2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二考试大纲

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学78％线性代数22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：和．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。

2010年数二考研大纲2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 78％线性代数 22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间«Skip Record If...»内，设函数«Skip Record If...»具有二阶导数．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»的图形是凹的；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：«Skip Record If...»和 «Skip Record If...»．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解«Skip Record If...»维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性精品资料考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案与解析一、填空题（本题5小题，每小题3分，满分15分。

把答案填在题中横线上。

） （1）曲线sin 2,cos x e t y e t'=⎧⎨'=⎩在点()0,1处的法线方程为___________。

【思路点拔】本题的考点是曲线的法线方程。

欲求曲线的法线方程，需先求曲线法线斜率，即与曲线方程的一阶导数值乘积为-1的数，然后由直线的点斜式即可求曲线的法线方程。

【解题分析】cos sin sin 22cos 2x y t t ty x t t t'-'=='+。

()(),0,1x y =对应0t =，012xt y ='=，所求法线方程为12y x -=-。

即21x y +=。

（2）设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+确定，则x dy dx==_________。

【思路点拔】本题的考点是隐函数求导。

隐函数求导有两种方法：解法一，直接求导法；解法二，利和我函数的求导公式求解。

【解题分析】解法一：方程两边对x 求导得32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。

以0x =代入原方程得ln 0y =，1y =；以0x =，1y =代入32223cos x y x y x y x x y'+'=+++。

得01x y ='=。

解法二：令()()23ln sin F x y x y x y x ⋅=+--22123sin Fx x x y x x y=⋅--+ 321Fy x x y=-+ dy Fxdx Fy=()()()2223223cos 1x x y x y x x y x x y -+-+=--+由题意：0x =时，1y =∴1x dy dx==。

