科目：数学年级：初一教师：张立平
2007―2008第二学期第二周
第一章整式的运算
（§1.3---§1.5 ）
一、本周学习要求
1．同底数幂的乘法
探索同底数幂的乘法运算性质，进一步体会幂的意义;了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题;学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力.
2．幂的乘方与积的乘方
探索幂的乘方的运算性质，进一步体会幂的意义;了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题;发展推理能力和有条理的表达能力;
3．同底数幂的除法
探索同底数幂除法的运算性质，进一步体会幂的意义;了解同底数幂除法的运算性质，并能解决一些实际问题;理解零指数幂和负整数指数幂的意义;在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，提高数学素养.
二、本周学习导航
幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过练习，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯的记忆.
进行同底数幂乘法运算时，最好先运用符号法则，把每个因式化成同底数幂的形式，并确定积的符号，再用运算性质进行运算.为防止出错，在每一步计算出结果后，都应想一想它的根据.
在处理符号问题时应遵循以下原则：⑴正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数; ⑵互为相反数的两个数，它们的奇次幂互为相反数，它们的偶次幂相等.
三、重难点分析
1. 重点：
（1）同底数幂的乘法运算法则及其应用.
（2）幂的乘方的运算性质及其应用.
（3）积的乘方运算性质及其应用.
（4）同底数幂除法的运算性质及其应用.
2. 难点：
（1）同底数幂的乘法运算法则的灵活运用.
（2）幂的运算性质的灵活运用.
（3）零指数幂和负整数指数幂的意义.
四、重点知识解析：
1. 幂的相关概念：
几个相同因数a相乘，即，记作a n，读作a的n次幂，其中a叫底，n叫做
指数，即：.
2．同底数幂乘法的运算性质：
（1）同底数幂的乘法运算性质.a m·a n＝a m＋n（m，n都是正整数）即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（2）同底数幂乘法的运算性质可以推广，即a m·a n·a p＝a m＋n＋p，a m·a n……a p＝a m＋n＋…＋p （m，n，…p都是正整数）.
（3）同底数幂的运算性质可以逆用，用a m＋n＝a m·a n.例如：37＝32·35＝31·36＝33·34. 3．幂的乘方运算性质：
（1）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即（a m）n＝a mn（m、n都是正整数）（2）幂的乘方法则可以逆用，即a mn＝（a m）n＝（a n）m.
（3）多重乘方也具有这一性质.如〔（a m）n〕p＝a mnp（m、n、p都是正整数）
4．积的乘方运算性质：
（1）积的乘方法则：积的乘方等于每一个因数乘方的积。即（ab）m＝a m·b m（m为正整数）. （2）三个或三个以上的数的积的乘方也具有这一性质.如（abc）n＝a n b n c n.
5．同底数幂的除法运算性质：
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n都是正整数，且m ＞n）
6．零指数幂和负整数指数幂的意义
任何非零数的0次幂都等于1，即a 0＝1（a ≠0）；任何不等于零的数a 的－p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即()是正整数，p a a
a
p p
01
≠=
- 五、典型例题分析
[例1] 计算： (1) a 3·(－a )4
(2) －b 2·(－b )2·(－b )3
(3) (2a +b )2n +1·(2a +b )3·(2a +b )m －
1
(4) (x －y )2(y －x )3
分析：1°底数的符号不同，要把它们的底数化成同底的形式再运算，运算过程中要注意符号.
2° 分别把(2a +b ),(x －y )看成一个整体，(3)是三个同底数幂相乘；(4)中底不相同，可把(x －y )2化为(y －x )2或把(y －x )3化为－(x －y )3,使底相同后运算.
解：(1)a 3·(－a )4=a 3·a 4=a 3+4=a 7; (2)－b 2·(－b )2·(－b )3 =－b 2·b 2·(－b 3) =b 2·b 2·b 3 =b 7.
(3)(2a +b )2n +1·(2a +b )3·(2a +b )m －
1
=(2a +b )2n +1+3+m －
1
=(2a +b )2n +m +3
(4)解法一：(x －y )2·(y －x )3 =(y －x )2·(y －x )3 =(y －x )5
解法二：(x －y )2·(y －x )3 =－(x －y )2(x －y )3 =－(x －y )5
点拨：(1)中的(－a )4必须先化为a 4,才可运用同底数幂的乘法性质计算；(2)中－b 2和(－b )2不相同，－b 2表示b 2的相反数，底数为b ,而不是－b ,(－b )2表示－b 的平方，它的底数是
－b ,且(－b )2=(+b )2,所以(－b )2=b 2,而(－b )3=－b 3; (4)中的两个幂必须化为同底再运算，采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.
