五年级奥数测试卷
一、填空
1、在不大于100的自然数中，被13 除后商和余数相同的数有多少个，分别是( )。答：14 的倍数都可以。有8 个。0 ，14，28，42，56，70，84，98
2、a、b 是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a 与b 的和可以
有( )种不同的值。
答：不妨设A>B
72 的约数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。共12 个
72=2*2*2*3*3
当A=72 时，有11 种B；
当A=36 时，有2 种B；8、24
当A=24 时，有2 种B；9、18
当A=18 时，有1 种B；8
当A=12 时，无；
当A=9 时，有1 种B；8
共计11+2+2+1+仁17种，所以有17种A+B的值。
这类题的解法是：
1. 找出这个最小公倍数的所有因数，用这个最小公倍数与这些因数组合(除它本身外) 。
2. 在这些因数中找出不是倍数关系且积不小于这个最小公倍数的两个数的所有组合，去除最
小公倍数不是72 的组合。
3. 把1 和2 找出的组数个数相加即可。如本题的个数即为11+7=18 个
3、有一个七层塔，每一层所点灯的盏数都等于上一层的 2 倍，一共点了381 盏灯。
求顶层点了( )盏灯。
答：因为381 是一个奇数，而每一层都是上一层的 2 倍，所以顶层一定是一个奇数，如果顶层是 1 盏灯，那么1+2+4+8+16+32+64不够，顶层是 3 盏的话，3+6+12+24+48+96+192=381.
4、有这样一个百层球垛，这个球垛第一层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有
6个小球，第四层有10个小球，第五层有15个小球，……第一百层有( )个小球。
这一百层共有( )个小球。
答：第一层：1；第二层：3；第三层：6；第四层：10；第五层：15 规律：第一层：1；第二层：1+2=3；第三层：1+2+3=6；第四层：1+2+3+4=10；第五层：1+2+3+4+5=15 根据等差数列公式：
Sn=(a1+an) x n/2
第100 层小球个数：1+2+3+??…+100=(1+100) x 100/2=5050
100 层共有小球个数：1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+ ......+(1+2+3+ (100)
=1x (1+1)/2+2 x (2+1)/2+3 x (3+1)/2+ …… +100x (100+1)/2
=1/2x [(1+12)+(2+22)+(3+32)+ …… +(100+1002)]
=1/2 X [(1+2+3+ ……+100)+(12+22+32+……+1002)]
=100x (100+1) x (100+2)/6 =171700
证明过程：根据(n+1)3=n3+3n2+3n+1,得(n+1)3 - n3=3n2+3n+1.
n3-( n- 1)3=3( n-1)2+3( n-1)+1
33- 23=3X 22+3X 2+1
23- 13=3X 12+3X 1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)3 -1=3(12+22+32+....+n2)+3(1+2+3+...+n)+n XI
n3+3n2+3n+1 -1- n=3(12+22+32+....+n2)+ 3(1+2+3+...+n)
(n 3+3 n2+2 n)/3=(12+22+32+....+n2)+(1+2+3+...+n)
所以：(12+22+32+....+n2)+(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)/3
5、一本书的页码由7641个数码组成，这本书共有( )页。
答：这本书的页数是四位数，1?999共用2889个数码，(7641 —2889)+ 4=1188,因四位
数是从1000开始的，所以页数为999 + 1188= 2187
6、某校举行体育达标测评，分两试进行，初试达标人数比未达标人数的3倍多14人, 复试达标人数增加33人，正好是未达标人数的5倍，问有（）人参加了达标测评。
答：设初试未达标人数为X则3x+14+33=5*（x-33）解得x=106
总人数3x+14+x=438
7、10块的巧克力，小明每天至少吃一块，直至吃完，问共有（）种不同的吃巧克力的方案。
答：这个问题属于排列组合问题，用插板法，把十块巧克力排成一排，中间有9各空当。如果10天吃完，就用9个板插入9个空档，即C9/9,如果9天吃完，就用8个板插入9个空档，即
C8/9,依此类推，如果2天吃完，就用1个板插入9个空档，即C1/9,如果1天吃完, 就用0个板插入9个空档，即C0/9,结果为（C9/9+C8/9+C7/9...+C0/9）=2A9=512 种方案。
另答：设X为几块巧克力，则就是2的（X-1 ）次方。
8、小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有（）种不同登法。答：因为每次登2级或3级，所以登1级的方法数是0，登2级和3级的方法数都是1,登4级的方法数是登1级与登2级的方法数之和，即0+仁1.依此类推，登n级的方法数是登（n-3）级与登（n-2）级的方法数之和。所以这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是它
前面第3个数与前面第2个数之和。登完15级台阶共有28种不同取法。具体表格如下：
二、解答题：
1、某校五年级有两个班，每班的人数都是小于50的整十数。期末数学考试两个班的
总平均分为78分，其中一班平均82分，二班平均75分。一班和二班各有多少人？解答：解设一班
有X 人，二班有Y 人。
则82X+75Y=78 （X+Y），解得4X=3Y 。
而每班的人数都是小于50的整十数，所以X=30 ，Y=40 。
2、数1447、1005、1231有一些共同特征,每个数都是以1开头的四位数, 且每个数中恰好有两个数字相同, 这样的数共有多少个?