（3）25613x dx x x +=-+⎰______________。

2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 分析、详解和评注考研数学专家 曹显兵、刘喜波教授 解答分析解答所用参考资料：曹显兵（线代、概率部分）与刘喜波（高数部分）的授课讲稿， 黄先开、曹显兵与刘喜波主编的参考书：1.《2010 考研数学经典讲义》，简称经典讲义(人大 社出版). 2.《2010 考研数学最新精选 600 题》，简称 600 题. 3.《2010 考研数学经典冲刺 5 套 卷》，简称冲刺卷.一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项．．．指定位置上. 2x − x 1 (1) 函数 f ( x ) = 1 + 的无穷间断点数为 22 x − 1x(A) 0.(B)1.(C) 2.(D) 3.【】【答案】 应选(B).【分析】 间断点为 ，计算各点处的极限以判断间断点的类型 x = 0, ±12 x − x 1 【详解】 f ( x) = 1 + 有间断点 x = 0, ±1 . 又 2 2 x − 1 xx ( x − 1) 1 x 1f ( x ) =1 + = 1 +2 2( x + 1)( x − 1) x x + 1 x1 1因为 lim x 1 + = 1, lim = x 1 + = − 1 ，所以 x = 0 为跳跃间断点. +2 −2 x → 0x x → 0 x1 2 又 lim f ( x) = 1 + 1 = ，所以 x = 1 为可去间断点，且 x → 12 2x 1lim f ( x ) = lim1 + = ∞ ，所以 x = −1 为无穷间断点，因而选择(B).2 x →− 1x →− 1 x + 1 x【评注】 x → 0 时的极限要考虑单侧极限.原题见《经典讲义》高等数学部分习题精选一解答题的第 10 题, 以及强化班讲义第一讲中 的例题 38.(2) 设y 1, y 2是一阶线性非齐次微分方程y ′ +p (x ) y = q (x )的两个特解. 若常数λ , μ 使 λ y 1 + μ y 2 是该方程的解, λ y 1 − μ y 2是对应的齐次方程的解, 则1 1 1 1(A) λ = , μ = (B) λ = − , μ = −2 2 2 2 2 12 2(C) λ = , μ =(D) λ = , μ =【 】3 33 3【答案】 应选(A) .【分析】 此题主要考察线性微分方程解的性质和结构 【详解】 因 λ y 1 − μ y 2 是方程y ′ +p (x ) y =0 的解, 所以 (λ y 1 − μ y 2)′ +p (x ) (λ y 1 − μ y 2) =0,即λ [y 1′ +p (x ) y 1 ] − μ [ y 2′ +p (x ) y 2 ] =0 . 由已知得(λ − μ ) q (x ) =0, 因为 q (x ) ≠0, 所以 λ − μ =0, 又 λ y + μ y 是非齐次y ′ +p (x ) y = q (x )的解,1 2 故(λ y 1 + μ y 2)′ +p (x ) (λ y 1 + μ y 2) = q (x ) . 即λ [y 1′ +p (x ) y 1 ] − μ [ y 2′ +p (x ) y 2 ] = q (x ) . 由已知得(λ + μ ) q (x ) = q (x ) . 因为 q (x ) ≠0, 所以 λ + μ =1 , 1 1 解得λ = , μ =2 2【评注】此题属反问题，题目构造较新颖.原题见《经典讲义》高等数学部分第十章解的性质和解的结构定理2(3) 曲线 y = x 与曲线 y = a ln x(a ≠ 0) a(A)4e (B)3e (C)2e (D)e 【】【答案】 应选(C).【分析】 利用导数的几何意义（切点处斜率相等）及两条曲线都经过切点.1 a 2【详解】因 y = x 与 y = a ln x (a ≠ 0) 相切，故 2 x = a ⋅ , 即x = x 22a aa 在 y = x 上 ， x =时 , y = ; 在 y = a ln x (a ≠ 0) 上 ， x = 时 ,2 2 2a 1 a a a ay = a ln= a ln = ln ，即 a = 2e . 所以选 (C).2 22 . 因此 2 2 2 原题见《经典讲义》高等数学部分第二章的例题 2.27, 以及强化班讲义第七讲中的例题 2.m2 1 ln ( 1 − x )(4) 设 m , n 是正整数, 则反常积分 dx 的收敛性： ∫ 0n x(A) 仅 m 与值有关. (B) 仅 n 与值有关. (C) 与 m , n 值都有关. (D) 与 m , n 值都无关.【 】【答案】 应选(D).1 【分析】 x = 0 、1 为瑕点，插入分点 ，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛 2散性.22 m21m m1ln ( 1 − x ) [ln ( 1 − x ) ] 1 [ln ( 1 − x ) ] 2【详解】dx = dx + dx = I + I ∫∫ 1 ∫ 1 1 1 2 0n 0x n 2nx x2m 2 1 [ln 1 − x ] − +( ) 2 1 m n对 I ， 当 x → 0 时， ~ x . 