2015 高考数学专题十四：数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题
2015 高考数学专题十四：数形结合思想
（教师版含 13 、 14 年高考题）
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，
数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数
形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定
图形间的位置关系．
1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化
(1)集合的运算及韦恩图；
(2)函数及其图象；
(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；
(4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线；
(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；
(6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题，可通过函数的图象求解 (函数
的零点、顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用．
热点一利用数形结合思想讨论方程的根
例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) ＝| x－ 2| ＋1 ，g (x) ＝kx ，若方程 f (x) ＝g (x)
有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ()
11
A．(0 ， )B．( ，1)
22
C． (1,2) D ．(2 ，＋∞)
答案B
解析先作出函数 f (x )＝ |x －2| ＋1 的图象，如图所示，
当直线 g ( x )＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ，当直线 g ( x )＝kx 过 A 点时斜率
1
k 的范围为 (1
为，故 f (x) ＝g (x) 有两个不相等的实根时，，1) ．
22
思维升华用函数的图象讨论方程 ( 特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复
杂方程 )的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式
看作是两个熟悉函数的表达式 ( 不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函
数 ) ，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的
个数．
x 2＋bx ＋c，x ≤0 ，
训练 1（1）设函数 f (x )＝若 f (－4)＝f (0)， f (－2)＝
2 ， x>0 ，
－ 2，则关于 x 的方程 f (x ) ＝x 的解的个数为 ()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案C
解析由 f( －4) ＝f(0) ， f( －2) ＝－ 2 ，
x 2＋4 x ＋2 ，x ≤0 ，
解得 b ＝4 ， c＝ 2，∴f (x) ＝
2 ， x>0.
x 2＋4x ＋ 2 ，x ≤0 ，
作出函数 f (x ) ＝与y ＝ x的图象，如图，
2 ， x >0
由图知交点个数有 3 个，故选 C.
（2 ）若定义在R上的函数 f (x )满足 f ( x＋2)＝f (x )，且x∈ [－1,1]时，
lg x ，x >0 ，
0，x ＝0 ，
f (x) ＝1 －x 2，函数 g(x )＝则函数h (x)＝f (x )－
g (x)在区间1
－，x<0 ，
x
[ －5,5] 内零点的个数是 ()
A ．5B． 7
C．8D．10
[ 解析 ]依题意得，函数f (x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数 y ＝f (x)与函数 y＝ g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[ －5,5] 时，它们的图象的公共点共有8 个，即函数 h(x )＝ f(x) －g (x) 在区间 [ － 5,5] 内的零点的个数是8.
[答案] C
热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例
2(1)已知奇函数 f x的定义域是x x ≠，x∈
R}
，且在
(0
，＋∞上单调递( ){ |0)
增，若 f(1)＝0 ，则满足 x ·f(x)<0的 x 的取值范围是．
1
(2)若不等式 | x －2 a| ≥ x ＋a－1 对 x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围是．
2
答案
(1)( －1,0) ∪ (0,1)
1
(2) －∞，
2
解析 (1) 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知
x ·f x )<0
的 x 的
( 取值范围是 (－ 1,0) ∪(0,1) ． (2)
1 1
作出 y ＝| x －2a| 和 y ＝ x ＋a － 1 的简图，依题意知应有 2a ≤2－ 2a ，故 a ≤ .
2 2
思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象， 根据不等式中量的特点，选择适当的两个 ( 或多个 ) 函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．
训练 2
(1) 设 A ＝{( x ，y )| x 2 ＋ (y －1) 2 ＝1} ，B ＝{( x ，y )| x ＋y ＋m ≥0} ，则使
A? B 成立的实数 m 的取值范围是 ．
(2) 若不等式
9 －x 2
≤k (x ＋2) － 2 的解集为区间 [ a ， b ] ，且 b － a ＝ 2 ，则 k
＝ ________.
