平行四边形章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．(2019秋﹒西宁期末）用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（ ） A ．正五边形 B ．正六边形
C ．正七边形
D ．正八边形
2．(2019秋﹒岱岳区期末）平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ） A ．BE=DF B ．AF ∥CE
C ．AE=CF
D ．∠BAE=∠DCF
3．(2019秋﹒柳州期末）在下列这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．(2020﹒郑州模拟）如图，在△ABC 中，BC=6,E,F 分别是AB,AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D,∠CBP 的平分线交CE 于点Q ，当CQ=1
3CE 时,EP+BP 的值为（ ） A ．6 B ．9
C ．12
D ．18
5．如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB =6，EF =2，则BC 长为
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
6．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开．若测得AM 的长为1.2 km ，则M ，C 两点间的距离为
A ．0.5 km
B ．0.6 km
C ．0.9 km
D ．1.2 km
7．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，EB DF ∥且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是
A
B ．
38
C ．
78
D ．
58
8．如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm 2，对角线AC =24 cm ，则四边形ABCD 的周长为
A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm
9．如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（-1，2）、（-1，0）、（-3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是
A．（-6，2）B．（0，2）C．（2，0）D．（2，2）
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为
A1B．3C1D1
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AC=AD，∠CAE=56°，则∠D=__________.
12．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为__________．学-科网
13．如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF 的度数为__________．
14．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E 落在CD上，且DE=EF，则AB的长为__________．
15．如图所示，四边形ABCD是矩形，AB=4 cm，∠CBD︰∠ABD=2︰1，则AC=__________cm．
16．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__________．
17．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为__________．
18．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE 的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为__________．
，连接AC交BN于点E，连接19．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM BN
DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是__________．
20．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为__________．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）如图，在Y ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF 是不是平行四边形，并说明理由．学=科网
22．（6分）如图，在Y ABCD中，AB=DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC 于点F．求证：四边形DFBE是矩形．
23．（6分）如图，在Y ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
24．（8分）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
25．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH．（1）求证：四边形EBFC是菱形；
（2）如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF．
26．（8分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：
（1）△AFG≌△AFP；
（2）△APG为等边三角形．
27．(2019春﹒玄武区校级期中）定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．根据此定义，完成下面各题：
（1）若△ABC为半角三角形，且∠A=90°,则△ABC中其余两个角的度数为;
（2）若△ABC是半角三角形，且∠C=40°,则∠B= ;
（3）如图，在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠C=72°,点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD,则△EDF是半角三角形吗？若是，请说明理由．
