P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2
(1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2
2
10(1)
(1)
x y''y'y x x +
-
=--
2
()(1)
x p x x =
-，2
1()(1)
q x x =-
-
可见0x =是方程的常点．
设方程的级数解为0
()n
n n y x c x
∞
==
∑，则1
1
()n n n y'x nc x
∞
-==
∑，2
2
()(1)n n n y''x n n c x
∞
-==
-∑
代入原方程得2
2
2
1
2
2102
2
2
1
(1)(1)0(1)(1)0
n n n n
n n n n n n n n n n
n
n
n n n n n n n n n n c x
x
n n c x
x nc x
c x
n n c x
n n c x
nc x
c x
∞
∞
∞
∞
---====∞
∞
∞
∞
-====---+-
=?
--
-+
-
=∑∑∑∑∑∑∑∑
由0
x 项的系数为0有：202012102
c c c c ?-=?=
由1
x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012
24
c c c c c c c ?-?+-=?=
=
由3
x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010
80
c c c c c c c ?-?+-=?=
=
由5
x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6
x 项的系数为0有：866686025587656056
896
c c c c c c c ?-?+-=?==
……
∴ 方程的级数解为
2
4
6
8
0100000
1115()2
24
80
896
n
n n y x c x
c c x c x c x c x c x ∞==
=++
+
+
+
+???∑
(2) 22
(1)0x y''xy'n y --+=
解：依题意将方程化为标准形式22
2
0(1)
(1)
x n
y''y'+
y x x -
=--
2
()(1)
x p x x =-
-，2
2
()(1)
n
q x x =
-
可见0x =是方程的常点．
设方程的级数解为0
()k
k k y x c x
∞
==
∑，则1
1
()k k k y'x kc x
∞
-==
∑，2
2
()(1)k k k y''x k k c x
∞
-==
-∑
代入原方程得2
2
2
1
2
2
2102
2
2
2
1
(1)(1)0(1)(1)0
k k k k
k k k k k k k k k k
k
k
k k k k k k k k k k c x
x
k k c x
x kc x
n
c x
k k c x
k k c x kc x n c x ∞
∞
∞
∞
---====∞
∞
∞
∞
-====----+=?
--
--
+
=∑∑∑∑∑
∑
∑
∑
由0x 项的系数为0有：2
2
202021021
n
c n c c c ?+=?=-
?
由1x 项的系数为0有：2
2
31131(1)320321
n c c n c c c -?-+=?=-
??
由2x 项的系数为0有：2
2
2
2
4222420(4)(4)43212012
4321
n n n c c c n c c c c --?-?-+=?=-=
???
由3
x 项的系数为0有：
2
22
2
5333531(9)(1)(9)54323020
54321
n n n c c c n c c c c ---?-?-+=?=-
=
????
由4x 项的系数为0有：
2
222
2
6444640(16)(4)(16)65434030
654321
n n n n c c c n c c c c ---?-?-+=?=-
=-
?????
由5
x 项的系数为0有：
2
222
2
7555751(25)
(1)(9)(25)
76545042
7654321
n n n n c c c n c c c c ----?-?--=?=-
=-
??????
由6
x 项的系数为0有：
2
2222
2
8666860(36)
(4)(16)(36)
87656056
87654321
n n n n n c c c n c c c c ----?-?-+=?=-
=
???????
……
∴ 方程的级数解为
2
2
22
22
2
3
4
5
01010102
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
7
01(1)(4)(1)(9)()21
321
4321
54321
(4)(16)(1)(9)(25)
(4)(16)(36)
654321
7654321
87654321
k
k k n
n n n n n y x c x
c c x c x c x c x c x
n n n n n n n n n n c x c x c ∞
=----=
=+-
-
+
+
??????????---------
-
+
??????????????????∑8
0x +???
2
2
2
2
2
2012
2
2
2
2
2
21
11
(2)[(22)]
{1(1)
}
(2)!
(1)(3)[(21)]
{(1)
}
(21)!
k
k
k k
k k n n n k c x
k n n n n k c x x k ∞
=∞
+=-???--=+
---???--++
-+∑∑
8.3在0x =的邻区域内求解方程： (1) 2
2
2(1)0x y''xy'x y -+-=
解：依题意将方程化为标准形式2
21(1)022x y''y'+y x
x
--
=
1()2p x x
=-
，2
2
(1)()2x q x x
-=
可见0x =是方程的正则奇点．
设方程的级数解为0
()n s
n n y x c x
∞
+==
∑，则
1
()()n s n n y'x n s c x
∞
+-==
+∑，2
()()(1)n s n n y''x n s n s c x
∞
+-==
++-∑
代入原方程得
2
2
1
2
00002
00
2()(1)()02()(1)()0
n s n s n s
n s
n n n n n n n n n s
n s
n s
n s n n n n n n n n x
n s n s c x
x n s c x
c x
x
c x
n s n s c x
n s c x
c x
c x
∞
∞
∞
∞
+-+-++====∞
∞
∞∞
+++++====++--++
-=?