在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形: (a －b )=－(b －a ) (a －b )2=(b －a )2 (a －b )3=－(b －a )3
(a －b )2n －
1=－(b －a )2n －
1(n 为正整数)
(a －b )2n =(b －a )2n
(n 为正整数) 【例2】计算：
(1)(－5ab )3; (2)－(3x 2y )2; (3)(－13
1ab 2c 3)3; (4)(－x m y 3m )2.
分析：应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方；同时注意系数及系数符号，对于系数是－1的不可忽略.
解：(1)(－5ab )3=(－5)3a 3b 3 =－125a 3b 3; (2)－(3x 2y )2 =－32(x 2)2y 2 =－9x 4y 2;
(3)(－131ab 2c 3)3=(－3
4ab 2c 3)3 =(－3
4)3a 3b 6c 9 =－
27
64a 3b 6c 9
; (4)(－x m y 3m )2=(－1)2x 2m y 6m =x 2m y 6m . 【例3】计算： (1)(－a 2)2·(－2a 3)2;
(2)(－a 4b 3)3·(－a 2b 3)2·(－a 2b 3)5;
(3)［(x +y )2］3·［(x +y )3］4; (4)(－2x 4)4+2x 10(－2x 2)3+2x 4·5(x 4)3.
分析：本题是综合运用学过的幂的三个运算性质.做题前，先观察、分析，以免出错. 解：(1)(－a 2)2·(－2a 3)2 =(－1)2(a 2)2·(－2)2·(a 3)2 =a 4·4a 6 =4a 4·a 6=4a 10
(2)(－a 4b 3)3·(－a 2b 3)2·(－a 2b 3)5
=(－1)3(a 4)3(b 3)3·(－1)2(a 2)2·(b 3)2·(－1)5(a 2)5(b 3)5 =－a 12b 9·a 4b 6·(－a 10b 15) =a 12+4+10b 9+6+15 =a 26b 30
(3)［(x +y )2］3［(x +y )3］4 =(x +y )6·(x +y )12 =(x +y )18
(4)(－2x 4)4+2x 10(－2x 2)3+2x 4·5(x 4)3 =(－2)4(x 4)4+2x 10·(－2)3(x 2)3+2x 4·5x 12 =16x 16－16x 16+10x 16=10x 16
点拨：要注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同运算，要注意负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.同时要注意运算顺序，整式的运算顺序同有理数的运算顺序一样.
【例4】计算：
(1)(－9)3×(－3
2)6×(1－3
1)3； (2)(－8)2003×(－0.125)2004； (3)已知x 2n =3,求(3x 3n )2的值. 分析：灵活运用幂的三个运算性质. 解：(1)原式=－93×［(－3
2)2］3×(3
2)3 =－［9×9
4
×3
2］3 =－
3
338=－
27
512
.
(2)原式=(－8)2003×(－81)2003×(－8
1) =［(－8)×(－81)］2003×(－8
1) =12003×(－81)=－8
1 (3)(3x 3n )2=32(x 3n )
2 =9·(x 2n )3=9×3
3 =9×27=243.
点拨：(3)关键是将(x 3n )2化成(x 2n )3，利用了性质(x m )n =(x n )m . 【例5】计算： (1)(m －n )8÷(n －m )3; (2)(－m )4÷(－m )2.
分析：开始练习同底数幂的除法运算时，不提倡直接套用公式，应说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义.
解：
(1)(m －n )8÷(n －m )3=(n －m )8÷(n －m )3=(n －m )8－3=(n －m )5;(m ≠n ) (2)(－m )4÷(－m )2=(－m )4－2=(－m )2=m 2.(m ≠0)
点拨：1°a m ÷a n =a m －
n (a ≠0,m 、n 是正整数，且m >n )中的a 可以代表数，也可以代表
单项式、多项式等.
