§5.1二次函数根的分布
一、课前练习：
1．当(12)x ∈，时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ．
2．关于x 的方程222
(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．
命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根一个负根的充分不必要条件是
A.a<0
B.a>0
C.a<-1
D.a 〉1 4.ax 2
+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
A.0 B.a<1 C.a ≤1 D.0 例1、已知函数f(x)=1 3 ax 3-bx 2+(2-b)x+1 在x=x 1处取得极大值，在x =x 2处取得极小值，且0 （2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。 例2、设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与1 16 的大小．并说明理由． 三、课后练习： 1．已知a 是实数，函数f （x)=2ax 2 +2x-3-a ．如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有 零点，求a 的取值范围． 2．已知22()|1|f x x x kx =-++． （I ）若2k =，求方程()0f x =的解； （II ）若关于x 的方程()0f x =在(02)， 上有两个解12x x ，，求k 的取值范围，并证明12 11 4x x +<． 3．设a R ∈，函数 2 ()22.f x a x x a = --若()0f x >的解集为A ， {}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。 4．已知a 为实数，))(4()(2 a x x x f --= 若)(x f 在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围。 参考答案：课前练习：1.m ≤5 2.A 3.C 4.C 例1、（2007全国Ⅱ文22） 例2、本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+， 则由题意可得01012 (1)0(0)0a g g ?>??-?< ? >??， ，， ， 01133a a a a ?>??-<+?，， 03a ?<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =． 当 a >时， ()h a 单调增加，∴ 当03a <<-时 ， 20()2)2(22)2(17122) h a h <<=- - 1 2 16 17122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法 2：（I ）同解法1． （II ） 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I ）知03 a <<- 1170- <<∴．又10+> ， 于是 22111 2(321)1)0161616a a - =-=-+<， 即2 12016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=?2 (1)0x a x a +-+=，由韦达定理得 121x x a +=-，12x x a =，于是12121212 1200010(1)(1)0(1)(1)0 x x x x x x x x x x ?>??+>?? <<??-+->??-->?， ，， ， 0133a a a a ?>? ? <->+?，， 03a ?<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得 12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=-- 22 11221112216 x x x x +-+-???? <= ? ?????，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 课后练习： 1、2007广东文21 2、本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力． （Ⅰ）解：（1）当k ＝2时， 22()|1|20f x x x x =-++= ① 当2 10x -≥时，x ≥1或x ≤－1时，方程化为22 210x x +-= 解得x = 01<<，舍去， 所以x = ②当2 10x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x += 解得12 x =- ， 由①②得当k ＝2时，方程()0f x = 的解所以x =12x =-． (II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2， 因为22 1 ||1 () 1 ||1 x kx x f x kx x ?+->=?+≤? 所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()f x ＝0在（0,1］上至多一个解， 若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝－1 2 ＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2． 由1()0f x =得1 1 k x =- ， 所以1k ≤-； 由2()0f x =得22 1 2k x x =-， 所以712k -<<-； 故当7 12 k - <<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解． 因为0＜x 1≤1＜x 2＜2，所以1 1k x =- ，2 2221x kx +-＝0 消去k 得 2 121220x x x x --= 即 212 11 2x x x +=， 因为x 2＜2，所以 12 11 4x x +<． 3．解：由f （x ）为二次函数知0a ≠ 令f （x ）＝0 解得其两根为1211x x a a ==由此可知120,0x x <> （i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x = A B φ?≠的充要条件是23x < ，即13a +解得6 7 a > （ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<< A B φ?≠的充要条件是21x > ，即11a >解得2a <- 综上，使A B φ?=成立的a 的取值范围为6 (,2)(,)7-∞-?+∞ 4. 解: (Ⅰ)解法一: 423)(2 --='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即 {084. 048 ≥+≥-a a ∴--2≤a ≤2. 所以a 的取值范围为[--2,2]. 解法二:令0)(='x f 即,04232 =--ax x 由求根公式得: )(3 122122 ,1x x a a x ?+±= 所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当x≤-2或x≥2时, )(x f '≥0, 从而x 1≥-2, x 2≤2, 即?????+≤+-≤+6122. 6122a a a a 解不等式组得: --2≤a ≤2. ∴a 的取值范围是[--2,2]. 一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 9 元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况 设方程ax 2 +bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1 < X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2 +bx + c = 0，方程的 根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 ) 两个正根即两根都大于 0 (为 >0,X 2 A O ) 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 ) 大致图象（> a 得出的结论 A >0 f (0 )>0 A >0 存0 f (0 )>0 f (0)v 0 O 大致图象（V a 得出的结论 △ >0 A >0 舌。 l f (0)<0 占。 ”（0）<0 f (0)A 0 综合结论（不讨论 a o < b a 计(0)< 0 表二：（两根与k 的大小比 较） 分布情况 两根都小于k 即 ( >0 ) yJ \ / / ■ k K a 得 出的结论 o > A - 两根都大于k 即 X i A k, X 2 A k o > A - 一个根小于k ，一个大于k 即 x , < k < X 2 y l I \ k 八 J “ f (k )v 0 o 大致图象（< a 得出的结论 O > A - I A>0 t^>k 2a f (k )<0 f (k )>0 综合 结论（不讨论 a △ >0 」 二次方程根的分布练习 1 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。 