显然 − > − 1 ，由比较判别法知无论正整 1 1m nnx 数 m ,n 取何值, 反常积分 I 是收敛的. 12 2 1 mm[ln ( 1 − x ) ][ln ( 1 − x ) ] 2对 I ，lim (1 − x ) = lim 2 −1−1x → 1x → 1− n2x(1 − x )2 2 − 1 2 m − 1 − 1− [ln ( 1 − x ) ] (1 − x ) m 4[ln ( 1 − x ) ] m = lim = lim − 3 − 1 x → 1 1 − x → 1 − 2 2− (1 − x ) m (1 − x ) 22 2 − 2 2 m − 1 − 2 − 4( − 1)[ln ( 1 − x ) ] (1 − x ) m8(2 − m )[ln ( 1 − x ) ] m = lim = lim = 0 − 3 −1 x → 1 1− x → 1 − 2 2 2− m (1 − x ) m (1 − x ) 2由比较判别法知无论正整数 m ,n 取何值反常积分 I 是收敛的，因此应选(D).2 【评注】根据当年考试大纲的要求，此题属超纲范围.y z (5) 设函数z = z (x , y ) 由方程 F ( , ) = 0 确定, 其中F 为可微函数, 且f ′2≠0, 则x x∂ z ∂ zx + y = ___________ . ∂ x ∂ y(A) x .(B) z .(C) − x .(D) − z .【】【答案】 应选(B) .【分析】 利用公式直接求两个一阶偏导数.⎛ y ⎞ ⎛ z ⎞ y z F ′ − + F ′ − ′ ′ 1 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ F ⋅ + F ⋅ ′ 1 2 ∂ z F x x x⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x 【详解】因为= − = − = , ∂ x ′ 1 ′ F F z F ′ ⋅ 2 2x1 F ′ ⋅ F ′ 1 ′ ∂ z y F x 1= − = − = − ,∂ y ′ 1 ′ F F z F ′ ⋅ 2 2x∂ z ∂ z yF ′ + zF ′ yF ′ F ′ ⋅ z 1 2 1 2 所以 x + y =− = = z 因此应选(B).∂ x ∂ y ′ ′ ′ F F F 2 2 2∂ ∂ z y原题见《经典讲义》高等数学部分的第六章的例题 6.19, 以及强化班讲义第八讲中的 例题 8. n nn(6) lim= ∑ ∑ 2 2n →∞i = 1 j = 1( n + i)(n + j ) 1x 11x 1(A)dx dy(B) dxdy ∫ 0∫2 ∫∫ 0 (1 + x )( 1 + y ) ( 1 + x )( 1 + y )111111(C)dx dy(D) dxdy 【 】∫ ∫∫ ∫ 20 1 + x 1 + y 0( )() ( 1 + x )( 1 + y )【答案】 应选(D).【分析】 用二重积分（或定积分）的定义. 【详解】 因为n nn nn nlim = lim ∑ ∑ 2 2 ∑ ∑ n →∞ ( n + i )( n + j ) n →∞ i j i = 1 j = 1 i = 1 j = 1 2 2 n ( 1 + ) n [ 1 + ( ) ]n nn n1 1= lim ⋅ ∑ ∑ 2n →∞ i j i = 1 j = 12 n ( 1 + ) [ 1 + ( ) ]n n111= dx dy ,∫ 0 ∫0 2 ( 1 + x )( 1 + y )所以应选(D).【评注】1. 也可用定积分定义计算n nnn n 1 1 1 1lim = lim ( ⋅ ) ( ⋅ ) ∑ ∑ 2 2 ∑ ∑ n →∞ ( n + i )( n + j ) n →∞ i n j n i = 1 j = 1i = 1 j = 1 2 1 + 1 + ( ) n nnn 1 1 1 1= lim ( ⋅ ) lim ( ⋅ ) ∑ ∑ n →∞ i n n →∞ j n i = 1j = 1 21 + 1 + ( ) n n 11 1 1 1 1 1 = dx dy = dx dy ∫0 ∫ 0 2 ∫ 0 ∫ 0 2 1 + x 1 + y ( 1 + x )( 1 + y ) 2. 以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖.(7)设向量组I:α1,α2 , ⋅⋅⋅ , αr 可由向量组II: β1,β2 , ⋅⋅⋅ , βs 线性表示, 则列命题正确的是(A) 若向量组I线性无关, 则r≤s. (C) 若向量组II线性无关, 则r≤s. (B) 若向量组I线性相关, 则r > s. (D) 若向量组II线性相关, 则r > s. 【】【答案】应选(A) .【详解】因向量组I能由向量组II线性表示，所以r（I）≤r（II），即r (α1,α2 , ⋅⋅⋅ , αr）≤r (β1,β2 , ⋅⋅⋅ , βs)≤s ,若向量组I线性无关，则r(α1,α2 , ⋅⋅⋅ , αr )= r，所以r≤s . 故应选(A). 【评注】这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案. 原题见《经典讲义》线性代数部分的第三章§1中的推论3.5.