数列的概念与简单表示法
【学习目标】
1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.
2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.
3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.
4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】
数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.
【要点梳理】
要点一、数列的概念 数列概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式：
数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.
要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和 数列的通项公式
如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
如数列：0,1,2,3,...的通项公式为1n a n =-（*
n N ∈）；
1,1,1,1,...的通项公式为1n a =（*n N ∈）；
111
1,
,,, (234)
的通项公式为1n a n =（*n N ∈）； 要点诠释：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。 如数列：1，0，1，0，1，0，…
它的通项公式可以是2
)1(11
+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 数列{}n a 的前n 项和
数列{}n a 的前n 项和：指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12...n n S a a a =+++；
n a 与n S 的关系
当1n =时11a S =；
当2n ≥时，1211211(...)(...)n n n n n n a a a a a a a a S S ---=+++++-+++=-
故1*
1,1,2n n n S n a S S n n N
-=?=?-≥∈?且. 要点四、数列的表示方法 通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a 表示第一项，用2a 表示第二项，……，用n a 表示第n 项，……，依次写出得数列{}n a ．
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法：以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标，即以(,)n n a 为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法
递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种方法。如： 数列：-3，1，5，9，13，…，
可用递推公式：113,4(2)n n a a a n -=-=+≥表示。
数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式：12123,5,(3)n n n a a a a a n --===+≥表示。
要点五、数列与函数
（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。
数列可以看成以正整数集N *
（或它的有限子集{1,2,3,...,}n ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数()y f x =,如果()f i （1,2,3,...,,...i n =）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，()f n ，…；
（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
（3）数列的图象是落在y 轴右侧的一群孤立的点
数列()n a f n =的图象是以项数n 为横坐标，相应的项n a 为纵坐标的一系列孤立的点(,)n n a ，这些点都落在函数()y f x =的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】
类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
(1) 0,
23,38,415,…； (2) 1, 43-,95,16
7
-,…；
(3) 9, 99,999, 9999,…； (4) 6, 1, 6,1,…. 【解析】
（1）将数列改写为1112-，2122-，3
132-，41
42-，…，
故21
n n a n
-=.
（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用1(1)n +-来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列， 故1
2
21
(1)
n n n a n
+-=-?
. （3）将数列改写为1
101-, 2
101-, 3
101-, 4
101-，…，
故101n n a =-.
（4）将数列每一项减去6与1的平均值
27得新数列25, -25,25, -2
5
,…， 故175(1)22n n a +=
+-?或75
cos(1).22
n a n π=++ 【总结升华】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；
②注意(－1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n
作指数，让数列中隔项出现倒数；
③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.
⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：
数列-1，1，-1，1，…的通项公式为(1)n n a =-； 数列1，2，3，4，…的通项公式为n a n =； 数列1，3，5，7，…的通项公式为21n a n =-； 数列2，4，6，8，…的通项公式为2n a n =； 数列1，4，9，16，…的通项公式为2n a n =； 数列1，
12，13，14
，…的通项公式为1n a n =。
举一反三：
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】 【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 1, 1, 1, 1,…；
(2) -1, 1, -1, 1, …；
(3) 1, -1, 1, -1, …；
(4)1111--234
，
，，, …； (5) 2，0，2，0，…. 【答案】 (1)1n a =； (2)2(1)n n a +=- ； (3)1(1)n n a +=-； (4)1
1
(1)n n a n
+=- ； (5)11(1)n n a +=+-； 类型二：通项公式的应用 例2.设数列{}n a 满足2
n n
a n =
+，写出这个数列的前五项。 【思路点拨】只需在给出数列{}n a 的通项公式中依次取1,2,3,4,5n =，便可以求解. 【解析】数列{}n a 的前五项为：113
a =
；22142a ==；335a =；44263a ==；557a =.
【总结升华】根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项。
举一反三：
【变式1】设数列{}n a 满足(1)n
n a n
-=，写出这个数列的前五项。
【答案】1-，
12
，13-，14，15-.
【变式2】根据下列数列{}n a 的通项公式，写出它的第五项.
（1）21n n a n =
-； （2）sin 2
n n a n π=， 【答案】（1）5
9
；（2）5.
