第四节条件收敛与绝对收敛
对于任意项级数
a n ,我们已经给出了其收敛的一些判
n 1
别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与
绝对收敛
定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，
n 1
n 1
a n 绝对收敛。
n 1
如果|a n |发散，但
a n 是收敛的，我们称级数
n 1
n 1
敛。
(1)n 1.
n 1 n
收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然
证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1
n 1
对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立
着丨 a
n 1 丨
1 a
n 2 1
1 a
n p 1
于是：
我们称级数
a n 条件收
n 1
条件收敛的级数是存在的，如
1 a n 1 a n
2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨
再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1
由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n
注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1
但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |
n 1
发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或
n 1
D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是
n 1
根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级
数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数
n 1
例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件
n 1 n 1 s'n p
收敛或绝对收敛。
解，当p 0
时，由于W需总0,所以级数发散.
当p 2时，因为
n 2 1
n 1 n p
lim ------- : ---- 1
n 1/ .n p
而1收敛，所以原级数绝对收敛。n 1 叮n p 当o p 2时，
a n发散。
n 2 n 3 U n _ U n+1= ------------------------- (= 丿
(n 1)V n p (n 2)J(n 1)p
p
p
_(n 2 4n 4)( n 1)三(n 2 4n 3)n 刁
=
7 卫
(n 1)(n 2)n 2(n 1)?
p
p
>(n 2 4n 4) n 2 (n 2 4n 3)n 2 > -
1)2
故｛U n ｝单调减少，且
n 2
1
lim
n
n 1 n p
n 2 1
发散，所以当0 n 1 n 1 , n p
前面已经指出，一个收敛级数（不论是绝对收敛或条件 收敛），将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个 性质称为收敛级数满足结合律。下面我们讨论收敛级数的交 换律。
设 a n 是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新
n 1
级数记为 a n ,我们有下列定理：
n 1
@
p
2)n °(n p (n 1)( n 2) n 2(n
p
1)?
(n 1)(n 由Leibniz 判别法知
『航命收敛，显然
2时级数条件收敛。
定理设级数a n绝对收敛，则重排的级数a n也是绝对n 1 n 1
收敛的，且其和不变。
证明：先设a n是正项收敛的级数，此时有
n 1
m
a n a n=M,对m=1,2，…,均成立
n 1 n 1
即正项级数a n的部分和数列有界，从而a n收敛，
n 1 n 1
a n a n
n 1 n 1
而正项级数a n也可看成是a n的重排，从而也有
n 1 n 1
/
a n a n
n 1 n 1
所以a n = a n.
n 1 n 1
对一般项级数a n，设|a n |收敛
n 1 n 1
记U n J%1 *, V n= 2nl t n = 1,2,…,
2 2
显然有0 U n |a n l, 0 V n |a. |, n 1,2,,
由比较判别法知正项级数U n与V n均收敛。因而重排后的
n 1 n 1
级数U n与V n也收敛，且有
n 1 n 1
/
n 1 n 1
U n= U n n 1 n 1
n=1,2，…
显然 U n ,
V n 都是正项级数，且有
n 1
n 1
lim U n =lim V n =0
n
n
/
V
n
n 1
v
n
n 1
从而，级数
|a n n 1
i = (u n
v n )也收敛，即
n 1
a n 绝对收敛，且
n 1
Qi=
(u n
n 1
n 1
/ \ / V n
)=
u
n
n 1
/
V
n
n 1
U
n
n 1
V
n
=
(U
n
V
n
)
n 1
n 1
=a
n
n 1
F 面我们讨论条件收敛级数的重排 定理(Riemann )设 a n 是条件收敛级数 (1)对任意给定的一个E R ，必存在 a n 的一个重排
/ a
n
使得 a n = E ;
n 1
(2)存在
a n 的重排级数
n 1
a n 使
n 1
/ a
n
n 1
证明：记
「a 丨 a n
n =
,
2
_|a n | a n V n =
2
易证得u n 和v n 均发散(请读者自行证明)
