导数公式
一、基本初等函数的导数公式
已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1
x ；(5)y ＝f (x )＝x .
问题：上述函数的导数是什么？
提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝0.
2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)? ????
1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x
. 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？
提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1
2
)′＝12x
112
－＝
12x
，∴(x α)′＝αx α－1.
基本初等函数的导数公式
二、导数运算法则
已知f (x )＝x ，g (x )＝1
x .
问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？
问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1
x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1
x ＋Δx －? ?
???x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )
， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ??
????1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1
x 2.
问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？ 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则
1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )
2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )
3.??????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)
题型一 利用导数公式直接求导
[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2
1log =；
(4)y ＝4
x 3；(5)12cos 2sin 2
-??? ??
+=x x y .
[解]
(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝
1
x ln 10；
(3)y ′＝
1
x ln 12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝344x ；(5)∵y ＝? ?
???sin x 2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2
x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
练习 求下列函数的导数：
(1)y ＝? ????1e x ；(2)y ＝? ????110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)y ′＝??
????? ????1e x ′＝? ????1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x ；(2)y ′＝??????? ????110x ′＝? ????110x ln 1
10＝－ln 10
10
x ＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3
x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .
题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 [例2] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin
x 2cos x 2；(3)y ＝x 2
＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.
[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－1
2cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1
x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′
(e x －1)2
＝
e x (e x －1)－(e x ＋1)e x
(e x －1)2
＝
－2e x
(e x －1)2
.
练习 求下列函数的导数：
(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1
x 2.
解：(1)y ′＝? ????cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2
.
(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋
12x .
(3)∵y ＝(1＋x )21－x
＋
(1－x )21－x
＝2＋2x
1－x ＝41－x －2，∴y ′＝? ??
??
41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2
＝
4
(1－x )2
.
(4)y ′＝? ????lg x －1x 2′＝(lg x )′－? ????1x 2′＝1x ln 10＋2x 3.
题型三 导数几何意义的应用
[例3] (1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．
[解析] (1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，
∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.
(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0 (2)(2,1)
练习 若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.
解析：f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，
∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：1
1.切线方程的求法
[典例]已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解]由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，
且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－1)，
即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.
一、已知斜率，求切线方程．
此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．
例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．
解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
二、已知过曲线上一点，求切线方程．
过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．
例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解：设切点坐标为(x0，y0)，
因为f′(x)＝3x2－2，
所以f′(x0)＝3x20－2，且y0＝f(x0)＝x30－2x0.
所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
课时授课计划
教师活动 教学过程： 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年) 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题
导数公式 一、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1 x ；(5)y ＝f (x )＝x . 问题：上述函数的导数是什么？ 提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)? ???? 1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x . 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1 2 )′＝12x 112 －＝ 12x ，∴(x α)′＝αx α－1. 基本初等函数的导数公式
二、导数运算法则 已知f (x )＝x ，g (x )＝1 x . 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1 x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1 x ＋Δx －? ? ???x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx ) ， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ?? ????1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1 x 2. 问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？ 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 3.??????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 题型一 利用导数公式直接求导 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2 1log =； (4)y ＝4 x 3；(5)12cos 2sin 2 -??? ?? +=x x y . [解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝ 1 x ln 10；
常见导数公式： ① C'=0(C为常数函数)； ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)； ③ (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx ⑤ (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 另外就是复合函数的求导： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解， (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) 1、x→0，sin(x)／x →1 2、x→0，（1 + x）^（1／x）→e x→∞ ，（1 + 1／x）^（1/x）→ 1 （其中e≈2.7182818... 是一个无理数）
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23 =0 （ （6）y x 5=
（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，） （6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）
、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1) y = f(x) = c ； (2) y = f(x) = x ； (3) y = f(x) = x 2 ；⑷ y = 1 f(x)二x ； (5) y 二f(x)二：'x. 1 提示：：(2)( x)'二 1 ? x 1 —1 , (3)(x 2 )'二 2 ? x 2— 1 , (5)( x)z 二(x 2 ) 1_ -1 1 2 -2x 1 a a — 1 基本初等函数的导数公式 提示：(1) V △ y f x +△ —f △ x — △ x 0. 2)( x)'二 1, 3( x 2 ) '=2x , 1 ⑷x 函数 ⑵(3)(5) 均可表示为y = a , x ( a x c — c , △ y —=U = °，二y =吹不 ，一 1 (5)( &)衣 € Q *)的形式，其导数有何规 律? 问题：上述函数的导数是什么?
