一元二次方程与二次函数初高中衔接 一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．
一）、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，(1) 当2
40b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
(2) 当2
40b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当2
40b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用2
4b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2
4b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：2
4b ac ?=-
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) 2
2310x x -+=
(2) 2
4912y y +=
(3) 2
5(3)60x x +-=
解：(1) 2
(3)42110?=--??=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：2
41290y y -+=
2
(12)4490?=--??=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：2
56150x x -+=
2
(6)45152640
?=--??=-<，∴ 原方程没有实数根． 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2】已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：
(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；
(4) 方程无实数根．
解：2
(2)43412k k ?=--??=-
(1) 141203k k ->?<；
(2) 141203k k -=?=
； (3)3
1
0124≤?≥-k k ；
(4) 3
1
0124>?<-k k ．
【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=
由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：
222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=，
代入原方程得：2
2101x x x ++=?=-． 综上知：1,0x y =-=
二）、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：
22b b x x a a
-+--==
所以：12b
x x a
+=+=-，
12244ac c
x x a a
?====
定理：如果一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此
定理称为”韦达定理”．
【例4】若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212x x +；
(2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2
2
2
2
121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=
(2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===
- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4) 12||x x -=
===
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
12
1212
11x x x x x x ++=
，22121212()()4x x x x x x -=+-，
12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
*【例5】一元二次方程042
=+-a x x
值范围。
解一：由??
?<-->?0)3)(3(021
x x 解得：3 解二：设)(x f a x x +-=42 ，则如图所示，只须(f 解得3 *【例6】 已知一元二次方程65)9(2 2 2 +-+-+a a x a x 求a 的取值范围。 解：如图，设65)9()(2 2 2 +-+-+=a a x a x x f 则只须???<<0)2(0)0(f f ，解之得?? ? ??<<-<<3813 2a a ∴ 2<【例7】已知关于x 的方程2 2 1(1)104 x k x k -++ +=(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 2 22121[(1)]4(1)034 ,41215 4 k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±? ?=+=?? 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3 02 k ?=?= ； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-，由于 3 02 k ?>?>，故1k =-不合题意，舍去． 综上可得，3 2 k = 时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0?≥． 