第八讲 因式分解（添拆项与最值）
知识点回顾：
1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。
2、因式分解的方法：
（1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式：
()()b a b a b a -+=-2
2
；
完全平方公式：222b ab a ++=()2
b a +和)(b a b ab a -=
+-2
222
（3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,
,a b p a b q +=???=?
则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题：
例1（1）计算 29982
+2998×4+4= 。
（2）若442
-+x x 的值为0，则51232
-+x x 的值是________。 例2：分解因式：
2
2
288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x )
例3：已知a –b = 1 ，252
2
=+b a 求ab 和a+b 的值。
例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2
+3x 有最 值，是 例
5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456．
分析：由于常数项数值较大，则常采用将
x 2﹣120x
变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．
（1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575．
三、强化训练：
1、已知x +y =6，xy =4，则x 2
y +xy 2
的值为 .
2、分解因式：
(2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2
(n -m )
4416n m - （8）4224817216b b a a +-
4、已知：a=2999，b=2995，求65522
2
-+-+-b a b ab a 的值。
5、利用因式分解计算
??
? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ??
-2222211......511411311211n
6、已知a 为任意整数，且()2
2
13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。
7、已知x(x-1)-(y x -2
)=-2,
xy y x -+2
2
2的值。
8、把下列各式分解因式：
（1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4；
（3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；
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（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2；（6）﹣2x5n﹣1y n+4x3n﹣1y n+2﹣2x n﹣1y n+4；（7）x3﹣8y3﹣z3﹣6xyz；（8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣2ab；（9）a5﹣a3b2+a2b3﹣b5；（10）6x4+7x3﹣36x2﹣7x+6．
9、计算
．
10、已知整数a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值．
11、已知2008=，其中x，y为正整数，求x+y的最大值和最小值．
12、阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2
=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请用上述方法求出x2﹣4xy+3y2=0（满足xy≠0，且x≠y）中y与x的关系式．
（2）利用上述关系式求的值．
13、对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．
小红是这样想的：在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
参考小红思考问题的方法，完成下列问题．
（1）利用“配方法”对整式a2﹣6a+8进行因式分解；
（2）利用“配方法”求出x2﹣2x﹣3的最小值．