微积分发展史
摘要：本文将介绍微积分的由来以及发展过程以及他对于人类发展的重大意义。并且在文章中也会对微积分的一些基本内容和理论等进行说明和归纳
关键词：微积分，微分，积分，建立
一、微积分学的建立
微积分在如今的数学领域中占到了非常重要的地位，并且作为
一门学科，微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应
用的数学分支。它的起源可以追溯到其诞生的2000多年前，
比如，古代的人用方砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”等等，都涉及到了以“直”代“曲”
的极限观念，属于微积分的朴素思想，阿基米德更可称为时微
积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓
形那样复杂地曲边形地面积中，而且在求积时应用了各种微积
分学地思想。但微积分思想真正形成是在十七世纪，由牛顿总
结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论
微积分的起源。牛顿是从物理角度建立了微积分的思想，而德
国数学家莱布尼兹从几何角度出发，独立地创立了微积分
（1675-1676）。这两位数学家总结出处理各种有关问题地一般
方法，并揭示出微分学和积分学之间的本质联系。两人各自建
立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及
其符号。这位日后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要
的基础。微积分的创立，极大地推动了数学地发展，过去很多
初等数学束手无策地问题，通过运用微积分，往往引刃而解。
使得微积分学地创立成为数学发展地一个里程碑式的事件。二、微积分建立的重要意义
恩格斯曾经说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世
纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如
果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就
正是在这里。”在微积分建立之前，人类基本还处于农耕文明时
期。但在微积分建立之后它为创立许多新的学科提供了源泉。
可以说微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类智
慧的结晶，它极大地推动了科学地进步，并且对社会也有深远
的影响。有了微积分，就有了工业革命，它是世界近代科学的
开端，同时也摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学，
对社会产生了极大的影响，使人们进入了现代化的社会。这一
切都表面了微积分学的产生是人类历史上的一次空前飞跃。三、微积分理论的基本介绍和归纳
微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，
求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入
不定积分即得到积分值，微分则是倒数值与自变量增量的乘积。
作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求
和”。牛顿称微积分为“流数术理论”，在“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬。牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时间连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数（生长中的量）称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率（生长率），称为倒数。所谓“瞬”这个概念，如牛顿所说是一种刚刚产生的无限小的量，如一个无限小的时间间隔称为一个瞬。牛顿把全部微积分问题分为两大类，他用运动学上的术语表达为：“速度”与“路程”。速度相当于现在的导函数，“路程”相当于现在的原函数，“时间”被简单地作为所有变量的公共自变量，流数术所提出的中心问题是：1、已知连续运动的路程，求给定时刻的速度（即微分法）；2、已知运动速度，求给定时间内经过的路程（即积分法）。德国数学家莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”。他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中。1686年他在《教师学报》杂志上发表了微积分的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。他是历史上的符号创造家之一：用df表示微分，r表示导数，dx表示n阶微分，∫表示积分。
由于“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要了解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概
念。所以必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。也就是说，除的术不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说它的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。
参考文献：《高等数学》（北京高等教育出版社.2008）、《托马斯微积分》
微积分发展简史 一、微积分的创立 微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。 大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。这四个问题是： 1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动， 使瞬时变化率的研究成为必要； 2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等； 3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提 出的求函数的极大值、极小值问题； 4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与 重心等问题。 第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。 1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以
