2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题28.1锐角三角函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020?河池）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sin B 的值是（ ） A ．
512
B ．
125
C ．
5
13
D ．
1213
【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案． 【解析】如图所示：
∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12， ∴AB =√52+122=13， ∴sin B =AC
AB =12
13． 故选：D ．
2．（2019秋?玉环市期末）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，cos A =4
5
，则AC 的长为（ ） A ．
125
B ．
165
C ．
203
D ．5
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【解析】如图所示：
∵∠C ＝90°，AB ＝4，cos A =4
5， ∴cos A =
AC AB =AC 4=4
5
， 故AC =16
5． 故选：B ．
3．（2020?普陀区一模）已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A =1
3，那么下列说法中正确的是（ ） A ．cos B =1
3
B ．cot A =1
3
C ．tan A =2√2
3
D ．cot B =2√2
3
【分析】利用同角三角函数的关系解答．
【解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A =1
3，则cos A =√1?sin 2A =√1?19=2√23
A 、cos
B ＝sin A =1
3，故本选项符合题意．
B 、cot A =cosA
sinA =2√2
313
=2√2．故本选项不符合题意．
C 、tan A =sinA cosA =132√23
=√24
．故本选项不符合题意．
D 、cot B ＝tan A =√2
4．故本选项不符合题意． 故选：A ．
4．（2018秋?枞阳县期末）在△ABC 中，∠C ＝90°，若cos A =1
3，则sin B 的值为（ ） A ．1
3
B ．2
3
C ．
√3
3
D ．1
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【解析】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A +∠B ＝90°， 则sin B ＝cos A =13
． 故选：A ．
5．（2018秋?市中区校级期中）已知α为锐角，且tan α=1
3
，则sin α＝（ ） A ．2
3
B ．
√10
5
C ．
3√10
10
D ．
√10
10
【分析】根据tan α=1
3，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sin α的值．
【解析】设在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α， 则sin α=a
c ，tan α=a b
，a 2+b 2＝c 2， ∵tan α=1
3知，
∴可设a ＝x ，则b ＝3x ， ∴c =√a 2+b 2=√10x ． ∴sin α=a
c =x
√10x =√10
10，
故选：D ．
6．（2020?岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，则tan ∠BAC 的值是（ ）
A ．4
5
B ．4
3
C ．3
4
D ．3
5
【分析】过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ，利用正切函数的定义求解可得． 【解析】如图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ，
则tan ∠BAC =BD AD =3
4
， 故选：C ．
7．（2019秋?港南区期末）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，则cos A 的值等于（ ） A ．3
5
B ．
√74
C ．4
5
或
√74
D ．4
5
或
2√7
7
【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB 为斜边，②AC 为斜边，根据勾股定理求得AB 的值，然后根据余弦的定义即可求解． 【解析】当△ABC 为直角三角形时，存在两种情况： ①当AB 为斜边，∠C ＝90°，
∵AC ＝8，BC ＝6，
∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10． ∴cos A =AC AB =810=4
5； ②当AC 为斜边，∠B ＝90°，
由勾股定理得：AB =√AC 2?BC 2=√82?62=2√7， ∴cos A =AB
AC =2√7
8=√7
4； 综上所述，cos A 的值等于4
5或
√74
． 故选：C ．
8．（2019?崇川区二模）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是（ ）
A ．m sin35°
B ．m cos35°
C ．
m sin35°
D ．
m
cos35°
【分析】根据正弦定义：把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦可得答案． 【解析】sin ∠A =
BC
AB
， ∵AB ＝m ，∠A ＝35°， ∴BC ＝m sin35°， 故选：A ．
9．（2017?费县模拟）如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α＝（ ）
A ．1
2
B ．
√5
5
C ．
√52
D ．
2√55
【分析】过D 作EF ⊥l 1，交l 1于E ，交l 4于F ，易证△ADE ≌△DCF ，可得∠α＝∠CDF ，DE ＝CF ．在Rt △DCF 中，利用勾股定理可求CD ，从而得出sin ∠CDF ，即可求sin α．
【解析】过D 作EF ⊥l 1，交l 1于E ，交l 4于F ， ∵EF ⊥l 1，l 1∥l 2∥l 3∥l 4，
∴EF 和l 2，l 3，l 4的夹角都是90°， 即EF 与l 2，l 3，l 4都垂直， ∴DE ＝1，DF ＝2． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADC ＝90°，AD ＝CD ， ∴∠ADE +∠CDF ＝90°， 又∵∠α+∠ADE ＝90°， ∴∠α＝∠CDF ，
