第三讲函数的单调性、奇偶性
一S 知识点归纳 函数的单调性
(1) 左义：设函数产fd)的肚义域为I ， 如果对于左义域I 内的某个区间Q 内的任意两 个自变?χl ,疋，当為<龙时，都有fg)
(2) 函数单调性的证明的一般步骤：①设旺，心是区间D 上的任意两个实数，且旺<兀2 ② 作差/(χ1)-∕(χ2),并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断 正负的式子：③确?/(χ1)-∕(χ2)的符号；④给出结论 证明函数单调性时要注意三点：①州和兀的任意性，即从区间D 中任取"和也，证明单调 性时不可随意用量额特殊值代替：②有序性，即通常规?χ1<χ2:③同区间性，即旺和勺 必须属于同一个区间。 (3) 设复合函数y = ∕［g(x)］是泄义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调 性相反，则y = ∕k(x)］在区间M 上是减函数：若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同, 则y =/［g(x)］在区间M 上是增函数。概括起来，即“同增异减II 号” (4) 简单性质：
① /(-V)与Jf(X)单调性相同：f(x)与-/(X)及—单调性相反
JW ② 在公共泄义域内：
增函数/(X) +增函数g(Λ?)是增函数：减函数J (X) +减函数g(x)是减函数； 增函数/(X)-减函数g(x)是增函数：减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。 (5) 必须掌握特殊函数单调性
① _________________________________________________________________ _次函数y = kx+b: _________________________________________________________________
同增异减”
减函数
XIVX2
∕U 1)>∕?)
l∕Uι)>∕U 2)
或！ g
ι∕u 1)<∕u 2)
② 二次函数y = ax 2
+bx + c ： __________________________________________________ ③ 反比例函数y = -： _________________________________________________________
∣ζ
④ 双钩函数y =牙+ _ ： _______________________________________________________
X 注：数的多个单调区间通常不能用并集联接；②单调区间的端点只要在左义域内就要加上 ③增函数在图像上反映岀来就是"向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下” 函数的最值
(1) ?义：/(x)的最大值：/(x)最大的函数值：/(x)的最小值：/(X)最小的函数值 (2) 求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性 1. 定义:
① 设y=f(x),左义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x∈A,都有/(-X) = f(x). 称y=f(x)为偶函数。
② 设y=f(x),左义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x∈A,都有/(-x) = -∕(Λ?),
称*为奇函数。概括起来，5)为偶函数
f
育驚对称
2. 函数奇偶性的判断的步骤:①求/(X)泄义域，若fM 义域不关于原点对称，则函数/(X) 既不是奇函数也不是偶函数；若/(X)左义域关于原点对称，贝IJ 判断/(X)与/(-X)的关系 ②判断/(X)与/(-Λ)的关系，若/(-X)= JXX),则f(x)为偶函数；若f(-x) = -f(x), 则/(X)为奇函数：若/(→?) = /M 且/(τ) = -∕(χ),则/(X)既是奇函数又是偶函数: 若/(-对≠ /(X)且/(-X)≠ -/(X),则函数/(X)既不是奇函数也不是偶函数 3?性质:(1)若/(X)为奇函数，则:①f(-x) = -f(x);②于(X)图像关于原点对称;
③ O 在f(x) ?义域内时有/(O) = 0:④/(Λ?)在关于原点对称的区间上单调性相同
⑤ 几种特殊的奇函数y = χ9 y = X 3
1 y = — ? y = Sin X
X
(2)若/(X)为偶函数，贝I ］：①f(-x) = /(Λ-):②/(X)图像关于y 轴对称③/(X)在关于 原点对称的区间上单调性相反；④几种特殊的偶函数：y = ∣ψ y = √, y = Cosx X 注：①若二次函数y = ax 2
+bx + c 为偶函数，则b = 0;②在同一世义域内，奇 偶=
奇，
+
奇土奇=奇，偶X 偶=偶；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式/(x) = 0
/(X)为奇函数O
了⑴定义域关于原点对称
/(-V) =-/(X)
■
二、典例例题解析：
题型一单调性的定义
例1泄义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数Cl,b总有/(“)-八4〉0 ,试判断/(A) a
—h
单涮性。
例2若/(x)在区间⑺")上是增函数，在区间(〃,c)上也是增函数，则函数/(x)在区间
(a.b)[)(b,c) Jt()
A.必是增函数
B.必是减函数
C.是增函数或减函数
D.无法确定单调性
变式训练下列说法中正确的有______________ 个
①若χ1,χ2∈ I,当X l<χ2时，.广(xjc/g)，则y = f M在/上是增函数
②函数y = F在R上是增函数：③函数V =-丄在定义域上是增函数：④y =丄的单调区间
X ■ X
是(YC.0) U(O,+∞)
题型二单调性的证明
例1证明函数y = x + -∕±区间(OJ)上为减函数
例2证明函数/(x) = √PTT-x在英左义域内是减函数
例3已知函数y =∕ (x)在(0,+S)上为增函数，且ΛX)<0(Λ?>0),试判断F(X) = 丄在