几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。这个比较接近于微积分基本定理。 牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。 牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。1665年5月，牛顿发明“正流数术”（微分法）；1666年5月，发明“饭流数术”（积分法）。1666年10月将此整理成文名为《流数简论》，此文虽未发表，却是历史上第一篇系统的微积分文献。将从古希腊依赖用无穷小的方法来解各种问题的特殊技巧统一为两类算法，正、反流数术，记微分与积分；并指出两者是互逆关系，即是一对矛盾。还应用已简历起来的统一算法，用来求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求面积、求引力与引力中心等16类问题，现实了这中算法的普遍性、系统性以及强大威力。 莱布尼兹于1673年提出特征三角形（ds， dx， dy），认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差
定积分的发展史 起源 定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公 元前 240 年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。 公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的 形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（ 17 世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成， 直到牛顿 -- 莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立 发展起来。 未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16 世纪。此时的卡瓦列利与 他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9×N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提 供的第一个证明微积分基本定理。 牛顿和莱布尼茨 在一体化的重大进展是在 17 世纪独立发现的牛顿 ?? 和莱布尼茨的微积分 基本定理。定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易 地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决 的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学
框架。由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。 正式积分 定积分概念的理论基础是极限。 人类得到比较明晰的极限概念，花了大约 2000 年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。经过十八、十九世纪 一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有 了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书 中有关定积分的定义是由黎曼给出的。 术语和符号 艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。或牛顿用来指示分化和方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。 1675 年戈特弗里德莱布尼茨改编的积分符号，∫，从字母S（“总结”或“总”）。 ∫符号表示的整合 ; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合 ; f是积，x 在区间 [a ，b] 上的变化进行评估;
微积分发展史 摘要：本文将介绍微积分的由来以及发展过程以及他对于人类发展的重大意义。并且在文章中也会对微积分的一些基本内容和理论等进行说明和归纳 关键词：微积分，微分，积分，建立 一、微积分学的建立 微积分在如今的数学领域中占到了非常重要的地位，并且作为 一门学科，微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应 用的数学分支。它的起源可以追溯到其诞生的2000多年前， 比如，古代的人用方砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”等等，都涉及到了以“直”代“曲” 的极限观念，属于微积分的朴素思想，阿基米德更可称为时微 积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓 形那样复杂地曲边形地面积中，而且在求积时应用了各种微积 分学地思想。但微积分思想真正形成是在十七世纪，由牛顿总 结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论 微积分的起源。牛顿是从物理角度建立了微积分的思想，而德 国数学家莱布尼兹从几何角度出发，独立地创立了微积分 （1675-1676）。这两位数学家总结出处理各种有关问题地一般 方法，并揭示出微分学和积分学之间的本质联系。两人各自建
立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及 其符号。这位日后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要 的基础。微积分的创立，极大地推动了数学地发展，过去很多 初等数学束手无策地问题，通过运用微积分，往往引刃而解。 使得微积分学地创立成为数学发展地一个里程碑式的事件。二、微积分建立的重要意义 恩格斯曾经说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世 纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如 果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就 正是在这里。”在微积分建立之前，人类基本还处于农耕文明时 期。但在微积分建立之后它为创立许多新的学科提供了源泉。 可以说微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类智 慧的结晶，它极大地推动了科学地进步，并且对社会也有深远 的影响。有了微积分，就有了工业革命，它是世界近代科学的 开端，同时也摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学， 对社会产生了极大的影响，使人们进入了现代化的社会。这一 切都表面了微积分学的产生是人类历史上的一次空前飞跃。三、微积分理论的基本介绍和归纳 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出， 求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入 不定积分即得到积分值，微分则是倒数值与自变量增量的乘积。 作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求
