三角、反三角函数图像
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1. 六个三角函数值在每个象限的符号：
sin α· csc α cos α· sec α
tan α· cot α
2. 三角函数的图像和性质：
y=sinx
y
-5
- 2 1
2
-7
o -4
-3
-2 -3 -
2
-1
2
3
7 2
5
2
2
3 4
2
2
x
y=cosx
y
-5
- 2 1
-32
- -4
-7
-2 -3
o 2
2
-1
y
y=tanx
3 3 7 2
2
2
5 4
2
2
y
y=cotx
x
-
3
-
- 2
2
o
3
2
2
x
-
- 2
o
3 2
x
2
2
函数
y=sinx y=cosx
y=tanx
｛ x ｜ x ∈ R 且
定义域
R
R
x ≠ k π+,k ∈ Z ｝
［ -1,1］
2
［ -1，1］x=2k π+ 时
x=2k π时 y max =1
2
R
y max =1
x=2k π +π时
值域
无最大值
y min =-1
无最小值 x=2k π-时 y min =-1
2
y=cotx
｛ x ｜ x ∈ R 且
x ≠ k π∈,kZ ｝
R
无最大值
无最小值
周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
1 / 5
在［ 2kπ-,2kπ+ ］在［ 2kπ-π，2kπ］
在 (k π- ，
在 (k π，kπ+π)内上都是增函数；都是减函数
22
在［ 2kπ，2kπ+π］2
(k ∈ Z)
上都是增函数；在
单调性
2上都是减函数k π+ )内都是增
［ 2kπ+,2k(k ∈ Z)2
π+ π］
函数 (k ∈ Z)
23
上都是减函数(k ∈Z)
3.反三角函数的图像和性质：
arcsinx arccosx
arctanx
名称反正弦函数
y=sinx(x ∈
〔-
,〕的反函
2 2
定义
数，叫做反正弦函
数，记作 x=arsiny
arcsinx 表示属于
理解
［ -,
］
22
x 的
且正弦值等于
角
定义域［ -1， 1］
值域［ -，］
性
22
单调性
在〔 -1， 1〕上是增
质函数
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx 周期性都不是周期函数反余弦函数
y=cosx(x ∈
〔0, π〕)的反
函数，叫做反余
弦函数，记作
x=arccosy
arccosx 表示属于
［ 0，π］，且
余弦值等于 x 的
角
［-1， 1］
［0，π］
在［ -1，1］上
是减函数
arccos(- x)= π-
ar ccosx
arccotx
反正切函数反余切函数
y=tanx(x ∈ (-,
y=cotx(x ∈(0, π ))
的反函数，叫做
2
反余切函数，记
2
)的反函数，叫作 x=arccoty
做反正切函数，记作
x=arctany
arctanx表示属于arccotx 表示属于
(-,)，且正切值
(0，π)且余切值等
于 x 的角
22
等于 x 的角
(-∞，+∞)(-∞， +∞)
(-，)(0，π)
2 2
在(-∞， +∞)上是增在(-∞，+∞)上是
数减函数
arctan(-x)=-arctanx arccot(- x)= π-
arc cotx
2/ 5
sin(arcsinx)=x(x ∈cos(arccosx)=x(
［ -1，x∈［ -1,1］ )恒等式1］ )arcsin(sinx)=x(arccos(cosx)=x(
x∈［ - ,］ )
x∈［ 0, π］ )
22
互余恒等式arcsinx+arccosx=(x∈［ -1,1］ )
2tan(arctanx)=x(x ∈cot(arccotx)=x(x R)arctan(tanx)=x∈ R)
（ x∈ (-, )）
arccot(cotx)=x(x
∈ (0, π))
22
arctanx+arccotx=(X ∈R)
2
arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
当 x ∈[- π /2,π/2]arcsin(sinx)=x
x∈[0, π]arccos(cosx)=x
x∈(- π/2,π/2)arctan(tanx)=x
x∈(0,π)arccot(cotx)=x
3/ 5
三角公式总表
1.正弦定理 ：
a
=
b
c
= 2R （ R 为三角形外接圆半径）
=
sin A sin B sin C
2.余弦定理：
a 2
=b 2
2
2 2 2 -2ac cosB c
2
2 2
+c -2bc cos A b =a +c =a +b -2ab cosC
cos A
b 2
c 2
a 2
2bc
3. S ⊿= 1 a h a = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B =
abc
=2R
2
sin A sin B sin C
2 2
2 2
4R
a 2 sin B sin C
b 2 sin Asin C
c 2 sin Asin B
=pr=
p( p a)( p
b)( p
c)
=
2sin A
=
=
2sinC
2sin B
(其中 p
1
(a b
c) , r 为三角形内切圆半径 )
2
4. 同角关系：
⑴商的关系：① tg
= sin
= sin
sec
② ctg
cos cos
csc
cos
sin
③ sin
cos
tg
④ sec
1 tg
csc
cos
⑤ cos
sin
ctg
⑥ csc
1 ctg
sec
sin
⑵倒数关系： sin csc
cos sec tg ctg 1
⑶平方关系： sin 2 cos 2
sec 2
tg 2
csc 2
ctg 2
1
⑷ a sin
b cos
a 2
b 2 sin(
) （其中辅助角
与点（ a,b ）在同一象限，且
tg
b ）
a
5. 和差角公式
① sin( ) sin cos cos sin
② cos( ) cos
cos sin sin
③ tg (
)
tg tg
④ tg tg
tg (
)(1 tg tg )
1 tg
tg
⑤ tg (
tg tg
tg tg tg
tg
)
tg
tg
tg
tg
tg
其中当 A+B+C= π时 ,有:
1
tg
i). tgA
tgB tgC
tgA tgB tgC
ii). tg A
tg
B
tg A tg C
tg B tg C
1
2 2 2
2 2
2
4 / 5
6. 二倍角公式： ( 含万能公式 )
① sin 2 2sin cos
2tg
1 tg 2
② cos2
2
sin 2
2cos 2
1 1
2sin 2
1 tg 2
cos
1 tg 2
③ tg 2
2tg
1 tg 2
④ sin 2
tg 2 1 cos 2
⑤ 2
1 cos2
1 tg
2
2
cos
2
7. 半角公式：（符号的选择由
所在的象限确定）
2
① sin
1 cos
② sin 2
1 cos
2
2
2
2
③ cos
1 cos
④ cos 2
1 cos
2
2
2
2 ⑤ 1 cos
2 sin 2
⑥ 1 cos
2 cos 2
2
2
⑦ 1
sin
(cos sin ) 2
cos
sin
2 2
2
2
⑧ tg 1 cos
sin
1 cos
2
1 cos
1 cos
sin
8. 积化和差公式：
① sin
cos
1 sin( ) sin(
)
2
② cos
sin 1 sin( ) sin(
)
2
③ cos
cos
1
cos(
) cos(
)
2
④ sin
sin
1
) cos
cos(
2
9. 和差化积公式：
① sin
sin 2 sin
cos
2
2
② sin
sin
2 cos
sin
2
2
③ cos
cos
2 cos
cos
2
2
④ cos
cos
2sin
sin
2
2
5 / 5