解工程问题的方法
工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是：
工作效率×工作时间=工作量
工作量÷工作时间=工作效率
工作量÷工作效率=工作时间
根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。
由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。
一、工作总量是具体数量的工程问题
}
例1 建筑工地需要1200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天（适于四年级程度）
解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量，利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。
甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）
1200÷15=80（吨）
乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）
1200÷10=120（吨）
两个车队一天共运的吨数：
80+120=200（吨）
（
两个车队合运需用的天数：
1200÷200=6（天）
综合算式：
1200÷（1200÷15+1200÷10）
=1200÷（80+120）
=1200÷200
=6（天）
答略。
^
*例2 生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时（适于四年级程度）
解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。
李师傅1小时可完成：
350÷14=25（个）
由“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成”可知，李师傅和徒弟小王每小时完成：
350÷10=35（个）
小王单独工作一小时可完成：
35-25=10（个）
…
小王单独做这批零件需要：
350÷10=35（小时）
综合算式：
350÷（350÷10-350÷14）
=350÷（35-25
=350÷10
=35（小时）
答略。
>
*例3 把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后，甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间（适于四年级程度）
解：两组共同生产的总任务是：
2191-160×2+1=1872（打）
两组共同生产的时间是：
1872÷（160+128）=（小时）
乙组生产的时间是：
+2=（小时）
综合算式：
"
（2191-160×2+1）÷（160+128）+2
=1872÷288+2
=+2
=（小时）
答略。
练习题：
1、筑路队疾患修筑一条长2400米的公路，甲队单独做需要20天完成，乙队单独需要30天完成。如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成
%
2、甲、乙两个工程队合修一条长42千米的水泥路，甲队每天修千米，比乙队的2倍多千米。
（1）乙队每天修多少千米
（2）两队合修多少天可以修完
]
3、红星服装厂计划生产2800套夏季学生服，已经生产了5天，每天生产80套，剩下的20天完成，平均每天要生产多少套
《
4、王师傅加工一种零件，由原来的每个用12分钟降低到每个8分钟，原来每天加工300个，现在每天加工多少个
~
5、用两台机器生产108个齿轮。第一台小时能生产18个，第二台小时能生产8个。两台机器一同生产一段时间以后，还剩45个。两台机器一同生产了多少小时
综合算式：
答略。
二、工作总量不是具体数量的工程问题
工程问题方法总结
—
一：基本数量关系：
工效×时间=工作总量
二：基本特点：
设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：基本方法：
算术方法、比例方法、方程方法。
四：基本思想：
分做合想、合做分想。
'
五：类型与方法：
一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。
五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.、
3..天数：①近似天数，②准确天数。
4.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
*
工程问题
当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就是知道了所需的时间比。
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.
两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
（一）两个人的问题
'
例1．1 一件工作，由A 做20天完成，B 做15天完成。（1）两队合做5天可以完成工程的几分之几（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几（3）两队合做几天完成
解：（1）127
5)151201(=?+
（2）103
6)151201(1=?+-
（3）)(7
4
8760)151201(1天==+÷
答：（1）两队合做5天可以完成工程的12
7
。（2）两队合做6天，还剩下
工程的103。（3）两队合做87
4
天完成。
【解析】
此题是工作效率问题。A 用20天完成，总工程是“1 ”，所以甲队的工作效率
是201201=÷，乙对的工作效率是15
1
151=÷。
问题（1）要求完成的工程量，用工作效率×工作时间； &
问题（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已做工程量；
问题（3）要求完成时间，用总工程量“ 1”÷总工效。
例、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作
解：（1）61
3)6191(1=?+-
（2）)(16
1
61天=÷
答：乙需要做1天可以完成全部工作。 《
【解析】
要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。
总工程是“1 ”，就可以知道：甲的工作效率是9
1
91=÷，乙对的工作效率是
6
161=÷。
求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1-甲乙一起3天做的工作量。
甲和乙3天的工作总量：工作效率×工作时间＝工作总量 3)61
91(?+， 剩下：
6
13)6191(1=?+-
？
乙完成剩下的工作时间：利用工作总量÷工作效率＝工作时间 )(161
61天=÷
练习一
1、 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两队合做，多少天可以完成（适于六年级程度）
解：把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成，做1天完成
~
答略。
2、一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30
解：把这项工程的工作总量看作1，由甲工程队修建需要20天，知甲工
3、一项工程，甲、乙合做5天可以完成，甲单独做15天可以完成。乙单独做多少天可以完成（适于六年级程度）
;
解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合
需要多长的时间。
=（天）
答：乙单独做天可以完成。
,
例：一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作
解一：把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。
乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天）
答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.