对《微积分的概念发展史》见解 微积分和数学分析是人类智力的伟大成就之一，其地位介于自然和人文科学之间，成为高等教育成果硕然的中介。微积分发展史和对微积分的研究就是人类智力的斗争和一步步发展的历史，这种延续了500多xl年的斗争历史，深深扎根于人类奋斗的许多方面，并且，只要人们像了解大自然那样去努力认识自己，它就还会继续发展下去。教师、学生和学者若想真正理解数学的力量和表现，就必须从历史的角度来理解这一领域发展至今的现状，以广阔的视野看待数学。 《微积分的概念发展史》这本书以时间为顺序，通过对古希腊乃至更久远时期、中世纪和17世纪关于微积分学构想的描述，剖析了一些阻碍微积分学发展进程的哲学与宗教观点，叙述了微分和积分两方面的发展，以及牛顿、莱布尼茨的伟大贡献。 数学是从古代巴比伦人及埃及人建立起一套数学知识，并以之作为进一步观察的基础的而开始，出现了泰勒斯（Thales），毕达哥拉斯学派（Pythagoras）以及柏拉图（Plato）等等对数学进行演绎的哲学家和数学家，他们认为数学是对终极永恒的现实以及自然和宇宙固有性质的研究，而不是逻辑的一个分支或者是科学技术的所运用的一种工具。 历史到达中世纪，经院派的观点十分盛行，他们认为宇宙“秩序井然”，易于理解。到了14世纪，世人非常清楚的意识到逍遥学派对运动和变化所持的定性观最好能被定量研究所取代。这种信念在萨库的尼古拉斯、开普勒和伽利略的思想中都有体现，在某种程度上也出现在莱昂纳多·达·芬奇的思想中。微积分起源于古希腊数学家在试图表达其关于直线的比率或是比例的直觉观点所遭遇的逻辑困境，他们认为数是离散的，按照数的观点，迷迷糊糊的认为直线是连续的，这样一来，便涉及到在逻辑上不够满意的无穷小的概念。但是，古希腊科学家的严密的思想却将无穷小的观念排除在几何证明之外，并代以穷竭法，这种方法可以避开无穷小的问题，但十分麻烦。不过，14世纪的经院派哲学家对变量展开的定量研究，这种方法很大程度上是辩证的，但是也借助图示。这些哲学和宗教的概念实际上对以后很多数学家的研究起到或多或少的作用或是影响，又好
微积分概述 一、微积分的来历 早在公元前三世纪，在古希腊就出现了微积分的雏形。阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积等问题中，就隐含了近代积分的思想。到了十七世纪，有许多科学问题亟需解决，第一类是瞬时速度问题；第二类是求任意曲线的切线问题；第三类是最值问题；第四类是求曲线长、曲线所围面积等问题。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决以上问题做了大量的研究工作，例如费马、笛卡尔、巴罗、开普勒、伽利略等等。 十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立研究和完成了微积分的创立工作。他们最大的功绩就是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题，一个是求积问题。 二、微积分的主要内容 众所周知，微积分由微分、积分组成，微分与积分互为逆运算，但是很多学生学完整本微积分，仍然对于微积分没有一个清晰的了解。下面我们通过一个例子来具体地了解微积分的主要问题。 引例：路程函数()()S S t v v t ==与速度函数，我们首先考虑匀速的情况； 上述两个图像表达的都是一个速度恒为1的匀速直线运动。我们可以根据图（1）画出图（2），也可以根据图（2）画出图（1）。这就说明一个运动的路程函数与速度函数有内在的联系。 然后，我们来考虑变速的情况：
请大家根据图（3）得出图（4）并解释运动的具体情况。 通过图（1）画出图（2）以及通过图（3）画出图（4），这个过程就是微分，即由路程函数微分可得速度函数。通过图（2）画出图（1）以及通过图（4）画出图（3）这个过程就是积分，即由速度函数积分可得路程函数。 类似的例子还有很多，通过这个例子，大家应该清楚微积分其实就是事物内部的某种规律。例如，一个运动的路程函数与速度函数的关系；一个物体体积与表面积的关系等。 所以，我们研究微积分其实就是帮助我们更好地了解世界中某些事物内部的规律变化。 三、微积分的应用 微积分在工程学、经济学、天文学、力学等许多领域都有着广泛的应用。实际上，只要有变量的问题，微积分就有其具体的应用。所以我们在大学期间要学习微积分这门课程。通过学习掌握好微积分的基本方法以后，我们在许多自然科学里能找到许多的基础应用。这是我们学习专业知识的基础。 四、微积分的基本构架 函数→极限→微分→应用 ↓ 积分→应用
一、刘徽在数学上的贡献 刘徽在数学上的贡献，主要在其《九章算术注》一书。《隋书》卷16《律历上》载：“魏陈留王景元四年刘徽注《九章》”。是知《九章算术注》完成于景元四年（263年）。《隋书》卷34《经籍志三》有《九章算术》十卷、《九章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。刘徽这两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上也有一定的地位。今述其主要贡献如下： 1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。他算到正192边形时，求得圆周率为3.14的近似值。他又用几何方法把它化为。后人即将3.14或叫作“徽率”。 2.关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”。 3.十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，刘徽建立了十进分数制。他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”。