答案
(1)[ 2－1，＋∞) (2) 2
解析
(1)
集合 A 是一个圆 x 2 ＋( y － 1) 2
＝1 上的点的集合， 集合 B 是一个不等 式 x ＋y ＋m ≥0 表示的平面区域内的点的集合，
要使 A? B ，则应使圆被平面区域所包含 ( 如图 ) ，即直线 x ＋ y ＋ m ＝0 应与圆相
|m ＋ 1|
切或相离 (在圆的下方 )，而当直线与圆相切时有＝1，又m >0，
2
所以 m ＝ 2 －1 ，
故 m 的取值范围是 m ≥ 2 － 1.
(2)令 y1＝ 9－ x 2，
y 2＝k (x ＋2) － 2 ，在同一个坐标系中作出其图象，
因 9 －x 2≤k(x ＋ 2) － 2 的解集为 [a，b ] 且 b － a＝ 2.
结合图象知 b ＝3 ，a ＝ 1，即直线与圆的交点坐标为(1,22) ．
又因为点 (－2，－2) 在直线上，
2 2 ＋2
所以 k ＝＝ 2.
1 ＋2
热点三利用数形结合思想解最值问题
例 3 (1) 已知 P 是直线 l： 3x ＋ 4y ＋8 ＝0 上的动点， PA 、PB 是圆 x 2＋y 2－2x －2y ＋1 ＝0 的两条切线， A 、B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为．
x－ 2y ＋ 1≥0，
(2) 已知点 P(x ，y)的坐标 x ，y 满足则x2＋y2－6 x＋9的取|x| － y－ 1
≤0，
值范围是 ()
A ． [2,4]B．[2,16]
C． [4,10] D ．[4,16]
答案(1)2 2(2)B
解析
(1)从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x＋ 4 y＋ 8＝ 0 向左上方或右下方无
11
穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 S Rt△PAC＝ |PA| ·|AC |＝ | PA| 越来越大，
22
从而 S 四边形PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线 l 时， S 四边形 PACB 应有唯一的最小值，
此时 |PC| ＝|3 ×1＋4×1＋8|
＝ 3 ，
32＋42
从而 |PA|＝| PC| 2－|AC |2＝2 2.
1
所以 (S 四边形PACB )min＝2× ×|PA|×| AC|＝2 2.
2
(2)
画出可行域如图，所求的 x2＋y 2－ 6x ＋ 9＝ (x －3) 2＋ y 2是点 Q(3,0) 到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为 Q 到射线 x －y －1 ＝0( x ≥0) 的距离 d 的平方，最大值为 |QA |2＝16.
|3 －0－1|
∵d 2＝()2＝( 2) 2＝2.
12＋－12
∴取值范围是 [2,16] ．
思维升华(1) 在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的
条件进行转换，快速求得最值．
(2)如果 (不 )等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结
合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．
(1)(2013 ·重庆)设 P 是圆 (x －3) 2＋(y ＋1) 2＝4 上的动点，Q 是直线x ＝－ 3 上的动点，则 |PQ | 的最小值为 ()
A．6 B．4 C．3 D．2
x －y ＋ ≤ ，
1 0
(2) 若实数 x 、y 满足 x>0 ，
y
则 的最小值是 ______．
y ≤2 ， x
答案
(1)B (2)2
解析 (1) 由题意，知圆的圆心坐标为 (3 ，－ 1) ，圆的半径长为 2 ，|PQ | 的最小值为圆心到直线 x ＝－ 3 的距离减去圆的半径长， 所以 | PQ|min ＝3 －( －3) － 2＝
4. 故选 B.
(2) 可行域如图所示．
y
又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率
k.
x
由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小．
x － y ＋ 1＝ 0 ，
联立
得 A (1,2) ，
y ＝ 2，
2 －0 y
所以 k OA ＝ ＝2. 所以 的最小值为 2.
1－ 0 x
a 2
－ab ，a ≤b ，
模拟演练 5
对于实数 a 和 b ，定义运算“* ”：a * b ＝ 设
b 2 －ab ，a> b .
f (x) ＝(2 x －1)*( x － 1) ，且关于 x 的方程 f (x ) ＝m (m ∈R) 恰有三个互不相等的
实数根 x 1 ，x 2 ， x 3 ，则 x 1x 2 x 3 的取值范围是
．
[ 解析 ](1) 由定义可知，
2x －1x， x ≤0 ，
f(x)＝
－x －1 x ，x >0.
