n a 中，n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】 n n n a a 321+=+，∴
n
n n n n a a )23(2211+=-+，令n n n b a =-1
2 ∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- 2)2
3
(2-?=n ∴n n n a 23-=
【反思归纳】递推关系形如“n n n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“n n n n f a a )(1+=+求解. 十一、不动点法
例 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令7223x x x -=
+，得2
2420x x -+=，则1x =是函数31()47
x f x x -=+的不动点。 因为17255
112323
n n n n n a a a a a +---=
-=++，所以
2111()()3423
n n n a =
++。
n b ，使得所给递推关系式转化
113
22
n n b b +=
+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q q a q na S n n
n
前n 个正整数的和 2
)
1(321+=
++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)
12)(1(3212222++=
++++n n n n
前n 个正整数的立方和 2
3333]2
)1([321+=++++n n n 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；
（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。
例 已知3
log 1log 23-=
x ，求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和. 例 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
∴ 1
)32()(++=
n n
S n S n f ＝ ＝n n 64341++＝50
)8(12+-n n 501≤
∴ 当
8
8
-
n ，即n ＝8时，501)(max =n f
二、错位相减法求和
这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比
q ；
然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
例：（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++
（I ）设n n a
b n
=，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S
分析：（I ）由已知有1112n n n a a n n +=++11
2
n n n b b +∴-=
利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122
n n b -=-(*
n N ∈)
（II ）由（I ）知122n n n a n -=-,∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n
k k k k
k -===-∑∑
而
1
(2)(1)n
k k n n ==+∑,又1
1
2n
k k k
-=∑
是一个典型的错位相减法模型， 易得
11
12
42
2n
k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 三、
倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
例 求证：n n
n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
证明： 设n n
n n n n C n C C C S )12(53210++???+++= 0
113)12()12(n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- ∴ n n n S 2)1(?+=
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n
)23741()1
111(12-+???+++++???+++=-n a
a a S n n
当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2
)13(n
n +
当1≠a 时，2)13(111
1n n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+---
例：（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212
11
2(
)a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2
1()n n n
b a a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
（5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n
(6)
n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 例 求数列
???++???++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
n n n n a n -+=++=
111 则 1
13
212
11+++???++++=
n n S n ＝11-+n
例 在数列{a n }中，11211++???++++=
n n n n a n ，又1
2
+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵ 2
11211n
n n n n a n =++???++++=
∴ )11
1(82122+-=+?=
n n n n b n
)]111()4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n ＝ 1
8+n n
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
例 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a
S 2002＝2002321a a a a +???+++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
例 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +???++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= ＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
例 求
1
1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(9199999111111
1
-=????=???k
k k
个个 ∴
1
1111111111个n ???+???+++ ＝ ＝9
110)110(1091n
n ---?
＝)91010(8111n n --+
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；
高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。
高中数列经典习题(含 答案)
1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.
《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差， ，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将， 代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是 递增数列，但．对于选项D的命题，由，得， 因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题
4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若 ，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____． 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵． 考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.
类型一：迭加法求数列通项公式 1．在数列中，，，求. 解析：∵， 当时， ， ， ， 将上面个式子相加得到： ∴（）， 当时，符合上式 故. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式， 而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得. 举一反三： 【变式1】已知数列，，，求. 【答案】
【变式2】数列中，，求通项公式. 【答案】. 类型二：迭乘法求数列通项公式 2．设是首项为1的正项数列，且 ，求它的通项公式. 解析：由题意 ∴ ∵，∴， ∴， ∴，又， ∴当时， ， 当时，符合上式 ∴. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数且 ，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 2．若数列有形如的解析关系，而
的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 举一反三： 【变式1】在数列中，，，求. 【答案】 【变式2】已知数列中，， ，求通项公式. 【答案】由得，∴， ∴， ∴当时， 当时，符合上式 ∴ 类型三：倒数法求通项公式 3．数列中，
,，求. 思路点拨：对两边同除以得即可. 解析：∵，∴两边同除以得， ∴成等差数列，公差为d=5，首项， ∴， ∴. 总结升华： 1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而 恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 2．若数列有形如的关系，则可在 等式两边同乘以，先求出，再求得. 举一反三： 【变式1】数列中，，，求. 【答案】
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
几类数列典型例题分析 高考风向标：数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． 典型题选讲：例１若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +? ≤
数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；
一、 经典例题剖析 考点一：等差、等比数列的概念与性质 例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n a +++= （n=1，2，3…）， （1）求证{ b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。 （2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项 121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。 例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2 111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设2 )12(sin π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74
数列经典例题
数列与线性规划 1．已知数列{}n a 的前n 项和为 n S ，满足 ()()211122,3 n n nS n S n n n N a *+-+=+∈=，则数列{}n a 的通项n a = （ ） A ． 41 n - B ． 21 n + C ．3n D ．2n + 【答案】A 【解析】 试题分析：当1n =时，()2 2 13234,7 a a ?+-?==，故A 选 项正确. 考点：数列求通项． 2．已知数列{}n a 中, 45 n a n =-+,等比数列{}n b 的公 比q 满足1(2) n n q a a n -=-≥,且1 2 b a =,则 12n b b b +++= （ ） A. 14n - B. 4 1 n - C. 143 n - D. 413 n - 【答案】B 【解析】 试题分析：依题意有1 2 4,3 q b a =-==-，故()() 1 34n n b -=--， 所以1 34n n b -=?，这是一个等比数列，前n 项和为() 3144114 n n -=--. 考点：等比数列的基本性质．
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53 59a a = ，则95 S S = （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】 试题分析： 19951553 9()9215()52 a a S a a a S a +===+．故选A ． 考点：等差数列的前n 项和． 4．在等比数列{}n a 中，1 401 a a <<=，则能使不等 式 123 1231111 0n n a a a a a a a a ???? ????-+-+-+???+-≤ ? ? ? ???????? ? 成立的最大正整 数n 是（ ） A.5 B.6 C ．7 D ．8 【答案】C 【解析】 试题分析：设公比为 q ,则 1231231111n n a a a a a a a a +++???+≤ +++???+，即 ()111111111n n a q a q q q ?? - ?-??≤ --， 将 13 1a q = 代入得： 7 n q q ≤， 1,7 q n >∴≤． 考点：（1）数列与不等式的综合；（2）数列求和.
高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a
一、数列的概念选择题 1．已知数列{}n a 满足11a =，122 n n a a n n +=++，则10a =（ ） A ． 259 B ． 145 C ． 3111 D ． 176 2．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ?? ? ??? 的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[ )3,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 3．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 4．在数列{}n a 中，10a = ，1n a +，则2020a =（ ） A ．0 B ．1 C ．D 5．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{}n a ，若( )12* N n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1- 7．数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是（ ） A ． 21n n + B ． 23 n n + C ． 23 n n - D ． 21 n n - 8．在数列{}n a 中，114 a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ． 4 5 B ．14 - C ．5 D ．以上都不对 9．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3-
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=. （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++ ++=， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，
四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案 知识网络： 目标认知 考试大纲要求： 1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用； 2.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题. 4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 重点： 1.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 难点： 用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 知识要点梳理 知识点一：通项与前n项和的关系 任意数列的前n项和； 注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行： （1）求， （2）求出当n≥2时的， （3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.
知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法 1.迭加累加法： ， 则，，…， 2.迭乘累乘法： ， 则，，…， 知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）. 规律方法指导 1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想； 2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等容的综合.解决这些问题要注意： （1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想； （2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.
第四章 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相 同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2 d ，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.