例3．已知数列{}n a 的通项公式32n a n =-, 试问下列各数是否为数列{}n a 的项，若是，是第几项？ (1) 94；(2) 71. 【思路点拨】
先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的脚标n N +∈，那么是数列中的项，否则，不是.
【解析】
（1）设9432n =-, 解得32n =.
故94是数列{}n a 的第32项. （2）设7132n =-，解得1243
n N *
=?.
故71不是数列{}n a 的项.
【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，1,,,,n n n a d S a 中知三求二，就是采用了方程的思想.
举一反三：
【变式】已知数列{}n a 的通项公式(1)(2)n a n n =++, （1）若9900n a =，试问n a 是第几项？ （2）56和28是否为数列{}n a 的项？
【答案】（1）98项；（2）56是，28不是. 类型三：递推公式的应用
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】 例4. 设数列{}n a 满足：11a =，1
1
1n n a a -=+(2)n ≥，写出这个数列的前五项。 【思路点拨】
题中已给出{}n a 的第1项11=a 和递推公式：1
1
1-+
=n n a a ，故可以依次写出下列各项.
【解析】据题意可知：11a =，21112a a =+
=，321312a a =+=，4315
13
a a =+=，585a =
故数列的前5项为:1，2，
23，35，5
8
. 【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。 举一反三：
【变式1】已知数列{}n a 满足：11a =，23a =，212n n n a a a ++=+(1)n ≥，写出前6项. 【答案】11a =，23a =，35a =，411a =，521a =，643a =.
【变式2】已知数列{}n a 满足：21=a ，n n a a 21=+，写出前5项，并猜想n a ． 【答案】
法一：21=a ，2
2222=?=a ，323222=?=a ，观察可得n n a 2=
法二：由n n a a 21=+，∴12-=n n a a 即
21
=-n n
a a ∴
11
2322112------=????n n n n n n n a a a a a a a a ∴n n n a a 2211=?=-
类型四：前n 项和公式n S 与通项n a 的关系
例5．已知数列{}n a 的前n 项和公式n S ，求通项n a . （1）221n S n n =-+， (2)2log (1)n S n =+. 【思路点拨】
先由2n ≥时，1n n n a S S -=-，求出n a ；再由当1n =时，11a S =，求出1a ，并验证1a 是否符合所求出的n a .
【解析】
(1) 当2n ≥时，221(21)[2(1)(1)1]43n n n a S S n n n n n -=-=-+----+=-，
当1n =时，21121112413a S ==?-+=≠?-，
∴*
2,(1)43,(2)n n a n n n N =?=?-≥∈?
且 (2)当2n ≥时，1222
1
log (1)log log n n n n a S S n n n
-+=-=+-=， 当1n =时，112211
log (11)1log 1
a S +==+==， ∴2
1log n n a n
+=(n N *
∈)为所求. 【总结升华】已知n S 求出n a 依据的是n S 的定义：12...n n S a a a =+++，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
举一反三：
【变式1】（海淀区2015年高三年级第二学期期末练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
0(n N )n a *≠∈，又1,n n n a a S +=则31a a -= 。
【答案】因为1211,a a S a ==解得21,a =又23212,a a S a a ==+解得31a a -=1. 【变式2】已知数列{}n a 的前n 项积2n S n =+，求通项n a
【答案】当2n ≥时，12
1
n n n S n a S n -+=
=
+， 当1n =时，1112
12311
a S +==+=≠
+， ∴*
3,(1)2,(2)1
n n a n n n N n =??
=+?≥∈?+?且. 类型五：数列与函数 例6．已知数列{}n a 中32
3
n n a n -=
+,判断数列{}n a 的单调性，并给以证明. 【思路点拨】选择数列中任意相邻两项作差比较即可.
【解析】∵3(3)1111
333
n n a n n +-=
=-++，
∴1111111
(3)(3)043(3)(4)
n n a a n n n n +-=-
--=>++++（*n N ∈） ∴数列{}n a 是递增数列.
【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.
举一反三：
【变式1】数列{}n a 中：11a =,122
n n n a a a +=
+（*
n N ∈） （1）写出它的前五项，并归纳出通项公式； （2）判断它的单调性. 【答案】 （1）11a =,223a =
,31224a ==, 425a =, 51236a ==,∴ 21
n a n =+； （2）方法一：∵1222
021(2)(1)
n n a a n n n n +-=
-=-<++++， ∴ 数列{}n a 是递减数列. 方法二：∵函数2
()1
f x x =
+在[1,)x ∈+∞上单调递减， ∴数列{}n a 是递减数列.
