数据特征的测度
统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。对统计数据分布的特征，我们可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，这里我们主要讨论集中趋势和离散程度的测度方法。
（一）集中趋势的测度
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势的测度值主要有众数、中位数、均值、几何平均数等几种。
1.众数
众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用0M 表示。例如，下面是抽样调查的10个家庭住房面积（单位：平方米）的数据：
55 75 75 90 90 90 90 105 120 150
这10个家庭住房面积的众数为90。即0M ＝90（平方米） 众数是一个位置代表值，它的特点是不受数据中极端值的影响。 2.中位数
中位数是一组数据按一定顺序排序后，处于中间位置上的数值，用e M 表示。显然，中位数将全部数据等分成两部分，每部分包含50％的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。
根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：
2
1
+n 中位数位置＝
式中的n 为数据的个数，最后确定中位数的具体数值。
设一组数据为1x ，2x ，…，n x ，按从小到大排序后为)1(x ，)2(x ，…，)(n x ，则中位数可表示为：
???
?
???????
??+=++为偶数时
当为奇数时当n x x n x M n n n e 122)21
(21 例如，在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：
元）：
750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000
中位数位置＝（9＋1）÷2＝5，中位数为1080，即e M ＝1080（元）。 假定我们抽取了10个家庭，每个家庭的人均月收入数据为： 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000 这时，中位数位置＝（10＋1）÷2＝5.5，中位数为1020，即：
10202
1080
960=+=
e M （元）
中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端值的影响，在研究收入分配时很有用。 3.均值
均值也称为算术平均数，它是全部数据的算术平均。均值在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要测度值，根据所掌握数据的不同，均值有不同的计算形式和计算公式。
（1）简单均值。根据未经分组整理的原始数据计算均值。设一组数据为1x ，2x ，…，
n x ，则均值x （读作x-bar ）的计算公式为：
n
x n
x x x x n
i i
n
∑==
+++=
1
21
例如，根据下面的例子，计算10个家庭的平均住房面积。 55 75 75 90 90 90 90 105 120 150
9410
150
1207555=++++=
x （平方米）
（2）加权均值。根据分组整理的数据计算均值。设原始数据被分成k 组，各组的组中值为1x ，2x ，…，k x ，各组变量值出现的频数分别为1f ，2f ，…，K f ，则均值的计算公式可以写为：
∑∑===
++++++=k
i i
k
i i
i k
k k f f x f f f f x f x f x x 1
1212211
例如，假定我们在某城市中随机抽取50个家庭，调查住房面积，经分组后结果如表。计算50个家庭的平均住房面积。
计算过程见表。
4-7 某城市50个家庭住房面积均值计算表
代入上面的公式得：
8.9850
4940
1
1==
=
∑∑==k
i i
k
i i
i f f x x （平方米） 从加权均值可以看出，其数值的大小不仅受各组变量值（i x ）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（i f ）大小的影响。如果某一组的权数较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对均值的影响就越大，反之则越小。实际上，我们将加权均值变形为下面的形式，就能更清楚地看出这一点。
∑∑∑∑====?
==
k
i k
i i
i
i k
i i
k
i i
i f f x f f x x 1
1
1
1
由上式可以清楚地看出，加权均值受各组变量（i x ）值大小和各组权数∑=k
i i i
f f 1
大小
的影响。当我们掌握的不是各组变量值出现的频数，而是频率时，也可直接根据上面的公式计算均值。
均值在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。从统计思想上看，均值是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然性结果。比如我们对同一事物进行多次测量，若所得结果不一致，可能是由于测量误差所致，也可能是其他因素的偶然影响，利用均值作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物必然性的数量特征。均值的缺点是容易受极端值的影响。
4.几何平均数
几何平均数是n 个变量值乘积的n 次方根，计算公式为：
n
n
i i
n
n x x x x G ∏==???=1
21
式中：G 表示几何平均数，∏为连乘符号。 几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算比率或速度的平均。当我们所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率，这时就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的平均发展速度。
例如，一位投资者持有一种股票，在1996、1997、1998和1999年收益率分别为4.5％、2.0％、3.5％、5.4％。计算该投资者在这四年内的平均收益率。
解：根据几何平均数的计算公式得：
n n x x x G ???= 21
4%4.105%5.103%0.102%5.104???=
＝103.84％
即该投资者的年平均收益率为103.84％－100％＝3.84％。
（二）离散程度的测度