2°(1)中(m －n )8÷(n －m )3不是同底的，而应把它们化成同底，或将(m －n )8化成(n －m )8,或把(n －m )3化成－(m －n )3.
3°(2)中易错为(－m )4÷(－m )2=－m 2.－m 2的底数是m ,而(－m )2的底数是－m ,所以(－m )4÷(－m )2=(－m )2=m 2.
【例6】地震的强度通常用里克特震级表示.描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震.加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
解：根据题意，得 106÷104=106－4=102=100
所以加利福尼亚的地震强度是荷兰的100倍.
【例7】下列计算结果正确的是：
A.（x －1）0=1
B.()()
2
2
21
2+=
+-x x
C. 3－
2 = －
9
1
D.(π-3) 0=1 分析：因为零的零次幂无意义，零的负整数指数幂也无意义，而 A.（x －1）0=1和B.()
()
2
2
21
2+=
+-x x 中的底数x －1与x+2都可能为零，此时，原式无意义.所以A 、B 均
不正确.C 中3
－2
应等于
2
31=9
1
，所以C 也不正确. 故，选择D .
六、双基训练
A 组 一. 填空题：
1.计算：（－2）3= .
2计算：3
22121??
?
??-???? ??-= .
3.计算：a 8÷a 2= .
4.计算：（－3.1415926）0= .
5.计算：(－5)－
2= .
6.计算：（－10）2+（－10）0－10－
2×（－102）= .
7.一种电子计算机每秒可进行4×109次运算，那么，它工作5×102秒可以进行 次运算.
8.（－x 12）÷（－x 4÷x ）2= . 9.计算：（x n+1）2·（x 2）n-1= .
10. 2006
2005542145?
?
? ???-）（=
二、选择题：
1.下列各式计算正确的是
A a ·a 2=a 3
B x 5·x 5=x 25
C a2·a2=2a2
D x2+x3=x6
2.下列各式中不是同底数幂的是
A a3·a4B－a2·a3
C (－a)3·(－a)2D(－a)3·a2
3.如果x m―3x n=x2,那么 n 等于
A m ―1
B m+5
C 4 ― m
D 5―m
4.下列计算正确的是
A (－a)6÷a4=－a2
B (－c)8÷(－c)6=c2
C 105÷105=0
D x5n÷x n=x5
5.下列计算正确的是
A (a－b)3÷(b－a)2=a－b
B (a+b)5÷(a+b)3=a2+b2
C (b－a)5÷(a－b)3=(a－b)2
D (x－y)m+1÷(x－y)m－1=(x－y)0
6.关于（2×3－12÷2）0，下列说法正确的是
A. 0
B. 1
C. 12
D. 无意义
三、计算
1. (－2x2)3
2. (－1)2m·(－1)2
3. (－3x2y)3
4. (x2)8·(x4)4
5.(－2a2b3c3)3
6. (2×102)3
7.(a4)3+a2(－a2)5+a6(－a2)
8. (－3xy2)3 · (2x2y)2+(－2x3y2)2 · 27xy4
四、应用
计算机技术在生活中应用得越来越广泛，它处理数字量极大，一般用KB，MB，GB作存储容量的计量单位，它们之间的计量关系是：1MB=1.024×103KB,1GB=1.024×103MB,若一台计算机硬盘容量为8.3886080×107KB,它相当于多少GB?
B组
一、填空题
1、化简：［(－x)2］3= .
2、化简：(x2)4·x= .
3、x10=x·( )3=( )2.
4、若a n=3,则a3n= .
5、在255,344,433,522这四个幂中，数值最大的一个是.
1,则x= .
6、若32x+1=1,则x= ;若3x=
27
7、x m+n÷x n=x3,则m= .
8、一个立方体的棱长是2.5×102cm，用a×10n cm3（1≤a＜10，n为正整数）的形式表示这个立方体的体积为cm3.
二、选择题
1、等式－a n=(－a)n(a≠0)成立的条件是( )
A.n是奇数
B.n是偶数
C.n是正整数
D.n是整数
2、下列计算中，正确的有( )
①x3·x3=2x3;
②x3+x3=x3+3=x6;
③(x3)3=x3+3=x6;
④［(－x)3］2=(－x)32=(－x)9.
