四点共圆(圆内接四边形)的性质：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）圆内接四边形的对角互补，外角等于其内对角；（3）圆幂定理；（4）托勒密定理Ptolemy；（5）弦切角定理。
四点共圆的判定：
1把四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等）。
2把四点连成四边形，证明其对角互补或一个外角等于其内对角。
3把四点连成相交的两条线段，证明它们各自被交点分成的两线段之积相等；或把四点两两连结并延长相交的两线段，证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积。
4根据托勒密定理的逆定理。 (性质和判定的前4条互为逆定理)
5从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。(反证法)
6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。即连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆。
7同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。
直角三角形中线定理：直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。(逆定理也成立)
射影定理：RT△ABC中，CD是斜边上的高，则CD2=AD·DB；AC2=AD·AB；BC2=BD·BA。
三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例(反之也成立)。三角形的外角平分线也有类似性质。设AD、AE是∠A及外角的平分线，则有
AB/AC=BD/DC=BE/EC。
弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立(可用于证明切线)。
圆外切四边形定理：圆外切四边形两组对边的和相等；反之也成立。
斯特沃特定理(Stewart)：如下图，设BD=p ，DC=q ，则pq q p q c p b AD -++=222
在△ABD 和△ABC 中，运用余弦定理cosB 相等可证。该定理可得以下结论：
（1） 当AD 是中线时，p=q=
2a ，得中线长公式 222222
1a c b AD -+=； （2） 当AD 是内角平分线时，)(2a s bcs c b AD -+=，其中2
c b a s ++=； （3） 当AD 是高时，ABC S a c b a a c c b b a a AD ?=---++=222221222222222， 其中 ))()((c s b s a s s S ABC ---=?，即海伦公式。
梅涅劳斯定理（Menelaus ，简称梅氏定理）：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点(其中有奇数个点在边的延长线上)，则X 、Y 、Z 三点共线的充要条件是 (AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。 (此线称为梅氏线．．．
)
塞瓦定理（Ceva ）：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点(其中有偶数个点在边的延长线上)，则AX 、BY 、CZ 三线共点的充要条件是
(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。(此点称为塞瓦点．．．
，可用梅涅劳斯定理或面积方法证明) 塞瓦定理推论
1.设E 是△ABD 内任意一点，AE 、BE 、DE 分别交对边于C 、G 、F ，则(BD/BC)·(CE/AE)·(GA/DG)=1。
2.塞瓦定理角元形式：AD 、BE 、CF 交于一点的充分必要条件是：
(sin ∠BAD/sin ∠DAC)*(sin ∠ACF/sin ∠FCB)*(sin ∠CBE/sin ∠EBA)=1。
3.对于圆周上顺次6点A、B、C、D、E、F，直线AD、BE、CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1。
托勒密定理(Ptolemy)：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。托勒密定理的逆定理同样成立：若凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则该四边形内接于圆。
广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，
则有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)
欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD。
西姆松定理(Simson)：过△ABC外异于顶点的任意一点P作三边的垂线，则三垂足X、Y、Z 共线的充要条件是四边形PABC内接于圆。 (此线称为三角形关于P点的西姆松线
．．．．)
相关的结果:（1）设三角形的垂心为H，则西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上；（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角；（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
欧拉定理(Euler)：设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则该三点共线且
OG=GH/2(重心分垂心和外心的连线段为2：1)。这条直线叫三角形的欧拉线
．．．，且九点圆圆心也在该线上，即四点共线，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等。
+，向量
利用向量证明，设D为BC边上的中点，则=
+
+
+
+
=
+
=
=2；
OH+
+
+
=
OB
OC
CD
OA
OC
BD
OB
AH
OA
OD
OA
OA
(21
AC +=+=+=，∴)
(3132+==， )
())()((3131
++=++++=+=； ∴31=， ∴O 、G 、H 三点共线且3
OH OG =。 欧拉公式：设三角形的外接圆和内切圆半径分别为R 和r ，则外心与内心的距离为：
)2(22r R R Rr R d -=-=. (用p.9内心性质②可证)
九点圆
三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆，称这个圆为九点圆，或欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球(各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心)的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。
证明
如图所示，△ABC 的BC 边垂足为D ，BC 边中点为L 。证法为以垂心H 为位似中心，1/2为位似比作位似变换。
连结HL 并延长至L'，使LL'=HL ；做H 关于BC 的对称点D'。
显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A ，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A ，从而A ，B ，D'，C 四点共圆。
又因为BC 和HL'互相平分于L ，所以四边形BL'CH 为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A ，从而A ，B ，L'，C 四点共圆。
综上，A ，B ，C ，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB ，AC 边上的F ，N ，E ，M 也有同样的结论成立，故A ，B ，C ，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC
的外接圆⊙O。
接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D （因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。
位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。
这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。
性质
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；
4. 九点圆是一个垂心组(即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形)共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切；
5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且
HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
圆幂与根轴
圆幂：设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP2-R2即为P点到圆O的幂。可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；
根轴：在平面上任给两不同心的圆，对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴；也可以称到两不同心圆所引切线长恒相等的点的轨迹为根轴。
相关定理
1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的公切线；
4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。
根轴方程
设两圆O1,O2的方程分别为：
(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0 和(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0
由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y)有
(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圆幂=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2，得根轴的方程为：