。
解三：甲与乙的工作效率之比是
6∶ 9= 2∶ 3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
练习二
1、一项工程，甲独做需15天，乙独做需12天，现在甲乙合作若干天后，乙再接着做3天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天
$
2、一项工程，甲队单独做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙队单独做，多少天可以完成
—
●例 ：一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天 ）
解：共做了6天后，
原来，甲做 24天，乙做 24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 50天 如果甲独做，所需时间是 75天
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
（
练习三
1、甲乙两人合作生产一批零件，6天可以完成任务，甲先做5天，因有事外出，
这时只完成任务的1
4 ，如果接下来由乙完成，还需要多少天
—
2、一批零件，先由20人生产了10天完成任务的1
4 ，余下的工程要提前10天完成，还要增加多少人
'
3、甲乙二人合作一批零件需20天，甲比乙多做了这批零件的1/9，甲单独做需多少天完成
4、一项工程，甲乙两队需10天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离，由甲队又干了8天，又知甲队独做需20天完成，问甲、乙两队合干了多少天
#
例：一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间
解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量
…
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是
2+8+ 1= 11（天）.
答：从开始到完工共用了11天.
解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.
解三：甲队做1天相当于乙队做3天.
—
在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.
4=3+1，
其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
解四：
方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.) 甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息
了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）
~
●例：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是（1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3
由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3
乙队休息期间未做的工作量是
1/3-1/20×3=11/60
乙队休息的天数是11/60÷(1/30)=11/2
答：乙队休息了5天半.
解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
【
（3+2）×16- 60= 20（份）.
因此乙休息天数是
（20- 3 × 3）÷ 2= （天）.
解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天，相当于乙队休息天.
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是=（天）.
%
练习四
1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间
—
2、加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现在两人合作完成，中间甲休息了天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天），这样共用14天完工，问乙休息了多少天
【
3、一件工作，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要10天完成，现在甲乙合作8天完成任务，已知这段时间甲休息了2天看，那么乙休息了多少天
}
4、一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要8天完成，现在两人合作，中途休息了2天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天
例题5一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，
只能完成工程的7
30，乙队单独完成全部工程需要几天
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是1
15，只要求出甲队货乙队的
工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就
可以求出甲队2天的工作量7
30－
1
15×3＝
1
30，从而求出甲队的工作效率。所
以/
1÷【1
15－（
7
30－
1
15×3）÷（5－3）】＝20（天）答：乙队单独完成全部工程需要20天。
练习五
1、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，
由徒弟接着做1天，共完成任务的3
20。如果这批零件由师傅单独做，多少
天可以完成*
2、某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的5
24。如果这项工程由甲队独做
2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的13
24。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天
；
3、甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独
做12天，还剩这项工程的8
15。甲、乙两队独做各需几天完成
&
例题6
；
一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，
则能完成这项工程的1
2。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完
后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（1
2－
1
12×3）÷2＝
1
8；再由
条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的
（1
2－
1
12×3）÷2＝
1
8
（2）两段时间一共是
1÷（1
8×2+
1
12）×2＝6（天）
答：两段时间一共是6天。
·
练习六
1、一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这
项工程的8
15。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发
现，两段时间相等。这两段时间一共是几天、
2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成
任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成
{
3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工
作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天
（二）、多人的工程问题
例1. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成，问甲一人独做需要多少天完成 >
解：30
1
2)601451361(
=
÷++ 90)451
301(1=-÷（天）
60)601
301(1=-÷（天）
180)36
1
301(1=-÷（天）
答：独做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天。 【解析】
此题有别与以上3题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关系。 {
1、有一项工程，甲队独做需8天，乙队独做需10天，丙队独做需20天，现在由丙队先独做9天后，再由甲乙合作，问再需多少天可以完成
2、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作9天完成，甲丙两人合作18天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天
'
3、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作6天完成，丙丁两人合作12天完成，那么甲丁两人合作多少天可以完成
；
4、一项工程，甲乙两人合作6天完成，乙丙两人合作9天完成，甲丙两人合
作15天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天
5、生产一批零件，甲乙两人合作12小时完成，乙丙两人合作15小时完成，甲丙两人合作20小时完成，现在甲乙丙三人合作需多少小时
}
6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁队合作15天完成，由甲乙丁队合作12天完成，有甲丙丁队合作20天完成，由甲队单独做需要多少天完成
例题2。
一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、
丙合做2小时，可以完成这项工作的2
3；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，
也可以完成这项工作的2
3。如果由甲、丙合做，需几小时完成
【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作
的2
3 ”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这
项工作的2
3 ”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。
;
甲每小时完成这项工程的几分之几
（23 －16 ×2）÷（6－2）＝1
12 丙每小时完成这项工程的几分之几
（23 －16 ×3）÷（6－3）＝1
18
甲、 丙合做需完成的时间为：
1÷（112 +118 ）＝71
5 （小时）
答：甲、丙合做完成需要71
5 小时。
练习二
1、 ？
2、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、
丙合做2小时，可以完成这项工作的13
18 ；如果甲、乙合做2小时后，丙再
做4小时，可以完成这项工作的11
18 。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成
3、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先
由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成
4、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、
乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做51
2 天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成
<
5、一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、
丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成
…
例题3：
一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单
独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。
丙队每天修这条公路的
【1－（1
24+
1
30）】×（4+7）＝
1
40
三队合修完成时间为
1÷（1
24+
1
30+
1
40）＝10（天）
#
答：10天可以完成。
练习三
1、一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小
时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成
2、一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，
剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成