n 1 n 1
现考察序列
a i, a2,…,a n,…, (*)
用p m 表示数列(*)中第m 个非负项，用Q m 表示其中的第m 个负项的绝对值。显然｛p m｝是｛U n｝的子列，｛Q m｝是｛V n｝的子列，
(｛P m｝为｛U n｝中删去了一些等于零的项后剩下的数列)，因此lim p m=lim Q m=0
nn
p n Q n
n 1 n 1
我们依次考察P l,p2,…中的各项，设P mi为其中第一个满足以下条件的项
P1+P2+…+ Pg
再依次考察Q i,Q2…中的各项，设Q n1是其中第一个满足以下条件的项。
p i+p2+…+ P m i—Q i - Q2 -…—Q n i< E
再依次考察Pg i+ Pg 2+…中的各项，设P m2是其中第一个满
足以下条件的项。
P i+P2+…+ P m i—Q i - Q2 -…
Q r i + p m i i+ p m i 2 +^ +P m2> 三
照此下去，我们得到a n 的一个重排a n/如下
n i n i
p i+p2+…+ p m i—Q i - Q2 —…—Q n i
+ p m
1 +P mi
2 +P m2
1
Q n1 1 Q n2+ p m2 1 +
再分别用R k与Lx表示级数a n的末项为p m k的部分和与末项
n1
为Q n k 的部分和，则有
丨R k -E 1 p m k,k=2,3，…
否则与p m k的选取有矛盾。
同理有
I 5 -三| Q n k, k=1,2,3，…
因为
lim p m k =l k im Q n k =0
k
lim Q=lim L<= E
kk
因为级数a n的任一部分和s必介于某一对 5与R k之间，所n1
以也应有
lim s n/=E
n
即a n/=E
n1
（2）首先，任意选取一个严格单调上升并趋于+ 的实数，列｛E k｝（例如，可选E k =k,k=1,2,…）.其次，用p k表示序列何｝中的第k个非负项，用Q k表示序列佝｝的第k个负项，设P m是p1,p2, ??中第一个满足以下条件的项
P1+P2+???+P m1>E1
设Q n1是Q1,Q2，…中第一个满足以下条件的项
p什P2 + ^ + P m i- Q i - Q2 -…-Q n i< E 1
再依次考察P m1i+P m12+…中的各项，设P m2是其中第一个满足以下条件的项
p i +…+ P m1- Q1 ---------------- Q m+ Pm l+???P m2> E2
再依次考察Q n1 1，Q n1 2…中各项，设Q n2是其中第一个满足以下条件的项，
P1+…+ Pm ―Q1 -???-Q n
1
+ P m
1
1 +P m2Q n| 1 Q n2>
E
2
依次做下去，我们得到a n 的一个重排a n/, 这个重排级数
n 1 n 1
满足条件
n
/
a n . 1
同样可以得到一个重排，使得a n .
n1
下面我们考察两个级数的乘积。
设a n 与b n 是两个级数,将( a n )( b n )定义为下列所有项n 1 n 1 n 1 n 1
的和
a1b1a1b2a1b3a1b4
a2b1a2b2a2b3
a2b4
a3b1a3b2a3b3a3b4
a4b1a4b2a4b3a4b4
由于级数运算一般不满足交换律与结合律。所以这无穷多项如何
排序是我们需要考虑的一个问题。事实上，上述无穷多项有很多的排序方式，下面我们介绍两种最常用的排序方式
对角线排序法和正方形排序法 定义
a
i b i a i b 2 a i b 3 / / / / a i b 4 …
a 2
b i a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … / / /
a 3
b i
a 3
b 2
a 3
b 3 a 3b 4 … / /
a 4
b i a 4b 2
a 4
b 3
a 4
b 4 …
令 C i = a i b i , C 2= a i b 2+ a 2b i , C 3= a i b 3+ a 2b 2+ a 3b i, ..............
C n =
a?
a i
b n +a 2b n-1+…+a n b i
i j n 1
我们称
c n = =(a i b n +a 2b n-i + … +a n b i ）为级数 a n 与
b n 的
n i
n i
n i
n i
Cauchy 乘
积。
a i
b i
a i
b 2 a i b 3 a i b 4 ? ? ? a 2b i a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 ? ? ?
a 3
b i
a 3
b 2 a 3b 3 a 3b 4 ? ? ? a 4b i
a 4
b 2
a 4
b 3 a 4b 4
? ? ?
令 d i = a i b i , d 2= a i b 2+ a 2b 2+ a 2b i
d n = a i b n + a 2b n +…+ a n b n + a n b n-i +…+ a n b i
则级数 d n 称为级数
a n 与
b n 按正方形排列所得的乘积
n 1
n 1
n 1
定理 如果级数 a n 与
b n 均收敛，则按正方形排序所得的
n 1
n 1
乘积级数 d n 总是收敛的，且
d k =( a k )(
b k )
n 1
k 1
k 1
k 1
证明：因为
n
n
S n = d k =
(a 〔b k + a 2b k + …+ a k b k +a 2b k-1+…+a k b 〔)
k 1
k 1 n
n
=(a k )(
b k )
k 1
k 1
a b = S n S
n
其中｛
瘁｝与｛s ：｝分别为
a n 与
b n 的部分和，
n 1
n 1
当记 lim s ；=s a ,lim s ： = s b 时，有 lim d n = s a s b
n
n
n
所以级数
d n 收敛，且
d n =( a n )( b n ).