2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0 其中f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2，f2类似。
解的不同可能
两圆方程连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1)、N(x2,y2)
①如果是两组不等实数解，M、N不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。
②如果是相等实数解，M、N重合，两圆相切，方程表示两圆的公切线。
③如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M、N是共轭虚点。
费马点(Fermat)：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
（1）对于任意△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,使EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点。
（3）如果三个内角均小于120°，则在三角形内部对三边张角均为120°的点，就是费马点；分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1，然后连接AA1,BB1,CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点。
(4)当△ABC为等边三角形时，费马点与外心重合。
平面四边形中费马点：
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点（P）。
三角形重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x ，y ），则该点到三顶点距离平方和为： (x 1-x)2+(y 1-y)2+(x 2-x)2+(y 2-y)2+(x 3-x)2+(y 3-y)2
=3x 2-2x(x 1+x 2+x 3)+3y 2-2y(y 1+y 2+y 3)+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32
=3(x- (x 1+x 2+x 3) /3)2+3(y- (y 1+y 2+y 3) /3)2+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32
- (x 1+x 2+x 3)2/3- (y 1+y 2+y 3)2/3
显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3，y=(y 1+y 2+y 3)/3（重心坐标）时，上式取得最小值
x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32- (x 1+x 2+x 3)2/3- (y 1+y 2+y 3)2/3。
若G 为△ABC 的重心，则BC 2+3AG 2=CA 2+3BG 2=AB 2+3CG 2=23(AB 2+BC 2+CA 2)；
AG 2 +BG 2 +CG 2
=13(AB 2+BC 2+CA 2)；AG 2 +BG 2 +CG 2最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X 1+X 2+X 3)/3，(Y 1+Y 2+Y 3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X 1+X 2+X 3)/3， 纵坐标：(Y 1+Y 2+Y 3)/3 ，竖坐标：（Z 1+Z 2+Z 3）/3 。
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形旁心
与三角形的一边及其它两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆；旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
旁心的性质
设△ABC 在∠A 内的旁切圆⊙I 1(r 1)与AB 的延长线切于点P 1；内切圆半径为r 。
1、旁心到三角形三边的距离相等。
2、三角形有三个旁切圆，三个旁心；旁心一定在三角形外。
3、∠BI 1C=90°-∠A/2；∠AI 1B=∠C/2。
4、AP 1=r 1·cot(A/2)=(a+b+c)/2=p ；BP 1=(a+b-c)/2=p-c 。
5、S △ABC =r 1(b+c-a)/2。
6、r 1=rp(p-a) =(p-b)(p-c)/r=r/(tanB /2)(tanC/2)。
7、设AI 1的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DI 1=DB=DC 。
8、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
外接、内切、旁切圆半径的关系：R(a cosA+b cosB+c cosC) = r(a+b+c)；
r=4R sin A
2sin
B
2sin
C
2；r a=4R sin
A
2cos
B
2cos
C
2=r cot
B
2cot
C
2；
1
r a+
1
r b+
1
r c=
1
r。
三角形垂心的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，D、E、F为垂足，垂心为H；
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、三角形的三个顶点、三个垂足、垂心这7个点可以得到6组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一个垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，
∠BCO=∠HCA。
10、锐角△的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12、西姆松定理（Simson西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的三垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是：
PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
三角形内心的性质：设I为△ABC的内心，连AI交△ABC外接圆于点K，则
①∠BIC=90°+1
2∠A；S=pr
，abcr=p·AI·BI·CI
②三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相等(即K 是△BIC 的外心)。反之，I 在AK 上且KI=KB ，则I 为△ABC 的内心。
③P 为△ABC 的内切圆与边AB 的切点，则AP=p-a=12(b+c-a )。
三角形外心的性质：
①设O 为△ABC 的外心，则∠BOC =2∠A 或360°-2∠A ； R=abc 4S △
。 ②锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
③设H 为△ABC 的垂心，则OH ++=。
面积方法
所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，通过适当的变换，从而导得所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。由于平面上的凸多边形都可以分割成若干个三角形，因此在面积公式中，最基本的是三角形面积公式。 三角形面积公式：)cos cos cos (2
sin 2121C c B b A a R pr C ab ah S a ABC ++====? ))()((c p b p a p p ---=R
abc C B A R 4sin sin sin 22== 面积定理：
1．一个图形的面积等于它的各部分面积的和；两个全等图形的面积相等。
2．等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底的和相等)的面积相等。
3．等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高(或底)的比。
4．相似三角形的面积比等于相似比的平方。
5．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 间夹角为α，则四边形面积αsin 2
1??=BD AC S 。 6．共边(比例)定理：设AC 与BD 相交于E ，则有S △BAC /S △DAC =BE/DE 。
7．共角(比例)定理：等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的
比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；四边形对角线的夹角相等或互补，则它们的面积比等于对角线乘积的比。ABC ADE S S ??=AC AB AE AD ??，ABC E AD S S ??'=AC
AB AE AD ??'
8． 燕尾定理：△ABC ，D 、E 、F 为BC 、CA 、AB 上的点，满足AD 、BE 、CF 交于同一点O 。则
S △AOB ：S △AOC =S △BDO ：S △CDO =BD ：CD ；
S △AOC ：S △BOC =S △AFO ：S △BFO =AF ：BF ；
S △BOC ：S △BOA =S △CEO ：S △AEO =EC ：AE 。
9．下面三图的面积关系
S 1：S 2 =a ：b ； S 1：S 2=S 4：S 3； a ∥b 时 S 1：S 3：S 2：S 4= a 2：b 2：ab ：ab ，S=(a+b)2
几何不等式 的证明几方法大致有三种：几何方法，代数方法，三角方法。
三角方法
利用三角函數來反映幾何圖形的變化規律，從而將幾何問題轉換成三角問題，此時須利用有關三角函數的性質：正弦定理、餘弦定理、三角形面積公式及其三角不等式，另外面積不等關係的證明常常是幾何不等式的重要內容，一些幾何不等式常運用面積法來處理。 代數方法
利用變數變換、因式分解及配方等手段將幾何問題轉化成代數問題。
思考方式：1?適當引入變數或坐標系，將幾何問題化為代數問題。
2?利用一些重要的幾何不等式及代數不等式。
(a)證明關於三角形內各元素的各種不等式，常作如下的變數變換，將幾何不等式化成代數不等式。
C
設?ABC 的內切圓分別切?BC 、?CA 、?AB 於D 、E 、F ，記AE=AF=x ，BD=BF=y ，CD=CE=z ，
則??