集中趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是各变量值向其中心值聚集的程度。而各变量值之间的差异状况如何呢？这就需要考查数据的分散程度。数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度。我们知道，集中趋势的各测度值是对数据一般水平的一个概括性度量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。
数据离散程度测度值有很多，这里我们主要介绍极差、标准差和离散系数等。 1.极差
极差也称全距，它是一组数据的最大值与最小值之差。即： 极差＝最大值－最小值 例如，根据上面10个家庭月人均收入的数据，计算的极差为：极差＝139－107＝32（件）。 极差是描述数据离散程度的最简单测度值，计算简单，易于理解，但它容易受极端值的影响。由于极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。
2.标准差
标准差是各变量值与其均值离差平方和的平均数的平方根，它是数测量数据离散程度的最主要方法，也是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
设标准差为σ，对于未经整理的原始数据，标准差的计算公式为：
n
x x n
i i ∑=-=
1
2
)(σ
对于组距分组数据，标准差的计算公式为：
∑∑==-=
k
i i
k
i i
f f x x 1
1
2)(σ
标准差与变量值的计量单位相同，其实际意义比较清楚。因此，在对社会经济现象进行分析时主要使用标准差。
例如，根据表4-7中的数据，计算50个家庭住房面积的标准差。 计算过程见表。
某城市50个家庭住房面积标准差计算表
根据上面的计算公式得：
8.2350
28328
)(1
1
2==
-=
∑∑==k
i i
k
i i
f f x x σ（平方米） 结果表明，每个家庭的住房面积与平均数相比，平均相差23.8平方米。 3.离散系数
上面介绍的标准差是反映数据分散程度的绝对值，其数值的大小一方面取决于原变量值本身水平高低的影响，也就是与变量的均值大小有关，变量值绝对水平高的，离散程度的测度值自然也就大，绝对水平小的离散程度的测度值自然也就小；另一方面，它们与原变量值的计量单位相同，采用不同计量单位计量的变量值，其离散程度的测度值也就不同。因此，对于平均水平不同或计量单位不同的几组数据，是不能用上述离散程度的测度值直接比较其离散程度的。为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。
离散系数通常是就标准差来计算的，因此也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其计算公式为：
x
V σ
σ=
离散系数的作用主要是用于比较对不同组别数据的离散程度。离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。
例如，某集团公司所属的8家子公司，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度。
需要计算离散系数。由表中数据计算得：
1x ＝536.25（万元） 1σ＝289.22（万元） 539.025
.53622
.2891==
V
2x ＝32.5215（万元） 2σ＝21.60（万元） 664.05125
.3260
.212==
V
计算结果表明，21V V ，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。
数据特征的测度 统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。对统计数据分布的特征，我们可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，这里我们主要讨论集中趋势和离散程度的测度方法。 （一）集中趋势的测度 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势的测度值主要有众数、中位数、均值、几何平均数等几种。 1.众数 众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用0M 表示。例如，下面是抽样调查的10个家庭住房面积（单位：平方米）的数据： 55 75 75 90 90 90 90 105 120 150 这10个家庭住房面积的众数为90。即0M ＝90（平方米） 众数是一个位置代表值，它的特点是不受数据中极端值的影响。 2.中位数 中位数是一组数据按一定顺序排序后，处于中间位置上的数值，用e M 表示。显然，中位数将全部数据等分成两部分，每部分包含50％的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。 根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为： 2 1 +n 中位数位置＝ 式中的n 为数据的个数，最后确定中位数的具体数值。 设一组数据为1x ，2x ，…，n x ，按从小到大排序后为)1(x ，)2(x ，…，)(n x ，则中位数可表示为： ??? ? ??????? ??+=++为偶数时 当为奇数时当n x x n x M n n n e 122)21 (21 例如，在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位： 元）： 750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000