作出函数 f (x) 的图象，如图所示．
1
由图可知，当 0< m <时，
4
f(x)＝ m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2， x3 .不妨设 x 1 < x2 < x 3，
易知 x 2 >0 ，
1
且 x2＋x 3＝ 2 ×＝ 1 ，
2
1
∴x 2x 3 <.
4
1
2x －1 x＝，
令4
x<0 ，
1 － 3 1 ＋3
解得 x ＝或 x ＝(舍去)．
44
1 － 3 1 －3
∴< x 1<0 ，∴< x1 x 2 x 3 <0.
416
1 －3
[答案] (，0)
16
4．运用数形结合思想解决解析几何中的问题
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方
面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析) 在许多时候是很难行得通的．
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在
许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．【例 6】已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x －2y ＋1 ＝ 0 的两条切线， A ，B 是切点， C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值．
【解】根据题意，画出图形如下图，
当动点 P 沿直线 3 x ＋4y ＋8 ＝0 向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt △
11
PAC 的面积 S Rt△PAC＝ |PA| ·|AC| ＝ | PA|越来越大，从而S 四边形PACB也越来越
22
大；
当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，
即 CP 垂直于直线 3x ＋4y ＋8 ＝0 时， S 四边形PACB应有唯一的最小值，
|3 ×1＋4×1＋8|
此时|PC|＝＝3，
32＋42
从而| PA| ＝|PC|2－|AC| 2＝2 2.
1
∴(S 四边形PACB ) min＝2 × ×| PA|×| AC| ＝2 2.
2
规律总结：
1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何
意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．
2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量
上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．
3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．
4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公
式 (或向量的模 )；点到直线的距离公式等．
练习题
真题感悟
1 ．(2013 ·重庆)已知圆 C1：(x － 2) 2＋(y － 3) 2＝ 1，圆 C2：(x －3) 2＋(y－ 4) 2
＝ 9， M ，N 分别是圆 C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 | PM |＋ |PN |的最小值为 ()
A．5 2 －4 B.17 －1
C．6－2 2 D.17
答案A
解析设 P(x, 0) ，设 C1 (2,3) 关于 x 轴的对称点为 C1′(2 ，－3) ，那么 |PC1 |＋| PC2|
＝|PC1′|＋|PC2| ≥|C1′C2| ＝2 －32＋－3－42＝5 2.
而|PM | ＋|PN | ＝| PC1|＋|PC2| －4≥52－4.
2 ．(2014 ·江西)在平面直角坐标系中， A ， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋y －4 ＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ()
4 3
A. π
B. π
5 4
5
C． (6 －2 5) π D. π
4
答案A
解析∵∠AOB ＝90 °，∴点O 在圆 C 上．
设直线 2x ＋y － 4＝ 0与圆 C相切于点 D，
则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x ＋ y －4 ＝0的距离，
∴点 C 在以 O 为焦点，以直线 2 x＋ y －4 ＝0 为准线的抛物线上，
∴当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为 | OD |.
|2 ×0＋0－4|4又|OD |＝＝
5，
5
∴圆 C 的最小半径为2
，5
∴圆 C 面积的最小值为π (24
)2＝π.
55
－x 2＋2x ，x ≤0 ，
3 ．(2013 ·课标全国Ⅰ) 已知函数 f (x ) ＝若| f(x )| ≥ax ，则
ln x ＋1， x>0.
a 的取值范围是 ()
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[ －2,0]
答案D
解析函数 y ＝| f (x)| 的图象如图．
①当 a＝0 时， | f (x)| ≥ax 显然成立．
②当 a>0 时，只需在 x >0 时，
ln( x ＋1) ≥ax 成立．
比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．
显然不存在 a>0 使 ln( x ＋ 1) ≥ax 在 x >0 上恒成
立．③当 a<0 时，只需在 x <0 时， x 2－2x ≥ax 成
立．即 a≥x － 2 成立，所以 a≥－2.综上所述：－ 2
≤a ≤0. 故选 D.