???+=+=+=y x c x z b z y a ……..(*)，且x >0,y >0,z >0。
反過來，若三個正數a,b,c 可以表示為(*)的形式，則a,b,c 是一個三角形的三邊長。
[討論]：由上述的變數變換可知，為了證明一個關於三角形的三邊不等式，可通過變換(*)將三邊a,b,c 轉換成三個正數x,y,z 的代數不等式。由於a,b,c 確定三角形，從而三角形各元素都可通過變換(*)用x,y,z 表示，另一方面，三角形中部分的元素亦可用x,y,z 來表示：
半周长s =12(a +b +c )=x +y +z ，面积?=s (s -a )(s -b )(
s -c )
内切圆半径r = ?s =xyz x +y +z ，外接圆半径R= ?4abc =)
(4))()((z y x xyz x z z y y x +++++ 半顶角正切tan A 2= r x ，tan B 2= r y ，tan C 2 = r z 。
通過上面的式子，可將三角形中的一些幾何量化成三個正數x,y,z 。
(b)與三角形有關的不等式：
三邊長的固有關係：兩邊和大於第三邊。
邊長的大小順序關係與對應角的大小順序相同，而與對應的高、中線及分角線長的大小順序相反。
(c)重要的代數不等式：排序不等式、切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。 (d)重要的幾何不等式：
1? Ptolemy （托勒密）不等式：
若ABCD 為四邊形，則AB ?CD+AD ?BC ≥ AC ?BD 。等號成立?A,B,C,D 四點共圓。 2? Weitzenberk(外森比克)不等式：在?ABC 中，a 2+b 2+c 2≥4 3 ?。等號成立??ABC 為正三角形。 证明如下
a 2+
b 2+
c 2-4 3 △ =a 2+b 2+a 2+b 2-2abcosC-2 3 absinC =2a 2+2b 2-4absin(C+π/6)
≥2a 2+2b 2-4ab =2(a-b)2 ≥ 0，当且仅当a=b 且c=π/3即△ABC 为正三角形时取等。 3? Mordell s o Erd -?
?(艾尔多斯—莫迪尔)不等式：
設P 為?ABC 內部或邊上一點，P 到三邊的距離為PD 、PE 、PF ，
則PA+PB+PC ≥2(PD+PE+PF)。等號成立??ABC 為正三角形且P 為中心。
证明：设PA=x ，PB=y ，PC=z ，PD=p ，PE=q ，PF=r 。C 、D 、P 、E 四点共圆，有 A q B p A q B p A q B p C pq q p DE sin sin )cos cos ()sin sin (cos 22222+≥-++=++=，
从而 C A q B p C DE z sin sin sin sin +≥=
，同理 A C q B r x sin sin sin +≥，B
C p A r y sin sin sin +≥。 于是 ).(2)sin sin sin sin ()sin sin sin sin ()sin sin sin sin (r q p A B B A r A C C A q B C C B p z y x ++≥+++++≥++ 可证得如下的几何不等式：设P 为△ABC 内任一点(包括边界)，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的平分线与边AB 、BC 、CA 分别相交于E 1、E 2、E 3，则PA+PB+PC≥2(PE 1+PE 2+PE 3)。 4? 費馬問題：在?ABC 中，使PA+PB+PC 為最小的平面上的P 點稱為費馬點。當∠BAC ≥120? 時，A 點為費馬點；當每個內角鈞小於120?時，則與三邊張角為120?的P 點為費馬點。
5.Euler(欧拉)不等式：
设△ABC 外接圆与内切圆的半径分别为R 、r ，则R≥2r ；当且仅当△ABC 为正三角形时取等号。
证明： 由欧拉公式d=)2(r R R -，又d>0， 所以R-2r≥0，即R≥2r 。
当且仅当d=0即内心与外心重合时取等；此时三角形ABC 为正三角形。
6.等周定理（等周不等式）：
①底边和顶角一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大、周长最大。
②底边和周长一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大。
③内接于定圆的所有n 边形中，正n 边形的面积最大。
④周长一定的所有n 边形中，正n 边形的面积最大；面积一定的所有n 边形中，正n 边形的周长最小。
⑤周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。 若P 为封闭曲线的周界长，A 为曲线所包围的区域面积，则 4πA ≤ P 2 。
7.面积不等式：S △ABC ≤
2
1AB·AC ，当∠A=90°时取等号。 几何变换(运动)：通过平移、对称(翻折，反射)、旋转、相似等方式，把几何图形变换到所需要的位置或变为所需要的图形，使题设条件相对集中，使隐含的关系得以显现，以利于问题的解决。处理几何变换的关键是从变中抓住不变的量。 (祥见p.67) 对称变换是平面到自身的一一变换，每对对应点P 、P′所连接的线段PP′都被定直线l 垂直平分，则这种变换称为关于直线l 的对称或反射，记为S(l )。定直线l 称为对称轴，点P′称作点P 关于轴l 的对称点。
平移变换是平面到自身的一一变换，任意一对对应点P 、P′连接的有向线段等于定向量a ，则称这种变换为平移变换，记作T(a )。a 叫做平移向量，其方向称为平移方向，其长度称做平移距离。P )
(a T P′表示点P 经过平移T(a )变到P′。平移变换前后的对应线段平行且相等，对应角的两边分别平行且方向一致。
旋转变换是平面到它自身的一一变换，任意一对对应点P 、P′与平面上一定点O 的距离总相等，且∠POP ′等于定角θ，这种变换称为关于点O 的旋转，记作R(O, θ)。点O 称为旋转中心，θ称作旋转角。旋转变换前后的图形全等，且顺序不变。旋转角θ=180°的旋转变换叫作中心对称变换，用C(O)表示关于点O 的中心对称，C(O) =R(O, 180°)。 相似变换是平面到它自身的一一变换，线段A ′B ′是AB 的像，且A ′B ′/AB=k (常数)，这种变换称为相似变换，用∽表示，常数k 称作相似系数或相似比。图形F 相似变换为图
形F′，记作F∽F′。在相似变换下，共线点对应共线点，射线对应射线，角对应角，三点A、B、C的线段比不变AB/BC=A′B′/B′C′。
(点O和数k 位似变换是平面到它自身的一一变换，点A′是任意点A的像，且k