答：①恰是数字1出现了2次。那么末3位数字1的位置有3种。剩余的两位中9选2 的排列有
9*8=72 种，共9*8*3 = 216 种；
②不是数字1出现了2次。那么再选一重复出现的数字A、一不重复出现的数字B的种类=
9*8 = 72，三个数A A、B的排序种数=3 【AAB ABA BA/】，共有72*3 = 216 种综上，共有216 + 216 = 432 种
3、甲在南北路上，由南向北行进；已在东西路上，由西向东行进。甲出发的地点在两条路交叉点南 1 1 20米，乙从交叉点出发，两人同时开始行进， 4 分钟后，甲乙两人所在的位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南），在经过52 分钟后，两人所在的位置又距交叉点等远（这时甲在交叉点北）。求甲、乙二人的速度。
解：设甲速为X,乙速为Y。贝U 1120-4X = 4Y; 56X-1120 = 56Y
解得：X= 150米/分钟，Y= 130米/分钟
所以，甲 1 分钟走150 米。乙1 分钟走130 米。
奥数网五年级暑期班招生测试卷
一、填空：（每小题 6 分，共84 分）
1. 333 X 332332333 —332 X 333333332= _______ 。
333X 332332333—332X 333333332 =333X（332332332+1）-332X（333333333—1）
=333X332332332+333X1—（332X—332X1）=333X 332332332+333—332X 333333333+332
=333X 332X 1001001+333—332X 333X 1001001+332=665
2. 小明带20 元去文具店买作业本，他买了5 个小练习本和2 个大练习本后，剩下的
钱若买 3 个小练习本还多8 角，若买 3 个大练习本还差 1 元。每个大练习本_________ 元。
答：大的 2.4 元，小的 1.8 元
解：设大的x 元，小的y 元贝有2x+8y=19.2 ; 5x+5y=21
联立解方程组x=2.4 ，y=1.8
3. 甲、乙、丙三人外出参观。午餐时，甲带有4包点心，乙带有3包点心，丙带有7
元钱却没有买到食物，他们决定把甲、乙二人的点心平均分成三份食用，由丙把7元钱还
给甲和乙，那么甲应分得 ______ 元。
答：每包7十【（4+3）+ 3] =3元；甲分3X4 -7=5元；乙分3X3 -7=2元。
4. 3042 乘以一个自然数A，乘积是一个整数的平方，那么A最小是（）。
答：A=2 了因为3024=132 32 2所以3024只须乘以2就可变成78的平方。
练习：3465乘以一个自然数a,乘积是一个整数的平方，那么a最小是多少
答：3465 = 32 5 7 11，所以如果3465a是平方数，则a最小是5*7*11 = 385
4. 6枚壹分硬币叠在一起与5枚贰分硬币一样高，4枚壹分硬币与3枚伍分硬币一样高。如果用壹分、贰分、伍分硬币叠成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了155
枚硬币，这些硬币的币值为元。
答：解：设壹分硬币X枚。155=X+（5X/6）+（3X/4）解得X=60 所以贰分硬币有
60*（5/6）=50 枚伍分硬币有60*（3/4）=45 枚60+2*50+45*5=385 （分）=3.85 （元）另答：解，设每个一分高为A、二分的高B、为五分的为G 得6A=5B 4A=3C则连接两式，很12A=10B=9C，三堆硬币一样高的话，个数比为12:10:9，所以（12+10+9）N=155，N=5。所以一分的有60个，二分的有50个，五分的有45个，得，钱数=60*1+50*2+45*3=385分=3.85 元。
5. 如图，一个长方形由4个小长方形A、B C D组成，其中A、B、C面积分别为
16、12、24，D 的面积是（32 ）。
答：有规律，交叉相乘，A X C=BX D,所以16 X 24=12X（）,（）里填32.