【变式2】数列{}n a 中：1
()2
n n a a =?（*
n N ∈，0a ≠且a 为常数），判断数列{}n a 的单调性.
【答案】∵1
1111
()
()()2
222
n n n n n a a a a a ++-=?-?=-?，
当0a >时10n n a a +-<， ∴数列{}n a 是递减数列；
当0a <时10n n a a +->， ∴数列{}n a 是递增数列.
【巩固练习】 一、选择题
1.数列1,2,4,8,16,32，……的一个通项公式是
A.21n a n =-
B.12n n a -=
C.2n n a =
D.12n n a += 2.已知数列1234
,,,,2345………，
1
n
n +则0.96是该数列的（ ） A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项 3．已知数列的通项公式：31()22()
n n n a n n +?=?-?为奇数为偶数则a 2·a 3等于( )
A ．70
B ．28
C ．20
D ．8
4．已知a n ＝n 2＋n ，那么( ) A ．0是数列中的项 B ．20是数列中的项 C ．3是数列中的项
D ．930不是数列中的项
5
，…则( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项
二、填空题
6.已知数列{}n a 的前n 项和S n =3+2n
, 则a n =__________.
7.已知数列{}n a 前n 项和S n =5n 2
-n, 则a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=_________.
8.已知数列{}n a 中，11a =, 14
22
n n a a +=-
+. 那么数列{}n a 的前5项依次为_________. 9.数列{a n }的通项公式a n =n 2
+n+1; 则273是这个数列的第_______项. 10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:
(1)
21, -54,109, -1716,……；
(2) 32, 154, 356, 63
8,……;
(3) 5, 55, 555, 5555, ……; (4) 3,5,3,5,……. 三、解答题
11．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2
+λn, 若数列{a n }为递增数列，试求最小的整数λ. 12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式lg(S n -1)=n ， 求a n .
13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (*n N ∈)； (2) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (*n N ∈). 14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．
15.已知数列{}n a 的通项公式为22(2)(2)n a m m n n =--且为递减数列，求m 的取值范围
【答案与解析】
1.答案：B
解析：容易观察，从第二项开始，每一项都是前一项的2倍，故，12,n n a -=故选B. 2.答案：C
解析：易知数列的通项公式1
n n
a n =+，把0.96化为通项的形式96240.96100251n n ===
+，故n=24 3. 答案： C
解析： a 2＝2×2－2＝2 a 3＝3×3＋1＝10 a 2·a 3＝20.故选C.
4. 答案： B
解析： 令n 2＋n ＝0，得n ＝0或n ＝－1，∵n ?N *，故A 错． 令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0，∴n ＝4或n ＝－5(舍)， ∴a 4＝20.故B 正确． 令n 2＋n ＝3，即n 2＋n －3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C 错． 令n 2＋n ＝930，即(n ＋31)(n －30)＝0，
∴n ＝30或n ＝－31(舍)，∴a 30＝930，故D 错．
5. 答案： B
解析： 该数列通项公式为n a =
=n ＝7.
6.答案： 15(1)
2(2)
n n n a n -=?=?≥?;
解析：利用1(1)n n n a S S n -=-≥可求1
2n n a -=，另n=1时，15,a =∴15(1)
2(2)n n n a n -=?=?≥?
7.答案： 370;
解析：a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=S 10- S 5,可求a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=370 8.答案 1,
32,21,52,3
1
; 解析：∵11a =, 1422
n n a a +=-+. ∴2142
223a a =-=+，同理可求其它项.
9. 答案：16.
解析：令21273n n ++=；求得16n = 10．答案(1)21
2(1)
1n n n a n +=-?+; (2)2(21)(21)
n n
a n n =-+; (3)5(101)9
n n a -=; (4) a n =4+(-1)n
11．解析:依题意有:a n+1-a n >0, 即[(n+1)2
+λ(n+1)]-(n 2
+λn)>0. 解得 λ>-(2n+1), *n N ∈.
∵-(2n+1)( *n N ∈)的最大值为-3， ∴ 满足条件的最小整数λ=-2.
12．答案：1
11,(1)
910,(2)n n n a n -=?=??≥?
