第三章 3.2.5利用向量知识求距离(选学)
一、选择题
1．已知向量n ＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A (－1,2,1)在α内，则 P (1,2－2)到α的距离为( ) A ．
5
5
B ．5
C ．25
D ．
510
[答案] A
[解析] ∵P A →
＝(－2,0,3)，∴点P 到平面α的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝|－4＋3|5
＝55．
2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱A 1A ＝5，AB ＝12，那么直线B 1C 1到平面A 1BCD 1的距离是( )
A ．5
B ．13
2
C ．60
13
D ．8
[答案] C
[解析] 解法一：∵B 1C 1∥BC ，且B 1C 1?平面A 1BCD 1，BC ?平面A 1BCD 1，∴B 1C 1∥平面A 1BCD 1． 从而点B 1到平面A 1BCD 1的距离即为所求． 过点B 1作B 1E ⊥A 1B 于E 点．
∵BC ⊥平面A 1ABB 1，且B 1E ?平面A 1ABB 1， ∴BC ⊥B 1E ．
又BC ∩A 1B ＝B ，∴B 1E ⊥平面A 1BCD 1， 在Rt △A 1B 1B 中，
B 1E ＝A 1B 1·B 1B A 1B ＝5×1252＋122＝60
13
， 因此直线B 1C 1和平面A 1BCD 1的距离为6013
．
解法二：以D 为原点，DA →、DC →、DD 1→
的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则C (0,12,0)，D 1(0,0,5)，设B (x,12,0)，B 1(x,12,5) (x ≠0)， 设平面A 1BCD 1的法向量n ＝(a ，b ，c )，
由n ⊥BC →，n ⊥CD 1→得
n ·BC →＝(a ，b ，c )·(－x,0,0)＝－ax ＝0，∴a ＝0， n ·CD 1→＝(a ，b ，c )·(0，－12,5)＝－12b ＋5c ＝0， ∴b ＝512c ，∴可取n ＝(0,5,12)，B 1B →
＝(0,0，－5)，
∴B 1到平面A 1BCD 1的距离d ＝|B 1B →·n ||n |＝60
13
．
3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．
2
3
D ．
33
[答案] D
[解析] 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)．
设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????
n ·AB 1→＝0，n ·
AD 1→＝0，∴?????
x ＋z ＝0，y ＋z ＝0.
令z ＝－1，则n ＝(1,1，－1)， 显然n ·BD →＝0，n ·BC 1→
＝0， ∴n 也是平面BDC 1的法向量， ∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1， ∴其距离为d ＝|AB →
·n ||n |＝3
3
．
4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM MC 1＝1
2，N 为BB 1的中点，则|MN |的长为( )
A ．216a
B ．66a
C ．
156
a D ．
153
a
[解析] 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →
＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，
由条件知，MN →＝AN →－AM → ＝12(AB →＋AB 1→)－13
AC 1→ ＝12(AB →＋AB →＋AA 1→)－13(AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→) ＝12(2a －c )－13(－c ＋a ＋b )＝23a －13b －16c ， |MN →
|2＝????23a －13b －16c 2＝19(2a －b －12c )2 ＝19(4|a |2＋|b |2＋1
4|c |2－4a ·b －2a ·c ＋b ·c ) ＝21a 236，∴|MN →|＝216
a ． 5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( ) A ．
3
2
B ．2
4 C ．1
2
D ．
33
[答案] B
[解析] 以DA →、DC →、DD 1→
为正交基底建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，
C 1(0,1,1)，C 1O →＝12C 1A 1→＝????12，－12，0，平面ABC 1
D 1的法向量DA 1→＝(1,0,1)，点O
到平面ABC 1D 1的距离
d ＝|DA 1→·C 1O →||DA 1→|
＝1
22＝24．
6．二面角α－l －β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( )
A ．2
B ．3
C ．2
D ． 5
[解析] 如图．∵二面角α－l －β等于120°， ∴CA →与BD →
夹角为60°．
由题设知，CA →⊥AB →，AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →|＝1，|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos60°＝4，∴|CD →|＝2．
二、填空题
7．等腰Rt △ABC 斜边BC 上的高AD ＝1，以AD 为折痕将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：
①BD ⊥AC ； ②∠BAC ＝60°；
③异面直线AB 与CD 之间的距离为22
； ④点D 到平面ABC 的距离为
3
3
； ⑤直线AC 与平面ABD 所成的角为45°． 其中正确结论的序号是__________． [答案] ①②③④⑤