6. 某人在公共汽车上发现一个小偷向反方向步行，10秒钟后他下去追小偷，如其速
度比小偷快一倍，比汽车慢4/5，则追上小偷要______ 秒。
答：s是距离，小偷速度=x米/秒，人速度=2x米/秒；车速度=10x米/秒人在车上和小偷反向走，他下车时与小偷相距10* （X+10X）=110x米
他追小偷，速度差是x,所用时间=110x/x=110秒。
7. 在1 , 2, 3，…,1999 , 2000, 2001, 2002这2002个数中，至多能选出.个数, 使得所选出的数中，任意3个数的和都是3的倍数。
解：在2002个数字中，可分为3种类型：a、被3整数；b、被3除余1; c、被3除余2;很显然，任意3个a、任意3个b或者任意3个c类的数字之和都可以被3整除题目转换为求2002个数字中，a、b、c三类数字是哪种类型最多。由于2002被3除余1,
所以是b类最多，个数=2001/3+1=668 ;最多能选出668个这样的数字（选出的数字是1,4,7,10,13 ,……,1999,2002 ）
8.六位同学数学考试平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分99
分，最低分76分，那么，按分数从高到低的顺序，第三位同学至少得_____________ 分。
答：6人总分92.5 X 6=555分，让头两人和76分者分数尽量高，这三人就是99分，98分，76分，555减（99+98+76）=282分，282分平分为3份，一份282除以3=94，三人分数不同，第五名最多93分，因此第三名最少95分。
算式：92.5 X 6=555 （分）;555- （99+98+76）=282 （分）；282-3=94 （分）;
94-仁93 （分）；282-94-93=95 （分）
另答：设第3名得x分,第2名至多的98分，第4名至多得x-1分，第5名至多得x-2分，76+(x-
2)+(x- 1)+x+98+99》92.5*6=555,
3x>285,即x> 95.所以第三名至少得95分.
9. 一个自然数被7, 8, 9除的余数分别为1 , 2, 3,并且三个商数的和是570,这个
自然数是 ____ 。
答：设这个数是X，则有①X- 7=A...1=== > X=7A+1 ;
②X- 8=B...2=== > X=8B+2 ③X- 9=C...3=== > X=9C+3
??? 7A+1=8B+2=9C+3 A+B+C=570 ; A= (8B+1)/ 7 ; C= ( 8B-1 )/ 9
??? A+B+C=B+( 8B+1)/ 7+ ( 8B-1)/ 9=570 解得B=188, ? X=8X 188+2=1506 另答：设三个商数为x、y、z,贝U 7x+1=8y+2=9z+3。所以x=(8y+1)/7,z=(8y-1)/9 所以
((8y+1)/7)+((8y-1)/9)+y=570 ;化简求出y=188 ;贝9 x=215, z=167
这个自然数为188*8+2=1506
另答：“被7.8.9除,除得的余数分别为1.2.3, ”也就是都差6,就是说这个数+6后就能整除7, 8, 9。所以这个数可以写成504k-6 ( 504是7, 8, 9的最小公倍数，k是大于0的自然数)，这个数除以乙8, 9的商分别是72k-1 , 63k-1 , 56k-1。他们的和191k-3 = 570,所以k= 3，那么这个数是504*3-6 = 1506。
另答：7-1 = 6; 8-2 = 6; 9-3 = 6;「7, 8, 9」=504 ; 504-6=498 ; 498+504+504=1506
练习：一具自然数被3、4、5除，余数分别是2、3、4，并且三个商数的和是138，这个自
然数是多少？
答：把这个自然数加1,得到a，那么a被3、4、5除，余数是0，且三个商数的和是138+3=141; 三个商数的和是141,即卩a/3+a/4+a/5=141 ,解得a=180;所以这个数是180-仁179 。
10. 如右图，M N分别是ABCD两边上的中点，△ DMN勺面积是9平方厘米，那么
ABCD勺面积是 ________ 。A _____ M 答：把平行四边形平均分成8份，则△ DMA的面积占2份，△ DNC占2份，△ BMh占1份，剩下的里面的厶DMN占3份，因此9- 3=3(平方厘米)，3X 8=24 平方厘米。