++--
++
-
=∑∑∑∑∑∑∑∑
由s
x 项的系数为0有：0002(1)0s s c sc c --+= (指标方程) 因00c ≠，解得11s s ==或212
s s ==
取11s s == 1
s x +（即2x ）项的系数为0有：111112(1)(1)0300s sc s c c c c +-++=?=?= 2
s x
+（即3
x ）项的系数为0有：
2220202012(2)(1)(2)01025
s s c s c c c c c c c ++-++-=?-=?=
?
3
s x
+（即4x ）项的系数为0有：
33313132(3)(2)(3)02100s s c s c c c c c c ++-++-=?-=?=
4
s x
+（即5
x ）项的系数为0有：
444242420112(4)(3)(4)0360362459
s s c s c c c c c c c c ++-++-=?-=?=
=
???
5
s x
+（即6
x ）项的系数为0有：
55535352(5)(4)(5)05500s s c s c c c c c c ++-++-=?-=?=
6
s x
+（即7x ）项的系数为0有：
666464640
11
2(6)(5)(6)0780782456913
s s c s c c c c c c c c ++-++-=?-=?=
=
?????7
s x
+（即8
x ）项的系数为0有：
77737372(7)(6)(7)010500s s c s c c c c c c ++-++-=?-=?=
……
∴ 方程的一个特解 (11s s ==)为
1
3
5
7
100000
2
4
6
0111
()25
24592456913
11
1
(1)
25
2459
2456913
n n n y x c x
c x c x c x c x c x x x x ∞
+==
=+
+
+
+????????????=+
+
+
+????????????∑
取212
s s ==
1
s x +（即3
2x ）项的系数为0有：11112(1)(1)00s sc s c c c +-++=?=
2
s x
+（即5
2x ）项的系数为0有：
2220202012(2)(1)(2)06023
s s c s c c c c c c c ++-++-=?-=?=
?
3
s x
+（即7
2x ）项的系数为0有：
33313132(3)(2)(3)01500s s c s c c c c c c ++-++-=?-=?=
4
s x
+（即9
2x ）项的系数为0有：
444242420112(4)(3)(4)028*******
s s c s c c c c c c c c ++-++-=?-=?=
=
???
5
s x
+（即11
2
x
）项的系数为0有：
55535352(5)(4)(5)04500s s c s c c c c c c ++-++-=?-=?=
6
s x
+（即13
2
x
）项的系数为0有：
666464640
11
2(6)(5)(6)0660662346711
s s c s c c c c c c c c ++-++-=?-=?=
=
?????7
s x
+（即15
2
x
）项的系数为0有：
77737372(7)(6)(7)09100s s c s c c c c c c ++-++-=?-=?=
……
∴ 方程的另一个特解 (212
s s ==
)为
11
5
9
13
2
2222
200000
1
2
4
6
20111
()23
23472346711
11
1
(1)
23
2347
2346711
n n n y x c x
c x c x c x c x
c x x x x ∞
+
==
=+
+
+
+????????????=+
+
+
+????????????∑
∴ 原方程的级数解为
2
4
6
1201
2
4
6
202
4
6
11
2
4
6
22111
()()()(1)
25
2459
2456913
111
(1)
23
23472346711
11
1
(1)
252459
2456913
1
1
1
(123
2347
2346711
y x A y x B y x A c x x x x B c x x x x C x x x x C x x x x =+=+
++
+????????????+++
+
+????????????=+
+
+
+????????????++
+
+
+?????????)
???
(2) 42(1)0xy''x y'y +--= 解：依题意将方程化为标准形式(1)1024x y''+
y'y x
x
--
=
(1)()2x p x x
-=
，1()4q x x
=-
可见0x =是方程的正则奇点．
设方程的级数解为0
()n s
n n y x c x
∞
+==
∑，则
1
()()n s n n y'x n s c x
∞
+-==
+∑，2
()()(1)n s n n y''x n s n s c x
∞
+-==
++-∑
代入原方程得
2
1
1
0000
1
1
4()(1)2()2()0
4()(1)2()2()0
n s n s n s n s
n n n n n n n n n s n s n s
n s
n n n n n n n n x n s n s c x
n s c x
x n s c x
c x
n s n s c x
n s c x
n s c x
c x
∞
∞
∞
∞
+-+-+-+====∞
∞
∞
∞
+-+-++====++-++-+-
==
++-+
+-
+-
=∑∑∑∑∑∑∑∑由1
s x
-项的系数为0有：0004(1)20(21)0s s c sc s s c -+=?-= (指标方程)
因00c ≠，解得112
s s ==
或20s s ==
取112
s s ==
1s
x （即1
2x ）项的系数为0有：
11111100101014(1)2(1)206203
s s c s c s c c c c c c +++--=?-=?=
11
s x
+（即3
2x ）项的系数为0有：
1121211121210114(2)(1)2(2)2(1)02040553
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
?