习题 一、填空题 1、统计数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的__________，反映所有数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的__________，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的__________，反映数据分布的形状。 2、算术平均数有两个重要数学性质：各变量值与其算术平均数的__________等于零；各变量值与其算术平均数的__________等于最小值。 3、简单算术平均是加权算术平均数的__________，事实上简单算术平均数也有权数存在，只不过各变量值出现的权数均_________。 4、几何平均数主要用于计算__________的平均。它只适合于__________数据。 5、在一组数据分布中，当算术平均数大于中位数大于众数时属于________分布；当算术平均数小于中位数小于众数时属于________分布。 6、__________是各变量值与其均值离差平方的平均数，是测度数值型数据__________最主要的方法。 7、为了比较人数不等的两个班级学生的学习成绩的优劣，需要计算__________；而为了说明哪个班级学生的学习成绩比较整齐，则需要计算________。 8、偏态是对分布__________和__________的测度；而峰度则是指分布集中趋势__________的形状。 二、判断题 1、根据组距式数列计算得到的算术平均数只能是一个近似值。（） 2、众数的大小只取决于众数组相邻组次数的多少。（） 3、若已知甲数列的标准差小于乙数列，则可断言：甲数列算术平均数的代表性好于乙数列。（） 4、如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可能不存在。（） 5、若A、B、C三个公司的利润计划完成程度分别为95％、100％和105％，则这三个公司平均的利润计划完成程度应为100％。（） 6、当所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率时，应采用倒数平均数来计算平均比率。（） 7、投资者连续三年股票投资收益率为4％、2％和5％，则该投资者三年内平均收益率为3.66％。（） 8、离散系数最适合于不同性质或不同水平数列算术平均数代表性的比较。（） 9、当偏态系数α＝0时，表明数据分布属于对称分布。（） 10、当峰度系数β＝0时，表明数据分布属于正态分布。（） 三、单项选择题 1、由组距式数列确定众数时，如果众数组相邻两组的次数相等，则（）。 A．众数为零B．众数组的组中值就是众数 C．众数不能确定D．众数组的组限就是众数 2、受极端数值影响最小的集中趋势值是（）。 A．算术平均数B．众数和中位数C．几何平均数D．调和平均数 3、加权算术平均数中的权数为（）。 A．变量值B．次数的总和C．变量值的总和D．次数比重 4、标准差系数抽象了（）。 A．总体单位数多少的影响B．算术平均数高低的影响 C．总体指标数值大小的影响D．标志变异程度的影响 5、某车间三个班生产同种产品，6月份劳动生产率分别为2、3、4（件／工日），产量分别为400、500、600件，则该车间平均劳动生产率计算式应为（）。
第四章 数据分布特征的测度 §1概述 §2 集中趋势的测度 一、集中趋势的含义 （一）集中趋势的概念 集中趋势（Central tendency ）是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。 （二）集中趋势的内容 1.均值（Mean ） 算术平均数 调和平均数 几何平均数 切尾均值 2.位置平均数 中位数 四分位数 十分位数 百分位数 3.众数 二、众数 1.概念 众数（Mode ）是一组数据中出现次数最多的变量值，用0M 表示。主要用于测度定类型数据的集中趋势。 2.单项分组数列 )max(0i f x M 例：为研究广告市场的状况，一家广告公司在某城市随机抽取200人就广告问题作了邮寄问卷调查，其中的一个问题是：“您比较关心下列哪一类广告？”
①商品广告；②服务广告；③金融广告；④房地产广告；⑤招生招聘广告；⑥其他广告。 表4-1 某城市居民关注广告类型的频数分布 =0M 商品广告 3.组距分组数列 ①确定众数组——频数最多的组 ②计算众数值 图4-1 众数值计算示意图 可见，众数实际上是频数最大组的下限加上按一定几何比例分配组距所得到的那段组距，即
X L M +=0 因为 2 11?+?+=?y x x d y x x 2 11 211)(?+??=+?+??= 所以 d L M 2 11 0?+??+ =（下限公式） 同理，可得上限公式： d U M 2 12 0?+??- = 例：某地区3000家农户的年收入情况资料如下： 解：57048010501=-=?； 45060010502=-=? 所以 75591000450 570570 70000=?++ =M （元） 三、位置平均数 1.中位数 中位数（Median ）是一组数据按从小到大排序后，处于中间位置上的变量值，用e M 表示。中位数是一个位置代表值，它主要用于测度定序数据的集中趋势。 2.根据未分组资料确定中位数 ①按标志值大小进行排列得),,,(21n x x x Λ；
… 第3章 金融风险测度工具与方法 一、选择题 二、简答题 略 三、判断题 1.对 2.对 3.错 4.错 5.错 四、计算题 ~ 1.解：在1-c 的置信水平下，收益率服从正态分布时，风险价值的计算公式如式（3-57）所示，0c VaR v z σ=。0v 为资产的初始价值，c z 为正态分布在水平c 上的分位数，σ为样本时间段收益率的标准差。 根据风险的时间聚合性质，按每年252个工作日计算，股票A 收益率1天和1周的标准差d σ和w σ 分别为/d y σσ= 和/w y σσ=其中y σ为股票A 收益率的年标准差。 则得解： （1）在95%的置信水平下 样本观察时间段为1 天的0.05=100*z =1.65*30%/ 3.12VaR ≈（）万元； 样本观察时间段为1 周的0.05=100*z =1.65*30%/ 6.97VaR ≈（）万元。 （2）在99%的置信水平下 样本观察时间段为1 天的0.01=100*z =2.23*30%/ 4.21VaR ≈（）万元； … 样本观察时间段为1 周的0.01=100*z =2.23*30%/9.42VaR ≈（）万元。 2. 解:(1)由题意可知，该资产收益率小于等于-5%的概率为+=，即5%。根据风险价值的定义，在95%的置信水平下，此时风险价值即为收益率为-5%时的损失，即=10000*-5%=500VAR （）。 预期损失是在一定置信水平下，超过VaR 这一临界损失的风险事件导致的收益或损失的平均数或期望值。在95%的置信水平下，有预期损失为： 0.010.0410000*[*(10%)*(5%)]6000.010.040.010.04 ES =-+-=++ （2）若可能性1发生的概率不变，95%的置信水平下，风险价值依然为收益率为-5%时的损失500，预期损失为 VaR VaR VaR
中级经济基础知识-数据特征的测度 1、下列离散程度的测度值中，能够消除变量值水平和计量单位对测度值影响的是（）。 A.标准差 B.离散系数 C.方差 D.极差 2、中位数（） A.不是平均数 B.是一种趋势值 C.是一种位置平均数 D.是一种位置 3、什么反映数据远离其中心值的趋势 A.集中趋势 B.离散程度 C.标准差系数 D.偏态和峰度 4、下面一组数据为9个家庭的人均月收入数据(单位：元)：700、780、