f(x) (0?+oo)上的单调性，并给出证明过程
题型三利用单调性求函数值域和最值 例1求下列函数的最值
① /(X)= Jl - 2x — X ;② /(X)= y/3 + Λ — y∣3 — X :③ j (X) = JX + ] — ?[x ~~ 1
变式如果函数/(x) = √-X 2
-Z V + 3 ,求f(x)的单调区间和值域
例2已知/(x) = F 一2(1 -α)x + 2在(-αo.4],上是减函数，求α的取值范幅I
变式1已知∕ω = x 2
-2(l-u)Λ?÷2的减区间是(Y >4,求d 的值
变式2函数f(x)=x 2
+ 3x +2在区间(?5,5)上的最大值、最小值分别为
A. 42J2
B. 42,丄 C 、12, --
D 、无最大值，最小值丄
4
4
4
?变式3函数y=2√—("一 l)x+3在(一8, 1]内递减，在(1, +oo)内递增，则“的值是 ( )
A ?1 B.3 C.5 D.-1 例3若f(x)≈-在区间
(2+00)上是减函数，求d 的的取值范用
x + 2
变式1函数y = /(Λ?)的图彖如图所示：则g(Q = f Iog I X 的单调 减区间是()
/(x) = √x -2-
1 + x
√Γ
,x∈[l,+oc)
A(OJ) B(01］ C,［llj
D ?［討
题型四抽象函数的单调性
例1已知函数y =/(x)是(YO ?÷∞)上的增函数，且/(2x-3)>∕(5x+6),求X 的取值范围
变式 已知函数y = f(x)的立义域为［-2,2］,且/(X)在区间［-2,2］上是增函数且
f(l-m) 例2已知函数y = ∕(Λ?)在［(λ+∞)上是减函数，比较/上)与∕ω2 -π + l)的大小 例3已知泄义在区间(0,÷oo)±的函数/(x)满足f(-) = f(χ)-f(y),且当X>l 时/(X) < O y ① 求/⑴的值：②判定/(X)的单调性:③若/(3) = -1,求/(X)在［2,9］上的最小值 变式 已知左义在区间(O.+o□)上的增函数/(x)满足f(-) = f(χ)-f(y)f /(2) = 1,解不 y 等式 ∕ω-∕?≤2 C.(O,1］和［√Σ,+S )D (YO ,1］和［√2,+oo)变式 2 (3d-l)x + 4d IOgd V ("I) (A ?≥1) 是R 上的减函数，那么"的取值范用是( 例4函数f(x)是圧义在(0, +8)上的减函数，对任意的X, y∈(0, +8),都有f (χ + y) =f(x)+f(y)-l,且 f(4)=5. (1)求f⑵的值：(2)解不等式f (m—2) ≤3 变式已知函数f(x) Zk义域为R,且对FnjlE R ?恒有f(nι + n) = f(m) + f(n)-?, fi∕(- l) = O> 当X〉一丄时，/(x) >O 2 2 ① 求/(*)②证明：/(JV)在R上为增函数 函数的 例1下列说法中错误的个数为() ①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于y轴对称的函数是偶函数 ③奇函数的图像一定过坐标原点④偶函数的图像一泄与y轴相交 A.4 B. 3 C.2 D. 0 变式下列判断正确的是() A.定义在R上的函数y?(Λ-),若/(—1) = ∕(1),且/(-2) = /(2),则/(x)是偶函数 B.定义在/?上的函数/3满足/(2) > /(1),则f(x)在R上是增函数 C.左义在R上的奇函数/(x)在区间(-8,0］上是减函数，则在区间(0,+oo］上也是减函数 D.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 题型六函数奇、偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性(定义法) ⑤心T ② /(x) —(X — 1) + "③ f (X) - I ④/(X)-X2+2X-1 ⑤/(x) =∣-v+2∣-|x—2∣ ⑥/(X) = _ 1 + Jl_f ⑦/(X)= ⑧ f(x) = lg(l-x) + Ig(I + x) 例2判断下列函数奇偶性(定义法或图像法) f x(x-l), x≥0 ① ∕w= ( H n I-X(X-1), XVo ② fW = < — 2x + 3 O -X2 _ 2x _ 3 x>0 X = O XVo 2Λ+1 2t-l ③ /(x) = 2,x∈{-2,-l,0,l,2} 例3判断下列函数奇偶性(抽象函数) ① F(X) = f(x) + f(-x)② F(x) = ∕(x)-∕(-x) ③F(X) =/(x)-∣∕(-x)∣,其中于(兀)为奇函数④函数/(x) 义域为/?,并且对任意Λ? y∈∕?均满足f(χ+y) = f(χ)+f(y)>判断/S)奇偶性，并证明。 ⑤ 设函数y = f(x)(x≠O)并且对任意非零实数X, y均满足/(Λy) = ∕U) + ∕(y), 求证： /(X)为偶函数 ⑥ 函数/(x)不恒为O(XeR)9对任意兀、)咗R均满足 /(x+ y) + f{x-y) =2∕(%)∕(y)求证：.f(x)为偶函数 题型七奇偶性的应用 1求函数值 例 1 已知f(x) = ax5+bx3+cx-S且/(3) = 10,求/(-3) 变式1已知f3=d+/+&—6且，f(3)=10,则f(-3)的值为_______________________ 变式2已知左义在R上的奇函f(x)和偶函数g(0满足f(0 +g(0=孑一& ”+2 (a>0,且&≠1)?若 g(2)=a,则 f(2) = ( ) A- 2 β?τ c?τD- E 变式 3 已知 g(x)为奇函数,/(x) = Iog2(√√+l - x) + g(x) + 2x,且 f(-3)=—,求 f(3)； 8 变式4设f(对是泄义在R上的奇函数，当XWo时，Γ(A-)= 2√-,γ.则Γ(l) = () A. -3 B. —1 C. 1 D? 3 变式5已知/(x)是左义在R上的奇函数，若/(x + 2) = -∕(x),则/(6)的值为______________ 2求解析式 例1已知/(X)是奇函数，当Λ?