12
s x
+（即5
2x ）项的系数为0有：
1131312232320
4(3)(2)2(3)2(2)04260117753
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
?? 13
s x
+（即7
2x ）项的系数为0有：
1141413343430
4(4)(3)2(4)2(3)0728********
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
??? 14
s x
+（即9
2x ）项的系数为0有：
1151514454540
4(5)(4)2(5)2(4)01101001111119753
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
???? 15
s x
+（即11
2
x
）项的系数为0有：
1161615565650
4(6)(5)2(6)2(5)0131212011
1313119753
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=??-=?=
=
????? ……
∴ 方程的一个特解（112
s s ==
）为
11
3
5
7
9
2
222221000000
11
13
2
2
001111()3
53
753
9753
11
119753
13119753
n n s
n n n n y x c x
c x
c x c x c x c x c x c x
c x
∞
∞
+
+===
=
=+
+
+
+
??????+
+
???
?????????∑∑
1
2
3
4
5
6
202
3
4
5
6
111111
(1)3
53753975311975313119753
1
1
11
11)
3!!
5!!
7!!
9!!
11!!
13!!
c x x x x x x x c x x x x x x =+++
+
+
+
??????????????????=+
+
++
+
+
???
取20s s ==
2
s x
（即0
x ）项的系数为0有：
22121200101014(1)2(1)20202s s c s c s c c c c c c +++--=?-=?=
21
s x
+（即1
x ）项的系数为0有：
2222221121210
4(2)(1)2(2)2(1)01230114
42
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
? 22
s x
+（即2x ）项的系数为0有：
2232322232320
4(3)(2)2(3)2(2)03050116
642
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
?? 23
s x +（即3
x ）项的系数为0有：
2242423343430
4(4)(3)2(4)2(3)05670118
8642
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
??? 24
s x
+（即4x ）项的系数为0有：
2252524454540
4(5)(4)2(5)2(4)090901110108642
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?-=?=
=
???? 25
s x
+（即5
x ）项的系数为0有：
2262625565650
4(6)(5)2(6)2(5)013211011
1212108642
s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=?+=?=
=
????? ……
∴ 方程的另一个特解 (20s s ==)为
2
2
3
42000000
5
6
001111()2
42
642
8642
11
108642
12108642
n s n
n n n n y x c x
c x
c c x c x c x c x c x c x ∞
∞
+====
=++
+
+
??????+
+????????????∑∑
2
3
4
5
6
02
3
4
5
6
1111
11(1)222!
23!
24!
25!
26!
c x x x x x x =+
+
+
+
+
+
????????
∴ 原方程的级数解为
2
3
4
5
6
122
3
4
5
6
02
3
4
5
6
111111()()())3!!5!!
7!!
9!!11!!
13!!
1111
1
1
(1)
222!23!24!25!26!
y x Ay x By x Ac x x x x x x Bc x x x x x x =+=++
++
+
+
???+
+
+
+
+
+
+
???????
?2
34
5
6
12
3
4
5
6
2
3
4
5
6
111111(1)3!!
5!!
7!!
9!!
11!!13!!
11
11
1
1)
2
22!
23!
24!
25!
26!
C x x x x x x C x x x x x x =++++
+
+
???+++
+
+
+
+
????????