28.(2019春﹒滕州市期末）如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3cm,BC=5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s,连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t(s)(0 （2）设四边形OQCD的面积为y () cm 2 ,当t=4时，求y的值． 参考答案 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4. 【答案】C 5.【答案】B 【解析】根据平行四边形的性质可知AB=CD,AD ∥BC,AD=BC,然后根据平行线的性质和角平分线的 性质可知AB=AF,DE=CD,因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12,解得AD=BC=12-2=10.故选B. 6．【答案】D 【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2 km ．故选D ． 7．【答案】C 【解析】如图，过点D 作DG BE ⊥，垂足为G ，则3GD =， ∵A G ∠=∠，AEB GED ∠=∠，3AB GD ==，∴AEB △≌GED △，∴AE EG =， 设AE EG x ==，则4ED x =-，在Rt DEG △中，222ED GE GD =+，2 2 2 3(4)x x +=-，解得7 8 x =，故选C ． 8．【答案】A ． 【解析】如图，连接AC 、BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 的四边相等，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，S 四边形ABCD = 12AC ·BD ，∴12 ×24BD =120，解得BD =10 cm ，∴OA =12 cm ，OB =5 cm ，在Rt △AOB 中，由勾股定理可得AB =13（cm ），∴四边形ABCD 的周长=4× 13=52（cm ），故选A ． 9．【答案】B 【解析】∵在正方形ABCD 中，A 、B 、C 三点的坐标分别是（-1，2），（-1，0），（-3，0）， ∴D （-3，2），∴将正方形ABCD 向右平移3个单位，则平移后点D 的坐标是（0，2），故选B ． 10．【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴DC =DA =2．∵M 为边AD 的中点，∴DM =1， ∴ME MC ===1DG DE ==．故选D ． 11．【答案】73° 【解析】∵AE BC ⊥ ，∴90AEC ∠=?，∵56CAE ∠=?，∴34ACE ∠=?，在平行四边形ABCD 中，∥，AD BC ∴34CAD ACE ∠=∠=?，∵AC AD =，∠1 (18034)732 D ACD =∠=?-?=?．故答案为：73°． 12．【答案】2.5 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD =10，BO =DO =12BD ，∴OD =1 2 BD =5，∵点P 、Q 是AO ，AD 的中点，∴PQ 是△AOD 的中位线，∴PQ =1 2 DO =2.5．故答案为：2.5． 13．【答案】70° 【解析】∵∠C '=∠C =90°，∠DMB '=∠C 'MF =50°，∴∠C 'FM =40°，设∠BEF =α，则∠EFC =180°-α， ∠DFE =∠BEF =α，∠C 'FE =40°+α，由折叠可得，∠EFC =∠EFC '，∴180°-α=40°+α，∴α=70°， ∴∠BEF =70°，故答案为：70°． 14．【答案】 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =90°，BC =AD =3，∵将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩 形AEFG ，∴EF =BC =3，AE =AB ，∵DE =EF ，∴AD =DE =3，∴AE ，∴AB ， 故答案为：． 15 【解析】设∠CBD=2x，∠ABD=x，则2x+x=90°，所以x=30°．又因为OA=OB，所以∠OAB=30°． 在Rt△ABC中，设BC=y cm，则AC=2y cm，所以（2y）2–y2=42，解得y=AC=． ． 16.【答案】62 【解析】∵四边形ABCD为正方形,且边长为3,∴AC=32,∵AE平分∠CAD,∴∠CAE=∠DAE, ∵AD∥CE,∴∠DAE=∠E,∴∠CAE=∠E,∴CE=cA=32,∵FA⊥AE,∴∠FAC+∠CAE=90° ∠F+∠E=90°,∴∠FAC=∠F,∴CF=AC=32,∴EF=CF+CE=32+32=62.故答案为:62 17．【答案】12 【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积 1 6824 2 =??=．∵O是菱形两条对角 线的交点，∴阴影部分的面积 1 2412 2 =?=．故答案为：12． 18．【答案】20 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又∵OE⊥BD，∴DE=BE．∵△CDE的周长为10，∴CD+DE+CE=10，∴CD+CE+BE=CD+BC=10，∴Y ABCD的周长=2（CD+BC）=2×10=20．故答案为：20． 19．【答案】3 【解析】如图， 在正方形ABCD 中，AD BC CD ==，ADC BCD ∠∠=，DCE BCE ∠∠=， 在Rt ADM △和Rt BCN V 中，AD BC AM BN =??=? ，∴Rt ADM △≌Rt BCN △，∴DAM CBN ∠=∠， 在DCE △和BCE △中，BC CD DCE BCE CE CE =?? ∠=∠??=? ，∴DCE △≌BCE △，∴CDE CBE ∠=∠， ∴DCM CDE ∠=∠，∵90ADF CDE ADC ∠+∠=∠=?，∴90DAM ADF ∠+∠=?， ∴1809090AFD ?∠=-?=?，取AD 的中点O ，连接OF 、OC ，则1 32 OF DO AD ===， 在Rt ODC △ 中，OC =OF CF OC +>， ∴当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值3OC OF =-= ，故答案为：3． 20．【答案】1 【解析】根据三角形的中位线定理得：A 2B 2、B 2C 2、C 2A 2分别等于A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1的一半，所以△A 2B 2C 2的周长等于△A 1B 1C 1的周长的一半，以此类推可求△A 5B 5C 5的周长为△A 1B 1C 1的周长的41 2 ，则周长=（7+4+5）× 41 2 =1．故答案为：1． 21．【解析】四边形AECF 是平行四边形，理由如下： ∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ， ∴∠AEF =∠CFE =90°， ∴AE ∥CF （内错角相等，两直线平行）， 在平行四边形ABCD 中，AB =CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABE =∠CDF ， 在△ABE 与△DCF 中，ABE CDF AEB CFD AB CD ∠=∠?? ∠=∠??=? ， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）， ∴AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．22．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， ∴∠CDB=∠ABD． ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴ 1 2 FDB CDB ∠=∠， 1 2 EBD ABD ∠=∠， ∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE． ∵AD∥BC，DF∥BE， ∴四边形DFBE是平行四边形． ∵AB=DB，BE平分∠ABD， ∴∠DEB=90°， ∴四边形DFBE是矩形． 23.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB, ∵BM⊥AC,DN⊥AC, ∴DN∥BM, ∴四边形BMDN是平行四边形. (2)∵四边形BMDN是平行四边形, ∴DM=BN, ∵CD=AB,CD∥AB, ∴CM=AN,∠MCE=∠NAF, ∵∠CEM=∠AFN=90° ∴△CEM ≌△AFN, ∴FN=EM=5, 在Rt △AFN 中,AN=132 2=+FN AF 24．【解析】（1）如图，连接EF ， ∵点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点， ∴FH ∥BE ，FH = 1 2 BE ，FH =BG ， ∴∠CFH =∠CBG ， ∵BF =CF ， ∴△BGF ≌△FHC ． （2）当四边形EGFH 是正方形时，连接GH ，可得：EF ⊥GH 且EF =GH ， ∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴111 ,222 GH BC AD a = ==且GH ∥BC ， ∴EF ⊥BC ， ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴AB =EF =GH = 1 2 a ， ∴矩形ABCD 的面积=211 22 AB AD a a a ?= ?=． 25．【解析】（1）∵AB =AC ，AH ⊥CB ，∴BH =HC ． ∵FH =EH ，∴四边形EBFC 是平行四边形． 又∵AH ⊥CB ，∴四边形EBFC 是菱形． （2）如图， ∵四边形EBFC是菱形．∴∠2=∠3=1 2 ∠ECF． ∵AB=AC，AH⊥CB，∴∠4=1 2 ∠BAC． ∵∠BAC=∠ECF， ∴∠4=∠3． ∵AH⊥CB， ∴∠4+∠1+∠2=90°， ∴∠3+∠1+∠2=90°， 即：AC⊥CF． 26．【解析】（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，∵DC∥MN∥AB， ∴F为PG的中点，即PF=GF， 由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2， 在△AFP和△AFG中， PF GF AFP AFG AF AF = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△AFP≌△AFG（SAS）．（2）∵△AFP≌△AFG， ∴AP=AG， ∵AF⊥PG， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，∴△APG为等边三角形． 27.【分析】（1）分两种情况进行解答，①若另一个锐角等于∠A=90°的一半，②若除∠A 以外的两个角中，有一个角是另一个的一半，根据三角形的内角和为180° ,进行解答， （2）分六种情况进行讨论解答，把其中的一个内角等于另一个内角的一半的情况都进行考虑，分别求出相应的角的度数． （3）根据题意分别求出三角形DEF 的各个内角的度数，结合“半角三角形”的意义进行判断． 【解答】解：（1）①若另一个锐角等于∠A=90°的一半，则这个角为45° ,第三角为45°, ②若除∠A 以外的两个角中，有一个角是另一个的一半，则有较小的角为(180°-90°)÷(1+2)=30°． 那么较大的角为60°, 故答案为：45°,45°或30°,60°, （2）根据题意有以下几种情况： ①若∠B=1 2∠C,则∠B=20°, ②若∠C=1 2∠B,则∠B=80° , ③若∠A=1 2∠C,则∠A=20°,∠B=120°, ④若∠C=1 2∠A,则∠A=80°,∠B=60°, ⑤若∠B=12∠A,则∠B=(180° -40°)÷3=140 3°, ⑥若∠A=12∠B,则∠B=(180°-40°)÷3×2=2803°, （3）∵AB ∥CD,AD ∥BC,∠C=72°, ∴ABCD 是平行四边形， ∴∠C=∠A=72°,∠D=∠ABC=180°-72°=108°, 由折叠得，∠C=∠BFE=72°, ∵BF ⊥AD, ∴∠AFB=90° , ∴∠DFE=180° -90°-72°=18°, ∴∠DEF=180°-108°-18°=54° ∴∠DEF=1 2∠D, ∴△EDF 是半角三角形． 28.解：（1）当t=2.5s 时，四边形ABQP 是平行四边形， 理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB=CD=3cm ，AD=BC=5cm ，AO=CO ，BO=OD ， ∴∠PAO=∠QCO ， ∴△APO ≌△CQO （ASA ）， ∴AP=CQ=2.5cm ， ∵BC=5cm ， ∴BQ=5cm-2.5cm=2.5cm=AP ， 即AP=BQ ，AP ∥BQ ， ∴四边形ABQP 是平行四边形， 即当t=2.5s 时，四边形ABQP 是平行四边形； （2）过A 作AM ⊥BC 于M ，过O 作ON ⊥BC 于N ， ∵AB ⊥AC ,AB ＝3cm,BC ＝5cm, ∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝4cm, ∵由三角形的面积公式得：S △BAC ＝12×AB ×AC ＝12×BC ×AM , ∴3×4＝5×AM , ∴AM ＝2.4(cm), ∵ON ⊥BC ,AM ⊥BC , ∴AM ∥ON , ∵AO ＝OC ， ∴MN ＝CN ， ∴ON ＝1 2AM ＝1.2cm, ∵在△BAC 和△DCA 中 ?????AC ＝AC BC ＝AD AB ＝CD ∴△BAC ≌△DCA (SSS ), ∴S △DCA ＝S △BAC ＝12×3cm×4cm ＝6cm 2 , ∵AO ＝OC ， ∴△DOC 的面积＝12S △DCA ＝3cm 2, 当t ＝4s 时，AP ＝CQ ＝4cm, ∴△OQC 的面积为12×1.2cm×4cm ＝2.4cm 2 , ∴y＝3cm2＋2.4cm2＝5.4cm2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
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