【例8】已知12,x x 是一元二次方程2 4410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123 (2)(2)2 x x x x --=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使 12 21 2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123 (2)(2)2 x x x x --=-成立． ∵ 一元二次方程2 4410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 2 400(4)44(1)160 k k k k k k ≠?? 又12,x x 是一元二次方程2 4410kx kx k -++=的两个实数根 ∴ 1212114x x k x x k +=???+=?? ∴ 2 2 2 121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+- 93 9 425 k k k +=- =-?=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123 (2)(2)2 x x x x --=- 成立． (2) ∵ 222121212211212()44 224411 x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=- ++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <， 要使 12 21 2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对 4 1 k +为整数的分析方法． 数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 第八节 一元二次方程实根分布 1． 讲清二次函数与一元二次方程的关系； 2． 讨论二次函数)0(2>++=a c bx ax y (1)当方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根属于),(n m 时0)()(>≥?20)(0 )(0 (3)当方程)0(02≠=++a c bx ax 两根分别在),(n m 两侧时： ⅰ.21,0x n m x a <<<<； ⅱ.21,0x n m x a <<<>； 0)(0 )(< 例1：已知二次方程04)32(2=+-+x m x 有且只有一根在(0,1)内，求实数m 的取值范围； 例2：已知方程0)2()12(222=++--m x m x 两根在)1,1(-之间，求m 的取值范围； 例3：已知二次方程0)25()1(22=+--+m x m x 的一根小于，另一根大于1，求m 的取值范围； 0)1(0)1(<<-f f 7 1>?m ； 例4：已知：方程0)1(2)23(2=+++-m x m x 的两实根都大于1，求m 的取值范围； 1200 )1(>-≥?>a b f ； 练习： 1． 已知方程0)1(22=-+-m mx x 有且仅有一个根属于(1,2)，且2,1==x x 都不是 方程的解，求m 的范围； 2． 已知：方程022)23(2+-+-+m x m x 有一个大于2-的负根，一个小于2的正 根，求m 的范围； 3． 已知方程0)1(3)43(2 =++++m x m x 两个根都属于)2,2(-，求m 的范围； 4． 已知方程0)4()13(22=++++m x m x 两根都大于1-，求m 的范围； 5． 已知方程0)4()13(22=++++m x m x 一根小于1，一根大于1，求m 的范围； 变式：若抛物线m x x y -+-=32与直线x y -=3在)3,0(∈x 内只有一个交点，求m 的范围； 补充： 1．b x a x x f +++=)1()(2，且3)3(=f ，又x x f ≥)(恒成立，求b a -的值； 2．对任意的2≤m ，函数m x mx y -+-=122 恒为负，则x 的取值范围为________； 浅析初高中二次函数的衔接教学 摘要：二次函数在高中数学中占有十分重要的地位，它引入了集合理论，同时 与一元二次方程、一元二次不等式、二次三项式、无理函数、三角函数、指数函数、对数函数、导数紧密结合，内容上进行了加宽加深，题型上变得新颖、灵活、这对于培养学生的思维规律、分析方法、解题能力相当有益。因而二次函数成为 高中数学教学衔接的一个重要内容，既是教学的难点，又是高考的重点。 关键词：初高中衔接；二次函数；典型例题 二次函数对初、高中的要求存在很大的差异。初中阶段按定义、图象、性质 和简单应用这一顺序进行学习；而高中阶段，则在要求上作了很大的提高，具体 如下： 首先，二次函数与其他函数整合，形成复合函数，求其定义域、值域、最值, 同时按其系数决定性质，深入研究它的图象、性质，并扩展到解析几何里的抛物 线对各量几何意义的挖掘、应用。 注：本题通过研究抛物线各量之间的内在联系，达到了研究二次函数性质的 目的。 其次，通过与一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式相结合的研究， 使学生学会用联系的观点，对二次函数作全面深刻的认识。 注：本题运用换元法，采取引入中间变量t，将求指数函数的最值转化为求二次函数的最值，将复合函数分解为两个简单函数，逐个认识对应法则。 第四，高次函数与二次函数联袂出击，环环相扣，并结合导数知识，充分研 究二次函数的性质，展示二次函数的魅力。 注：本题考查函数建模，得到二次函数，并用均值不等式求最值。 综上所述，对二次函数的认识仍是一个由浅入深，由渐进渗透到熟练掌握， 灵活应用的过程。因此，在教学，教师应注意以下三点： 1.学生思维发展具有阶段性，不能一步到位，应循序渐进，遵循思维发展的 规律，有效地进行思维方式，解题技能的训练。 2.加强新旧知识的联系，以旧知促新知，进行各种数学思想方法的渗透。 3.充分调动学生思维的积极性，培养学生的创新能力，同时承认个体差异， 不能一刀切。所以，我们选题时应有针对性和区分度，因材施教，分层推进，展 开教学。 