固定)，称这种变换为以O为(位似)中心、以k为位似比的位似变换，记为H(O, k)。k>0时，A与A′在点O的同侧，O为外分点，此种变换叫做外位似(或正位似、顺位似)；k<0时，A与A′在点O的两侧，O为内分点，此种变换叫做内位似(或反位似、逆位似)。k=1时，就是恒等变换(平面上每个点与它自身对应的变换)，即H(O, 1)=I；k=-1时为中心对称变换，即H(O, -1)=R(O, π)=C(O)。在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线(直或曲)上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点。除内含非同心圆外，任何两圆都是位似形，两圆相切时切点为位似中心，两圆外离时外(内)公切线的交点为其正(反)位似中心，两非等圆相交时外公切线交点为正位似中心。
位似变换是相似变换的特殊情形，平移变换可看作中心在无穷远点的位似变换。
接连施行两次几何变换称为变换的乘法，其结果称为变换的积。记点P在变换σ1的作用下的像为σ1 (P)，记σ1 (P)在变换σ2的作用下的像为σ2σ1 (P)，则有如下性质：
⑴对于两次反射S(l1)、S(l2)，若l1∥l2，则S(l1)·S(l2)=T(2v)，v为l1、l2之间的距离；若l1、l2相交于O，且交角为θ，则S(l1)·S(l2)=R(O，2θ)。即任何平移都是反射的乘积，任何旋转都是两个反射的乘积。
⑵对于同一旋转中心O，连续两次旋转的积R(O，θ1)·R(O，θ2)= R(O，θ1+θ2)。
⑶对于不同旋转中心，连续两次旋转有：若θ1+θ2≠2π，则R(O1，θ1)·R(O2，θ2)=R(O，θ1+θ2)，点O按下图方法确定；若θ1+θ2=2π，则R(O1，θ1)·R(O2，θ2)=T(2v)。
证明：令R(O1，θ1)= S(l2)·S(l1)，R(O2，θ2)=S(l3)·S(l2)，则
R(O2，θ2)·R(O1，θ1)= S(l3)·(S(l2)·S(l2))·S(l1)= S(l3)·S(l1)，若θ1+θ2≠2π，由性质1及上式知R(O1，θ1)·R(O2，θ2)= R(O，θ1+θ2)，其中O是l1、l2的交点；若θ1+θ2=2π，则(θ1+θ2)/2=π，有l1∥l3，由性质1及上式得R(O1，θ1)·R(O2，θ2)=T(2v)。
【例】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理）
【分析】设GH为过P的直径，F
)
(GH
S
→F′，显然F′∈⊙O。又P∈GH，∴PF′=PF。
∵PF
)
(GH
S
→PF′，PA
)
(GH
S
→PB，∴∠FPN=∠F′PM，PF=PF′。
又FF′⊥GH，AN⊥GH，∴FF′∥AB。∴∠F′PM+∠MDF′=∠FPN+∠EDF′
=∠EFF′+∠EDF′=180°，∴P、M、D、F′四点共圆。∴∠PF′M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF′M，PN=PM。
一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则|1/PM-1/PN|=2a/(R2-r2)。（解析法证明：利用二次曲线系知识）
非纯几何解法：几何题都是有关图形性质的，图形是点的集合，将点与复数、向量、平面坐标(直角坐标、极坐标)之间建立对应关系，就可将几何问题解法转化为其它方法，如代数法、三角法、解析法、向量法、复数法。
当解题关键在于算出某个几何量的大小时，可用代数法求得关键量；
三角法主要借助正、余弦定理，利用三角函数的定义和有关三角公式；
解析法是把几何问题转化为代数问题来处理的更一般的方法，要注意选择适当的坐标系，尽可能化为较简单的代数问题，采取便于使用的方程形式，综合运用几何图形的性质及代数、三角知识；
向量法可充分运用向量的运算定律及几何意义；
复数法与解析法相比，优点在于可以进行乘法运算，乘以复数re iφ相当于作相似变换：将长度(模)乘以r，再逆时针旋转角φ，位似中心和旋转中心均为原点。复数乘法的几何表示为向量的拉伸与旋转的合成，不同于向量的乘法(数量积或向量积)。与位似、旋转有关的问题常用复数去解，还常用复数取模而产生的不等式。
多面角：有公共端点且两两不共面的n（n≧3）条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，叫做多面角。组成多面角的射线叫做多面角的棱，多面角有几条棱，就叫几面角；棱的公共端点S叫做多面角的顶点；相邻两棱间的平面部分叫做多面角的面；相邻两棱组成的角，叫做多面角的面角；相邻两个面组成的二面角叫做多面角的二面角。
构成多面角的必要条件是：各面角和小于360°，且任一面角小于其他各面角和。
三面角
由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠O-ABC。
特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
三面角的补三面角：由三条自已知三面角顶点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。
性质
1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。
三面角相关定理：设三面角∠O-ABC的三个面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所对的二面角依次为∠OC，∠OA，∠OB。
1、三面角正弦定理：
sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。
2、三面角第一余弦定理：
cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。
3、三面角第二余弦定理：
cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。
正多面体：多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体5种。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。
对偶性：
把一个正多面体每个面的中心连起来，可以得到一个新的多面体。如果原来是正六面体，那么得到的是正八面体；如果原来是正八面体，那么得到的是正六面体。把这一性质称为正六面体与正八面体对偶。正十二面体与正二十面体对偶。而正四面体则与自己对偶。
正多面体体积与表面积公式：
V4=2/12*a3，S4=3a2；V6=a3，S6=6a2；V8=2/3*a3，S8=23a2；
V12=(15+75)/4*a3，S12=15/5
2
5 *a2；V20=(15+55)/12*a3，S20=53a2。
欧拉公式：
设凸多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V+F-E=2 。
数论是研究整数性质的一门理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研究。初等数论(古典数论)是利用整数本身的性质(奇偶、整除、同余)和逻辑推理的方法来论证数论命题。
两个计数的基本原理
乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，做第一步有m 1种方法，做第二步有m 2种方法，…，做第n 步有m n 种方法，那么完成这这件事共有m 1×m 2×…×m n =∏=n