4 ．(2014 ·天津)已知函数 f (x) ＝| x 2＋3x |， x ∈ R.若方程 f(x) －a|x －1| ＝0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为．
答案(0,1) ∪ (9 ，＋∞ )
解析设 y 1＝f (x) ＝| x2＋3x|，y 2＝a| x －1| ，
在同一直角坐标系中作出y 1＝ |x 2＋ 3 x| ，y 2＝ a| x －1| 的图象如图所示．
由图可知 f(x )－a| x － 1| ＝0 有 4 个互异的实数根等价于 y 1＝| x 2＋ 3x| 与 y 2＝ a| x － 1| 的图象有 4 个不同的交点，且 4 个交点的横坐标都小于 1 ，
y ＝－ x 2－ 3x ，
所以有两组不同解．
y ＝ a1－ x
消去 y 得 x 2＋ (3 －a)x ＋ a＝ 0 有两个不等实根，
所以＝(3－a)2－4a>0，即a2－10 a＋9>0，
解得 a<1 或 a>9.
又由图象得 a>0 ，所以 0< a<1 或 a>9.
押题练习
1 ．方程 |x 2－2x|＝a 2＋1( a>0) 的解的个数是 ()
A．1 B．2 C．3 D．4
答案B
解析
( 数形结合法 )
∵a>0 ，∴a2＋ 1>1.
而 y ＝|x 2－2x |的图象如图，
∴y ＝| x2－2 x|的图象与 y ＝a 2＋ 1 的图象总有两个交点．
2 ．不等式 | x＋ 3| －| x －1| ≤a2－
3 a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()
A．(－∞，－ 1] ∪[4 ，＋∞) B．(－∞，－ 2] ∪[5 ，＋∞)
C．[1,2]D．(－∞，1] ∪[2 ，＋∞)
答案A
－4x < －3，
解析 f (x) ＝|x ＋ 3| －| x －1| ＝2x ＋2－3 ≤x <1 ，画出函数 f (x )
4x≥1 .
的图象，如图，可以看出函数 f (x ) 的最大值为 4 ，故只要 a2－3 a≥4 即可，解得a≤－1 或 a≥4. 正确选项为 A.
3 ．经过 P(0 ，－ 1) 作直线 l，若直线 l 与连接 A (1 ，－2) ，B(2,1) 的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角α的取值范围分别为，________.
答案 [ －1,1]
π 3 π[0， ]∪[，π)
44
解析
如图所示，结合图形：为使 l 与线段 AB 总有公共点，则 k PA≤k ≤k PB，而 k PB>0 ，
k PA <0 ，故 k <0 时，倾斜角α为钝角， k ＝ 0 时，α＝ 0， k >0 时，α为锐角．－2－－1
又 k PA＝＝－1，
1－0
－1 －1
k PB＝＝1，∴－1≤k≤1.
0－2
π
又当 0 ≤k ≤1 时， 0≤α≤；
4
当－ 1 ≤k<0
3 ππ 3 π
时，≤α< π.故倾斜角α的取值范围为α∈ [0 ，] ∪[，π) ．444
2x ＋ 3y －6 ≤0 ，
4 ．(2013 ·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组x ＋ y －2 ≥0，
y ≥0
所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是．
答案2
解析由题意知原点 O 到直线 x ＋y －2 ＝0 的距离为 | OM |的最小值．
2
所以 |OM |的最小值为＝ 2.
2
5 ．(2013 ·江西)过点 ( 2 ，0) 引直线 l 与曲线 y ＝ 1 － x 2相交于 A 、 B 两点，O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为．3
答案－
3
111解析∵S△AOB＝|OA || OB |sin ∠AOB ＝ sin ∠AOB ≤ .
222
π
当∠AOB ＝时，S△AOB面积最大．
2
2
此时 O 到 AB 的距离 d ＝.
2
设 AB 方程为 y ＝k (x －2)( k <0) ，即 kx － y －2k ＝0.
| 2 k |23
由 d ＝＝得 k ＝－.
k 2＋123
x 2y 2
6. [2014 ·四川高考] 已知椭圆 C：＋
b 2＝1( a> b >0) 的左焦点为 F(－2,0) ，
a2
6
离心率为.