11. 有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的
年龄之和是202。这群孩子至少有________ 人。
解：1、每个孩子岁数越大则总人数最少
2、任意5个之和小于50，说明顶多有4人年龄为10岁
3、总和202-4*10=162 岁
4、余下的162岁中每个人都小于10岁，最大为9岁时总人数最少，整好162能被9整除, 162/9=18
5、所以至少有18+4=22人
12. 某同学把他喜爱的书按次序编号为1、2、3、…，所有编号之和是100的倍数且小
于1000,则他编号的最大数是 ________ 。
答：如果是所有编号之和是100的倍数且小于1000那设编号为n,编号和
1+2+3+4+.....+n=n*(n+1)/2; 要和为100的倍数,则n*(n+1)/200 要为整数,而且通过和小
于1000 这个条件,n*(n+1)/2<1000, 可以求出n<44;;; 根据n*(n+1)/200 可以被整
除,n*(n+1) 应含有2*2*2*5*5, n 和n+1 不可能同时被 5 整除~所以n 或者n+1 必定有一个是5*5即25的倍数，而*44,所以~得n=24,n+仁25;所以最大编号为24。
另答：求和公式=(首项+末项) *项数/2 即(1+24)*24/2=300 ，
小于1000的100 的倍数有9 个，又因为末项=项数首项=1 所以末项的个位数必须是 4.5.6 这样所得到的积才有可能被100 整除
另答：1+2+ ... +n=n*(n+1)/2=k*100 因为k 取9，8,7,6,5,4 无解；而k=3，n=24
13. 某校2001 年的学生人数是一个完全平方数，2002 年的学生人数比上一年多101 人，这个数字也是一个完全平方数。该校2002 年的学生人数是_______________ 。
解：某校2001 年的学生人数是个完全平方数，设为a2；2002 年的学生人数设为b2??? b2=a2+101 即b2-a2=101 即(b+a)(b- a)=101=1x 101
???{ a+b=101 且b-a=1 解得a=50,b=51 所以b2=512=2601
该校2002 年的学生人数是2601。
二、解答题(写清解答过程，每题8分，共16分)
1. 学校举行计算机汉字输入技能竞赛，原计划评选出一等奖15 人，二等奖20 人。
现将一等奖中的后5人调整为二等奖，这样一等奖获得者的平均速度每分钟提高了8个字，二等奖获得者的平均速度每分钟提高了6个字。问：原来一等奖的平均速度比原来二等奖的平均速度每分钟多多少个字？
答：设一等奖原来每人打X 个字，二等奖原来每人打Y 个字，那么根据题意
X*15+Y*20=(X+8)*10+(Y+6)*25
括号展开，左右移项得5*X-5*Y=230 解得X-Y=46 所以答案是46 个。
2. 甲、乙二人从相距60 千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1 千米/ 时，那么相遇地点距前一次相遇地点 1 千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？本题考点：简单的行程问题．
分析：甲、乙二人从相距60 千米的两地同时相向而行， 6 时后相遇，那么两人的速度和为：60+ 6=10 (千米)，速度各增加1千米后的速度和为10+2=12 (千米)，则增速后相遇的时间为：60+ 12=5 (小时).由此可设甲速度为每小时x千米，那么增速前相遇地距甲为6x千米, 增速后相遇地距甲是 5 ( x+1)千米，据题可行方程：6x-5 (x+1) =1.(因为本题没有说明
谁的速度快，同理也可设乙的速度为x)．
解答：解：甲、乙增速后相遇时间为：60+(60+6+2) =60+12=5 (小时) ；
设甲速度为每小时x 千米，据题得：6x-5 ( x+1 ) =1 即x-5=1 解得x=6；则乙的速度为：60+6-6=4(千米)；
(因为本题没有说明谁的速度快，同理也可设乙的速度为x,则乙的速度为6千米，甲的速
度为 4 千米)，故答案为：6千米、 4 千米，或4千米、6千米.
点评：本题关健是通过所给条件找出等量关系列方程解决比较简单.
另答：速度和：60/6=10；60/12=5 小时
6：4=36：24 且7：5=35：25；或4：6=24：36 且5：7=25：35；所以V甲=6千米/小时或4千米/小时