2、k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 3已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。 4、已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。 5、若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。 6抛物线y=x2+ax+2 与连接两点M （0,1）、N(2，3)的线段（包括M,N 两点）有两个相 异的交点，求a 的范围。 定义域与值域练习 1.设()y f x =的定义域为[4,)A =+∞，给出下列函数：(24)y f x =-，2 ()4 x y f = y f =，16()y f x =-，其中定义域仍是A 的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤ ()()(||)12的定义域是______。 3.函数352)(--= x x x f 的值域是 4.函数 35 2)(--=x x x f （x>4） 的值域是 5.函数x x y 21--=的值域是 6.的值域是 7.5482+-= x x y 的值域是 8.y=1x+x 1,22x ??∈ ??? 的值域是 9.不等式x x m 22+≤对一切非零实数x 总成立 , 求m 的取值范围。 10.a,b 是两个正数，且a 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：张雪利 课次：第次学生：上课时间： 教学目标 教学重难点 快速练习 1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ） A．B．C．D． 2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）A．0＜m＜2 B．-3＜m＜1 C．-2＜m＜0 D．-1＜m＜1 3.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）A．B． C．D． 4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围． 可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0） 5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围． 征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件. 6. 设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？ 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？ 由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值． 解：经配方有y＝2(x-a)2+3，对称轴为x=a． 当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大． 当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大． 当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小． 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表1：（根在区间上的分布） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是: （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 总结：两根在同一区间，需考虑： 两根在相异区间，需考虑： 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。 例1：:方程()2 220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，求m 的取值范围。 因为()10f =，所以()()()2 2212mx m x x mx -++=--，另一根为 2m ，由213m <<得2 23m <<即为所求； 例2:方程2 4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。 分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314 m -<<-；②由0?=即()2 164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当3 2 m =时，根()33,0x =?-， 故32 m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =- 根的分布练习题 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 一元二次方程的实根分布问题 问题1. 试讨论方程02 =++c bx x 的根的情况。 （1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？ （2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？ 一根为0？ （3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根 大于1？ 说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。 利用根的判别式，可以解决（A ），（B ），结合运用韦达定理，可以解决（C ）。而要解决（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。 思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2)( （1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ?? ???->+-<≥-??????>-->+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是： ?? ???->+->≥-??????>--<+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+ 典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0 二次方程根的分布【解答题】专题练习 1.2015年XX 省XX 市靖远二中高考数学三模试卷 (文科)第21题 设函数2 ()ln f x x x a x =-+，其中0a ≠． (1)若6a =-，求()f x 在[1,4]上的最值； (2)若()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，XX 数a 的取值X 围； (3)求证：不等式*311ln ()n n n N n n +->∈恒成立． 2.2015年XX 省XX 一中高考数学文科模拟试卷(1月份)第18题 已知函数2()163F x x x c =-++， （Ⅰ）若函数()f x 在区间[1,1]-存在零点，XX 数c 的取值X 围； （Ⅱ）是否存在常数(0)t t ≥，当[,10]x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为 12t -？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由（注：[,]a b 的区间长度为b a -） ． 3.2015年XX 省桐乡第一中学等四校高三上学期期中联考理科数学试卷第22题 已知函数2()22f x x ax a =-++ (1)若()0f x ≤的解集[0,3]A ?，XX 数a 的取值X 围； (2)若2()()1g x f x x =+-在区间(0,3)内有两个零点，XX 数a 的取值X 围 4.2014年XX 富阳二中高二下学期第三次质量检测文科数学试题第20题 已知函数2 ()(1)||f x x x x a =+--． (1)若1a =-，解方程()1f x =； (2)若函数()f x 在R 上单调递增，XX 数a 的取值X 围； (3)若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值X 围 5.2014年XXXX 外国语学校高一上学期期末考试数学试题第21题 已知函数22()1f x x x kx =-++． (1) 若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，XX 数k 的取值X 围； (2) 若函数()f x 在区间()0,2内有两个不同的零点12,x x ，求：①实数k 的取值X 围； ②12 11x x +的取值X 围． 