微积分发展应用史 学院：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学（1）班 【摘要】：由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十 分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。整个17世纪有数十位 科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支还是牛顿和 莱布尼茨。 【关键词】：解析几何建立牛顿莱布尼兹发展史 【正文】 如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而 树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始, 随着社会的进步和生产力的发展,自文艺复新以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然 科学开始迈入综合与突破阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，是的微积分学的基本问题空前的成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题成为研究;望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线这就是人以曲线的切线问题 变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决与此同时，行星眼轨道运行的路程，行星矢径扫过的面积及物体的重心和引力的计算有使微积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力的计算的兴趣被重新激发起来。在十七世纪中叶几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，在这种特殊的背景下微积分学即将应运而生。
任何新事物的产生都有一个准备的过程，微积分的诞生也不会例外，德国天文学家数 学家开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)，意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalier i,1598-1647)都为此做出不可磨灭的贡献，但他们主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况，其创始人笛卡尔和费马将坐标方法引进微分学问题研究的先锋，笛卡尔在《几何学》中提出了切线的所谓“圆法”，其本质作为一种代数方法，在推动微积分的早期发展中有着很大影响，牛顿就是以笛卡尔原发为起点高踏上了研究微积分的道路。牛顿通过对反复阅读笛卡尔《几何学》，对笛卡尔求切线的“圆法”产生浓厚的兴趣，并试图寻找解决该问题的最优方法，在1665年夏至1667年春终于功夫不负有心人，在探讨微积分方向取得突破性进展，并将研究成果整理成一篇总结性论文，此文献现在称为《流数简论》(Traction Fluxions)（因为牛顿当时并没有发表，只是在研究同人中间传阅），成为历史上最早系统的微积分文献，标志作为积分的诞生。 《流数简论》充分反映了牛顿微积分学的的运动背景，该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）的概念，虽然没有使用流数这一术语，但却在其中提出了微积分的基本问题，虽然《简论》对微积分的基本定理的论述不能算是现代意义上的严格证明，但是牛顿再后来的著作中队高问题做了不依赖于运动清楚证明。不过此时的微积分在很多方面还不成熟，牛顿对自己的成果并未做宣扬，而是用1667-1693这段时间的大约四分之一来不断该今晚 自己的微积分学说，最终将研究成果议论文的形式总结出来，这些论文有：《运用无限多项的分析》（De Analysi per Aequationes Numero Terminnrum Infinitas）、《流数法与无穷级数》（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum）,《曲线求积数》（Tractatus de Quadratura Curvarum）。最后一篇作为牛顿最成熟的微积分著述，在其中对以前的 不足之处做了大量的改进，重新重视无限小瞬0的作用，并强调在数学中，最小的误差也 不能被忽略……就是这种严谨的科学态度，最终成为了那个时代的历史巨人。
微积分发展简史 参与人员 院系：数学科学学院 专业： 信息与计算科学 年级：2011级 日期：2012年六月一日 目录 学号 姓名 20114500 李海洲 20114502 吴亚锋 20113917 卢任之 20113919 郭 越 20111738 王心影 20114975 哈森其其格
1 中文摘要 (Ⅰ) 2 abstract (Ⅱ) 3微积分简介 (1) 4产生背景 (2) 5 酝酿时期 (3) 6发展历程 (4) （1）牛顿的微积分 (4) （2）莱布尼茨的微积分 (5) （3）柯西与魏尔斯特拉斯的贡献 (6) （4）外国其他科学家的贡献 (7) （5）中国数学家的思想 (8) 7微积分创建的历史意义 (9) 8微积分的应用与新分支的形成 (10) 9参考文献 (11) 中文摘要：
本文以对微积分的发展有突出贡献的一些数学家为切入点，简略的介绍了微积分学的产生背景、发展过程以及其产生的重大历史意义。 关键词： 微积分；发展史；微分；积分；极限；牛顿；莱布尼茨
English Abstract : In this paper, some mathematicians of outstanding contributions to the development of calculus as a starting point, briefly introduced the calculus background, development process and its major historical significance. Key Words : Calculus；History of the development；Differential；Integral；Limit；Newton；Leibniz
微积分的起源与发展 主要内容： 一、微积分为什么会产生 二、中国古代数学对微积分创立的贡献 三、对微积分理论有重要影响的重要科学家 四、微积分的现代发展 一、微积分为什么会产生 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题： 第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以45°角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