3
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 O 为坐标原点， T 为直线 x ＝－ 3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于P，Q .当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积．
c6
[ 解 ] (1) 由已知可得，＝， c＝ 2 ，所以 a＝ 6.
a3
又由 a2＝b 2＋c 2，解得 b ＝ 2 ，所以椭圆 C 的标准方程是x 2y2
＋＝1. 62
(2) 设 T 点的坐标为 ( －3 ，m ) ，则直线 TF 的斜率 k TF＝
m －0
＝－－3 －－2
m .
1
当 m ≠0 时，直线 PQ 的斜率 k PQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
m
当 m ＝0 时，直线 PQ 的方程是 x＝－ 2 ，也符合 x ＝ my －2 的形式．设 P(x 1，y 1 ) ，Q(x2，y 2) ，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得
x＝my － 2，
x 2y 2
＋＝ 1.
62
消去 x ，得 (m 2＋3) y 2－4my －2 ＝0.
其判别式＝16 m 2＋8( m 2＋ 3)>0 ，
4m－2
所以 y 1＋y 2＝，y 1 y 2＝，
m 2＋3m 2＋3
－ 12
x 1＋x 2＝m (y 1＋ y2 )－ 4＝.
m 2＋3
因为四边形 OPTQ 是平行四边形，
→→
所以 OP＝ QT ，即 (x 1，y 1 )＝( －3 －x 2，m － y2 )．
－12
x 1＋x 2＝＝－ 3，
m 2＋3
所以解得 m ＝± 1.
4m
y 1＋y 2＝＝m ，
m 2＋3
此时， S 四边形OPTQ＝2S△OPQ
1
＝2 × ·|OF| ·|y 1－ y 2|
2
4m－ 2
＝22－4·＝2 3.
m 2＋3m 2＋ 3
f x，x ≤0 ，1
7 ．设函数 F(x) ＝
x，x >0 ，其中 f(x) ＝ax 3－ 3ax ，g (x) ＝ x 2－
g2 ln x，方程 F(x)＝a 2有且仅有四个解，求实数 a 的取值范围．
[ 解 ] x ∈ (0,1)
11时， g ′(x)＝ x － <0 ， x ∈(1 ，＋∞ ) 时， g ′(x) ＝ x－>0 ，
x x
1
所以当 x＝ 1 时， g (x )取极小值 g(1) ＝ .
2
(1)当 a ＝0 时，方程 F(x) ＝a 2不可能有 4 个解；
(2)当 a<0 时，因为 f ′(x ) ＝3a(x 2－ 1) ，若 x ∈( －∞，0] 时， f ′(x) ＝3a(x 2
－1) ，当 x ∈( －1,0] 时， f ′(x)>0 ，当 x ∈( －∞，－ 1) 时， f ′(x)<0 ，所以当 x
＝－ 1 时， f (x)取得极小值 f (－ 1) ＝2 a，又 f(0) ＝ 0，所以 F(x )的图象如图 (1)
所示，从图象可以看出F(x )＝ a2不可能有 4 个解．
(3)当 a>0 时，当 x ∈( －∞，－ 1) 时，f ′(x )>0 ，当 x∈ (－ 1,0] 时，f ′(x )<0 ，
所以当 x ＝－ 1 时， f ( x )取得极大值 f ( －1) ＝2 a，又 f (0) ＝0 ，所以 F(x ) 的图象
11
如图 (2) 所示，从图象看出方程F(x ) ＝a2若有 4 个解，则< a2 <2 a ，且 2a>，
22
所以实数 a 的取值范围是
2
，2 . 2
专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言
美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法
第十三专题 数形结合思想 考情动态分析： 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的. 一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视. 数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越. 第一课时 方程、函数中数形结合问题 一、考点核心整合 利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷. 二、典例精讲： 例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无穷多个 例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2 -=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1- B 、有最大值727-，无最小值 C 、有最大值，无最小值 D 、无最大值，也无最小值 例3 已知0>x ，设:P 函数x c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围. 例 4 已知0>a ，且方程022 =++b ax x 与方程022 =++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值. 三、提高训练： （一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞ B 、)1,1(- C 、),1[]1,(+∞--∞ D 、),1()1,(+∞--∞ 2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3 sin(2π 有两个不同的实数解，则实数a 的 取值范围为（ ）
第一部分 二 27 一、选择题 1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x － 1|. 当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ． 当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ． 法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x － 1|，经过图象的对称、平移可得到所求． [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求： ①会画各种简单函数的图象； ②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． 2．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 3．利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，
y ＝f (x ) ――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍 y ＝Af (x )． ③对称变换： y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x ) ――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． 2．(文)(2014·哈三中二模)对实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝????? a ，a － b ≤1 b ，a －b >1 ，设函数f (x ) ＝(x 2＋1)*(x ＋2)，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(2,4]∪(5，＋∞) B ．(1,2]∪(4,5] C ．(－∞，1)∪(4,5] D ．[1,2] [答案] B [解析] 由a *b 的定义知，当x 2＋1－(x ＋2)＝x 2－x －1≤1时，即－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2＋1；当x <－1或x >2时，f (x )＝x ＋2，∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴方 程f (x )－c ＝0恰有两不同实根，即y ＝c 与y ＝? ???? x 2 ＋1 (－1≤x ≤2)， x ＋2 (x <－1或x >2)，的图象恰有两个交点， 数形结合易得1 全国新课标高考文科数学考试大纲 I．