、导数运算法则 1 已知 f(x) = X , g(x)=-. 入 问题1： f(x), g(x)的导数分别是什么? 问题2：试求Q(x) = x + -, H(x) = x — 1的导数. x x 提示： 1 1 —A x ???△ y = (x +A x) + X +A x — x + x =A x + x x +A x , fx 二 1 - x x +A x ， ?- Q (X)二吹0 lx 二吹0 =1 —1 同理 H'(x) = 1+1 x / X 问题3: qx), H(x)的导数与f(x), g(x)的导数有何关系? 提示：Q(x)的导数等于f(x), g(x)导数的和，H(x)的导数等于f (x), g(x)导数的差. 1 x x +A x
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（两课时） 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 3.复合函数的分解，求复合函数的导数. 一、预习与反馈（预习教材P 14~ P 19，找出疑惑之处） 复习1：常见函数的导数公式： (1) '____C =(C 为常数)；(2)()'________n x =, n ∈N +；(3)(sin )'_______x =； (4)(cos )'_______x =; (5)()'________x e =; (6)()'_________x a =; (7)(ln )'______x =; (8) e x x a a log 1)'(log = 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2 ）y = （3）21y x = （4 ）y = 新知 1.可导函数的四则运算法则 法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 [()()]____________u x v x '=. (口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3 ()[]_______________(()0)() u x v x v x '=≠(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x =-++导数. 变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数： （1）32log y x x =+； （2）n x y x e = （3）y=2e -x 2. 复合函数： 1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+； （2）1x y e -+=； （3）sin()y x π?=+
1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1 ； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
1.已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数,且5()(5),()'()02 f x f x x f x =--< 若1212,5x x x x <+<,则下列结论中正确的是 （ ） A ．12()()f x f x < B ．12()()f x f x > C ．12()()0f x f x +
基本函数求导公式
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(0 0y x P 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(0 =y x F ，, ),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(0 y x 的某一邻域内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件) (00 x f y =，并有 y x F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求 导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 ))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F 由于y F 连续，且0),(0 ≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个
§122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (两课时) 学习目标 1. 理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数; 2. 理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3. 复合函数的分解，求复合函数的导数 . 一、预习与反馈(预习教材P l4~ P l9，找出疑惑之处) 复习1：常见函数的导数公式： cosx)' ________ ; (5) (e x )' ________ ； ⑹(a x )' 1 ⑺(l nx)' ________ ; (8) (log a x)' log a e x 复习2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 新知 1. 可导函数的四则运算法则 法则1 [u(x) v(x)]' ______________ . ( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2 [u(x)v(x)] ____________ . ( 口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号 ) 法则3 [凹] __________________ ( v(x) 0)( 口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下 v(x) (1) C' _______ (C 为常数)；(2) (x n )' n € N +; (3) (sin x)' ______ 6 (1)y x (2) y - x
导上不导，中间是负号) 1 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 y x 3 2x 丄3导数. x 变式：(1) y log 2x ； 例2求下列函数的导数: (1) y x 3 log 2 x ； 2. 复合函数： 1. 定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和u g(x)如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数， 那么这个函数为函数 _________ 和 ______________ 的复合函数，记住 _____________________ 2. 复合函数的求导法则 复合函数y f(g(x))的导数和函数y =f (u )， u g(x)的导数间的关系式 为 ________________ ，即y 对x 的导数等于 _________________ 的乘积。 例。3求下列函数的导数： 2 x 1 (1) y (2x 3) ； ( 2) y e ； (3) y sin( x ) x (2) y 2e ； (3) y 2x 5 3x 2 5x 4； (4) y 3cosx 4sin x (3)y=2e -x
§4 导数的四则运算法则 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2 g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 /x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果 )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函 数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
基本导数公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '= 微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x = ⑿()1log ln x a d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x = + ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 微分运算法则 ⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v -??= ??? 基本积分公式 ⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ μ+=++? ⑶ln dx x c x =+? ⑷ln x x a a dx c a =+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻ 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++?