i i m 1种方法。应
用乘法原理的关键是将一个复杂的过程分解为若干个接连进行的简单过程。
加法原理：如果所要计数的对象有n 类，第一类有m 1种，第二类有m 2种，…，第n 类有m n 种，那么这些对象总计有m 1＋m 2＋…＋m n =∑=n
i i m 1种。应用加法原理的关键是将所有计
数对象，依据同一标准，分为不重、不漏的若干类。
整数的进位制表示 正整数的十进制表示法：011...a a a a n n -，(a n ,a n-1,…, a 1,a 0都是0到9的整数，且a n ≠0) 是和式a n ·10n +a n-1·10n-1+…+a 2·102+a 1·10+a 0的简单记法。这种以10的方幂的降幂形式表示整数的方法又叫科学计数法。以二进制表示为a n ·2n +a n-1·2n-1+…+a 2·22+a 1·2+a 0，简记为(a n a n-1…a 1a 0)2，其中a n ,a n-1,…, a 1,a 0取0或1，且a n ≠0。
整除：对于两个整数a ，b (b ≠0)，若存在一个整数q ，使得a=bq ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a ，且称a 是的b 倍数，b 是的a 约数(因数)。若不能整除，则记作b a 。 整除性质
⑴如果b|a ，那么b|(-a)，-b|a ，(-b)|(-a)，|b|｜|a|。
⑵如果c|b ，b|a ，那么c|a 。 (传递性)
⑶如果c|a ，c|b ，m 、n 是整数，那么c|ma+nb 。
特别地，当m=1，n=±1时，c|a ±b ；一般地，若b|a i ，x i ∈Z(i=1,2,…,n)，则b|∑=n
i i i x a 1。
⑷如果b|a，c为整数(0除外)，那么b|ac，bc|ac；反之，若bc|ac，则b|a。
⑸如果c|a，c b，那么c a+b。
⑹如果|a|<|b|，且|b|｜|a|，那么a=0。
⑺如果b|a，d|c，那么bd|ac。
⑻如果a=b+c，d|b，d|c，那么d|a。
⑼如果a|b，b|a，那么|a|=|b|。
⑽如果b|a，c|a，且(b,c)=1，那么bc|a。
⑾如果bc|a，那么b|a，c|a。
⑿如果ac
b，那么a
b|。
c
,
b|，且1
)
(
⒀n个连续整数中有且仅有一个能被n整除；n个连续整数之积一定能被n整除。
⒁n个连续自然数的乘积一定能被n! 整除。
⒂若f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0是整系数多项式且d|b-c，则d|f(b)-f(c)。
整除的规则
个位上是偶数，就能被2整除。
各位数字之和能被3(或9)整除，就能被3(或9)整除。
末两位能被4(或25)整除，就能被4(或25)整除。
个位上是0或5，就能被5整除。
末三位与其前的差能被7(或11，13)整除，就能被7(或11，13)整除。
末三位能被8(或125)整除，就能被8(或125)整除。
把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，就能被11整除。
末四位与前面的数的差能被73(或137)整除，则这个数能被73(或137)整除。
末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除；末2位与前面的数的差能被101整除，则这个数能被101整除。
末五位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除。
当k为正整数时，则a-b|a k-b k，a+b|a2k-1+b2k-1。
质数·合数
正整数依据其正约数的个数分为三类：只有一个正约数的，单位数1；只有两个正约数的(1和它自身)，叫质数(又称素数)；有两个以上正约数的，叫合数。
2是最小的质数，也是唯一的偶素数。相差为2的两个素数叫孪生素数，截至20XX 年底，人们发现的最大的孪生素数是：(33218925×2169690-1，33218925×2169690+1)。
素数有无穷多(欧几里得证明在他的几何学原本中)：假设素数只有有限的n 个，从小到大依次排列为p 1，p 2，…，p n 。取 x = p 1p 2…p n +1，则它被p 1，p 2，…，p n 中的任何一个素数整除都会余1。由假设x 是合数，它必有一个素约数p ，显然p 不同于p 1，p 2，…，p n ，这与假设p 1，p 2，…，p n 为全部素数矛盾。
素数可用爱拉托斯散筛选法进行判定：若自然数N 不能被不大于N 的所有素数整除，则N 是一个素数。(可用孙子定理证明)
费尔马猜想F n =122 n (n ∈N)是素数，他验算了n=0～4。但欧拉证明：F 5=641×6700417是合数。以后的F n 值，数学家再也没有找到哪个F n 值是质数；现在数学家们取得F n 的最大值为n=1495，其位数多达1010584位，但它不是质数。
梅森猜想M p =2p -1 (p 是质数)是素数，他验算了p=2、3、5、7、17、19。欧拉证明M 31是质数。但M 11=2047=23×89不是素数。美国数学家科勒证明，M 67=193707721×761838257287是合数，这是第九个梅森数。第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：232582657-1。
质数的规律：10之内的质数是2，3，5，7；其余质数的个位为1，3，7，9。质数不能被个位数是9的自然数整除；个位数是9的质数不能完全开方和不能被个位数是7的自然数整除；个位数是7的质数不能被个位数是7的自然数整除；个位数是3的质数不能被个位数是3的自然数整除；个位数是1的质数不能完全开方和不能被个位数是3的自然数整除。
梅森合数的进展
①p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P -1)，即2p+1|2P -1；
如：11=4×2+3，23|(211-1)；23=4×5+3，47|(223-1)；83=4×20+3，167|(283-1)
②p=2n ×32+1，则6p+1|2P -1；
如：37=22×32+1，223|237-1；73=23×32+1，439|(273-1)；577=26×32+1，3463|(2577-1)
初中数学公式、定理大全 1、一元二次方程根的情况 △＝b2－4ac（前提必须化成一般形式ax2＋bx＋c＝0） 当△＞0时，一元二次方程有2个不相等的实数根 当△＝0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 当△＜0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质 ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。 ③平行四边形的对边相等并且平行，对角相等，邻角互补。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形： ①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领形的四条边相等，对边平行，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义、对角线互相垂直的平行四边形、四条边都相等的四边形。 矩形与正方形 ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等且平分，四个角都是直角。
