[推荐学习]新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题六 自选模块 第2讲 计数原理 理

第2讲计数原理

1．(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )

A．144个B．120个

C．96个D．72个

2．(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )

A．10 B．20

C．30 D．60

3．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余

5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．

4．(2014·课标全国Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)

1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；

2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.

热点一两个计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．

例1 (1)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要

求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )

A．72种B．48种

C．24种D．12种

(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1

A．240 B．204

C．729 D．920

思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

跟踪演练1 (1)(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A．60种B．70种

C．75种D．150种

(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为( ) A．8 B．9 C．26 D．27

热点二排列与组合

例2 (1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )

A．72 B．120

C．144 D．168

(2)数列{a n}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3， (11)

则满足这种条件的不同数列的个数为( )

A．84 B．168

C．76 D．152

思维升华 解排列、组合的应用题，通常有以下途径：

(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 跟踪演练2 (1)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A ．36种 B ．42种 C ．48种

D ．54种

(2)要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)． 热点三 二项式定理 (a ＋b )n

＝C 0n a n

＋C 1n a

n －1

b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n ，

其中各项的系数就是组合数C r

n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数；展开式中共有n ＋1项，其中第r ＋1项T r ＋1＝C r n a n －r b r

(其中0≤r ≤n ，r ∈N ，

n ∈N *)称为二项展开式的通项公式．

例3 (1)(2015·陕西)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2

的系数为15，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

(2)(2－x )8

的展开式中，不含x 4

的项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．2

思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；

③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n

展开式的通项公式要特别注意符号问题．

(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．

跟踪演练3 (1)(2014·湖北)若二项式(2x ＋a x

)7的展开式中1

x

3的系数是84，则实数a 等于

( )

A．2 B.5

4

C．1 D.

2 4

(2)(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于( )

A．45 B．60

C．120 D．210

1．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( ) A ．8种 B ．16种 C ．18种

D ．24种

2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( ) A ．60 B ．120 C ．240

D ．360

3．若(3x －1x

)n 展开式中各项系数之和为16，则该展开式中含x 2

项的系数为( )

A ．102

B ．－102

C ．98

D ．－108

4．若(x 2

＋1)(x －2)11

＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2

＋…＋a 13(x －1)13

，则a 1＋a 2＋…＋a 13＝________.

提醒：完成作业 专题六 第2讲

二轮专题强化练

专题六

第2讲计数原理

A组专题通关

1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )

A．224 B．112

C．56 D．28

2．(2015·丽水模拟)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为( )

A．18 B．24

C．30 D．36

3．一个三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )

A．72个B．120个

C．240个 D．360个

4．(2015·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )

A．29 B．210 C．211 D．212

5．在二项式(x＋3

x

)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B

＝72，则展开式中常数项的值为( ) A．6 B．9

C．12 D．18

6．在二项式(x 1

2

＋

1

4

1

2x

)n的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的

项数为( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

7．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为________．

8．(2015·重庆)?

????x 3＋12x 5的展开式中x 8

的系数是________(用数字作答)．

9．已知(1＋2x )6

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋…＋a 6x 6

，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________(用数字作答)．

10．(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)．

B 组 能力提高

11．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种

D ．5 040种

12．在二项式(x 2

－1x

)n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为

( ) A ．32 B ．－32 C ．0

D ．1

13．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( ) A ．A 44A 5

5 B ．A 33A 44A 3

5 C ．C 13A 44A 55

D ．A 22A 44A 5

5

14．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为________． 15．(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4

的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 16．若(1－2x )2 016

＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x

2 016

，则a 12＋a 222＋…＋a 2 016

2

2 016的值为________．

学生用书答案精析

第2讲 计数原理 高考真题体验

1．B [由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A 3

4＝72个；若万位是4，则有2×A 3

4＝48个，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.] 2．C [方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x 2

＋x ＋y )5

＝[(x 2

＋x )＋y ]5

， 含y 2

的项为T 3＝C 2

5(x 2

＋x )3

·y 2

.

其中(x 2

＋x )3

中含x 5

的项为C 13x 4

·x ＝C 13x 5

. 所以x 5y 2

的系数为C 25C 1

3＝30.故选C. 方法二 利用组合知识求解．

(x 2

＋x ＋y )5

为5个x 2

＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2

，一个取x 即可，所以x 5y 2

的系数为C 25C 23C 1

1＝30.故选C.] 3．60

解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 4

4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 2

3种分法，再分给4人有A 2

4种分法，所以不同获奖情况种数为A 4

4＋C 23A 2

4＝24＋36＝60. 4.12

解析 设通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r

，

令10－r ＝7，

∴r ＝3，∴x 7

的系数为C 3

10a 3

＝15， ∴a 3

＝18，∴a ＝12.

热点分类突破 例1 (1)A (2)A

解析 (1)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类．一是4种颜色都用，这时A 有4种涂法，B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A ，B ，C 的涂法有4×3×2＝24(种)，D 只要不与C 同色即可，故D 有2种

涂法，故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．

(2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；

当中间数为3时，有2×3＝6个；

当中间数为4时，有3×4＝12个；

当中间数为5时，有4×5＝20个；

当中间数为6时，有5×6＝30个；

当中间数为7时，有6×7＝42个；

当中间数为8时，有7×8＝56个；

当中间数为9时，有8×9＝72个．

故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．

跟踪演练1 (1)C (2)B

解析(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．

(2)因为值域为{0,1,2}，即ln(x2＋1)＝0?x＝0，

ln(x2＋1)＝1?x＝±e－1，

ln(x2＋1)＝2?x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，C11C12C12＝4，②当定义域中有4个元素时，C11C34＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．

例2 (1)B (2)A

解析(1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．

(2)∵|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3， (11)

∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，∴C14×C27＝84.