n 1
n 1
n 1
n 1
但是两个收敛级数的 Cauchy 乘积却不一定是收敛的
显然 ij - j
=—- 2 2
例如
a n
n 1
(1
)n1 与
n 2
b n
n 1
(1)n1 n 2
这两个级数显然都是收敛， 但它们的Cauchy 乘积的一般项为 C n = (- 1)
n+1
.
i
定理 如果级数
a n 与
b n 都绝对收敛，则它们的Cauchy 乘
n 1
n 1
积 C n 和正方形排列所得的乘积
d n
都是绝对收敛的，且
n 1
n 1
C
n
=( a
n )( b
n )
n 1 n 1
n 1
n
证明：设S n = |c k |
k 1 n
= |a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 11
k 1
n
n
(a i )( ibj )
k 1
k 1
(|a
k |
)( |b
k |
)
k 1 k 1
由正项级数 |C k |的部分和数列有界知
|C k |收敛，又因为
k 1
k 1
绝对收敛级数有交换律和结合律。
同理可证，
d n 绝对收敛
n 1
所以 C n = d n =( a n )( 0 ).
n 1
n 1
n 1
n 1
我们可以将上定理的条件适当放宽
所以lim c n
n
0,故 C n 发散.
n 1
从而
2
i j n 1
n 1
定理(Mertens )设级数a n绝对收敛，级数b n收敛，记
n 1 n 1
a n =A,
b n =B
n 1 n 1
则它们的Cauchy乘积c n也收敛，且c n=AB
n 1 n 1
n n
证明：记A n= a k, B n= b k
k 1 k 1
c n=(a1b n +a2b n-1+…+a n b1)
n
前n 项部分和S n= (a〔b k +a2b k-1+…+a k b”
k 1
=a〔B n +a2B n-1+…+a n B1
当令n=B- B n 时,(n=1,2,…)
S n= a1 B n +a2B n-1+…+a n B〔
=a1(B- n)+a2(B- n 1) +…+a n(B- 1)
=A n B - (a1 n+a2 n1+…+a n 1)
=A n B - R n
下面我们估计
R n = a1 n+a2 n1+…+a n 1
因为序列｛k｝趋于o,可设
| k| M, k N
取k充分大使
| k|<
2D
这里D> I a n |.
n 1
再取m充分大，使
|a k |<——, k m 1 2M
于是当N充分大时，对上面取定的m有
1 R n\(| a1|1n |+…+| a m|1n m 1 |) +(| a m+1|1n + |a n|| 1I)
2D 2M 所以limR n=O n 从而lim S n lim A. B AB .证毕 定理（Abel定理）设级数a n与b n都收敛，且 n 1 n 1 b n =B, C n是它们的Cauchy乘积，如果 5收敛，n 1 n 1 n 1 c，则必有cB A n=A, lim B n=B, lim c n=c,则 n n lim Al B n A2B n 1 A n B1 n n 所以c=lim 1S n n n k 1 = lim U A1B n +A2B n-1+…+A n B1] n n a n =A, n 1 其和为 证明：在数列极限理论中，我们已经证明如lim n AB 当记S n n C n k 1 时，有lim s n c 7n =AB. 习题 1、设级数a n与bi均绝对收敛，则它们的任意排序方法 n 1 n 1 （除了对角线方法与正方形方法）得到的乘积级数h n也绝对收敛，且h n=( a n)( bj n 1 n 1 n 1 2、设| x|<1 , |y|<1,求证：(x n-1+ x n-2y++y n-1)= n 1 x n y2= (x y)n n o n! n 0 n! no n! 1 ( 1)n 4、求证: —---- =1 n 0 n! n 0 n!(1 x)(1 y) 3、求证: 5、求证：(q n)( q n)= (n 1)q n n 0 n 0 n 0 1 (1 q)2 (|q| 1). 1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ ⑴ 1 1 (1)n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑属于交错级数， 它满足关系1n n u u += >=（1,2,3,n =L ）且lim 0n n n u →∞==， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑收敛， 但 1 1 (1) n n ∞ -=- ∑1n ∞ ==是112p =<的P 级数，发散， 综上知，级数 1 (1)n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑵ 1 11 (1) 3 n n n n ∞ --=-∑； 【解】级数 1 1 1(1)3n n n n ∞ --=-∑属于交错级数， 由于 1 11 (1) 3n n n n ∞ --=-∑1 13n n n ∞ -==∑， 因为111113lim lim lim 1333 n n n n n n n n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<， 由正项级数的比值判别法知，级数 11 3n n n ∞ -=∑收敛， 综上知，级数 1 1 1 (1)3n n n n ∞ --=-∑绝对收敛。 ⑶ 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑属于交错级数， 由于函数ln x y x =有2 1ln '0x y x -=>当x e >时恒成立， 知ln x y x = 当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1 ln lim lim lim 01 n n n n n n u n →∞→∞→∞===， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑收敛， 但由于 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11 n n ∞ =∑为调和级数，发散， 综上知级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑷ 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑； 【解】级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑属于交错级数， 它满足关系111 ln(1)ln(2) n n u u n n += >=++（1,2,3,n =L ） 且1 lim lim 0ln(1) n n n u n →∞ →∞==+， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑收敛， 但由于1lim n n n u u +→∞1 ln(1) lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 1 1 n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞ =+∑21 n n ∞ ==∑为调和级数，发散， 即由比较判别法的极限形式知，级数 1 1 ln(1)n n ∞ =+∑发散， 综上知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑条件收敛。 第四节 条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数∑∞ =1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛。 定义10.5 对于级数∑∞ =1 n n a ，如果级数∑∞ =1 ||n n a 是收敛的，我们 称级数∑∞ =1 n n a 绝对收敛。 如果∑∞=1 ||n n a 发散，但∑∞=1 n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞ =1 n n a 条件收 敛。 