850、960、1080、1300、1500、1650、1800，中位数为（）。 A.700 B.960 C.1080 D.1800 5、数据的离散程度越小，集中趋势的测度值对该组数据的代表性（）。 A.越好 B.越差 C.不变 D.不确定 6、某学校学生的平均年龄为15岁，标准差为2岁;该学校老师的平均年龄为30岁，标准差为3岁。比较该学校年龄的离散程度，则（）。 A.教师年龄的离散程度大一些 B.学生年龄的离散程度大一些 C.学生年龄和教师年龄的离散程度相同 D.教师年龄的离散程度是学生年龄离散程度的1.5倍 7、下面是抽样调查的9个家庭住房面积(单位：平方米)：657585909098105120210，这9个家庭住房面积的众数为（）。
A.75 B.85 C.90 D.150 8、一组数据向某一中心值靠拢的程度称为（）。 A.峰度 B.偏态 C.离散程度 D.集中趋势 9、以下属于位置平均数的是（）。 A.众数 B.极差 C.几何平均数 D.算术平均数 10、下列数据特征的测度值中，受极端值影响的是（）。 A.众数 B.中位数 C.位置平均数 D.加权算术平均数
统计课后思考题答案 第一章思考题 1.1什么是统计学 统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。 1.2解释描述统计和推断统计 描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。 推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。 1.3统计学的类型和不同类型的特点 统计数据；按所采用的计量尺度不同分； （定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述； （定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。它也是有类别的，但这些类别是有序的。 （定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。 统计数据；按统计数据都收集方法分； 观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。 实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。 统计数据；按被描述的现象与实践的关系分； 截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。 时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。 1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据 答案同1.3 1.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念 对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。 1.6变量的分类 变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。 变量也可以分为随机变量和非随机变量。经验变量和理论变量。 1.7举例说明离散型变量和连续性变量 离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数” 连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。 1.8统计应用实例 人口普查，商场的名意调查等。 1.9统计应用的领域 经济分析和政府分析还有物理，生物等等各个领域。 第二章思考题 2.1什么是二手资料？使用二手资料应注意什么问题 与研究内容有关，由别人调查和试验而来已经存在，并会被我们利用的资料为“二手资料”。
第四章数据分布特征的测度 教学目的与要求：统计平均指标是表明总体数量特征的一个重要指标，它是将总体各单位标志值的差异抽象化，反映总体各单位标志值的一般水平，揭示总体分布的集中趋势。变异指标是反映总体各单位标志值的差异程度，揭示总体分布离中趋势的又一重要数量特征指标。通过本章的学习，要求理解统计平均指标的意义和作用；掌握各种统计平均指标的特点、应用条件、应用范围和计算方法；理解变异指标的意义和作用；掌握各种变异指标的性质和计算方法；能运用变异指标衡量平均数代表性的大小。 教学重点与难点：重点为各种平均指标和变异指标的概念、特点、应用条件、应用范围和计算方法。难点是不同条件下平均指标和变异指标的计算。 统计数据经过整理和显示后，对数据分布的形状和特征就可以有一个大致的了解。为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。对一组数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢和聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离中心值的趋势；三是分布偏态和峰态，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面。 第一节集中趋势的测度 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，它反映了一组数据中心点的位置所在。测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据。因此，选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型和特点来确定。 一、分类数据：众数（M o） 众数是指一组数据中出现次数最多的变量值。 ?出现次数最多的变量值 ?不受极端值的影响 ?一组数据可能没有众数或有几个众数 ?主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据