>0时，/(x) = Aψt-2∣,求XVo时，/(X)解析式 变式1奇函数f(x)在(0, +8)上的解析式是X^)=X(I-A^则在(一8, 0)上fg)的函 解析式是() A. f(x) = —-r(l~-γ) B. /(-￥)=-γ(l÷-v) C. f(x) = —x(l + x) D. f(x) =x(-γ-1) 变式2设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,又f(χ)÷g(χ)= 丄求f(x)和g(x). —1 例2函数/⑴二空M是立义在(一1,1)上的奇函数，且/(I) = Z>求/(x)解析式 1 + 疋 2 5 变式1若函数fM = GX2+3x + b是R上的奇函数，则/(X)的解析式为 变式2若函数y = (x + l)(x-6r)为偶函数，求α 3解不等式 例1设/(X)为泄义在/?上的偶函数，在(-oo,0)上递增，K f(a-↑)< f(2a + ?),求“的取值范围 变式1已知偶函数f(χ)在区间［0, +8)上单调递增，则满足f(2x — 1)<4另的X取值范用 是() 变式2/3为偶函数，在［0,+∞)上单调递减,且/(2x-l)<∕(% + 3),求X的取值范围 4奇偶性与单调性的综合应用 例1设“V)是R上的偶函数，/(X)在［0.炖)上单调递增，试比较/(-2),/(3),/(兀)大小 例2/3是泄义在R上的偶函数，且/(3) = 0, /(X)在［0?亦)上单调递增，则不等式 ∕ω≥o的解集为__________ 变式1 定义在R上的偶函数f3,对任意拒,jβ∈ ［0, + a) (A-1≠^),有"S" ! V 0,则() A. f(3)<Λ~2)Cf(I) B. f(l) C. f(-2) D. r(3)<∕(l)<∕(-2) 变式2设/(x)是定义在R上的奇函数,且g = 0, /(X)在［0,1］上单调递增,在［1,÷∞)± 单调递减，贝怀等式/(χ) ≥o的解集为________ 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D. 第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性 （1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数的单调性与奇偶性 1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 A.))(,(a f a -- B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a - D. ))(,(a f a --- 2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 A ．2)()(x x f =是偶函数 B ．2)()(x x f =是奇函数 C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数 D ．23)(x x f -=是偶函数 4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是 A ．(－1,2) B ．(1,4) C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞) D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R，又 f（-x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2）＝- ＝＝． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0，x1+x2＜0， x21+1＞0，x22+1＞0， 得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论． 1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即 课次教学计划（教案） 课题 函数的单调性和奇偶性 教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别 2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略：讲练结合，查漏补缺 1.例1：观察y=x 2的图象，回答下列问题 问题1：函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随着x 的增加，y 值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x 1、x 2∈[0，+∞]，得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1 函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x x I ∈，当12x x <时，总有 (ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。 (ⅱ) )()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有： 1212 ()() 0f f x x x x ->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（ ★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有： 121 2 ()() 0f f x x x x -<-或1212)[()()]0f f x x x x --<（ 3．函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当 (),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数 (())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，函数1()()()F x f x g x =+、2()()()F x f x g x =?的增减性与()f x (或()g x )相同，3()()()F x f x g x =-、4() ()(()0)() f x F x g x g x = ≠的增减性 —函数的单调性和奇偶性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1］∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ 函数的单调性和奇偶性 一、目标认知 学习目标： 1.