(8)设A为4阶实对称矩阵, 且A2+A=O, 若A的秩为3, 则A与相似于⎡1⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥1 1(A) ⎢⎥(B) ⎢⎥⎢ 1 ⎥⎢−1⎥⎢⎥⎢⎥0 0⎣⎦⎣⎦⎡1⎤⎡−1⎤⎢⎥⎢⎥−1−1(C) ⎢⎥(D) ⎢⎥【】⎢−1⎥⎢−1⎥⎢⎥⎢⎥0 0⎣⎦⎣⎦【答案】应选(D) .【详解】设λ为A的特征值，由A2+A=O，知特征方程为λ2+λ=0，所以λ= − 1或0. 由于A 为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A ~Λ，r（A）= r（Λ）=3，因此⎡−1⎤⎢⎥−1A ~Λ= ⎢⎥，⎢−1⎥⎢⎥⎣⎦应选( D) .【评注】(1)若A可对角化，则r（A）=A的非零特征值的个数.(2)本题由A 2+A=O即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉.. 几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题5.30，5.39, 以及强化班第一讲中的例题8、冲刺辅导班讲义线性代数部分例题4.．．．指定位置上.(9) 3阶常系数线性齐次微分方程y′′′− 2 y′′+ y′− 2 y = 0 的通解为y =2 x【答案】应填y = C e + C cos x + C sin x1 2 3【分析】求特征方程的解，直接写出3阶常系数线性齐次微分方程的通解，属基础题型.3 2【详解】y′′′− 2 y′′+ y′− 2 y = 0 的特征方程为λ− 2λ+ λ− 2 = 0 ,2 即 ( λ − 2 ) λ + 1 = 0 ，解得 λ = 2, λ = ± i , 所以通解为 ( ) 12,3 2 xy = C e + C cos x + C sin x 1 2 3【评注】虽然此题是 3 阶微分方程，但是考试大纲明确要求会的内容.原题见《经典讲义》高等数学部分第十章的例题 10.13.3 2 x(10) 曲线 y = 的渐近线方程为 2x + 1【答案】 应填 y = 2 x【分析】曲线只有斜渐近线，直接计算即可.【详解】 函数的定义域是全体实数，于是不存在垂直渐近线. 又 lim y = ∞ ，故不存在水x →∞y 平渐近线，而lim = 2 ， lim( y − 2x ) = 0 ，所以曲线的斜渐近线为 y = 2 x x →∞ x x →∞【评注】求曲线的斜渐近线几乎每年均有考题，属基本题型.原题见《经典讲义》高等数学部分的第三章的例题 3.73, 以及强化班讲义第七讲中的例题 5.(11) 函数 y = ln (1 −2 x ) 在x = 0 处的 n 阶导数 y (n ) (0 ) = n【答案】 应填 − 2⋅ ( n − 1 ) ! 【分析】利用函数 y = ln (1 − x ) 的高阶导数公式. n n ( n − 1)! n【详解】 [ln (1 −2 x ] = − 2 . 令 x = 0 ，得所求 n 阶导数为 − 2 ⋅ ( n − 1 ) ! , n(1 − 2x )n故应填 − 2⋅ ( n − 1 ) ! 【评注】此题也可用 ln (1 − x ) 的麦克劳林展开式，比较系数得到结果. 原题见《经典讲义》高等数学部分第二章的例题 2.44， 以及强化班讲义第二讲中的例题 18.(12) 当 0≤ θ ≤ π 时, 对数螺线 r = e θ 的弧长为 ____________ .【答案】 应填 2 ( e π − 1 )【分析】直接用极坐标下的弧长计算公式.【详解】由弧长公式π π22π s = r ( θ ) + r ′ ( θ )d θ = 2e θd θ = 2 (e − 1)∫ ∫ 0故应填2 ( e π − 1 )原题见《经典讲义》高等数学部分第四章例题 4.102.(13) 已知一个长方形的长 l 以 2cm /s 的速率增加, 宽 w 以 3 cm /s 的速率增加, 则当 l =12cm ,w =5cm 时, 它的对角线增加的速率为 ____________ .【答案】 应填 3 c m / s 【分析】利用导数的物理意义.【详解】设 l = x (t ), w = y (t ) ，由题意知，在 t = t 时0 x ( t ) = 12, y (t ) = 5 ， 且 x ′ (t ) = 2, y ′ (t ) = 30 0 0 0 x (t ) x ′ (t ) + y (t ) y ′ (t )2 2又 S (t ) = x (t ) + y (t ) ，所以 S ′(t ) = ，22x (t ) + y (t )x ( t ) x ′ ( t ) + y ( t ) y ′ ( t ) 12 × 2 + 5 × 3 0 0 0 0因而S ′ ( t ) = = = 32 2 2 2 x ( t ) + y ( t ) 12 + 5 0 0(14) 设A , B 为 3 阶矩阵, 且| A |=3, | B |=2, |A −1+B |=2, 则 |A +B −1|= _______ . 【答案】 应填 3 .【分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质.【详解】由于 |A +B −1|=|(AB +E )B −1|=|(AB +AA −1)B −1|=|A (B +A −1)B −1|=| A |⋅|A −1+B |⋅|B −1|=3⋅2⋅2−1=3 因此应填 3 .