作者单位：辽宁省盘锦市盘山县第一高级中学 邮政编码：124100 初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??- 1．立方和与差的公式 这部分内容在初中教材中已删去不讲，但进入高中后，它的运算公式却还在用。比如说： （1）立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3； （2）立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3； （3）三数和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （4）两数和立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； （5）两数差立方公式：(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3。 2．因式分解 十字相乘法在初中已经不作要求了，同时三次或三次以上多项式因式分解也不作要求了，但是到了高中，教材中却多处要用到。 3．二次根式中对分子、分母有理化 这也是初中不作要求的内容，但是分子、分母有理化却是高中函数、不等式常用的解题技巧，特别是分子有理化。 4．二次函数 二次函数的图像和性质是初高中衔接中最重要的内容，二次函数知识的生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰。 5．根与系数的关系（韦达定理） 在初中，我们一般会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程，而到了高中却不再学习，但是高考中又会出现这一类型的考题，因此王老师建议： （1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况； （2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式（这里指“对称式”）的值，能构造以实数p、q为根的一元二次方程。 6．图像的对称、平移变换 初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，对称轴、给定直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式 初中教材中同样不作要求，只作定量研究，而在高中，这部分内容被视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，圆幂定理等），初中生大都没有学习，而高中教材多常常要涉及。 一、课题的界定和说明以及核心概念的界定 本课题主要是针对高一刚入学的新生在高中数学学习过程中面临的初高中数学衔接问题加以分析并提出相应的解决策略。 二、课题的提出 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心，但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。 1、初中数学教材较通俗易懂，难度相对高中较小，大多研究的是常量，且较多的侧重于定量计算，而高中数学教材较多的研究的是变量，不但注重定量计算，而且还常需作定性研究。 2、为了适应义务教育要求，初中数学教材降低幅度较大，而高中由于受客观上升学压力和评价标准的影响，实际难度难以下降，且又增加了应用性的知识，因此在一定程度上，反而加大了高、初中数学教材内容的台阶。 3、初中数学较直观形象，对抽象思维能力的培养要求不高，而在高中许多数学内容都需要学生具有较强的抽象思维能力。由于刚入学的高一新生思维能力还很弱，学习新知识必然遇到许多障碍。 4、初中学生见到的几何图形多是平面图形，进入高中后，由于缺乏空间想象能力，极大地影响了立体几何的正确理解和掌握。为此，我们提出了本研究课题。 三、研究的内容 由于很大一部分的高一新生，在初高中衔接问题中不仅仅表现在知识上，学习状态及学习方法的转变不及时也是其中的重要原因。所以本课题的研究内容分为以下两个方面： （一）对高一新生的学法指导 1 学习习惯滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不确定学习计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易 《初高中数学衔接教材》序言 童永奇 高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！ 进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。 既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢？提几点建议： 一、“信心”是源泉。人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。 二、“恒心”是保障。人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。 三、“巧心”是支柱。人无巧心，就缺乏灵气和创造力。 最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！ 临潼区马额中学高一数学校本教材 童永奇 结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。主要包括以下两个容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。 怎样学好数学？ A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。 B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。这正是一个理想的领悟机会，也是我们自己反思、归纳、总结，提炼升华的基础。