命题指导思想 坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能. II．考试内容与要求 一.考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. (1)了解 要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解 要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等. (3)掌握 要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决 专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想 一、单项选择题 1. (2020河南开封三模,理3)如图,在平行四边形OABC 中,顶点O ,A ,C 在复平面内分别表示复数0,3+2i,-2+4i,则点B 在复平面内对应的复数为( ) A.1+6i B.5-2i C.1+5i D.-5+6i 2.(2020山东聊城二模,2)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a 1+i =( ) A.1-i B.-1+i C.2i D.2+i 3.(2020河北武邑中学三模,5)已知f (x )是定义在区间[2b ,1-b ]上的偶函数,且在区间[2b ,0]上为增函数,f (x-1)≤f (2x )的解集为( ) A.[-1,2 3] B.[-1,1 3] C.[-1,1] D.[1 3,1] 4.(2020广东江门4月模拟,理6)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为8 5.5尺,则小满日影长为( ) A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 5.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD 中,若DE ????? =EC ????? ,AE 交BD 于点F ,则AF ????? =( ) A.23AB ????? +13AD ????? B.23 AB ????? ?13AD ????? C.1 3 AB ????? ?2 3 AD ????? D.13 AB ????? +2 3 AD ????? 6.(2020安徽合肥二模,文7)若函数F (x )=f (x )-2x 4 是奇函数,G (x )=f (x )+(12) x 为偶函数,则 f (-1)= ( ) A.-5 2 B.-5 4 C.5 4 D.5 2 7.(2020河北衡水中学月考,文12)已知关于x 的方程[f (x )]2-kf (x )+1=0恰有四个不同的实数根,则当函数f (x )=x 2e x 时,实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(4 e 2+ e 24 ,+∞) C.(8 e 2,2) D.(2,4 e 2+e 2 4) 2019年高考新课标大纲及解读：数学(文) 2019年高考考试说明(课程标准实验版) 数学(文) I.考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试.高等学校根据考生成绩.按己确定的招生计划。德、智、体全面衡量.择优录取.因此.高考应具有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度. Ⅱ.考试内容 根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2019年颁布的《普通搞好总课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考察考生对中学的基础知、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考察考生进入高等学校继续学习的潜能。 一、考核目标与要求 1.知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实脸)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的 数学概念、性质、法期、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步孩进行运其。处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 (1)了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识.知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有:了解，知道、识别，模仿，会求、会解等. (2)理解:要求对所列知识内容有较深刻的理性认识.知道知知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象。比较、判断，初步应用等。 (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。这一层次所涉及的主要行为动词有:掌握、导出、分析.推导、证明.研究、讨论、运用、解决问题等. 2.能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运 专题讲座： 数形结合 一、填空题 例1曲线241x y -+=（22≤≤-x ）与直线()24-=-x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是 【答案】：53,124?? ?? ? 【提示】曲线为圆的一部分，直线恒过定点M (2，4)，由图可得有两 个交点时k 的范围。 例2已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1,β=且αβα-与的夹角为120? ，则α的 取值范围是 【答案】：23 03 α<≤ 【提示】作出草图，由1 sin sin 60 B α ? = ，故α=23sin 3B 又0120B ? ? << 0sin 1B ∴<≤，23 03 α∴<≤ 例3已知向量(2, 0)OB =,(2, 2)OC =, (2cos , 2sin ),CA αα=则OA 与OB 夹角的范围为 【答案】：]12 5,12[ π π 【提示】因2(cos ,sin ),CA αα=说明点A 的轨迹是以(2, 2)C 为圆心，2为半径的圆，如图，则OA 与OB 夹角最大是 5,4612πππ+=最小是4612 πππ -= 例4若对一切R θ∈，复数(cos )(2sin )z a a i θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 【答案】：55,55?? -???? 【提示】复数的模2 2 (cos )(2sin )2z a a θθ=++-≤，可以借助单位圆上一点(cos ,sin )θθ-和直线2y x =的一点(,2)a a 的距离来理解。 x x y M 例5若11 ||2 x a x -+≥对一切0x >恒成立，则a 的取值范围是 【答案】：(,2]-∞ 【提示】分别考虑函数1y x a =-和211 2 y x =- +的图像 例6 已知抛物线()y g x =经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++， 其中0>>n m ，a b <，设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值，则n m b a ,,,的大小关系为 【答案】b n a m <<< 【提示】由题可设()(),(0)g x kx x m k =->， 则()()()f x kx x m x n =--，作出三次函数图象即可。 