微积分发展史 微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。这个伟大的成就当然首先应该归功于牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)，但是在他们创立微积分之前，微积分问题至少被17世纪十几个大数学家和几十个小数学家探索过，得出了一些有价值的结论，且具有很大启发性。牛顿和莱布尼茨是在前人的基础上将微积分发展到了高峰。 17世纪遇到了哪些问题呢？主要有四类问题。第一类是速度和加速度问题。17世纪遇到的速度和加速度问题大都是变量问题，即变速与变加速。这与17世纪以前所遇到的大量常速问题所不同，如何求速度与加速度成为当时科学家们所关心的问题。第二类是切线问题。17世纪光学是一门重要的学科，例如透镜如何设计，这涉及切线与法线。切线问题在17世纪以前虽也解决过，但只限于圆锥曲线，而切线的定义是只与曲线接触一点的直线，这种情况不能适应17世纪所遇到的复杂的曲线的切线问题，另外物体运动时在它轨迹上的运动方向也涉及切线。第三类是最大值和最小值问题。炮弹的最大射程如何求，行星运行时离开太阳的最远和最近距离如何求，都是17世纪迫切要解决的。第四类是求曲线的长、曲线围成的面积和曲面围成的体积、物体的重心、引力等。这些问题在17世纪之前个别地解决过，但必须有较好的技巧，且方法缺乏一般性。 尝试解决这四类问题在牛顿、莱布尼茨之前已经有过不少经验，罗贝瓦尔(Roberval)从炮弹的水平速度与垂直速度构成矩形的对角线出发，认为这条对角线就是炮弹的轨迹切线。牛顿的老师巴罗(Barrow)，也给出了求切线的方法。17世纪开普勒(Kepler)证明了所有内接于球的，具有正方形底的正平行四面体中立方体的容积最大。当越来越接近最大体积时，相应尺寸的变化对体积的变化越来越小(就是我们现在所说的极值处的导数为0)。费马(Fermat)在1629年已经找到与现在求最大值和最小值的方法实质相同的方法。卡瓦列利(Cavalieri)在他老师伽利略(Galileo)和开普勒的影响下，并在他老师的敦促下，考查了微积分，并且获得n为正整数时的积分公式(1639年) 1634年罗贝瓦尔求出了旋轮线x=R(t-s in t)，y=R(1-c os t)一个拱下的面积。他还求出了正弦曲线一个拱下的面积及它绕底旋转的体积。一些图形的重心也计算出来了。格利哥利(Gregory)在1647年算出了 以上都是一些具体的结果，在原则性的问题上，如微积分的主要特征——积分与微分互逆，也早为人们所遇到。托里拆利(Torricelli)通过特殊的例子看到了变化率问题本质上是面积问题的反问题。费马同样也在特殊的例子中知道了面积与导数的关系。格利哥利1668年证明了切线问题是面积问题的逆问题。巴罗也看到了这种关系，但他们不是没有看到其普遍意义或一般性，就是没引起重视和看到其重要性。17世纪的前三分之二的时间内，微积分的工作被困拢在一些细节问题里，作用不大的细微末节的推理使数学家们精疲力竭了。
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微积分中的导数思想与应用 蔡淑铭 摘要：微积分在天文、力学、数学、化学、生物学、物理学、工程学和社会科学等领域都有什么样重要的作用,微积分的基本原理和思想在我们的日常生活中、学习、工作中也经常用到。一、导数在经济学中的应用导数反映函数的自变量在变化过程中,相应的函数值变化的快慢程度——变化率。如果在函数y- f(x)在某一点x_0处可导的前提下,若函数y-f(x)在某区间内每一点处都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记y=f'(x)为y=f(x) 在该区间内的可导函数(简称导数)。 关键词：流数术、可导、变化 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X 在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的 比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x 0处的导数，记作f'(x )或 df/dx(x )。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 2.导数的历史沿革 2.1起源
概述定积分的发展与应用 摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分. 定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段. 1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用. 2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来
微积分发展简史 微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.” 一、微积分思想萌芽 微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子 天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题. 欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形. 与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）
浙江师范大学成教2006学年第2学期 《数学史》考试卷（A）（式样一） 一、单项选择题(每小题2分，共26分) 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是( B ) A.刘徽 B.祖冲之 C.阿基米德 D.卡瓦列利 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C ) A.秦九韶 B.杨辉 C.朱世杰 D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A ) A.积分学早于微分学 B.微分学早于积分学 C.积分学与微分学同期 D.不确定 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D ) A.《孙子算经》 B.《墨经》 C.《算数书》 D.《周髀算经》 5．发现著名公式e iθ=cosθ+i sinθ的是( D )。 A.笛卡尔 B.牛顿 C.莱布尼茨 D.欧拉 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。 A.两汉时期 B.隋唐时期 C.魏晋南北朝时期 D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。 A.莱布尼茨 B.约翰·伯努利 C.雅各布·伯努利 D.欧拉 8．1834年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（A）。 A.纸草书上 B.竹片上 C.木板上 D.泥板上