解析几何的创建者笛卡儿说得好：“走过两遍的路就是方法”。解题时走了一遍，解题后又走了一遍，这就是两遍。这么一来，这道题在你手里就不再是一道题，而是一种方法。 C.要学好数学，就应该学会解题时如何进行思维。从心理学角度说，解题过程是解题者面临新问题，而自己没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动，主要是思维过程对思维活动这一系列过程的反映，在信息上就是收集、存储、加工和应用；在知识体系上就是联系、转换和应用过程；在解题策略上就是方法的选择和调整过程。 D．要学好数学，就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。比如：数学大师——欧拉，60多岁双目失明，一场大火又吞没了他的研究成果，他毫不气馁，发誓说：“如果命运是块玩石，我就化作大铁锤，将它砸得粉碎！”此后17年，他在黑暗中摸索奋斗，又发表了400多篇论文和多部专著。 E.要学好数学，就应该学会辩证思维。所谓辩证思维，就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考，用辩证法来揭示事物的本质，这种思维方法能使学习和研究问题更加深入，更加触及数学本质；它既是思维发展最活跃，最富有创造性的高级阶段，也是辩证法在中学数学中的生动体现。因此，在解题时，应善于运用辩证思维方法分析问题，从而制定解题策略，把握解题规律。 F.要学好数学，就应该有意识地提高自己的自学能力。有了自学能力，就能广泛猎取知识，见多识广，利于开发智力，提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。 .G要学好数学，就应该加强训练。要真真正正地做到：勤于动手，勤于动脑，积极思考，勇于探索，大胆实践。 .H要学好数学，还应该注重多看一些有关的参考资料。目的：加深对教材知识的理解，开阔自己的知识视野，进一步提高自己分析问题、解决问题的能力，进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在解题中的重要作用。对于一些好的解（证）法也应单独摘录出来；对于一些归纳、总结性的结论及一些常用技巧等也应摘录出来（此外，对于自己做题中所出现的一些典型错误，不但要摘录出来，而且要彻底搞清错误的根源及如何准确求解）。这样做，对于学习数学来说，也是一种提高！ 最后，愿与各位同学共勉：相信自我，战胜自我，超越自我！！ 要踏，就请踏一路青春的风采；要走，就请走一程无怨无悔的人生！ 初高中数学衔接 二次函数的图象和性质 一．函数实际上是从自变量x 的取值全体到函数值y 的一种对应关系，记作y=f(x)。其中x 的取值范围叫做函数的定义域，函数值的全体叫做函数的值域。 二．二次函数的三种表示方法： 三．二次函数、一元二次方程的联系 1．若二次函数f(x)的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，求f(x)的解析式 的最值的解析式 求且是二次函数若)(2)(1, 4612)0()2()(.22x ）f （x ）f （x x f x f ，x f -+=+ 3．已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 巩固练习 1、已知二次函数22 2y x x c =-++的对称轴和x 轴相交于点()0m ，，则m 的值为____________． 2、已知抛物线2y ax bx c =++经过点（1，2）与（1-，4），则a+c 的值是 ． 3、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示， 则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 4、二次函数2y ax bx =+和反比例函数b y x = 在同一坐标系中的图象大致是（ ） 5、二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（ ） Ａ．()1 3-， Ｂ．()13， Ｃ．()13--， Ｄ．()1 3-， 6、抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =，且经过点(30)P ，．则a b c ++的值为 ( )Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 7、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 如何做好初高中二次函数教学的衔接 发表时间：2018-07-23T17:38:04.197Z 来源：《知识-力量》2018年8月中作者：于涵 [导读] 二次函数是贯穿初高中数学教材的重要知识，是初高中典型的衔接知识.但在实际二次函数教学中，学生学习存在严重脱节.本文对初高中二次函数教学内容、学生思维水平进行对比分析，并提出做好初高中二次函数教学的衔接工作相关建议。 （天津师范大学教师教育学院，天津市西青区 300000） 摘要：二次函数是贯穿初高中数学教材的重要知识，是初高中典型的衔接知识.但在实际二次函数教学中，学生学习存在严重脱节.本文对初高中二次函数教学内容、学生思维水平进行对比分析，并提出做好初高中二次函数教学的衔接工作相关建议。 关键词：二次函数，有效衔接，高中数学 二次函数是高中函数部分的重要内容，是学生在学习函数知识的过程中必须掌握的重要知识点；二次函数同样是初中阶段数学学习的重点.尽管大部分教师做了相应的衔接工作，但现阶段我国初高中二次函数教学中的脱节现象仍然明显. 1初高中二次函数的衔接教育中存在的一些问题 1.1二次函数相关知识点和思维能力的缺失 近年来，初高中教材内容都做了调整，初高中教材从难度到知识容量差距拉得更大，初高中教材出现明显的知识点缺失[1].初中阶段二次函数的教学要求仅限于根据具体的表达式作图、确定函数解析式、理解函数基本性质.受初中阶段学生的认知水平的限制，学生并不能从本质上理解二次函数的概念和性质. 