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
3、若644×83=2n,则n的值是( )
A.11
B.18
C.30
D.33
4、下列命题中，正确的个数是（）
①m为正奇数时，一定有等式（－4）m＝－4m成立
②等式（－2）m＝2m，无论m为何值时都不成立
③三个等式：（－a2）3＝a6，（－a3）2＝a6，〔－（－a2）〕3＝a6都不成立
④两个等式（－2x3y4）m＝－2m x3m y4m，（－2x3y4）n＝2n x3n y4n都不一定成立.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5、在等式a 2·a 4（ ）＝a 11中，括号里面的代数式应当是（ ） A. a 7 B. a 6 C. a 5 D. a 4
6、81×27可记为（ ）
A. 93
B. 37
C. 36
D. 312 7、在下列各式中，应填入－a 的是（ ）
A. a 12＝－a 3·（ ）4
B. a 12＝（－a ）7·（ ）5
C. a 12＝－a 4·（ ）8
D. a 12＝a 13＋（ ） 8、计算（a －b ）n ·（b －a ）n －
1＝（ ）
A. （a －b ）2n
－1
B. （b －a ）2n －
1
C. －（a －b ）2n
D. 非以上答案 9、计算－〔－（－2a ）2〕3等于（ ） A. 8a 5 B. 64a 6 C. －64a 6 D. 256a 8 10、计算0.3756×（－4
3
）6等于（ ）
A. 0
B. 1
C. －5
D. 1
64
11、计算（1
5
）100×5101＝（ ）
A. 1
5
B. 5
C. 1
D. 5201 12、如果（a n ·b m b ）3＝a 9b 15，那么m ，n 的值等于（ ）
A. m ＝9，n ＝－4
B. m ＝3，n ＝4
C. m ＝4，n ＝3
D. m ＝9，n ＝6 三、解答题
1.计算：（1）〔3（x ＋y ）2〕3·〔－3（x ＋y ）3〕2
（2）－a 4·a 3·（－a 7）＋（－a 2）7－2（－a 3）4·a 2 （3）x n －
5·（x n ＋
1·y 3n －
2）2＋（x n －
1·y n －
2）3·（－y 3n ＋
2）
2.已知n 是正整数，且（x n ）2＝9，求（1
3
x 3n ）2－3（x 2）2n 的值.
3.你能比较两个数2003
2004
和2004
2003
的大小吗?
为了解决这个问题,我们先把他抽象成数学问题,写出它的一般形式,即比较n n+1
和
(n+1)n 的大小(n 为自然数),然后我们从分析n=1,n=2,n=3,…这些简单情形入手,从中发现
规律,经过归纳,猜想出结论. ⑴通过计算,比较下列各组数的大小:
①12
21
②23
32
③ 34
43
④45
54
⑤56
65
… ⑵从第一题的结果进行归纳,可以猜想出n n+1
和(n+1)n 的大小关系
是 .
⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较两个数的大小20032004
2004
2003
.
【参考答案】
A 组
一、1.－8 2.－
32
1 3.a 6
4.1
5.251
6.102
7.2×1012
8.－x 6
9.x 4n 10.－5
14
二、1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D 三、1.－8x
6
2.1
3.－27x 6y 3
4.x 32
5.－8a 6b 9c 9
6.8×106
7.－a 12
8.－216x 7y 8
四、精析 以MB 为中介可以找到GB 和 KB 的关系
1GB=1.024×103
MB=1.024×103
×1.024×103
KB, 在利用同底数幂的除法法则进行计算.
解：8.3886080×107
÷1.024×103
÷1.024×103
≈8（GB ） 答：（略）
B 组 一、1、x 6 2、x 9 3、x 3,x 5
4、27
5、34414、1.5625×107
6、－2
1
－3 7、3 8、－8
二、 1、A 2、A 3、D 4、B 5、 C 6、B 7、B 8、D 9、B 10、 D 11、B 12、C 三、1.（1）18（x+y ）6
（2）－a 14
（3）0
2.解：因为x 2n
=9，所以，
()().
162813819399
139
123
223
2-=?-=?-?=
-=
n n x x 原式
3.（1）①＜，②＜，③＞，④＞，⑤＞. ⑵当n ＜3时，n
n+1
＜(n+1)n ；当n ≥3时，n n+1＞(n+1)n
⑶因为2003＞3，所以20032004＞20042003.