10．大数学家欧拉出生于（A ） A.瑞士 B.奥地利 C.德国 D.法国 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。 A.塔塔利亚 B.卡当 C.费罗 D.费拉利 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（D）。 A.比例术 B.面积术 C.体积术 D.开方术 13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。 A.美索不达米亚 B.埃及 C.阿拉伯 D.印度 二、填空题(每空1分，共28分) 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、____完备性_______、____独立性_______。 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为____杨辉____三角，而数学史学者常常称它为_____贾宪___三角。 17．欧几里得《几何原本》全书共分13卷，包括有____5____条公理、____5____条公设。 18．两千年来有关欧几里得几何原本第五公设的争议，导致了非欧几何的诞生。 19.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何____方法对这一解法给出了证明。 20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的微分三角形方法以及瓦里士的曲线弧长的计算等。 ε-语言的数学家是维尔斯特拉斯。 21．创造并最先使用δ 22．数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间，1882年德国数学家林德曼证明了数π的超越性。 23．罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点，至少有两条直
微积分的发展史对新课标导数教学的启示 台山培英中学黄辉胜 【内容摘要】一般地，导数概念的起点是极限，即从数列→数列的极限→函数的极限→导数，但对于高中的学生来说，极限是非常抽象和不容易理解的，而新课标导数教学并没有介绍形式化的极限定义，改从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。本文就是从微积分的发展史来弄清为什么可以这样引入导数的概念。 【关键词】流数；变化率；瞬时变化率；导数 一般地，导数概念的起点是极限，即从数列→数列的极限→函数的极限→导数。这种概念建立方式有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。而新课标导数概念是怎样讲呢？教科书（人教版）没有介绍形式化的极限定义及相关知识。而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。这种概念建立方式当然就没有严密的逻辑性和系统性了，有这种必要吗？笔者从微积分的发展史找到答案。 一、微积分的发展史简介 众所周知，微积分是由伊萨克·牛顿（Isac Newton，1643－1727）与戈特弗里·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm，1646－1716）分别通过研究不同的问题而创立的。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部着作引导牛顿走上了创立微积分之路。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。而莱布尼茨与牛顿的切入点不同，他创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求 切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号dx，dy以及函数和、差、积、商、乘幂 与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的 互逆关系，包含积分符号 并给出了摆线方程： 只是莱布尼茨对微积分学基础——无穷小量上的解释和牛顿一样也是含混不清的，这引起了所谓第二次数学危机。而为了解决这次数学危机才有极限这个概念。由此可见，传统的导数教学只是按“公理演绎法”的形式来铺陈数学，即只讲述逻辑演绎系统，亡象而存玄珠，按“公理、定义、定理、证明”四部曲，干净利落地呈现。但是，对于提问题的艺术，一个概念的形成，一个公式、定理的发现，乃至一个理论的创造与生长过程，这些更有趣部分，几乎都不谈。换言之，将完整的探索过程去头砍尾，即去掉人文与历史土壤，再砍掉品味与欣赏，结果造成数学的无趣与面目可憎，迫使学生为了“分数”或“升学”而走上痛苦之“背记”道路，美其名是为了逻辑的严谨，如此所付出的代价实在太大了——全盘皆输！ 二、新课标导数教学的处理 反观新课标的导数的教学，没有介绍形式化的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。在一系列问题的引导下，学生经历从平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，从代数和几何两个方面理解导数的含义，一方面，通过去瞬时速度方法而引入导数的概念，这是牛顿创立导数的基础，另一方面，再讲清导数的几何意义——导数是曲线上某点处切线的斜率，这是莱布尼茨创立导数基础。这样一来，根据德国生物学家海克尔（E.Haeckel,1834~1919）说法：“个体的发生史重复种系的发生史。”类推应用到学习上，这意指
微积分发展历程（二） 微积分学的诞生 随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。 1）微积分的发展 无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。 不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor ）、麦克劳林（C.Maclaurin ）、棣莫弗（A.de Moivre ）、斯特林（J.Stirling ）等。泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理()2 3 ....22..112123v v v x z v x x x x z z z ∴+=++++其中v 为独立变量z 的增量，.x 和. z 为流数。泰勒假定z 随时间均匀变化，故.z 为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”： ()()()()2 2!h f x h f x hf x f x '''+=+++。 泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。 泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。麦克劳林（1698_1746）是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。 麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。与此相对照，在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。 2）积分技术与椭圆积分 18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。 当18世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。例如雅各布?伯努利在求双纽线