到了高中阶段，数学教学对学生的思维能力的要求大大提高.高中阶段二次函数的定义域往往是一个区间，或系数中含有参数.教学目标要求学生能从方程的观点看二次函数的，从二次函数的角度看一元二次方程.而这种函数和方程之间的转化思想，学生一时半会儿可能无法理解. 1.2初高中教师对衔接知识不够重视，对学生认知水平了解不到位 初中教师本应适当地让学生在感性层面感知一元二次方程和二次函数之间的本质联系，培养学生数形结合的数学思维方式，而不是花费大量的时间让学生做无意义的机械练习. 初高中二次函数教学的脱节，与高中教师也有直接的关系.高中教师对学生的已有认知没有准确的把握，认为学生在中学时就已经学习过了二次函数，并且对于相关内容比较熟悉.导致学生在听课过程中有很多知识盲点，不能对二次函数的相关知识有正确的把握. 1.3学生思维能力和学习习惯有待提高 初中数学教学过程当中，教师没有对学生的逻辑能力进行培养，导致了学生在进入高中学习时，现有的思维能力不能适应高中数学的难度[2].在初中阶段的教学中，教师没有注意向学生渗透数形结合的数学思想方法，没能初步培养学生通过观察函数图像发现函数性质的能力，导致学生在高中不能顺利地跟随教师进行深入学习. 同时初中教学的氛围比较轻松，学习压力比较小，数学学习更多的停留在知识表层和重复性的练习.在这样的环境之下，部分学生缺乏自主学习和独立思考的能力，使其不能适应高中课程的学习. 2初中教师在二次函数衔接教学中应发挥的作用 2.1合理运用多媒体技术，直观感受图像 教师要善于运用几何画板、超级画板这类数学作图软件，让学生通过画图直观感知二次函数图像和性质，初步体会数形结合的数学思想方法. 2.2把课堂教给学生，发挥学生的主体作用 对于二次函数这部分的教学，应将课堂充分交给学生，让同学们在主动探索、讨论交流中自主建构知识，培养学生综合能力．例如在二次函数的引入这一环节应让学生主动探索归纳的出二次函数的定义.通过实际问题引入二次函数不仅仅能够激发学生学习的兴趣，而且可以使学生真切的体会到数学与生活息息相关．问题的选择不宜过于复杂，实际事例的数量在三个左右合适，这样不至于过多，又能使学生通过对函数的观察和对比发现共性． 2.3分层教学，渗透高中数学的思想和方法 初中教学面对的学生群体广泛，智力水平和学习能力参差不齐，相对高中教学更要加强分层教学．初中数学教师应了解高中数学二次函数起始阶段的教学内容、特点和方法，在平时的教学中有目的地适当渗透一些高中数学的思想和方法，为初高中数学衔接铺路搭桥．在学校的社团课中，开设数学提高班，提高一部分学生的数学思维品质和解题能力[3]． 3高中教师在二次函数衔接教学中应发挥的作用 3.1注重对初中知识的温习，概念上做好衔接 高中教师应该在数学教学过程中，注意与初中知识的连接，复习过程中注重对新内容的巩固．函数贯穿初、高中数学教学的始终，其中数形结合是重要的思想方法．那么，对这内容的复习上就可以从初中数学中所提到的函数解析式、画函数示意图、图象特征等方面入手，进而引导学生巩固画图象的基本方法、不同开口变化时系数取值范围等知识点，这样不仅可以巩固初中数学中的函数知识，还为函数单调性的学习打下了良好的基础[4]． 初中阶段二次函数没有非常严格的定义，而是通过不完全归纳的方法，让学生通过直观的方式来接受二次函数.而且题目仅限于作出具体函数的图像，并根据图像写出对称轴、顶点坐标等.而高中阶段二次函数中,往往函数图像限定在给定区间上,或系数中含有参数,是局部的、变化的.因此,在高中教学中,教师应在初中已有基本知识的基础上引导学生观察函数的图像,归纳总结出二次函数的定义域、值域、单调性和图像，使学生建立数形结合思想. 3.2引导学生在思维上做好衔接，改变学习方法 高中数学教师可以引导学生从高中数学二次函数知识点本身和解题思路出发，适当放慢教学速度，单元结束时帮助学生进行小节，解 2017初高中数学衔接教材 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要容；配方、作简图、求值域（取值围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 第三讲一元二次方程与二次函数 知识清单 一、二次方程 （1）一般形式是： ax2+bx+c=0(a≠0） （2）二次方根（实数根）的求法 根的个数两个一个无判别式△ 方法常用：① 求根公式③ 配方法（常 ② 十字因式分解法用） （3）公式记忆 ①△= ② 求根公式 ③ 根与系数（韦达定理） 2、二次函数的概念、图象和性质 y ax2bx c （a>0） 二次函数图像 注意 ①（0， c） ② 对称轴： ③顶点（） 判别式 ax 2bx c0 二次不等式口诀： 二次函数的形式： ① 一般式： ② 顶点式： ③ 两根式： 问题一：二次方程根的求法 例 1：用适当的方法解方程： （1）2（x+2）2-8=0（2）x(x-3)=x （3） 3 x2=6x-3（4）(x+3)2+3(x+3）-4=0 点评：写出每个分解的方法 变式 1：判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。 （1）x2-3x+3=0；（2）x2-ax+(a-1)=0; 点评：当二次方程系数含参数求根时，需注意什么：________ 问题二：韦达定理的应用 例2：已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。点评：要用两种以上的方法求解： 变式 1：已知关于 x 的方程 x2 +2(m-2)x+m 2+4=0 有两个实数根，并 且这两个实数根的平方和比两个根的积大于21，求 m 的值。 变式 2：.若 x1,x2是方程 x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值： （1）x12＋x22；（2）1 ＋ 1 ；x1x2 （3）(x1-5)(x 2 -5) ；（4）x1x 2 . 问题三：二次函数解析式的求法 例3：已知某二次函数的最大值为 2，图象的顶点在直线 y=x+1 上，并且图象经过点 (3,-1 ），求二次函数的解析式。 变式 1、已知二次函数的图象过点（ -3,0 ），（1.0 ），且顶点到 x 轴 的距离等于 2，求此二次函数的表达式。 