【评注】 也可以由 |A |⋅|A −1+B | =| E +AB | =| A +B −1|⋅|B | 得 |A +B −1|=3. 类似的问题见《经典讲义》线代部分的例题 2.10.三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)2x 22 t 求函数 f (x )= ( x − t )e − dt 的单调区间与极值. ∫ 1 【分析】求变限积分f (x )的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间. 222x 2x 2x 22− t 2− t − t 【详解】f ( x ) = ( x − t ) e dt = xe dt − te dt ,∫ ∫∫ 11122x 244x 2− t 3 − x 3 − x − t f ′ ( x ) = 2dt + 2 x e− 2 x e= 2dt∫1∫1令 f ′( x) = 0 ，得 x = 0, x = ±1 因为当 x > 1 时， f ′( x ) > 0 ；当 0 < x < 1 时，f ′(x ) < 0 ； 当− 1 < x < 0 时， f ′( x ) > 0 ； x < −1f ′( x ) < 0所 以 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ( −∞, −1), (0,1) ; f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (− 1,0), (1, +∞) ; 极小值为 f (1) = f ( −1 ) = 0 ，极大值为121 2 1 − t − t − 1f (0) = (0 − t ) e dt = − e = (1 − e )∫ 1 2 20 【评注】也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型.原题见《经典讲义》高等数学部分第三章例题 3.69. (16) (本题满分 10 分)1n (I) 比较 | ln t | [ln(1 + t )] dt 与 t n | ln t | d t (n =1, 2, ⋅⋅⋅) 的大小, 说明理由;∫0 01nlim u n n →∞ t n | ln t| dt 再用夹逼定理求极限.【详解】(I) 当 0≤ t ≤1 时, 0≤ ln(1+ t ) ≤ t , 故 | ln t | [ ln(1+ t ) ] n ≤ | ln t | t n . 1n由积分性质得|ln t | [ln( 1 + t )] dt ≤ t n | ln t | dt (n =1, 2,⋅⋅⋅) .∫ 0 0 1 1 1 1 1 n n n + 1 1 n + 1 (II) t | ln t | d t = − t ⋅ ln t dt = − [ t ⋅ ln t | − t ⋅ dt ]∫ ∫ 0 ∫ 0 0 0 n + 1 t1 n + 1 11 = ⋅ t | =2 0 2( n + 1 ) ( n + 1 ) 1于是有0≤ u n ≤ , (n =1, 2, ⋅⋅⋅) , 2( n + 1 ) 1由夹逼定理得0≤ lim u ≤ lim =0, 故 lim u = 0 n 2n n →∞ n →∞ ( n + 1 ) n →∞ 【评注】若一题有多问，一定要充分利用前面提供的信息。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）曲线221x xy x +=-的渐近线条数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】应选（C ）.【详解】由2211lim lim 11x x x x xx x →→+==∞--，知曲线有1条垂直渐进线； 由22lim 11x x xx →∞+=-，知曲线有1条水平渐进线；曲线无斜渐近线. （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则(0)f '=（ ）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】应选（A ）. 【详解一】由导数定义，200()(0)(1)(2)()(0)lim limx x nx x x f x f e e e n f x x→→----'==L21lim(2)()(1)(1)!x nx n x e e n n -→=--=--L【详解二】由22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nxf x e e e n e e e n ''⎡⎤⎡⎤=--+---⎣⎦⎣⎦L L ，得1(0)(1)(1)!n f n -'=--（3）设()01,2,n a n >=L ，12n n S a a a =+++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分条件又非必要条件 【答案】应选（B ）.【详解】由{}n S 单调递增，若{}n S 有界，则{}n S 收敛，从而()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=.