例7若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 【答案】：0k <或4k = 【提示】：研究函数1y kx =（10y >）和函数2 2(1),(1)y x x =+>-的图像 例8已知函数2 1 ()(2) 1ax bx c x f x f x x ?++≥-=?--<-? ，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为 21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 【答案】：230x y ++= 【提示】：由()(2)f x f x =--可得()f x 关于直线1x =-对称，画出示意图（略），(1,(1)f )和(3,(3))f --为关于直线1x =-的对称点，斜率互为相反数，可以快速求解。 例9直线1y =与曲线2 y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是__________ 【答案】：514a << 【提示】研究22,0 ,0 x x a x y x x a x ?-+≥?=?++ 数形结合 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图 象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标， y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同 实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 高考数学理科考点解析 及考点分布表 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 2018年高考数学（理科）考点解析 一、考核目标与要求 数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法（所谓三基），考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识（五种能力、两种意识）。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验）》确定。 关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下： 1．知识要求 知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明． 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求． （1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识它。 “了解”层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。 （2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。 “理解”层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等。 （3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。 “掌握”层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 （2）抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断。 华侨中学高三数学（理科）第二轮复习专题：数形结合思想教学地点：一中集美分校高三（4）班 授课教师：华侨中学王磊 2016.03.24 【思想方法概述】 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值围等．对这类容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系． 以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系， 把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解 决数学问题的数学思想． 数形结合思想通过“以 形助数，以数辅形”，使 复杂问题简单化，抽象问 题具体化，能够变抽象思 维为形象思维，有助于把 握数学问题的本质，它是 数学的规律性与灵活性 的有机结合．[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学_科_网] 以数辅形(形题数解)[来源:][来 源:https://www.doczj.com/doc/0d469095.html,][来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/0d469095.html,][来源:][来源:https://www.doczj.com/doc/0d469095.html,]借助于数的精确性和规性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．[来源:https://www.doczj.com/doc/0d469095.html,] 以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应． （2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． （3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 高中数学七大基本思想方法讲解 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查 第二：数形结合思想： （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 （2）从具体出发，选取适当的分类标准 （3）划分只是手段，分类研究才是目的 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 第六：有限与无限的思想： （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查 第七：或然与必然的思想： （1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性 （2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、 数形结合思想 由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础知识的范畴，通过对数学知识 的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。 例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？ 分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数 y =2x 2－3x 。和函数y =2k 的交点个数问题． 解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛物线，随着k 的变化，易知2k ＝－89 或－1≤2k ＜5时只 有一个公共点．∴ k =－ 16 9或－ 2 1≤k < 2 5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决数（实根）的问题． 例题2．求函数u ＝t t -++642的最值． 分析：观察得2t +4+2(6－t )＝16，若设x =42+t ，y =t -6，则有x 2+2y 2=16， 再令u =x +y 则转化为直线与椭圆的关系问题来解决． 解：令42+t ＝x , t -6=y , 则x 2+2y 2=16, x ≥0, y ≥0, 再设u =x +y , 由于直线与椭圆的交点随着u 的变化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u 取得最大值，过点(0，22)时，u 取得最小值22， 解方程组 ???