③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的所有性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的 菱形是正方形。 多边形： ①n边形的内角和等于（n－2）180° ②多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和 多边形的外角和都等于360度 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行
一年级数学知识点 1、开口向左读大于，尖角向左读小于，一双筷子是等于。 比较两数大和小，前面数大用大于，前面数小用小于，两边相等用等于。大于号，开口朝着大数。小于号，屁股撅给小数瞧。2、把几部分的数合起来，求一共有多少要用加法计算。如： 从总数里拿走（或去掉、吃了、飞了）一部分，求另一部分是多少用减法计算。如： 3、一个数加0或减0，还得这个数。 4、6个面都相同的是正方体；长长方方的是长方体；上下一样粗细，两头是圆形的是圆柱；圆圆的，可以向任意方向滚动的是球。长方体、正方体、圆柱和球都是立体图形。 5、长方形、正方形、圆和三角形都是平面图形，都是立体图形上的一个平平的面。 长方形和正方形的区别是看边的长短，长方形的对边相等，正方形的４条边都相等。 长方体和正方体的区别是看面的形状，正方体的６个面都是正方形。 6、分类的标准不同，分类的结果就不同。 7、大问号，弯弯绕，问个问题不知道，一滴眼泪往下掉。 大括号，像花边，两条花边分两方，两边合起就用它。 问号挂在括号下，加法来算共多少。 问号掉在括号上，减法来算一部分。 正确使用加减法，解决问题我最棒。 8、计算连加，先把前两个数相加，再把得数与第三个数相加。 9、计算连减，先把前两个数相减，再用得数减去第三个数。 10、加数+加数=和 被减数-减数=差 11、凑十法：九凑一，一凑九。八凑二，二凑八。 七凑三，三凑七。六凑四，四凑六。 双五相见就满十。 12、从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位。有１个十在十位写１，有２个十在十位写２，有几个一在个位写几。个位上的数是几就表示几个一，十位上的数是几就表示几个十。 读数写书都从高位起。 13、最大的一位数是９，最小的两位数是１０。 14、确定位置时，一般横为行，竖为列。交换两个加数的位置，和不变。如：８＋７﹦７＋８﹦１５ 15、破十法就是先把十几分成十和几，先用十减去减数，减得的结果再和几合起来。 16、人民币的单位有元、角、分。 1元=10角 1角=10分 17、时针最粗、最短，分针较细、较长。 认识钟面上的刻度：钟面上有12个大格，每个大格里面有5个小格。 时针转动1大格是1小时，分针转动1小格是1分钟。 1时=60分 认识整时与半时，先看分针指哪里。 整时分针指１２，时针指几是几时。 半时分针指向６，时针就在两数间， 半时时针过了几，我们就读几十半。 18、９加几、８加几、７加几、６加几的计算技巧： 大数是９，用小数减１，剩几就是十几。如：９＋６＝？，大数是９，小数是６，用小数６－１＝５，所以９＋６＝１５。 大数是８，用小数减２，剩几就是十几。 大数是７，用小数减３，剩几就是十几。 大数是６，用小数减４，剩几就是十几。
小学一至六年级得数学公式 基本公式: 1 每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2 倍数×倍数＝几倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝与与－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学数学图形计算公式: 1 正方形C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2 正方体V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 长方形C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4 长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高V=abh 5 三角形s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah 7 梯形s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形S面积C周长π d=直径r=半径 (1)周长=直径×π=2×π×半径C=πd=2πr (2)面积=半径×半径×n 9 圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高(4)体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 与差问题得公式: 总数÷总份数＝平均数 (与＋差)÷2＝大数(与－差)÷2＝小数 与倍问题 与÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者与－小数＝大数)
人教版初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质 （1）当n a =；
部编版小学数学知识点全总结 数学概念整理： 一、整数部分： 十进制计数法；一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位.其中?一?是计数的基本单位.10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十.这种计数方法叫做十进制计数法 整数的读法：从高位一级一级读,读出级名（亿、万）,每级末尾0都不读.其他数位一个或连续几个0都只读一个?零?. 整数的写法：从高位一级一级写,哪一位一个单位也没有就写0. 四舍五入法：求近似数,看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或大于5舍去尾数向前一位进1.这种求近似数的方法就叫做四舍五入法. 整数大小的比较：位数多的数较大,数位相同最高位上数大的就大,最高位相同比看第二位较大就大,以此类推. 二、小数部分： 把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示.如1/10记作0.1,7/100记作0.07.
