一、课题名称
Malab矩阵特征值
二、目的和意义
1、求矩阵的部分特征值问题具有重要实际意义，如求矩阵谱半径()Aρ=maxλ，稳定性问题往往归于求矩阵按模最小特征值；
2、进一步掌握冪法、反冪法及原点平移加速法的程序设计技巧；
3、问题中的题（5），反应了利用原点平移的反冪法可求矩阵的任何特征值及其特征向量。
三、实验要求
1、掌握冪法或反冪法求矩阵部分特征值的算法与程序设计；
2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵B=A-PI取不同的P值，试求其效果；
3、试取不同的初始向量，观察对结果的影响；()0υ
4、对矩阵特征值的其它分布，如如何计算。
四、问题描述
五、实验程序设计
幂法
function [lamdba,v]=power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
k=0;
y=a*x;
while(k y=y/max(abs(y)); y=a*x; m=max(abs(y)); x=y/m; k=k+1; if abs(y-m) break; end end lambda=m v=x 方程组1结果 >> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6]; >> x=[1 1 1]'; >> epsilon=0.00005; >> maxl=20; >> power_menthod(a,x,epsilon,maxl) lambda = 6.4183 v = -0.0484 -0.3706 1.0000 方程组2结果 >> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4]; >> x=[1 0 1 0 0 1]'; >> epsilon=0.00005; >> maxl=20; >> power_menthod(a,x,epsilon,maxl) lambda = 21.3053 v = 0.8724 0.5401 0.9974 0.5644 0.4972 1.0000 反幂法 function [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1) for i=1:max1 y=x/max(abs(x)) x=a\y end v=y; lambda=1/max(abs(x)); function [lambda,v]=INV_shift1(a,x,epsilon,max1) for i=1:max1 y=x/max(abs(x)); x=lu1(a,y,3) end v=y; lambda=1/max(abs(x)); 方程组1结果 >> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6]; >> x=[1 1 1]'; >> epsilon=0.00005; >> max1=20; >> [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1) lambda = 0.2880 v = 1.0000 0.5229 0.2422 方程组2结果 >> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4]; >> x=[1 0 1 0 0 1]'; >> epsilon=0.00005; >> max1=20; >> [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1 lambda = 1.6214 v = -0.4824 -0.0702 1.0000 -0.6005 0.5211 -0.4588 六、实验结果分析 1.幂法 幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法, 特别是用于大型稀疏矩阵。 设实矩阵A=[a ij]n×n有一个完全的特征向量组，其特征值为λ1，λ2,…,λn,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n.已知A的主特征值是实根，且满足条件 |λ1|>|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |, (2.1) 幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量ν0,由矩阵A构造一向量序列 称为迭代向量。 2.ν0=α1 x1+α2 x2+ … +αn x n(α≠0 ), (2.3) 于是 其中 (2.4) 由假设 从而 这说明序列νk/λ1k越来越接近A的对应于λ1的特征向量, 或者说当k充分大时 故 即两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值。 2、反幂法 反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。 设A∈R n×n为非奇异矩阵，A的特征值依次记为 |λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |, 相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n , 则A-1的特征值为 |1/λn|≥|1/λn-1|≥…≥|1/λ1 | , 相应的特征向量为x n,x n-1,…,x1 . 所以计算A的按模最小的特征值λn的问题就是计算A-1的按模最大的特征值问题。 对于A-1应用幂法迭代(称为反幂法)，可求得矩阵A-1的主特征值1/λn，从而求得A的按模最小的特征值λ 求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0)，误差eps； (2) k 1； (3)计算V(k)A(k 1)； (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1))； (5) (k)V(k)/m k； (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止； (7)k k 1, 转(3) 注：如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k求矩阵特征值算法及程序