第四章 数据分布特征的描述习题 一、填空题 1、数据分布集中趋势的测度值（指标）主要有 众数 、 中位数 和 均值 。其中 众数 和 中位数 用于测度品质数据集中趋势的分布特征， 均值 用于测度数值型数据集中趋势的分布特征。 2、标准差是反映 数据离散程度 的最主要指标（测度值）。 3、几何平均数是计算 平均比率 和 平均速度 的比较适用的一种方法。 4、当两组数据的平均数不等时，要比较其数据的差异程度大小，需要计算 标准系数 。 5、在测定数据分布特征时,如果M M e X 0==，则认为数据呈 对称 分布。 6、当一组工人的月平均工资悬殊较大时，用他们工资的 众数（中位数） 比其算术平均数更能代表全部工人工资的总体水平。 二、选择题 单选题： 1、 反映的时间状况不同，总量指标可分为（ （2） ） （1）总量指标和时点总量指标 （2）时点总量指标和时期总量指标 （3）时期总量指标和时间指标 （4）实物量指标和价值量指标 2、某厂1999年完成产值200万元，2000年计划增长10%，实际完成了231万元，超额完成（ （2） ） （1）% （2）5% （3）% （4） % 3、在同一变量数列中，当标志值（变量值）比较大的次数较多时，计算出来的平均数（ （2） ） （1） 接近标志值小的一方 （2）接近标志值大的一方 （3）接近次数少的一方 （4）接近哪一方无法判断 4、在计算平均数时，权数的意义和作用是不变的，而权数的具体表现（ （1） ） （1）可变的 （2）总是各组单位数 （2） 总是各组标志总量 （4）总是各组标志值 5、1998年某厂甲车间工人的月平均工资为520元，乙车间工人的月平均工资为540元，1999年各车间的工资水平不变，但甲车间的工人占全部工人的比重由原来的40%提高到了60%，则1999年两车间工人的总平均工资比1998年（ （3） ） （1）提高 （2）不变 （3）降低 （4）不能做结论 6、在变异指标（离散程度测度值）中，其数值越小，则（ （2） ） （1）说明变量值越分散，平均数代表性越低 （2）说明变量值越集中，平均数代表性越高 （3）说明变量值越分散，平均数代表性越高 （4）说明变量值越集中，平均数代表性越低 7、有甲、乙两数列,已知甲数列:07.7,70==甲甲 σX ;乙数列: 41.3,7==乙乙σX 根据以上资料可直接判断( （4） )
统计学
第一节总体分布集中趋势的测度 总体分布集中趋势是指总体中各单位的次数分布从两边向中间集中（靠拢）的趋势。 在分布数列中，越靠近中心值，标志值出现的次数越多，而远离中心值的次数较少。 由于对大多数统计总体来说，其总体单位的数值分布是以平均数为中心的，因此平均数反映了总体分布的集中趋势。所以，对集中趋势进行测度，就是寻找总体一般水平的中心值或代表值，就是计算总体的平均数（平均指标）。 一、平均指标的概念和作用 ㈠概念：平均指标是指在同质总体将各单位的数量差异抽象化，反映总体一般水平的代表值。 ㈡特点 ⒈将数量差异抽象化； ⒉必须具有同质性； ⒊反映总体变量值的集中趋势。 ㈢作用： ⒈可用于同类现象在不同空间的比； ⒉可用于同类现象在不同时间的比。
式中，m 代表各组标志总量，其余符号与前相同。 例： 某食堂购进某种蔬菜，相关资料如下，求这种蔬菜的平均价格。 4-13 某种蔬菜价格资料及其计算表 早午晚 价格(元/千克) 购买金额(元) 购买量(千克) x m m x 1.00 1.20 1.10 10.0 15.0 20.0 10.0 12.5 18.2 合计 - 45.0 40.7 根据上表计算食堂购进这种蔬菜的平均价格为： 10.015.020.045.0 1.106 /40.740.7m H m x ++= ===∑∑（元千克） 通过上例计算，可以看出，加权平均数实质上是加权算术平均数的一种变形式。其变换形式如下： m xf xf H m xf f x x = ==∑∑∑∑∑∑ 3.几何平均数 (1)概念 几何平均数是n 个比率乘积的n 次方根。 (2)几何平均数的计算 社会经济统计中，几何平均法适用于计算平均比率和平均速度。 简单几何平均数的计算公式为： n 21x x x G ???=Λ Ｇ表示几何平均数；x 表示变量值；n 表示变量值个数。 加权几何平均数的计算公式为
1 绪论 1.1 引言 现代金融理论的核心是研究在不确定条件下投资者以及市场如何对金融、货币及其他资产进行有效配置，从而获得最大的满足。金融分析方法的发展使金融理论内容逐渐形成了三个主要方面，正如学者兹维·博迪所总结的——现代金融分析的三大支柱分别是：跨时期最优化，主要研究投资者生命期资产配置、消费选择等；资产估值，涉及的有资本资产定价、衍生品定价、估值折现模型等；风险管理与组合选择，包括风险测度理论、投资组合选择模型等[28]。而本文研究主题就是三大支柱之一——金融风险管理和投资组合选择。 现代投资组合理论被认为是整个现代金融学的发端。该理论发端于1952年Markwitz在《Journal of Finance》上发表的一篇论述理性投资者为获得最大效用从而如何分配其资产的论文，其使用均值方差模型代表理性投资者共同的选择模型，从而得到了最佳的资产配置方案，第一次将风险资产的期望收益与代表风险的方差结合起来研究资产组合选择问题，从而为现代投资组合理论(modem portfolio theory，MPT)的发展奠定了基础[13]。其实分散化在经济和金融学届早有讨论，但都属于感性认知阶段，Markwitz这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹描述性的研究和单凭经验操作的状态，数量化方法开始进入金融领域，“鸡蛋不能同时放在一个篮子里”这句投资领域的俗语被众多学者通过不同的数学模型展示和理论上证明出来。但是不同模型所求得的最优组合解也存在差异，因而如何选择适合的风险度量工具作为约束条件，并高效地求解投资模型成为现代投资理论中极其重要的两个课题。 一方面，当深入考量市场参与者偏好、市场结构等因素时学者们发现以方差代表风险大小并不恰切[1]，因而风险度量理论随之兴起，其引发的就是半方差、平均绝对离差（MAD）、VAR、CVAR等度量工具以及一致风险测度、凸风险测度、谱风险测度等测度理论的相继出现。 另一方面，现实金融环境下小样本问题、资产历史收益数据波动问题（噪声）等对投资组合规划求解也构成了挑战。为此，部分学者结合计算数学与投资理论，在适当修正投资模型的基础上将遗传算法、蚁群算法等引入投资规划问题的计算；而另一部分学者则试图从理论上探讨特定风险度量工具约束下投资组合模型