变式 2、已知二次函数的图像过点( 1, 22), (0, 8), (2,8)，求此函数的表达 式 变式 3、把二次函数 y=x2+bx+c 的图象向上平移 2 个单位长度，再向左 平移 4 个单位长度，得到函数 y=x2的图象，求 b,c 的值。 点评：当选择二次函数解析式的形式时，应该注意的条件式什么。 数学衔接知识专题讲座和练习2 重、难点： 1. 求二次函数最值。 2. 一元二次方程根的分布。 【典型例题】 [例1] 已知16)(2+-=x x x f （1）当22≤≤-x 时，求)(x f 的最值； （2）当64≤≤x 时，求)(x f 的最值； （3）当52≤≤x 时，求)(x f 的最值。 解：配方得8)3()(2--=x x f （1）最小值为7)2(-=f ，最大值为17)2(=-f （2）最小值为7)4(-=f ，最大值为1)6(=f （3）最小值为8)3(-=f ，最大值为4)5(-=f [例2] 已知x x x f +- =2 2 1)(，当n x m ≤≤时，)(x f 取值范围为n y m 22≤≤，求m 、n 值。 解：∵ 2 12 1)1(2 1)(2 ≤+ --=x x f ∴ 14 1<≤≤n m ∴ m m f 2)(=，n n f 2)(= 解得：2-=m ，0=n [例3] 已知122)4()(2 --++=m x m x x f 与x 轴交于两点，都在点（1，0）的右侧，求实数m 取值范围。 解：令0)(=x f ，可得21=x ，1)6(2>+-=m x ，即7- 【模拟试题】 1. 已知x x x f 2)(2+-=，试根据以下条件求)(x f 的最大、小值。 （1）x 取任意实数 （2）01≤≤-x （3）32≤≤x （4）40≤≤x 2. 解不等式 （1）0122<--x x （2）0822>--x x （3）022>++-x x （4）0202<+--x x （5）22)3()12(->-x x （6）012≤-x （7）042≥+-x （8）0122≤++x x 3. 求证：方程2)2)(1(k x x =--（0≠k ）有两个实根，一个比1大，一个比1小。 4. 一元二次方程02)13(72 2 =--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<< 浅谈一元二次函数的初高中衔接教学 初高中数学在难度、知识量和学习方式上都有很大差别。初中数学内容较通俗易懂，直观形象，对抽象思维能力要求不高。而高中数学教材较多的研究的是变量，需要学生具有较强的抽象思维能力。因此学生进入高中后，存在一定的学习困难。作为教师，有必要对初高中数学衔接教学进行研究。本文着重探讨一元二次函数的初高中衔接教学。 1 加强二次函数初高中衔接教学的必要性 1.1二次函数在高中数学具有举足轻重的地位。二次函数是高中数学的重要内容，它贯穿着几乎整个高中数学的教学内容，如集合、函数、不等式、三角函数、解析几何、导数等都有二次函数的身影。许多数学方法，如配方法、换元法、分类讨论法等都与二次函数有密切的关系。同时二次函数也是高考考查的重点，分析每年全国各地的高考试卷，或多或少有涉及到二次函数的相关知识或方法。 1.2初中二次函数内容较少，高中更丰富。初中与二次函数相关内容只有一元二次方程、二次函数的图像和性质。而高中还要掌握十字相乘法、根与系数的关系、一元二次不等式等内容。 1.3初高中对二次函数的要求上存在很大差异。初中只要求学生掌握一元二次方程的解法，二次函数图像与性质的简单应用，难度较小，要求不高。而高中二次函数的知识分散在其它内容之中，解题方法多变，考查方式灵活，难度增大。这使得很多学生的思维停留在初中上，给学生学习二次函数造成了很大的困难。 基于以上几个原因，教师很有必要加强对初高中二次函数衔接教学。 2 初高中二次函数学习的主要差异 2.1从两个二次到三个二次的提升。根据《全日制义务教育数学课程标准》，二次函数这部分内容的要求是：理解二次函数和抛物线的概念，会用描点法画出二次函数的图像，会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴，会求抛物线的解析式，理解一元二次方程与二次函数的关系。而高中，在学习了集合之后，利用集合来定义函数，使函数的研究内容、研究方法和初中比有很大的提升。增加了一元二次不等式后，由初中的二次方程和二次函数的两个二次变为了高中的二次方程、二次函数、二次不等式的三个二次。这三个二次互相联系，密不可分，贯穿整个高中数学内容。 例1 已知關于的不等式的解集为，函数在区间[-1，3]最大值为M，最小值为N，则M+N的值为 解：由不等式的解集为得，和是方程的两根，由韦达定理求得，结合二次函数性质可得M+N= 。此题并不难，但它把三个结合在一起，可以巩固学 初高中数学衔接------二次函数部分 知识梳理 知识点1 二次函数的图象和性质 1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0) ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0) 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求. ①已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 2.二次函数的图象和性质 图象 函数性质 a >0 定义域 x ∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac －b 24a ，＋∞) y ∈(－∞，4ac －b 2 4a ] a <0 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈(－∞，－b 2a ]时递减， x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增 x ∈(－∞，－b 2a ] 时递增， x ∈[－b 2a ，＋∞) 时递减 图象特点 ①对称轴：x ＝－b 2a ； ②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2 4a ) 3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝ Δ |a | . 知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系 1、二次函数的定义 定义： y=ax 2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x 2，y=2x 2-2/x ，y=100-5 x 2，y=3 x 2-2x 3+5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？ 2、二次函数的图像及性质 例2：已知二次函数 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。 （3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x 为何值时，y<0？x 为何值时，y>0？ 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax 2+bx+c (a<0) 由a,b 和c 的符号确定 由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上 a<0,开口向下 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减小. ???? ??--a b ac a b 44,22??? ? ??--a b ac a b 44,22a b x 2- =直线a b x 2- =直线a b a c y a b x 44,22 --=最小值为 时当a b a c y a b x 44,22 --=最大值为 时当x y x y m m -223212- +=x x y 一元二次函数 衔接要点： 1、二次函数的三种表达 一般式： 顶点式： 交点式： 2：二次函数图像抛物线的性质： （1）、图像是轴对称图形 （2）、有一个顶点，坐标为（ ） （3）、二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0,开口向上，a<0时开口向下，|a|越大，抛物线的开口越小 （4）、常数项C 决定抛物线与Y 轴的交点，抛物线与Y 轴交于（0，c ） 3、抛物线与X 轴交点的个数 △>0时，抛物线与X 轴有2个交点， △=0时，抛物线与X 轴有1个交点， △<0时，抛物线与X 轴没有交点。 4、二次函数的最值：二次函数在自变量X 取任意实数时的最值情况： 当a>0时，函数在 处取得最小值 ，4无最大值 当a<0时，函数在 处取得最大值 ，无最小值 典例解析： 类型一：基本性质 例1、（1）已知抛物线2 244y x x =-+-,顶点坐标是 ，与Y 的交点坐标是 ，以其顶点为中心旋转180°，得到的新抛物线解析式为 。 （2）、将抛物线243y x x =++化成2()y a x h k =-+的形式是 ，其对称轴为 ，开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而增大。 （3）、已知抛物线2246y x x =--+，则其和X 轴的交点坐标为 ，当 时，y>0;当 时，y ≤0. （4）、二次函数23(1)2y x =--+的图像，可由23y x =-的图像先向 平移 个单位，再向 平移 个单位。 类型二：求二次函数解析式 例2、已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-5,0），B （-1,0），顶点C 到X 轴的距离为2，求此抛物线的解析式 小结：求二次函数解析式，应根据函数的图像，结合待定系数法求解。 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质 问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12 x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示）， 从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12 x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示）， 从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位， 再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函 数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究 它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及 方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“ k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象 的方法： 由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋ c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a -=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： （1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --，图2.2-2 图2.2-12019初高中数学衔接知识点及习题
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