常用的基本求导公式 Revised by Petrel at 2021
1．基本求导公式 ⑴0)(='C （C 为常数）⑵1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，2 1 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则⑴四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1）?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2）C x dx x +=?||ln 1；C e dx e x x +=?；)1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 6、线性代数 特殊矩阵的概念
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一．教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 二．教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 三．教学过程： （一）．创设情景 复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 、y = 用 （二）．新课讲授 1（1）基本初等函数的导数公式表
（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2x y = （2）3x y =与3log y x = 2.（1 推论：[]' '()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）sin y x x =?；（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）4 x x y =； 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的． ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 四．典例精讲 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln 1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln 1.050.08p =≈（元/年）
四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(=' C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arc cot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u ' ±'='±)( （2） u C Cu ' =')(（C 是常数） （3） v u v u uv ' +'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间 y I 内可导、单调且 0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，21 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(
基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x = ⑿()1log ln x a d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x dx = ⒂()21arctan 1d x dx x = + ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 微分运算法则 ⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udv d v v -??= ??? 基本积分公式 ⑴kdx kx c =+? ⑵11x x dx c μμ μ+=++? ⑶ln dx x c x =+? ⑷ln x x a a dx c a =+? ⑸x x e dx e c =+? ⑹cos sin xdx x c =+? ⑺sin cos xdx x c =-+? ⑻ 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+?? ⑽21arctan 1dx x c x =++?
１.基本求导公式 ⑴ (Ｃ为常数)⑵ ;一般地,。 特别地:,,,。 ⑶ ;一般地,、 ⑷ ;一般地,。 2。求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (ｘ),g (x )均在点ｘ可导,则有:(Ⅰ); (Ⅱ),特别(C 为常数); (Ⅲ),特别。 3.微分 函数在点x 处得微分: 常用得不定积分公式 (1) ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (２) ; ; ; (3)(k 为常数) 5、定积分 ⑴ ⑵ 分部积分法 设u (x ),v (ｘ)在［a ,b ]上具有连续导数,则 6、线性代数
特殊矩阵得概念 (1)、零矩阵(２)、单位矩阵二阶 (3)、对角矩阵(4)、对称矩阵 (5)、上三角形矩阵下三角形矩阵 (6)、矩阵转置转置后 ６、矩阵运算 7、MＡTLAＢ软件计算题 例6试写出用MＡTLAB软件求函数得二阶导数得命令语句。解:〉〉ｃlｅａr; 〉>syms x ｙ; 〉〉ｙ=loｇ(sqｒt(x＋x＾2)+eｘp(x)); >>dy=diｆf(ｙ,2) 例:试写出用MＡTLAB软件求函数得一阶导数得命令语句。>＞ｃleaｒ; 〉〉sｙms ｘy; 〉>y＝log(sqrt(ｘ)+exp(x)); 〉〉ｄｙ＝ｄiff(y) 例１1 试写出用MAＴLＡB软件计算定积分得命令语句。解:>＞cleａr; ＞>syms x y; >〉y=(1/ｘ)＊exp(ｘ^3);
>〉int(y,1,２) 例试写出用MATＬAＢ软件计算定积分得命令语句。 解:〉>cｌeａr; ＞>syｍs ｘｙ; >>ｙ＝(1/x)*exp(x^3); >＞iｎt(ｙ) MATLAB软件得函数命令 表1ＭATLAB软件中得函数命令 运算符号 典型例题 例１设某物资要从产地A１,A2,Ａ3调往销地B１,B2,B3,B4,运输平衡表(单位:吨)与运价表(单位:百元/吨)如下表所示: 运输平衡表与运价表
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程: 1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^2 12.y=arccotx y'=-1/1+x^2 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f*g(x)+,y'=f'*g(x)+?g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2 3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0
⊿y/⊿x=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=a^x, ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x 如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。 所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4.y=logax ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x 因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有 lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。