=++-=16 22 2y x u x y ，得3x 2－4ux +2u 2－16=0, 令△=0, 解得u =±26 . ∴ u 的最大值为26，最小值为22． 点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件． 例题3．已知s = 1 322 +-t t ，则s 的最小值为 。 分析：等式右边形似点到直线距离公式． 解：|s |＝ 1 |32|2 +-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y －3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t －3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13. 高中数学思想方法 （贵州省六盘水市第一实验中学 553000 岑义其） 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查 第二：数形结合思想： （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 （2）从具体出发，选取适当的分类标准 （3）划分只是手段，分类研究才是目的 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 第六：有限与无限的思想： （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向 数形结合思想 一．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． (4)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位 y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位 y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )． ③对称变换： y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像； (3)方程(多指二元方程)及方程的曲线； (4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用． 2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导． (2)双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化． (3)简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法． 三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点 利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f x ＋1 ，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A. ???? ??0，12 B. ??????12，＋∞ C. ??????0，13 D. ? ?? ??0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1] 新课标高考数学考纲 一）命题指导思想 1.命题应依据教育部《普通高中数学课程标准（实验）》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲》（待发），并结合我省普通高中数学教学实际，体现数学学科的性质和特点。 2.命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想、数学方法、数学能力，体现知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求。 3.命题既要实现平稳过渡，又要体现新课程理念。 4.注重试题的创新性、多样性和选择性，具有一定的探究性和开放性。 5.命题要坚持公正、公平原则。试题要切合我省中学数学教学实际，数学问题的难度、问题的情景等要符合考生的实际水平。应用题要“贴近生活，背景公平，控制难度”。 6.命题要注意必修内容和选修内容的有机联系与适当差异，注重数学学科知识的内在联系。 7.试卷要有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度，难度系数控制在0.55—0.65之内。 （二）知识和能力要求 1．知识要求 对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是感知和了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。 (1)感知和了解：要求对所学知识的含义有初步的了解和感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中识别、模仿、描述它。 (2)理解和掌握：要求对所学知识内容有较为深刻的理论认识，能够准确地刻画或解释、举例说明、简单变形、推导或证明、抽象归纳，并能利用相关知识解决有关问题。 (3)灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能灵活运用所学知识分析和解决较为复杂的或综合性的数学现象与数学问题。 2．能力要求 能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以及实践能力和创新意识。 (1)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。 (2)数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能抽取对研究问题有用的信息，并作 高三数学第二轮专题复习：数形结合思想 高考要求 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象 （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线 以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法 以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合 典型题例示范讲解 例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2， 且x ∈A }，若C ?B ，求实数a 的取值范围 命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目 知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C ?B 用不等式这一数学语言加以转化 错解分析 考生在确定z =x 2，x ∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a ＜–2这一种特殊情形 技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 解 ∵y =2x +3在［–2, a ］上是增函数 ∴–1≤y ≤2a +3，即B ={y ｜–1≤y ≤2a +3} 作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下 ①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4} 要使C ?B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ?B ，由图可知 必须且只需???≤≤≥+2 0432a a 解得21≤a ≤2 ③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，最新全国新课标高考理科数学考试大纲
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