∵AD ＝CD ，∠AED ＝∠DFC ＝90°， ∴△ADE ≌△DCF ， ∴DE ＝CF ＝1，
∴在Rt △CDF 中，CD =√CF 2+DF 2=√5， ∴sin α＝sin ∠CDF =CF
CD =1
√5
=√55． 故选：B ．
10．（2009?黑河）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为3
2，AC ＝2，则sin B
的值是（ ）
A ．2
3
B ．3
2
C ．3
4
D ．4
3
【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC ．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题． 【解析】连接DC ．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD ＝90°． 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B ＝∠D ． ∴sin B ＝sin D =AC
AD =2
3． 故选：A ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019?杭州模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A =3
5，则斜边AB 边上的高CD 的长为
4825
【分析】作CD ⊥AB 于D ，如图，在Rt △ACB 中利用正弦的定义可计算出BC =12
5，再利用勾股定理计算出AC =16
5，然后利用面积法计算CD 的长 【解析】作CD ⊥AB 于D ，如图，
在Rt △ACB 中，∵sin A =BC
AB =3
5， ∴BC =3
5×4=12
5， ∴AC =√AB 2?BC 2=16
5， ∵1
2CD ?AB =1
2AC ?BC ，
∴CD =
165×125
4
=48
25，
即斜边上的高为4825
．
故答案为：
4825
．
12．（2018?闵行区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，如果∠A ＝α，AC ＝4，那么BD ＝ 4sin αtan α ．（用锐角α的三角比表示）
【分析】首先由已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，得出∠BCD ＝∠A ＝α，由直角△ACD 求得CD ，再由直角△BCD 求出BD ．
【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高， ∴∠BCD ＝∠A ＝α， ∴CD ＝AC ?sin α＝4sin α， ∴BD ＝CD tan α＝4sin αtan α． 故答案为：4sin αtan α．
13．（2020?铁东区三模）如图，将∠BAC 放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A 、B 、C 均在格点上，那么∠BAC 的正切值为 1 ．
【分析】连接BC ，先利用勾股定理逆定理证△ABC 是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得． 【解析】如图所示，连接BC ，
则AB ＝BC =√12+32=√10，AC =√22+42=2√5， ∴AB 2+BC 2＝10+10＝20＝AC 2，
∴△ABC 是等腰直角三角形，且∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝45°， 则tan ∠BAC ＝1， 故答案为：1．
14．（2017秋?蓝田县期末）如图，在Rt △ABC ，∠C ＝90°，sin B =4
5，AB ＝15，则AC 的值是 12 ．
【分析】由sin B =
AC
AB
得AC ＝AB sin B ，据此可得． 【解析】在Rt △ABC 中，∵sin B =AC
AB ， ∴AC ＝AB sin B ＝15×4
5
=12，
故答案为：12．
15．（2019?武侯区模拟）在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，sin A =23
，则sin B ＝ √5
3
． 【分析】根据勾股定理及三角函数的定义进行解答即可． 【解析】Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A =23
，即BC
AB
=2
3
，
设CB ＝2x ，则AB ＝3x ， 根据勾股定理可得：AC =√5x ． ∴sin B =AC
AB =√5x
3x =√5
3． 故答案为：
√5
3
． 16．（2019?咸宁模拟）如图，P （12，a ）在反比例函数y =60
x 图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为
5
12
．
【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan ∠POH 为∠POH 的对边比邻边，求出即可． 【解析】∵P （12，a ）在反比例函数y =60
x
图象上， ∴a =
60
12
=5， ∵PH ⊥x 轴于H ， ∴PH ＝5，OH ＝12， ∴tan ∠POH =5
12， 故答案为：
512
．
17．（2018?云梦县一模）如图，在Rt △ABD 中，∠A ＝90°，点C 在AD 上，∠ACB ＝45°，tan ∠D =2
3，则
CD CA
=
12
．
【分析】由tan ∠D =AB AD =2
3
可设AB ＝2x 、AD ＝3x ，根据∠ACB ＝45°知AC ＝AB ＝2x ，得出CD ＝x ，继而可得答案．
【解析】在Rt △ABD 中，∵tan ∠D =AB AD =2
3
， ∴设AB ＝2x ，AD ＝3x ， ∵∠ACB ＝45°， ∴AC ＝AB ＝2x ，
则CD ＝AD ﹣AC ＝3x ﹣2x ＝x ， ∴
CD CA
=
x 2x
=1
2
，
故答案为：1
2
．
18．（2018?即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a ）cos （x +y ）＝cos x cos y ﹣sin x sin y ，（b ）sin （﹣x ）＝﹣sin x ，（c ）cos （﹣x ）＝cos x ，则下列说法正确的序号是 ②③④ ． ①cos （﹣30°）=?√3
2； ②cos75°=
√6?√2
4
；
③cos （x ﹣y ）＝cos x cos y +sin x sin y ； ④cos2x ＝cos 2x ﹣sin 2x ．