风险测度综述报告 罗小明（江西吉水二中，331600） 现有的风险测度大体经历了三个发展阶段。首先是以方差和风险因子为主要度量指标的传统风险测度阶段;其后是以现代国际标准风险测度工具VaR 为代表的现代风险测度阶段;第三是以ES 为代表的内在一致风险测度阶段。下简要介绍风险测度理论发展的历程、研究现状与问题。 一． 传统风险测度工具 传统风险测度工具包括方差、下偏矩LPM 、持续期（duration ）、凸性（convexity ）、beta 、delta 、gamma 、theta 、vega 、rho 等，这些指标分别从不同的角度反映了投资价值对风险因子的敏感程度，因此被统称为风险敏感性度量指标。Delta-Gamma 适用于期权，持续期适用于固定收入证券。Delta-Gamma 和持续期的主要不足是只能对投资组合对市场的敏感性进行近似性度量，beta 、delta 、gamma 、theta 、vega 、rho 等可以作为非线性金融工具对市场的敏感性度量的补充指标。 风险敏感性度量指标只能在一定程度上反应风险的特征，难以全面综合地度量风险，因此只能适用于特定的金融工具或在特定的范围内使用。如果仅用风险敏感性度量指标，将低估于来自市场风险，对应物缺乏，金融工具流动性的波动。Delta-Gamma 或beta 、持续期等风险敏感性分析不能充分解析现代金融风险，由于它们不能解决风险因子的波动问题。于是VaR 应运而生。 二．现代国际标准风险测度工具VaR 现代国际标准风险测度工具VaR 最初由J.P.摩根针对其银行业务风险管理的需要提出的。于是J.P.摩根的工作人员发明了用一个简单货币数量反映其风险程度的VaR 。 VaR 直译为“在险价值”，其正式定义则由Jordan 和Mackay 于1995年及Linsmerier 和Pearson 于1996年才给出的，Jorion （1997）给出的VaR 定义更为简洁。即在给定的置信度和时间间隔下，由正常市场变化引起的高于目标水平的最大损失。在数学上VaR 就是一个分位数，准确称为分位数VaR 。根据Jorion （1997）的定义，VaR 为给定置信度（习惯上称1-α为置信度，称α为损失概率）时可能发生的最大损失，即VaR 定义为随机变量X 的下分位数()d x α的相反数。 ()()d VaR X x αα=- （1） 当随机变量X 的概率分布不连续时，分位数的定义可能不是惟一的。一般地，分位数VaR 可定义为随机变量X 的任意分位数(;)q X α的相反数。 (;)(;)VaR X q X αα=- （2） VaR 在风险测度理论上取得突破性进展，具有许多优越性： VaR 度量风险的综合性；VaR 概念的简明性和直观性；VaR 拓展了风险测度的应用功能，实现了风险测度从仅作为风险排序工具到作为风险储备测度工具的突破，从而使其在实践中得以广泛应用。另外，VaR 分析还适用于具有非线性支付的金融工具和收益率不为正态分布的资产。已有更加先进的VaR 度量方法产生，更加复杂精确的分布，如GEV 分布。混合正态分布等也都应用于经验分析。尽管VaR 相对说来是一种新的风险管理方法，但也有许多关于VaR 的不足及其局限性的研究。Artzner 等（1997，1999）提出了内在一致风险测度（CRM ）概念，并不久就被广泛接受。 三．内在一致风险测度工具—ES
金融风险测度理论发展及评价(一) 【摘要】金融风险管理是各类金融机构所从事的全部业务和管理活动中最核心的内容，而金融风险的测度是风险管理中的核心环节。文章对风险测度理论发展的三个主要阶段进行了详细的介绍和评价，并对风险测度理论的发展方向进行了展望。 【关键词】金融风险管理风险测度一致性风险测度 一、引言 金融风险管理是各类金融机构所从事的全部业务和管理活动中最核心的内容，它和时间价值、资产定价被并称为是现代金融理论的三大支柱。金融风险管理分为识别风险、测量风险、处理风险以及风险管理的评估和调整四个步骤。其中，金融风险的测量是金融市场风险管理的核心环节。风险测量的质量，很大程度上决定了金融市场风险管理的有效性；合理风险测度指标的选取，是提高风险测量质量的有效保障。 二、风险测度的发展历史 风险测度理论的发展大致经历了三个阶段：首先是以方差和风险因子等为主要度量指标的传统风险测度阶段；其次是以现行国际标准风险测度工具VaR为代表的现代风险测度阶段；最后是以ES为代表的一致性风险测度阶段。 传统风险测度工具包括方差、半（下）方差、下偏矩LPM（LowPartialMoments）、久期（duration）、凸性（convexity）、beta、delta、gamma、theta、vega、rho等，这些指标分别从不同的角度反映了投资价值对风险因子的敏感程度，因此被统称为风险敏感性度量指标。风险敏感性度量指标只能在一定程度上反映风险的特征，难以全面综合地度量风险，因此只能适用于特定地金融工具或在特定的范围内使用。 方差、半（下）方差、下偏矩LPM等风险敏感性度量指标只能描述收益的不确定性，即偏离期望收益的程度，并不能确切指明证券组合的损失的大小。所以，它们只是在一定程度上反映风险的特征，难以全面综合地度量风险，因此只能适用于特定地金融工具或在特定的范围内使用。 现行的国际标准风险管理工具VaR最初由J.P.Morgan针对其银行业务风险的需要提出的，并很快被推广成为了一种产业标准。风险价值VaR是指在正常的市场条件和给定的置信水平下，在给定的持有期间内，投资组合所面临的潜在最大损失。VaR是借助概率论和数理统计的方法对金融风险进行量化和测度。它最大的优点是可以得出多维风险的一个一维近似值，可用于测量不同市场的不同风险并用一个数值表示出来，因此具有广泛的适用性。巴塞尔银行监督委员会、美国联邦储备银行、美国证券交易委员会、欧盟都接受VaR作为风险度量和风险披露的工具。 但是，VaR作为风险测度的指标，不满足一致性风险测度四条公理中的次可加性公理，不是一种一致性风险测度指标。这就意味着当用VaR度量风险时，某种投资组合的风险可能会比各组成成分证券风险之和还要大，从而导致投资者不愿多样化投资的情况。而且VaR不能测度超过VaR的损失、不适用于非椭球分布函数族、VaR有许多局部极值导致VaR排序不稳定等缺陷，决定着VaR并不是一种合适的风险测度指标。 基于上述风险测度的局限性，Artzner等（1999）提出了一致性风险测度（CoherentRiskMeasure）概念。他们认为一种良好定义的风险测度应该满足单调性、一次齐次性、平移不变性和次可加性四条公理，并将满足这些公理的风险测度成为一致性风险测度。