解析： 11111010910n n n n n n n a S S --->=-=-=?时，
1n =时，111n a S ==，所以1
11,(1)
910,(2)
n n n a n -=?=??≥? 13．解析:
(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ 2(1)n a n =-； (2)013123a ==+?,127123a ==+?,2319123a ==+?,
3455123a ==+?, 45163123a ==+?
∴1123n n a -=+?. 14.解析：
(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1 (2)方法一：∵2 2 595424n a n n n ? ?=-+=-- ?? ?， 可知对称轴方程为5 2.52 n ==. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为 22－5×2＋4＝－2. 方法二：设第n 项最小， 由11n n n n a a a a +-≤??≤? 得2222 54(1)5(1)454(1)5(1)4 n n n n n n n n ?-+≤+-++??-+≤---+?? 解这个不等式组得2≤n ≤3， ∴n ＝2,3， ∴a 2＝a 3且最小， ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2. 15.解析：∵数列为递减数列，∴1n n a a +< ∴221(2)[(1)2(1)2]n n a a m m n n n n +-=-+-+-+ 22* 2 22(2)(331)017 3313()50 24 20m m n n n N n n n m m =-+-<∈∴+-=+-≥>∴-< 解得02m << 等差数列 【学习目标】 1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系； 2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题. 3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【要点梳理】 要点一：等差数列的定义 文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 要点诠释： ⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）； 符号语言形式 对于数列{}n a ,若1n n a a d --=(n N +∈，2n ≥,d 为常数)或1n n a a d +-=(n N +∈，d 为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d 叫做等差数列的公差。 要点诠释：定义中要求“同一个常数d ”，必须与n 无关。 等差中项 如果a ,A ,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即2 b a A +=. 要点诠释： ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a ，b 的等差中项存在且唯一. ②三个数a ,A ,b 成等差数列的充要条件是2 b a A +=. 要点二：等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义1n n a a d --=可得：1n n a a d -=+， ∴211(21)a a d a d =+=+-， 32111()2(31)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-， 43111(2)3(41)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-， …… d n a a n )1(1-+= 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出等差数列的通项公式为：d n a a n )1(1-+=（n N +∈）。 （2）叠加法： 根据等差数列定义1n n a a d --=，有： 21a a d -=， 32a a d -=， 43a a d -=， … 1n n a a d --= 把这1n -个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得1(1)n a a n d -=-， ∴1(1)n a a n d =+-. (3)迭代法： d n a d d d a d d a d a a n n n n )1()()(12 221-+=++++==++=+=--- ∴1(1)n a a n d =+-. 要点诠释： ①通项公式由首项1a 和公差d 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。 ②通项公式中共涉及1a 、n 、d 、n a 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。 等差数列通项公式的推广 已知等差数列{}n a 中，第m 项为m a ，公差为d ，则： 证明：∵1(1)n a a n d =+-，1(1)m a a m d =+- ∴11[(1)][(1)]()n m a a a n d a m d n m d -=+--+-=- ∴()n m a a n m d =+- 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式1(1)n a a n d =+-可以看成是1m =时的特殊情况。 要点三：等差数列的性质 等差数列{}n a 中，公差为d ，则 ①若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+， 特别地，当2m n p +=时2m n p a a a +=. ②下标成公差为m 的等差数列的项k a ,k m a +,2k m a +,…组成的新数列仍为等差数列，公差为md . ③若数列{}n b 也为等差数列，则{}n n a b ±，{}n ka b ±，（k,b 为非零常数）也是等差数列. ④123456789,,,a a a a a a a a a ++++++……仍是等差数列. ⑤数列{}+n a b λ（λ，b 为非零常数）也是等差数列. 要点四：等差数列{}n a 的通项公式是关于n 的一次函数(或常数函数) 等差数列{}n a 中，11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，令1a d b -=,则： （1）当0d =时，n a b =为常数函数，{}n a 为常数列；它的图象是在直线y b =上均匀排列的一群孤立的点。 （2）当0d ≠时，n a dn b =+是n 的一次函数；它的图象是在直线y dx b =+上均匀排列的一群孤立的点。 ①当0d >时，一次函数单调增，{}n a 为递增数列； ②当d ＜0时，一次函数单调减，{}n a 为递减数列。 【典型例题】 类型一：等差数列的定义 例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 【思路点拨】 （1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项； （2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 【解析】 （1）根据题意可知：13a =,734d =-=. ∴该数列的通项公式为：34(1)41n a n n =+-=-（1n ≥,n N +∈） ∴1134(111)43a =+-=. （2）根据题意可得：12a =,927d =-=. ∴此数列通项公式为：27(1)75n a n n =+-=-（1n ≥,n N +∈）. 令75100n -=,解得：15n =, ∴100是这个数列的第15项. 【总结升华】 1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ，写出通项公式n a . 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三： 【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项 【答案】由18a =，58253d =-=-=-，∴218(211)(3)52a =+-?-=-. 