[解析] ∵AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，平面ABD ⊥平面ACD ，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD ⊥AC ，∴①正确；又知AD ＝BD ＝CD ＝1，∴△ABC 为正三角形，∠BAC ＝60°，∴②正确；∵△ABC 边长为2，．∴S △ABC ＝
32，由V A －BDC ＝V D －ABC 得13×(12×1×1)×1＝13×32×h ，∴h ＝3
3
，故④正确；∵CD ⊥平面ABD ，∴∠CAD 为直线AC 与平面ABD 所成的角，易知∠CAD ＝45°，故⑤正确；以D 为原点，DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AB →＝(1,0，－1)，AC →
＝(0,1，－1)，DC →＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·DC →
＝0得x －z ＝0，y ＝0，令z ＝1得n ＝(1,0,1)，
∴异面直线AB 与DC 之间的距离d ＝|AC →·n ||n |＝2
2
，故③正确．
8．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________． [答案]
21
7
[解析] 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A ???
?32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，
则C 1A →＝????32，12，－1，C 1B 1→＝(0,1,0)，C 1B →
＝(0,1，－1)，
设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)， 则有?????
C 1A →·n ＝0，C 1B →·
n ＝0.解得n ＝????3
3，1，1，
则d ＝????
??C 1B 1→·n |n |＝
1
1
3
＋1＋1＝217．
解法二：VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1， VA —BB 1C 1＝13S △BB 1C 1×32AB ＝3
12
，
又∵VB 1—ABC 1＝13S △ABC 1·h ，S △ABC 1＝12AB ·172＝17
4，
∴h ＝
21
7
． 9．在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，P A ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，则AD 到平面PBC 的距离为__________．
[答案]
2
[解析] 由已知AB ，AD ，AP 两两垂直．
∴以A 为坐标原点AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，PB →
＝(2,0，－2)．
BC →
＝(0,2,0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则?
????
2a －2c ＝0，b ＝0.
∴n ＝(1,0,1)，又AB →
＝(2,0,0)， ∴d ＝|AB →·n ||n |＝2．
三、解答题
10．三棱柱ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点． (1)求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1； (2)求点C 到平面AB 1D 的距离．
[解析] (1)证明：如图所示，取AB 1中点M ，则DM →＝DC →＋CA →＋AM →，又DM →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B 1M →
．
∴2DM →＝CA →＋C 1B 1→＝CA →＋CB →．．
2DM →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0,2DM →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →)＝|CB →|2－|CA →|2＝0， ∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ．∴DM ⊥平面ABB 1A 1． ∵DM ?平面AB 1D ，∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1． (2)解：∵A 1B ⊥DM ，A 1B ⊥AB 1．∴A 1B ⊥平面AB 1D ． ∴A 1B →
是平面AB 1D 的一个法向量． ∴点C 到平面AB 1D 的距离为 d ＝|AC →·A 1B →
||A 1B →|
＝|AC →·
(A 1A →＋AB →)|2a
＝|AC →·AB →|2a ＝1
2a 2
2a ＝24
a ．
一、解答题
11．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC
1＝3，BE ＝1，AEC 1F 为平行四边形．
(1)求BF 的长；
(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．
[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)
，
A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)，设F (0,0，z )．
∵四边形AEC 1F 为平行四边形， ∴由AF →＝EC 1→
得，(－2,0，z )＝(－2,0,2)， ∴z ＝2．∴F (0,0,2)．∴BF →
＝(－2，－4,2)． 于是|BF →
|＝26．即BF 的长为26． (2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量， 显然n 1不垂直于平面ADF ， 故可设n 1＝(x ，y,1)，
∴?????
n 1·AE →＝0，n 1·
AF →＝0，∴?????