理解函数的单调性、奇偶性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 重点、难点： 1.对于函数单调性的理解； 2.函数性质的应用. 二、知识要点梳理 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数； 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数. 如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间. 要点诠释： [1]“任意”和“都”； [2]单调区间与定义域的关系----局部性质； [3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； [4]不能随意合并两个单调区间. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义. 2.函数的奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： [1]奇偶性是整体性质； [2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； [3]f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：； 函数的单调性、奇偶性综合运用 【学习目标】 1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题； 2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。 【学习过程】 一．复习回顾： 1．函数单调性、奇偶性的定义 2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是 二．例题精讲： 题型一：知单调性求参数的范围 1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数 则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系是 。 2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围. 【变式】 已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若 )4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。 题型二：单调性的判断与证明： 3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x ) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论 4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断) (1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 【课堂巩固】 1.设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时， 1)(-=x x f ， 则0)1(<-x f 的解是 . 2. 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f < ()1232+-a a f ,求a 的取值范围. 3.若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围 4．已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论 （五）函数的单调性、奇偶性与周期性 （一）知识归纳 ▲函数的单调性 1．单调性概念 如果函数y= f (x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x、x，当x 函数的的单调性及奇偶性单元测试 一、选择题 1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 （ ） A.))(,(a f a -- B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a - D. ))(,(a f a --- 2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 （ ） A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 （ ） A ．2)()(x x f =是偶函数 B.2)()(x x f =是奇函数 C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数 D.23)(x x f -=是偶函数 4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 （ ） A ．奇函数 B 。偶函数 C 。非奇非偶函数 D 。既是奇函数又是偶函数 5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集 （ ） A ．(－1,2) B ．(1,4) C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞) D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0 高一数学（必修1）专题复习一 函数的单调性和奇偶性 一．基础知识复习 1．函数单调性的定义： 如果函数)(x f 对定义域内的区间I 内的任意21,x x ，当21x x <时都有 ()()21x f x f <，则()x f 在I 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在I 内时减函数． 