小数点右边第一位叫十分位,计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位,计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一,没有最小的计数单位.小数部分有几个数位,就叫做几位小数.如0.36是两位小数,3.066是三位小数 小数的读法：整数部分整数读,小数点读点,小数部分顺序读. 小数的写法：小数点写在个位右下角. 小数的性质：小数末尾添0去0大小不变.化简 小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小,1十2百3千倍. 小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推. 三、分数和百分数 分数和百分数的意义 1、分数的意义：把单位? 1?平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数.在分数里,表示把单位? 1?平均分成多少份的数,叫做分数的分母；表示取了多少份的数,叫做分数的分子；其中的一份,叫做分数单位. 2、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数.也叫百分率或百分比.百分数通常不写成分数的形式,而用特定的?%?来表示.百分数一般只表示两
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
小学数学知识点大全 （一）笔算两位数加法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位加起； 3、个位满10向十位进1。 （二）笔算两位数减法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、个位不够减从十位退1，在个位加10再减。 （三）混合运算计算法则 1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； 2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； 3、算式里有括号的要先算括号里面的。
（四）四位数的读法 1、从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； 2、中间有一个0或两个0只读一个“零”； 3、末位不管有几个0都不读。 （五）四位数写法 1、从高位起，按照顺序写； 2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。 （六）四位数减法也要注意三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。 （七）一位数乘多位数乘法法则 1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； 2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。
（八）除数是一位数的除法法则 1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； 2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。 （九）一个因数是两位数的乘法法则 1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； 2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； 3、然后把两次乘得的数加起来。 （十）除数是两位数的除法法则 1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， 2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
小学数学1-6年级所有重点知识点汇总 数学法则知识 1.笔算两位数加法，要记三条 A.相同数位对齐； B.从个位加起； C.个位满10向十位进1。 2.笔算两位数减法，要记三条 A.相同数位对齐； B.从个位减起； C.个位不够减从十位退1，在个位加10再减。 3.混合运算计算法则 A.在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； B.在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； C.算式里有括号的要先算括号里面的。 4.四位数的读法 A.从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； B.中间有一个0或两个0只读一个“零”； C.末位不管有几个0都不读。 5.四位数写法 A.从高位起，按照顺序写； B.几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。 6.四位数减法也要注意三条 A.相同数位对齐； B.从个位减起； C.哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。 7.一位数乘多位数乘法法则 A.从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； B.哪一位上乘得的积满几十就向前进几。 8.除数是一位数的除法法则 A.从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； B.除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； C.每求出一位商，余下的数必须比除数小。 9.一个因数是两位数的乘法法则
A.先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； B.再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； C.然后把两次乘得的数加起来。 10.除数是两位数的除法法则 A.从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， B.除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； C.每求出一位商，余下的数必须比除数小。 11.万级数的读法法则 A.先读万级，再读个级； B.万级的数要按个级的读法来读，再在后面加上一个“万”字； C.每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个零都只读一个“零”。 12.多位数的读法法则 A.从高位起，一级一级往下读； B.读亿级或万级时，要按照个级数的读法来读，再往后面加上“亿”或“万”字； C.每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0都只读一个零。 13.小数大小的比较 比较两个小数的大小，先看它们整数部分，整数部分大的那个数就大，整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大，十分位数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次类推。 14.小数加减法计算法则 计算小数加减法，先把小数点对齐（也就是把相同的数位上的数对齐），再按照整数加减法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点位置，点上小数点。 15.小数乘法的计算法则 计算小数乘法，先按照乘法的法则算出积，再看因数中一共几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 16.除数是整数除法的法则 除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。 17.除数是小数的除法运算法则 除数是小数的除法，先移动除数小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移几位，被除数小数点也向右移几位（位数不够在被除数末尾用0补足）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 18.解答应用题步骤 A.弄清题意，并找出已知条件和所求问题，分析题里的数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；
初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系 a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等
小学数学知识点大全 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体（V:体积s:面积a:长b: 宽h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7、梯形（s：面积a：上底b：下底h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8、圆形（S：面积C：周长лd=直径r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数
中小学数学知识点总结大全 数学公式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝ 1倍数 3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形：C周长 S面积 a边长周长＝边长×4C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体：
V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形： C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)× 2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)× 2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形 s面积 a底 h高面积=底×高÷2 s=ah÷ 2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形：s面积 a底 h高面积=
底×高 s=ah 7、梯形：s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8 圆形：S面C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9、圆柱体：v体积 h:高s：底面积 r：底面半径 c：底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体：v体积h高s底面积 r底面半径体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
最全的人教版初中数学常用概念、公式和 定理
2017最全的初中数学公式 1.整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数) 都是有理数. 如:－3,,0.231,0.737373…,,.无限不环循小数叫做无理数..如:π,－,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数. 2.绝对值:a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=－a. 如:丨－丨=;丨3.14－π丨=π－3.14. 3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数 字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 4.把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 5.被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1 位;被开方数的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位. 如:已知=0.4858,则=48.58;已知=1.558,则=-0.1588. 6.整式的乘除法:①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项 式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以单项式,将多项式的每一项 分别除以这个单项式. 7.幂的运算性质:①a m×a n=a m+n.②a m÷a n=a m－n.③(a m)n=a mn.④(ab)n=a n b n.⑤(- )n=n.⑥a－n=n,特别:()－n=()n.⑦a0=1(a≠0). 如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(－3)－1=－,5－2==,()－2=(-)2=,(－3.14)0=1,(－)0=1.