【变式2】－20是不是等差数列0，7 2 - ，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 【答案】由题意可知：10a =,72d =- ，∴此数列的通项公式为：7722 n a n =-+, 令772022n -=- +,解得47 7 n N =?，所以－20不是这个数列的项. 【变式3】求集合*{|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数，并求这些元素的和 【答案】∵7100n <， ∴214 7 n <， ∵* n N ∈，∴M 中有14个元素符合条件， 又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即17a =，7d =，1498a =， ∴7352 ) 987(1414=+= S . 例2.已知数列{}n a 的通项公式为35,n a n =-这个数列是等差数列吗？ 【思路点拨】由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （2n ≥）是不是一个与n 无关的常数。 【解析】因为2n ≥时， 135[3(1)5]3,n n a a n n --=----= 所以数列{}n a 是等差数列，且公差为3. 【总结升华】 1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法. 2. 一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么当常数项0r =时，这个数列一定是等差数列；当常数项0r ≠时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列. 举一反三： 【变式1】(2015 北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是 A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2 ，则2a > D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 【答案】分析四个答案，A 举一反例，如12a =，21a =-，34a =-，a 1+a 2＞0，而a 2+a 3＜0，A 错误； 同样B ，如12a =，21a =-，34a =-，a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＞0，B 错误； 对于C ，{a n }是等差数列，若0＜a 1＜a 2，则a 1＞0，设公差为d ，则d ＞0 ，数列各项均为正， 2212222()()a a a d a d a d =-+=-，∵ 22 222a a d >-，∴ 2a > ； 对于D ，22123()()0a a a a d --=-≤ 故选：C ． 【变式2】已知数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a += +（* n N ∈），求证：1{}n a 是等差数列。 证明：∵122n n n a a a += +，∴121 1122n n n n a a a a ++==+ ∴ 11112n n a a +-=，∴1 {}n a 是公差为12的等差数列。 类型二：等差数列通项公式的应用 例3．已知等差数列{}n a 中，1533a =，45153a =，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。 【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a 1、d 的问题， 列出a 1、d 的方程组。 【解析】 方法一：由通项公式得：151451143344153 a a d a a d =+=?? =+=?，解得123 4a d =-??=?， ∴234(1)427n a n n =-+-=-（1n ≥,n N +∈）, ∴217427n =-,解得61n =. 方法二：由等差数列性质，得451530a a d -=,即1533330d -=，解得4d =, ∴154(15)n a a n =+-， ∴217334(15)n =+-,解得61n =. 方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点， ∵点(15,33)P 、(45,153)Q 、(,217)R n 在同一条直线上， ∴ 45 153 217154533153--=--n ，解得61n =。 【总结升华】 1. 等差数列的关键是首项1a 与公差d ；五个基本量1a 、n 、d 、n a 、n S 中，已知三个基本量便可求出其余两个量； 2.列方程（组）求等差数列的首项1a 和公差d ，再求出n a 、n S ，是数列中的基本方法. 举一反三： 【变式1】在等差数列{}n a 中，已知51210,31,a a ==求首项1,a 与公差d . 【答案】由11 5410 121131a d a d +=?? +=? 解得；12,5a d =-= 【变式2】等差数列{}n a 中, 4d =, 18n a =, 48n S =,求1a 的值. 【答案】11(1)18 (1)482 n n a a n d n n S na d =+-=?? ?-=+=??即114(1)182(1)48a n na n n +-=?? +-=?， 解得：164a n =??=?或12 6a n =-??=? . 【变式3】已知等差数列{}n a ，354a =，73 4 a =-，则15a = 。 【答案】 方法一：设数列{}n a 首项为1a ,公差为d ，则 ?????? ?-=+=+43645211d a d a ， 解得??? ? ??? =-=49211a d ， ∴4 19 )21(144914115-=-?+= +=d a a 。 方法二：∵734a a d =+, ∴35444d - =+，解得：2 1 -=d ， ∴4 19)715(715- =-+=d a a . 方法三：∵{}n a 为等差数列，∴3a ,7a ,11a ,15a ，…，也成新的等差数列， 由354a = ，734a =-知上述新数列首项为45 ，公差为-2 ∴ 15519(41)(2)44 a = +--=-. 类型三：活用等差数列的性质解题 例4. 已知等差数列}{n a 中，若381312a a a ++=,381328a a a =,求}{n a 的通项公式。 【思路点拨】可以直接列方程组求解1a 和d ；同时留意到脚标31382+=?，可以用性质：当 2m n p +=时2m n p a a a +=解题. 【解析】∵31382a a a +=，∴38138312a a a a ++==即84a =, 代入已知，有???=?=+78133133a a a a ,解得???==71133a a 或???==1 7 133a a ， 当31a =,137a =时，5 31017313313=-=--= a a d ，∴54 5353)3(3-=-+=n n a a n ； 当37a =,131a =时，133173133105a a d --= ==--, ∴5 44 53+-=n a n . 【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷. 举一反三： 【变式1】在等差数列}{n a 中，2818a a +=，则5a = 【答案】9 【变式2】在等差数列}{n a 中，2581120a a a a +++=，则67a a += 【答案】10 【变式3】在等差数列}{n a 中，若169a a +=,47a =, 则3a = , 9a = 【答案】∵16439a a a a +=+=，47a =，∴349972a a =-=-=， ∴435d a a =-=，∴94(94)32a a d =+-=. 【巩固练习】 一、选择题 1.(2014 重庆)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ． 5 B ．8 C ． 10 D ． 14 2．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的递增等差数列 B ．是公差为5的递增等差数列 C ．是首项为7的递减等差数列 D ．是公差为2的递减等差数列 3.已知{a n }是等差数列，a 3＋a 11＝40，则a 6－a 7＋a 8等于( ) A ．20 B ．48 C ．60 D ．72 4. 已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5. 