0×x ＋4×y ＋1＝0，－2×x ＋0×y ＋2＝0.
即????
?
4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴??
???
x ＝1，
y ＝－14
.
又CC 1→＝(0,0,3)，设CC 1→
与n 1的夹角为α，则cos α＝CC 1→
·n 1|CC 1→|·|n 1|＝
3
3×1＋1
16
＋1＝433
33．
∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|CC 1→
|·cos α＝3×
43333＝43311
．
12．在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． (1)证明：AB ⊥平面VAD ；
(2)求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的余弦值．
[解析] (1)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设A (1,0,0)，则B (1,1,0)，V (12，0，32)，AB →＝(0,1,0)，VA →＝(1
2，
0，－
32
)． 由AB →·VA →
＝0，得AB ⊥VA ． 又AB ⊥AD ，且AD ∩VA ＝A ， ∴AB ⊥平面VAD ．
(2)设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ，则E (14，0，34)，EA →＝(34，0，－34)，EB →＝(34，1，－34)，DV →＝
(12，0，3
2
)． 由EB →·DV →
＝0，得EB ⊥DV ．
又EA ⊥DV ，∴∠AEB 是所求二面角的平面角． ∵cos 〈EA →，EB →
〉＝EA →·EB →
|EA →||EB →
|＝217，
∴所求二面角的余弦值为
217
． [点评] 如果二面角的平面角容易作出，也可以先作出二面角，再求之．
13．如图所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离．
[解析] 设AP →、AE →、EC →
的单位向量分别为e 1、e 2、e 3，选取{e 1，e 2，e 3}作为空间向量的一组基底，易知
e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，
AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →
＝22e 3， PF →＝P A →＋AF →＝P A →＋12
AC →
＝P A →＋12
(AE →＋EC →
)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3，
设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →
，∴?????
n·AE →＝0，n ·PF →＝0，
????
(x e 1＋y e 2＋e 3)·
26e 2＝0，(x e 1＋y e 2＋e 3)·
(－2e 1＋6e 2＋2e 3)＝0，
????
26y |e 2|2
＝0，
－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2
＝0，
??
????
y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3
． ∴直线AE 与平面α间的距离为 d ＝|AP →
·n ||n|＝|2e 1·(2
2e 1＋e 3)||2
2
e 1|2＋|e 3|2＝23
3．
14．如图，已知直四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，四边形ABCD 为正方形，AA ′＝2AB ＝2，E 为棱CC ′的中点．
(1)求证：A ′E ⊥平面BDE ；
(2)设F 为AD 中点，G 为棱BB ′上一点，且BG ＝1
4
BB ′，求证：FG ∥平面BDE ．
[证明] (1)以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD ′所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A ′(1,0,2)，E (0,1,1)，F (12，0,0)，G (1,1，1
2
)，B (1,1,0)，D (0,0,0)，
于是DB →＝(1,1,0)，DE →＝(0,1,1)，A ′E →
＝(－1,1，－1)．
∵A ′E →·DB →＝－1＋1＋0＝0，∴A ′E ⊥DB ． 又∵A ′E →·DE →＝0＋1－1＝0，∴A ′E ⊥DE ． ∵BD ∩DE ＝D ，∴A ′E ⊥平面BDE ．
(2)由(1)可知A ′E →＝(－1,1，－1)为平面BDE 的一个法向量，FG →＝(1
2，1，12)，
∵FG →·A ′E →
＝－1×12＋1×1＋(－1)×12＝0，
∴FG →⊥A ′E →
．
又∵FG ?平面BDE ，∴FG ∥平面BDE ．
[点评] 本题中第一问证明了A ′E ⊥平面BDE ，故A ′E →
为平面BDE 的法向量，因此第二问要证明FG ∥平面BDE ，只需验证FG →·A ′E →
＝0即可．