全方位教学辅导教案
线面垂直的判定及其性质
●知识要点 1.线面垂直 （1）定义：
如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足. （2）判定定理：（线线垂直→线面垂直）
一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m α，n α，则l ⊥α. （3）性质定理：（线面垂直→线线平行） 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 （1）定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） （2）二面角的平面角：
在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 围：000180θ<<. 3.面面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.
（2）判定定理：（线面垂直→面面垂直）
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （3）性质定理：（面面垂直→线面垂直）
两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
6、如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝
AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE.
题型二、面面垂直的判定与性质
1、如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。
2、如图，棱柱111
ABC A B C
-
的侧面11
BCC B
是菱形，
11
B C A B
⊥
证明：平面
1
AB C⊥平面
11
A BC；
3、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点
1
C，且1
C AB
D O AB
在平面上的射影恰好在上。
1
1
(2).
BDC
⊥
⊥
1
1
（）求证：AD BC
求证：面ADC面
4、如图所示，在长方体
1111
ABCD A B C D
-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1
5、已知四面体ABCD中，CD
BD
AC
AB=
=,,平面⊥
ABC平面BCD,E为棱BC的中点。（1）求证：⊥
AE平面BCD;
（2）求证：BC
AD⊥;
6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
S
A
C
B
O
B
C1
A
D
C
7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD
8、如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点， （1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；
（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你
的结论.
V
D C
B
A
题型三、平行与垂直的综合题
(2)PDA=45.
PA ABCD CD
MN PCD ⊥⊥∠⊥。1、已知矩形所在的平面，M,N 分别是AB,PC 的中点。
（1）求证：MN 若，求证：平面
2、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1、AB 的中点.
（1）求证：C 1M ⊥平面A 1ABB 1； （2）求证：A 1B ⊥AM ；
（3）求证：平面AMC 1∥平面NB 1C ；
3、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点
求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；
（2）平面BEF ⊥平面PAD
4.如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=
2
1
AB,PH 为?PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； 证明：EF ⊥平面PAB ．
课堂检测： 课后作业:
签字 教研组长： 教学主任： 学生： 教务老师： 家长：
老师 课后 评价 下节课的计划：
学生的状况、接受情况和配合程度： 给家长的建议：