1．最小的一位数是1，最小的自然数是0 2．小数的意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份分别是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数来表示。 3．小数点左边依次是整数部分，小数点右边是小数部分，依次是十分位、百分位、千分位…… 4．小数的分类： 无限小数（无限循环小数，无限不循环小数） 有限小数 5．整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。 6．小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 7．小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍…… 小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍…… 二．数的整除 1．整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2．约数、倍数：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 3．一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数约数的个数是有限的，最小的约数是1，最大的约数是它本身。 4．按能否被2整除，非0的自然数分成偶数和奇数两类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。5．按一个数约数的个数，非0自然数可分为1、质数、合数三类。 质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。质数都有2个约数。 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。合数至少有3个约数。 最小的质数是2，最小的合数是4 1~20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 1~20以内的合数有“4、6、8、9、10、12、14、15、16、18 6．能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。 能被3整除的数的特征：一个数的各位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 7．质因数：如果一个自然数的因数是质数，这个因数就叫做这个自然数的质因数。 8．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 9．公约数、公倍数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 10．一般关系的两个数的最大公约数、最小公倍数用短除法来求；互质关系的两个数最大公约数是1，最小公倍数是两数之积；倍数关系的两个数的最大公约数是小数，最小公倍数是大数。 11．互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。 12．两数之积等于最小公倍数和最大公约数的积。 三．四则运算 1．一个加数=和-另一个加数被减数=差+减数减数=被减数-差 一个因数=积÷另一个因数被除数=商×除数除数=被除数÷商
小学数学总复习资料 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长S：面积a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（C：周长S：面积a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体（V:体积s:面积a:长b: 宽h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形（s：面积a：底h：高）面积=底×高s=ah 7、梯形（s：面积a：上底b：下底h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圆形（S：面积C：周长лd=直径r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径）体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 13、和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数) 14、差倍问题差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 15、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量17、利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算 1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算 1吨=1000 千克1千克=1000克1千克=1公斤人民币单位换算
小学数学公式大全, 第一部分：概念. 1,加法交换律：两数相加交换加数的位置,和不变. 2,加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变. 3,乘法交换律：两数相乘,交换因数的位置,积不变. 4,乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变. 5,乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变. 如：（2+4）×5=2×5+4×5 6,除法的性质：在除法里,被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数,商不变. 0除以任何不是0的数都得0. 简便乘法：被乘数,乘数末尾有0的乘法,可以先把0前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾. 7,什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式. 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数,等式仍然成立. 8,什么叫方程式答：含有未知数的等式叫方程式. 9, 什么叫一元一次方程式答：含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式. 学会一元一次方程式的例法及计算.即例出代有χ的算式并计算. 10,分数：把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数. 11,分数的加减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减. 12,分数大小的比较：同分
母的分数相比较,分子大的大,分子小的小. 异分母的分数相比较,先通分然后再比较；若分子相同,分母大的反而小. 13,分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变. 14,分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母. 15,分数除以整数（0除外）,等于分数乘以这个整数的倒数. 16,真分数：分子比分母小的分数叫做真分数. 17,假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1. 18,带分数：把假分数写成整数和真分数的形式, 叫做带分数. 19,分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外）,分数的大小不变. 20,一个数 除以分数,等于这个数乘以分数的倒数. 21,甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘以乙数的倒数. 分数的加,减法则：同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减. 分数的乘法则：用分子的积做分子,用分母的积做分母. 22,什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比.如：2÷5或3：6或13 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外）,比值不变. 23,什么叫比例：表 示两个比相等的式子叫做比例.如3：6=9：18 24,比例的基 本性质：在比例里,两外项之积等于两内项之积. 25,解比例：求比例中的未知项,叫做解比例.如3：χ=9：18 26,正比例：两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定,这两种量就叫做成正比
小学数学知识点大全 第一章数和数的运算 一、概念 （一）整数 1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 6、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 7、一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 ⑴ ⑵⑶四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。 8、整数大小的比较：位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。以此类推。 （二）小数 1、小数的意义 把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。如1/10记作0.1,7/100记作0.07。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。 小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数位，就叫做几位小数。如0.36是两位小数，3.066是三位小数 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 2、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 3、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 4、比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……