若等差数列{a n }中a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 6．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 二、填空题 7．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。 8．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++= 且 13k a =,则k =_________。 9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________. 10．在等差数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232 =--x x 的两根，则47a a +=___________. 11. （2015 新课标Ⅱ）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=－1，a n+1=S n S n+1，则S n =________． 高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 数学基础知识大全 常用的数量关系式 1.每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2.倍数×1倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5. 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 6. 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 7. 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 8.因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 小学数学图形计算公式 1.正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2.正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3.长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4.长方体(V:体积s:面积a:长b: 宽h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 三角形高=面积×2÷底h=2s÷a 三角形底=面积×2÷高a=2s÷h 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7.梯形(s：面积a：上底b：下底h：高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8.圆形(S:面积C:周长л d:直径r:半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×лs=лrr 9.圆柱体(v:体积h:高s：底面积r:底面半 径c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有 2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 一、 过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、 典例赏析： 例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中， （1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值； （2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。 例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值 作业 A 组： 1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、 已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根， 求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、 已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和 函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x = 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 第二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义 域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切） 高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊 到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重 引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课 必修 1 数学知识点 第一章、集合与函数概念 § 1.1.1 、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法 . § 1.1.2 、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合 A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合A是集合 B的 子集。记作 A B . 2、如果集合A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集 . § 1.1.3 、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集 .记作：A B . 2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A与 B的交集.记作：A B . 3、全集、补集？C U A { x | x U , 且 x U } § 1.2.1 、函数的概念 1、设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数 f x和它对应，那么就称 f: A B 为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x , x A . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等 . § 1.2.2 、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. § 1.3.1 、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性证明的一般格式： 解：设 x1 , x2a, b 且 x1x2，则： f x1 f x2=, §1.3.2 、奇偶性 1 、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为奇函数. 奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） § 2.1.1 、指数与指数幂的运算 1、一般地，如果x n a ，那么x叫做a的n次方根。其中n 1, n N . 2、当n为奇数时，n a n a ； n n a n 《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ） 必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。 相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1高中数学函数知识点总结
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