专注国际财经教育 FRM二级市场风险管理难点：一致性风险测度与VaR Artzner对风险测度（risk measure）定义了一系列的理想性质，满足了这些性质的风险测度称为一致性风险测度（coherent risk measure）。定义ρ(X)为风险测度，X为资产x的损失金额，X是一个随机变量。 1. 次可加性（Sub-additivity） ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。当把资产x和资产y组合起来，那么合并后的投资组合的风险水平不会超过两项个体资产的风险水平之和。次可加性与投资组合分散化可以降低风险这个原则是一致的。 2. 单调性（Monotonicity） 如果在未来的每一种状态下， X≤Y，那么ρ(X)≤ρ(Y)。换而言之，如果资产x的损失金额始终小于等于资产y，那么资产x的风险水平小于等于资产y。 3. 正齐次性（Positive Homogeneity） 对于λ>0，ρ(λX)= λρ(X)。正齐次性指如果资产的构成保持不变，那么资产的风险水平与资产的规模成正比。 4. 平移不变性（Translation Invariance） 对常数c，ρ(X+c)= ρ(X)-c。在未来每一种状态下的损失金额的基础上，都可以获得现金c作为补偿，那么风险水平也相应下降了c。 传统的VaR指标并不是一致性风险测度，因为VaR指标不满足次可加性。假设x是一个深度虚值（deep o ut-of-the-money）的看跌期权，y是一个深度虚值的看涨期权。这两个期权都还有一天到期，并且在到期 日变成实值期权的概率都是4%。从空头的角度出发，这两个期权在95%的置信水平下1天的VaR都为0。可是如果把这两个期权组成一个投资组合，那么对于空头来说，到期时需要对多头支付的概率是8%，在 95%的置信水平下1天的VaR显然是一个正数。所以通过投资组合，不仅没有降低风险，还创造了风险，这是违背一般的投资常识的。如果基于VaR来计算法定资本，就会存在监管套利（Regulatory Arbitrage），与上例的思路相反，银行可以成立很多附属机构来销售期权，从而降低资本要求。如果风险测度是满足次可加性的，那么通过投资组合分散化可以降低风险测度的水平，从而节省监管资本，这是 符合一般的投资常识的。标准差（Standard Deviation）满足一致性风险测度的四个性质，但标准差的缺陷在于衡量的是平均的偏离程度，而不是下跌的尾部风险。另一个一致性风险测度是损失期望值 （Expected Shortfall），衡量的是尾部区域的损失的均值。
南京理工大学 课程考核论文 课程名称： 论文题目： 姓名： 学号： 成绩： 任课教师评语： 签名： 年月日
目录 第一章引言 (3) 1.1 研究背景 (3) 1.2 研究现状 (3) 1.3 本文工作 (3) 第二章一致性风险测度理论 (5) 2.1 风险 (5) 2.2 可接受集 (5) 2.3 风险测度 (6) 2.4 一致风险测度的表示定理 (7) 2.5 小结 (7) 第三章凸性风险测度 (8) 3.1凸性风险测度 (8) 3.2 可接受集合 (8) 3.3 小结 (9) 第四章 VaR方法 (10) 4.1 VaR定义 (10) 4.2 VaR的局限性 (10) 4.2.1 尾部风险测量的不充分性 (10) 4.2.2 不满足一致性公理 (11) 4.3 小结 (11) 第五章几种常见的风险测度方法 (12) 5.1基本概念 (12) 5.2 尾部条件期望（TCE） (12) 5.3 最差条件期望（WCE） (13) 5.4 条件VaR（CVaR） (13) 5.5 小结 (13) 第六章总结 (14)
第一章引言 1.1 研究背景 随着我国金融市场的不断发展，新型金融衍生工具的不断涌现，特别是金融市场即将对外全面开放，金融风险的管理与防范越来越引起人们的重视。美国经济学家Markowitz于1952年首次提出投资组合选择理论，为现代投资组合奠定了基础，开创了以数理方法研究金融问题的先河。Markowitz在论文“Portfolio Selection”中提出了均值-方差模型，把方差作为度量风险的工具。数十年来，无数学者致力于均值-方差模型的理论拓展与应用研究，极大的丰富和发展了Markowitz组合选择理论。 1.2 研究现状 1952年Markowitz发表的Portfolio Selection，首次定量得分析了投资组合中的风险与收益之间的内在联系，不幸的是，Markowitz模型现已经视为模型的解决方案，很多金融风险不能用方差来描述，随后Artzner等提出了一致性风险测度的概念，认为好的风险测度应同时满足单调、齐次、平移不变和次可加这四条公理。Rockafeller和Uryasev在1999年提出了CVaR，实质上反映了超额损失的平均水平，较之VaR更能体现整体投资组合的潜在风险。2002年，Follmer和Schied 给出了凸风险度量的概念，它是在一般的样本空间下来考虑的，是对一致性风险度量表示定理的一种推广。 1.3 本文工作 本文首先介绍了一致性风险测度的理论，以此为基础进一步研究了凸性风险测度。接下来分析了VaR方法，包括定义，性质，并主要指出了其理论上和逻辑
第二十四章数据特征的测度 一、单选题： 1、位置平均数和数值平均数是对（B190）的测度。 A、离散程度C、离散系数D、偏态 2A190） A、集中趋势 B、离散程度 C、偏态 D、峰度 3、以下属于位置平均数的是（C190＋中位数AB→数值平均数） A、几何平均数 B、算术平均数 C、众数 D、极差 4、一组数据中出现频数最多的那个数值称为( C190 )。 A、中位数 B、极值 C、众数 D、平均数 5( D190 )。 A、众数 B、算术平均数 C、几何平均数 D、中位数 6、平均数指标反映了总体的( A190 )。 A、集中趋势 B、离散程度 C、变动趋势 D、分布特征 7、下列集中趋势测度值中，适用于品质数据的是（A190 BCD→适用于数值型数据） A、众数 B、简单算术平均数 C、标准差 D、加权算术平均数 8、下列数据特征的测度值中，不受极端值影响的是（C190＋众数）。 A、简单算术平均数 B、极差 C、中位数 D、加权算术平均数 9、算术平均数与众数、中位数具有共同特点是（D190 ）。 A、都属于分类数据 B、都适用于顺序数据 C、都不受极端值的影响 D、都适用于数值型数据 解析：众数、中位数不受极端值的影响；算术平均数易受极端值的影响。 众数→适用于品质（分类＋顺序）、数值型数据中位数→适用于顺序、数值型数据 算术平均数→适用于数值型数据 10、某中学高中一年级840人、42人、42人、42人、44人、44人、45人、46人，其众数、中位数分别为（A190 ）人。 A、42、43 B、43、43 C、43、42 D、46、43 解析：出现频数最多的数是42 中位数位置=（8+1）÷2=4.5→第四人与第五人之间 中位数=（42+44）÷2=43 11、某小学六年级8个班的学生人数由少到多依次为34人、34人、35人、35人、36人、36人、37人、37人，其中位数为（C190 ）人。 A、34 B、35 C、36 D、37 解析：中位数位置=（8+1）÷2=4.5→第四人与第五人之间中位数=（35+36）÷2=35.5 ≈ 36人→人数要取整数 12、9个超市中食品的日销售额分别为（单位：元）：500、300、400、350、350、500、450、700、600，其中位数为（C190 ）人。 A、350 B、500 C、450 D、600 解析：先从小到大排序：300、350、350、400、450、500、500、600、700，中位数位置=（9+1）÷2=5 13、某连锁超市6个分店的职工人数由小到大排序后为57人、58人、58人、60人、63人、70人，其算术平均数、众数分别为（B191 ）人。 A、59、58 B、61、58 C、61、59 D、61、70