2．单调性的定义①的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ?>--02 121在 [],a b 是增函数； ()()()x f x x x f x f ?<--02 121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --(1x ，I x ∈2)． ① 比较函数值的大小； ② 可用来解不等式； ③ 求函数的值域或最值等． 4．证明或判断函数单调性的方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集． （1）用定义． （2）用已知函数的单调性． （3）图象法． （4）如果()f x 在区间I 上是增（减）函数，那么()f x 在I 的任一非空子区间上也是增（减）函数 （5）复合函数的单调性结论：“同增异减” ． （6）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． （7）在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． （8）函数)0,0(>>+ =b a x b ax y 在,??-∞+∞ ? ??? 或上单调递增；在 0???? ?? ??? 或上是单调递减． 5．函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数． 6．奇偶函数的性质： （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称．（3）()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． （4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 函数单调性和奇偶性 一、选择题 (每小题 5 分，一共 12 道小题，总分60 分) 1．命题“若x, y都是偶数，则x y 也是偶数”的逆否命题是（）A．若x y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数 B．若x y 是偶数，则x与y不都是偶数 C．若x y 是偶数，则x与y都不是偶数 D．若x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数 2．下列函数是偶函数的是（） 1 ． y 2x 1 A．y sin x B． y x sin x C．y x 2D 2x 3．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（） A．y2x B． y 2 x C．y2x 2 x D．y 2x 2 x 4．下列函数中，不是偶函数的是（） A．y x24B． y tan x C．y cos2x D． y3x 3 x 5．（ 2015 秋?石嘴山校级月考）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞ +∞）上单调递增的 是（） A． y=﹣B．y=sinx C． y=x D．y=ln|x| 6．如图，给出了偶函数y f x 的局部图象，那么 f 1 与 f 3的大小关系正确的是( ) A. f 1 f 3 B. f 1 f 3 C. f 1 f 3 D. f 1f3 7．设函数 f ( x), g( x) 的定义域为R ，且 f (x) 是奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A．f ( x) g(x)是偶函数B．| f ( x) | g( x)是奇函数 8 ． 定 义 在 R 上 的 函 数 y f ( x) 具 有 下 列 性 质 : ① f ( x) f ( x) 0 ; ② f (x 1) f ( x) 1 ; ③ y f ( x) 在 [ 0,1] 上为增函数 , 则对于下述命题： ① y f (x) 为周期函数且最小正周期为 4; ② y f (x) 的图像关于 y 轴对称且对称轴只有 1 条 ; ③ y f (x) 在 [3,4] 上为减函数 . 正确命题的个数为 ( ) A ．0 个 B ．1个 C ． 2 个 D ．3个 9．设 f ( x) 是奇函数，且在 ( 0, ) 内是增函数，又 f ( 3) 0 ，则 x f ( x) 的解集 是 A ． x | 3 x 0或x 3 B ． x | x 3或0 x 3 C ． x | 3 x 0或 0 x 3 D ． x | x 3或x 3 10 ． 函 数 f x 的 定 义 域 为 R , 若 函 数 f x 的周期 6．当 3 x 1 时 , f x x 2 2 ，当 1 x 3 时， f x x ．则 f 1 f 2 f 2013 + f 2014 （ ） A ． 337 B ． 338 C ． 1678 D ． 2012 二、填空题 (每小题 5 分，一共 6 道小题，总分 30 分) 11 ．若函数 f ( x) x (2 a 1)x 1 1 为奇函数，则 a ________． x 12 ．已知奇函数 f （x ）当 x ＞ 0 时的解析式为 f （ x ） = ，则 f （﹣ 1）= ． 13 ． 已 知 f ( x) 3 b x 4其 中 a, b 为 常 数 ， 若 f ( 2) 2 ， 则 f ( 2 ) 的 值 等 a x 于 ． 14 ．若函数 f ( x) kx 2 ( k 1)x 2 是偶函数，则 f (x) 的递减区间是 ． 15 ．设定义在 R 上的函数 （fx ）满足 f ( x 2) f (x) 7，若（f 1）=2，则 （f 107）=__________. 16 ．设函数 f(x) 是奇函数且周期为 3，若 f(1) ＝－ 1，则 f(2015) ＝ ________． 三、解答题 (每小题 5 分，一共 4 道小题，总分 20 分) 17．已知函数 f ( x) a (1,3) 、 (2,3) 两点． bx ( 其中 a ， b 为常数 ) 的图象经过 x函数的单调性及奇偶性(含答案)
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