条件收敛的级数是存在的，如∑∞ =+-11 .)1(n n n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10.17 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然. 证明：设级数∑∞ =1 n n a 收敛，即∑∞ =1 ||n n a 收敛，由Cauchy 收敛准 则,对0>?ε, 存在N ，当n >N 时，对一切自然数p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a Λ 于是: ≤++++++||21p n n n a a a Λε<++++++||||||21p n n n a a a Λ 再由Cauchy 收敛准则知∑∞ =1 n n a 收敛。 由级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n 可看出反之不成立。 注：如果正项级数∑∞=1 ||n n a 发散，不能推出级数∑∞ =1 n n a 发散。 但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出 ∑∞=1 ||n n a 发散，则级数∑∞ =1 n n a 必发散，这是因为利用 Cauchy 判 别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞ =1 ||n n a 为发 散时，是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞ =1 n n a 而言，它的一般项也不趋于零，所以级数∑∞ =1 n n a 发散。 例10.38 讨论级数∑∞ =+++-11 1 12)1(n p n n n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。 解，当0≤p 时,由于∞ →n lim ,01 12≠++p n n n 所以级数发散. 当2>p 时, 因为 ∞ →n lim 1/11 12=++p p n n n n 而∑ ∞ =1 1n p n 收敛，所以原级数绝对收敛。 当20≤ 第四节条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数 a n ,我们已经给出了其收敛的一些判 n 1 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与 绝对收敛 定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的， n 1 n 1 a n 绝对收敛。 n 1 如果|a n |发散，但 a n 是收敛的，我们称级数 n 1 n 1 敛。 (1)n 1. n 1 n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。 定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然 证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1 n 1 对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立 着丨 a n 1 丨 1 a n 2 1 1 a n p 1 于是： 我们称级数 a n 条件收 n 1 条件收敛的级数是存在的，如 1 a n 1 a n 2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨 再由Cauchy收敛准则知a n收敛。 n 1 由级数(1)可看出反之不成立。 n 1 n 注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。 n 1 n 1 但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n | n 1 发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或 n 1 D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是 n 1 根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级 数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数 n 1 例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件 n 1 n 1 s'n p 收敛或绝对收敛。 解，当p 0 时，由于W需总0,所以级数发散. 当p 2时，因为 n 2 1 n 1 n p lim ------- : ---- 1 n 1/ .n p 而1收敛，所以原级数绝对收敛。n 1 叮n p 当o p 2时， a n发散。 第四节条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判 n =1 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。 定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称 n =1n =1 级数v a n绝对收敛。 n d 如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1 敛。 n 1 条件收敛的级数是存在的，如、口 n=1 n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然 Q Q Q Q 证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准 n =1 n=1 则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成 立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I — 于是： |a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜； Q Q 再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。 n 丄 n 1 由级数-可看出反之不成立。 n=i n 注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。 n =1 n=1 但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出 OQ Q Q ； '|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用 Cauchy 判 n =1 n =1 Q Q 别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数 、ja n |为发散 心 时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q Q Q Q 对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发 n =1 n =1 散。 例10.38讨论级数（T 厂1匚2 1 的敛散性，如收敛指明 心 n + 1 J n p 是条件收敛或绝对收敛。 解，当p "时,由于lim n 2 1 - 0,所以级数发散. n T°° n + 1 J n p 当p 2时，因为 n 2 1 n 1 . n p lim 1 n & 1/ n p7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题
条件收敛与绝对收敛
条件收敛与绝对收敛
条件收敛与绝对收敛
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