第二章数据分布特征的测度 对数据分布特征主要从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的形状，反映数据分布的偏斜程度和峰度。本章主要介绍如何使用函数以及“数据分析”工具对数据分布特征进行测度和描述。 第一节函数的介绍 本节主要介绍在统计分析中需要用到的一些函数，其中包括我们本章（描述统计）中以及在概率分布、参数估计与假设检验、方差分析、相关与回归等分析中涉及到的函数，读者在后面章节的学习中可以参阅本节的内容。 一、统计计算中经常用到的函数（函数列表）★ Excel为用户提供了数学、三角函数、统计函数、数据库函数、财务函数、工程函数、逻辑函数、文本函数、时间和日期函数、信息函数、查找和引用函数等10类300多种，可以满足多方面的需要。其中，统计函数最多达78种；此外还有14种数据库函数，以及在统计中经常使用的数学函数20种，合计112种。下面将这些函数名称及功能列表显示。 ★本小节摘自: 安维默主编，《统计电算化》第34~37页，中国统计出版社，2000
表2-1 可用于统计分析的函数（续2）
1、函数的语法 工作表函数包括两个部分：函数名和紧跟的一个或多个参数。函数名，例如SUM和A VERAGE，表明函数要执行的操作；参数则指定函数所使用的值或单元格。例如，在公式“=SUM(C3:C5)”中，SUM为函数名，C3:C5为参数。此函数计算单元格C3、C4和C5中值的总和。函数的参数可以为数值类型。例如，公式“=SUM（327,209,176）”中的SUM 函数将数字327、209和176求和。不过通常的做法是，先在工作表的单元格中输入使用的数字，然后将这些单元格作为函数的参数使用。请注意函数参数两端的括号：开括号表示参数的开始，必须紧跟在函数名后。如果在函数名和括号之间输入了空格或其他字符，那么Excel会显示错误信息“Microsoft Excel 在公式中发现了错误。建议更正如下：是否接受建议的修改？”如果单击【是】按钮，则Excel会自动更新公式；如果单击【否】按钮，则单元格中将显示错误值﹟NAME？。 如果在函数中使用多个参数，则要用逗号将参数隔开。例如，公式“=PRODUCT （C1,C2,C5）”告诉Excel将单元格C1，C2，和C5的数值相乘。函数中可使用的参数多达30个，但公式的长度不能超过1024个字符。参数可以是工作表中包括任意数目单元格的区域。例如，函数“=SUM(A1:A5,C2:C10,D3:D7)”只有3个参数，但对29个单元格的数据进行求和运算（第一个参数A1:A5，指从A1到A5的所有单元格，依此类推）。反过来，引用的单元格中也可以包括公式，这些公式引用更多的单元格或单元格区域。使用这些参数，就可以轻松地创建复杂的公式来执行功能强大的各种操作。 2、函数的输入 对一些单变量和比较简单的函数，可用键盘直接输入。其方法与在单元格中输入公式相
1.风险测度的缘起 Markowzti时代之前，金融风险曾被视为期望收益的修正系数。1952年，Marko初zt提出用与收益分布的均值的偏离，即方差来测度与各单个资产的收益相应的风险，而在考虑多资产投资组合时，用组合内各对资产之间的协方差决定该组合风险水平，即Cov[X，Y]二E[X，Y]一E[X]E[Y]，其中X和Y为随机收益。Marko诚zt的主要创新在于他通过所有单个资产的联合分布来测度投资组合 的风险。多元分布由所有成分随机变量的边缘统计特性以及它们的相关结构来刻画。Mkarowizt用单变量分布的乘积来描述前者，通过每对随机收益之间的相关系数来描述后者，即P(x，Y)一ocvlx，Y]/(弓时尹，其中丐和几分别表示独立 随机变量X和Y的标准差。 我们注意到，Markowizt模型与恰当的效用函数密切相关。效用函数允许投 资者在对资产和资产组合进行排序时有个人主观选择。当相关的分布不是正态分布时，尽管是对称的分布，效用函数就必须为二次函数。而在实际中，这样的限制阻碍了Makrowizt模型在投资组合上的应用。使得模型的应用仅限于由收益的联合正态分布所描述的投资组合，在这种情形下，所有资产的收益以及它们之间的相关结构均是正态的。 1%3年，Mkarowizt的学生sh哪e根据Mkarowizt的模型建立了一个计算相 对简化的模型—单一指数模型，即刀模型。这一模型假设资产收益只与市场总 体收益相关，从而大大降低了计算量。各种证券的收益与市场收益之间的线性依赖关系的测度刀，引出了主要的定价理论，如cAPM和APT。这些模型都在“正态世界”中发展，而当他们被用于日常生活中的情况时，则有可能导致错误的结果。比如说，非市场的贷款是完全非对称的，甚至是有尖峰的，并且，某些发展中国家的公债的收益分布可能包含极值。 不幸的是，Markowizt模型已经被视为问题的解决方案，而且被不恰当地用
金融风险测度理论 金融风险测度理论（Financial Risk Measurement） [编辑] 金融风险测度理论的概述 金融风险管理是各类金融机构所从事的全部业务和管理活动中最核心的内容，它和时间价值、资产定价被并称为是现代金融理论的三大支柱。金融风险管理分为识别风险、测量风险、处理风险以及风险管理的评估和调整四个步骤。其中，金融风险的测量是金融市场风险管理的核心环节。风险测量的质量，很大程度上决定了金融市场风险管理的有效性；合理风险测度指标的选取，是提高风险测量质量的有效保障。 风险管理的基础工作是度量风险，而选择合适的风险度量指标和科学的计算方法是正确度量风险的基础，也是建立一个有效风险管理体系的前提。风险测度就是各种风险度量指标的总称。 [编辑] 金融风险测度理论的三阶段 风险测度理论的发展大致经历了三个阶段：首先是以方差和风险因子等为主要度量指标的传统风险测度阶段；其次是以现行国际标准风险测度工具VaR为代表的现代风险测度阶段；最后是以ES为代表的一致性风险测度阶段。 [编辑] 传统风险测度阶段 传统风险测度工具包括方差、半（下）方差、下偏矩LPM（Low Partial Moments）、久期（duration）、凸性（convexity）、beta、delta、gamma、theta、vega、rho等，这些指标分别从不同的角度反映了投资价值对风险因子的敏感程度，因此被统称为风险敏感性度量指标。风险敏感性度量指标只能在一定程度上反映风险的特征，难以全面综合地度量风险，因此只能适用于特定地金融工具或在特定的范围内使用。 方差、半（下）方差、下偏矩LPM等风险敏感性度量指标只能描述收益的不确定性，即偏离期望收益的程度，并不能确切指明证券组合的损失的大小。所以，