6.2013年XX 省XX 市书生中学高二下学期期中考试文科数学试卷第21题 已知函数2 ()4f x x ax b =++，设关于x 的不等式()0f x >的解集为12(,)x x ，且方程()f x x =的两实根为,αβ. (1)若||2αβ-=，求,a b 的关系式； (2)若12αβ<<<，求12(1)(1)x x ++的X 围. 答案和解析 1.2015年XX 省XX 市靖远二中高考数学三模试卷 (文科)第21题 答案：(1)12(1ln 2)-；(2)108a << ；(3)见解析 分析：(1)当6a =-时，2()6ln (0)f x x x x x =-->， 2626(2)(23)()21x x x x f x x x x x ---+'=--==， 令123()02,2 f x x x '=?==- （舍）， 当12x ≤<时，()0f x '<． ∴()f x 在[1,2]上为减函数，在[2,4]上为增函数． 一元二次方程根的分布 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】01>x ，02>x (两个正根)? 2 1212400 0b ac b x x a c x x a ??=-≥??? +=->?? ? =>?? ， 推论：01>x ，02>x ? ????? ??<>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。 分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101 m m m m m m m ? ??=++-≥? +?->? -?-?>?-?0 一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 课 题：一元二次方程实根的分布讲义(韦达定理) 教学目的： 1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 教学过程： 一、复习引入： 韦达定理： 方程02 =++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则 ?? ??? = -=+a c x x a b x x 2121 二、讲解新课： 例1 当m 取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有: ①两个实根； ②一正根和一负根； ③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解 ：设方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的两根为1x 、2x ①若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足： ?????>>+≥?0002121x x x x ???? ?????? >->--≥---04 5 0420)5(16)2(2m m m m ??? ???><≥+-520 84202 m m m m ??? ? ??><≥≤5214 6m m m m 或?m ∈φ. ∴此时m 的取值范围是φ，即原方程不可能有两个正根. ②若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足： ?? ?<>?0021x x ?? ?? ??<->---04 50 )5(16)2(2m m m ?m<5. ∴此时m 的取值范围是(-∞,5). ③若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值， 专题十一 一元二次方程实根的分布讨论 本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。 一．一元二次方程实根的基本分布——零分布 一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正?△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负?△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 一正一负?1x 2x ＜0。 例1．关于x 的一元二次方程2 8(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ??? +< ??> ?≥ ① ②③ 由①得：2 (1)32(7)0m m +--≥，2 (15)0m -≥，恒成立。 由②得：1 8m +- ＜0，解之，m ＞1-。 由③得：7 8 m -＞0，解之，m ＞7。 综上，m 的取值范围是m ＞7。 例2．若n ＞0，关于x 的方程2 1(2)04 x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n 的 值。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ?= ?? +??> ?① ＞ ②③ 由①得：2 (2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情 况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图 象（0 >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二：（两根与k 的大小比较） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 根的分布练习题（含答案） 1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。 2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 3、已知二次函数()()()2 22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。 4、已知二次方程()2 2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。 5、方程()2 220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，求实数m 的取值范围。 6、如方程2 4260x mx m -++=有且只有一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。 7.已知1x 、2x 是方程2 4420x mx m -++=的两个实根． (1)当实数m 为何值时，2212x x +取得最小值？(2)若1x 、2x 都大于12 ，求m 的取值范围． 1已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根均为正，求m 的取值范围？ 2已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根都大于2，求m 的取值范围？ 3．已知方程)0(023222>=---k k x kx ，若方程的两个实根一个大于1，另一个小于1，求实数k 的取值范围？ 4. 已知方程)0(023222>=---k k x kx ，若方程的两个实根一个大于3，另一个小于2，求实数k 的取值范围？ 5. 已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的一个根在（1,2）另一个根在（2,6）内，求m 的取值范围？ 6. 已知方程05)2(2=-+-+m x m x ，若方程的两根都在（0,5）内，求m 的取值范围？ 7.已知方程022=+-a x x 在（0,2）内有两个不同的根，求a 的取值范围？ 8.已知方程,032=++mx x 若两实根满足.41021<<< 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表 表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0) 分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象 结 论 ()0 0200 b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方 程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0；(2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 即 所以或 故. 一元二次方程根的分布 1. 已知方程02112 =-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。（4 12912<二次函数根的分布专题
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