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
2. 试解方程：()0,044>=+a a z 444244 00000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+-+ （2） y = （3） 求复数2 ?? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==-+ ?????=-===+=±± 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ???而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
第八章 习题答案 8.1-1 证明递推公式： （1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得 （目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞-) ()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3 sin 3 cos 2 3 1cos sin 2 32 1isin cos 2 2 2 π π ??ρ??ρi i i +=++=+= + 指数形式：由三角形式得：3 1 3 πρπ?i e z === 7、求函数2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
1. 计算221z dz z z --? 的值，Г为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单曲线。 解：我们知道，函数221z z z --在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的。由于Г是包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线，因此它也包含这两个奇点。在Г内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，C1只包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1。那么根据复合闭路定理得： 221z dz z z --? =22122121c c z z dz dz z z z z --+--?? 1122 111111c c c c dz dz dz dz z z z z =+++--???? =02204i i i πππ+++= 2. 求积分0 cos i z zdz ?的值。 解：函数cos z z 在圈平面内解析，容易求得它有一个原函数为sin cos z z z +.所以 00111cos [sin cos ]sin cos 1 1122 i i z zdz z z z i i i e e e e i e i ---=+=+--+=+-=-? 3..试沿区域i 1ln(1)Im()0,Re()0||1,1z z z z dz z +≥≥=+? 内的圆弧计算积分的值。 解：函数ln(1)1z z ++在所设区域内解析，它的一个原函数为21ln (1),2 z +所以 i 222112222ln(1)11ln (1)|[ln (1)ln 2]122 11ln 2ln 22243ln 2ln 2.3288 i z dz z i z i i πππ+=+=+-+????=+-?? ??????? =--+? 4．求下列积分（沿圆周正向）的值： 1）||41sin 2i z z dz z π=? ； 2）||4 12z 13z dz z =+-? （+）； 解：由柯西积分公式得： ||4 1sin 2i z z dz z π=? =0sin |0z z ==； ||4||4 ||12221226z 1313z z z dz dz dz i i i z z z πππ==+=?+?=+-+-??? （+）= 5..求下列积分的值。其中C 为正向圆周：|z|=r>1. 1) 5cos (1)c z dz z π-? 2) 22.(1)z c e dz z +?
课后习题答案 P60（1）解 ∑∑-∞=+-∞ ===05 05 /15!1n n n n z z z n z e z （2）解 ()()()[]2 2211111111111111-+--+--=---=-z z z z z z z z ()()()∑∞ =-=+-++-+-=+03 2 1111/1n n n n n x x x x x x ()()()()∑∑∞ =+∞=-++-=-='??? ??+-=+0 21112 1111111 n n n k k k x n kx x x ()()()∑∞ =+-==+++02 211111n n n x n x x ()()()()()()()n n n n n n z n z n z z z 121121*********-+-=-+-+-=-∑∑∞ -=+∞=+ （3）解 在点 00=z ()z z z z z z 11111111---=--=-∑∑∞ -=-∞=-=--=11 0n n n n z z z 在点10 =z ()()1111111111-+- -=--=-z z z z z z ()()()()∑∑∞ -=+∞=+--=--+-=1 101111111n n n n n n z z z （6）解 ∞ < ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学二零零 五 至二零零 六 学年第 一 学期期 末 数学物理方法 课程考试题（ 分钟） 考试形式： B 卷 考试日期 2006年 月 日 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷教师 一、 填空（5*4= 20分） 1 、 定 解 问 题 20,(,0) (,0)0,(,0) 1 tt xx t u a u x t u x u x -=-∞<<∞>?? ==?的解为 ( , ) _ _ _u x t t = 2、确定下列本征值问题()()0 (0)0,()0X x X x X X l λ''+=??'==? 的本征值λ ＝22 2 (21),0,1,24k k l π+= ，本征函数 ()X x ＝(21)sin ,0,1,22k x k l π+= 3、1 2 35810501()()d ________0__________.x P x P x x -=? 4、已知 01 ()1,(),P x P x x ==则2()P x =2312 x -；而函数2 1()352f x x x =+-按()l P x 的展开式为()f x =2101 2()5()()2 P x P x P x ++。 二、 一根杆由截面相同的两段连接而成，两段的材料不同，杨氏模量分别为,Y Y I ∏，写 出衔接条件。（10分） ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 解：设两段杆的接点为0x =，在连接处位移u 是连续的，所以有0 x x u u -+I II =， 在连接处两方的作用力为： 1x x u u F Y S Y S n x --I I I I ??==?? 2x x u u F Y S Y S n x ++II II II II ??==?? 12F F =- x x u u Y S Y S x x -+I II I II ??∴=?? 三、 在圆域0 ρρ<上求解泊松方程的边值问题022 ()u a b x y u c ρρ=??=+-??=?? （20分） 提示：先设法找到特解，再利用u v w =+，把问题转化为w 的定解问题。 【解】 先设法找到泊松方程的一个特解．显然有22 (), ()22 ax ay a a ?=?=，为对称起见，取22()4 x y a +．又因为42 ()12bx bx ?=，42()12by by ?=．这样，找到一个特解 22 442222224()()()()cos 2412412412 a b a b a b x y x y x y x y ρρρ?=++ -=++-=+v 令 24 cos 2,412 a b u ρρ?=+= ++v w w 就把问题转化为w 的定解问题． 024 000 cos 2.412a b c ρρρρ?=?=?? ?=--?? w w 在极坐标中用分离变量法求解拉普拉斯方程的一般结果为 ∑++∑+++=∞ =-∞ =1 1 00)sin cos ()sin cos (ln ),(m m m m m m m m m D m C m B m A D C u ??ρ??ρρ?ρ电子科技大学2006年数学物理方法b卷答案
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