跟踪演练2 (1)B (2)45

解析(1)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在

第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．

(2)共8名医生，2个科类，要求每个科类至少1名医生，

“骨科和内科医生都至少有1人”的对立事件是“全是骨科或全是内科医生”． 若从这8名医生中任选3名，不同的选法有C 3

8种；

其中全为骨科医生的选法只有1种，全为内科医生的选法有C 3

5种． 所以所求选派方法有C 3

8－1－C 3

5＝56－1－10＝45(种)． 例3 (1)C (2)B

解析 (1)由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2

n ＝15，即

n n －

2

＝15，解得n ＝6.

(2)由通项公式，可得展开式中含x 4

的项为T 8＋1＝C 882

8－8

(－1)8x 4

＝x 4

，故含x 4

的项的系数为

1.令x ＝1，得展开式的系数的和S ＝1，故展开式中不含x 4

的项的系数的和为1－1＝0. 跟踪演练3 (1)C (2)C

解析 (1)二项式(2x ＋a x

)7

的展开式的通项公式为

T r ＋1＝C r 7(2x )

7－r

·(a x

)r ＝C r 72

7－r a r x 7－2r

，

令7－2r ＝－3，得r ＝5.

故展开式中1x

3的系数是C 5722a 5

＝84，

解得a ＝1.

(2)因为f (m ，n )＝C m 6C n

4，

所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 0

4＋C 26C 1

4＋C 16C 2

4＋C 06C 3

4＝120. 高考押题精练

1．A [可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A 1

2种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A 1

2种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A 2

2种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A 12A 12A 2

2＝8(种)．故选A.]

2．D [6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C 1

2种，其余5名分成一人组和四人组有C 45A 2

2(种)，共C 45A 22C 1

2＝20(种)；王教练分配到四人组且该组

不去甲校有C35C12A22＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有C35C22A22C12＝40(种)，王教练分配到三人组有C25C23C12A22＝120(种)，王教练分配到两人组有C15C12C34A22＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有C15C12C24C22＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．] 3．D [根据已知，令x＝1得2n＝16，即n＝4.二项展开式的通项公式是T r＋1＝C r4(3x)4－r(－1

)r＝(－1)r34－r·C r4x4－2r，当4－2r＝2，即r＝1时，此时可得含x2项的系数为－33×4＝－x

108.]

4．2

解析记f(x)＝(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a13(x－1)13，

则f(1)＝a0＝(12＋1)(1－2)11＝－2.

而f(2)＝(22＋1)(2－2)11＝a0＋a1＋a2＋…＋a13，

即a0＋a1＋a2＋…＋a13＝0.

所以a1＋a2＋…＋a13＝2.

二轮专题强化练答案精析

第2讲 计数原理

1．B [根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：C 28C 1

4＝112.]

2．C [将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C 24A 3

3＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A 3

3＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种，故选C.]

3．C [从0～9这10个数字中任选3个，有C 3

10种，这三个数字组成的凹数有A 2

2个，故共有C 3

10A 2

2＝240(个)．]

4．A [由题意，C 3

n ＝C 7

n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2

n －1

＝29

.故选A.]

5．B [令x ＝1，得各项系数的和为4n

，各项的二项式系数的和等于2n

，根据已知，得方程4n

＋2n

＝72，解得n ＝3.所以二项式的通项T r ＋1＝C r

3(x )3－r

(3x )r ＝3r C r 3x 32－3

2

r ，显然当r ＝1时是常数项，这个常数是9.]

6．C [二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·(12)2，由其成等差数列，可得2C 1

n ·

12＝1＋C 2

n ·(12

)2?n ＝1＋

n n －

8，所以n ＝8.所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8(12)r

x 4－3r 4

.若为

有理项，则有4－3r

4∈Z ，所以r 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.]

7．6

解析 由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的3组对面来说，必然有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可．因此共有C 2

4＝6(种)不同的涂法． 8.52

解析 二项展开式通项为T k ＋1 ＝C k

5(x 3)5－k

? ????12x k ＝? ??

??12k C k

5x 15－7k 2，

令15－7k

2

＝8，解得k ＝2，

因此x 8

的系数为? ??

??122C 25＝52.

9．729

解析 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|相当于(1＋2x )6

的展开式中各项系数绝对值的和，令x ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝36

＝729. 10．1 560

解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 2

40＝40×39＝1 560条毕业留言．

11．C [第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C 2

10种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C 1

8种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C 1

7种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C 2

10·C 1

8·C 1

7＝2 520.] 12．C [依题意得所有二项式系数的和为2n

＝32，解得n ＝5.

因此，令x ＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12

－11

)5＝0，故选C.]

13．D [先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 2

2种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A 22A 44A 5

5种．] 14．260

解析 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是

第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是C 25A 2

2＝20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是C 35A 3

3＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C 3

5×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法种数是C 45A 4

4＝120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是20＋60＋60＋120＝260. 15．3

解析 设(a ＋x )(1＋x )4

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2

＋a 3x 3

＋a 4x 4

＋a 5x 5

， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，

即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝

3. 16．－1

解析 因为(1－2x )

2 016

＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x

2 016

，

令x ＝12，则(1－2×12)2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 016

22 016＝0.

令x ＝0，可得a 0＝1. 所以a 12＋a 222＋…＋a 2 016

2

2 016＝－1.