【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断． 【解析】①cos （﹣30°）＝cos30°=
√3
2
，命题错误；
②cos75°＝cos （30°+45°）＝cos30°?cos45°﹣sin30°?sin45°=√3
2×√2
2?12×√22=√6?√2
4
，命题
正确；
③cos （x ﹣y ）＝cos x cos （﹣y ）﹣sin x sin （﹣y ）＝cos x cos y +sin x sin y ，命题正确； ④cos2x ＝cos x ?cos x ﹣sin x ?sin x ＝cos 2x ﹣sin 2x ，命题正确； 故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?昌平区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A =1
3，BC ＝2，求AB 的长．
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC ，再根据勾股定理求出AB ． 【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴tan A =BC
AC =1
3． ∵BC ＝2， ∴
2AC
=1
3
，AC ＝6．
∵AB 2＝AC 2+BC 2＝40， ∴AB =2√10．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，BC ＝1，AC =√5． （1）求sin A 的值．
（2）你能通过sin A 的值求sin ∠CBD 的值吗？若能，请求出sin ∠CBD 的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用正弦的定义求解；
（2）利用等角的余角相等证明∠A ＝∠CBD ，从而得到sin ∠CBD ＝sin A ． 【解析】（1）在Rt △ABC 中，sin A =BC
AC =1
√5
=√55； （2）能． ∵BD ⊥AC ， ∴∠BDC ＝90°，
∵∠CBD +∠C ＝90°，∠A +∠C ＝90°， ∴∠A ＝∠CBD ， ∴sin ∠CBD ＝sin A =
√5
5
．
21．（2018秋?无锡月考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin ∠A =35
，求BC 的长和tan ∠B 的值．
【分析】利用锐角三角函数的定义可得
BC AB
=3
5
，再代入AB 的值可得BC 的值；再利用勾股定理计算出
AC 的长，然后再利用正切定义计算即可． 【解析】∵sin ∠A =3
5， ∴
BC AB
=3
5
，
∵AB ＝15，
∴BC＝9；
∴AC=√AB2?BC2=12，
∴tan∠B=AC
BC
=129=43．
22．（2017秋?宝山区期中）如图，△ABC中，AC＝13，BC＝21，tan C=12
5，求：边AB的长和∠A的正弦
值．
【分析】过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，解直角三角形求出BF和CF，求出AF，根据勾股定理求出AB，再解直角三角形求出sin A即可．
【解析】
过B作BF⊥AC于F，则∠AFB＝∠BFC＝90°，
在△BFC中，tan C=BF
CF
=125，
设BF＝12k，CF＝5k，由勾股定理得：（12k）2+（5k）2＝212，
解得：k=21
13（负数舍去），
即BF=252
13，CF=
105
13，
∵AC＝13，
∴AF＝13?105
13
=6413，
在△AFB中，由勾股定理得：AB=√(252
13
)2+(6413)2=20，
在△AFB中，sin A=BF
AB
=
252
13
20
=6365．
23．（2020秋?浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sin B的值；
（2）点E 在AB 上，且BE ＝2AE ，过E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，求DE 的长．
【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD ，然后在Rt △ABD 中，利用勾股定理求出AB ，再根据sin B =
AD
AB
计算即可； （2）由EF ∥AD ，BE ＝2AE ，可得BE AB
=
EF AD
=
BF BD
=2
3
，求出EF 、DF ，再利用勾股定理解决问题．
【解析】（1）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝18， ∴BD ＝DC =1
2
BC ＝9，
∴AB =√AD 2+BD 2=√62+92=3√13， ∴sin B =AD AB =313=2√13
13
；
（2）∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ， ∴EF ∥AD ， ∴
BE AB
=
EF AD
=
BF BD
=2
3
，
∴EF =23
AD =
23×6＝4，BF =23BD =2
3
×9＝6， ∴DF ＝BD ﹣BF ＝9﹣6＝3，
在Rt △DEF 中，DE =√EF 2+DF 2=√42+32=5．
24．（2020?福州模拟）已知△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 是AB 边上一点，连接CD ，E 是CD 上一点，且∠AED ＝45°． （1）如图1，若AE ＝DE ， ①求证：CD 平分∠ACB ； ②求
AD DB
的值；
（2）如图2，连接BE ，若AE ⊥BE ，求tan ∠ABE 的值．
【分析】（1）①想办法证明∠ACD＝∠CAE＝22.5°即可解决问题．
②如图1中，过点D作DT⊥BC于T．证明DA＝DT，BD=√2DT即可解决问题．
（2）如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．证明△ABE≌△CAT（AAS）可得结论．
【解答】（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝45°， ∴BD =√2DT =√2AD ， ∴AD DB
=
√22
．
（2）解：如图2中，连接BE ，过点C 作CT ⊥AT 交AE 的延长线于T ．
∵AE ⊥BE ，CT ⊥AT ，
∴∠AEB ＝∠T ＝∠BAC ＝90°，
∴∠BAE +∠ABE ＝90°，∠BAE +∠CAE ＝90°， ∴∠ABE ＝∠CAT ， ∵AB ＝AC ，
∴△ABE ≌△CAT （AAS ）， ∴AE ＝CT ，BE ＝AT ，
∵∠AED ＝∠CET ＝45°，∠T ＝90°， ∴ET ＝CT ＝AE ， ∴BE ＝2AE ， ∴tan ∠ABE =AE
BE =1
2