反过来若{}n a 收敛，推不出{}n S 有界，例如1n a =. （4）设2sin k x k I e xdx π=⎰，()1,2,3k =，则有（ ）（A ）123I I I << （B ）321I I I << （C ）231I I I << （D ）213I I I << 【答案】应选（D ）.【详解】210sin 0,xI e xdx π=>⎰()222222211sin sin sin sin x x x x I e xdx e xdx e xdx I exdx I ππππππ+==+=-<⎰⎰⎰⎰()()2222332321020sin sin sin sin x x x x I e xdx I e xdx I exdx exdxπππππππ++==+=-+⎰⎰⎰⎰()()222110sin x x I e exdx Iπππ++⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦⎰（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是（ ）（A ）1212,x x y y ><（B ）1212,x x y y >>（C ）1212,x x y y << （D ）1212,x x y y <> 【答案】应选（D ）. 【详解】由(,)0f x y x∂>∂，若12x x <，则1121(,)(,)f x y f x y <； 由(,)0f x y y∂<∂，若12y y >，则2122(,)(,)f x y f x y <，于是有1122(,)(,)f x y f x y <. （6）设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰（ ）（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】应选（D ）. 【详解】由奇偶性，得1arcsin 1151112(1)(1)(arcsin )22yDDx y dxdy dxdy dy dx y dy dy ππππ-----=-=-=-+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ） 123,,ααα （B ） 124,,ααα （C ） 134,,ααα （D ） 234,,ααα 【答案】应选（C ）.【详解一】由34500c αα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭与1α线性相关，知134,,ααα线性相关.【详解二】由13411110c c c --=，知134,,ααα线性相关. （8）设A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+，则 1Q AQ -=（ ） （A ） 100020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（B ）100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】应选（B ）. 【详解】由题设，()()1223123100,,,,110001Q ααααααα⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭从而111100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100100100100110010110010001002001002-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则0x y =''= .【答案】1【详解】代入0x =，得(0)0y =.等式两边同时对x 求导，得2y x y e y ''-=，(0)0y '=求二阶导，得22y y y e y e y '''''-=+，(0)1y ''=（10）2222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭L . 【答案】4π【详解】由积分定义，122222201111111lim lim 12141n n n i n dx n nn n n x i n π→∞→∞=⎛⎫+++===⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰L （11）设1(ln )z f x y =+，其中函数()f u 可微，则2z zx y x y∂∂+=∂∂ 【答案】0 【详解】()1z f u x x ∂'=⋅∂，()21z f u y y ⎛⎫∂'=- ⎪∂⎝⎭，所以20z zx y x y ∂∂+=∂∂（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足条件11x y ==的解为【答案】y =【详解】方程可整理为13dx x y dy y+=，将x 看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为()11313dy dy y y x e ye dy C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰.又(1)1y =，得特解y =（13）曲线()20y x x x =+<的点的坐标为 .【答案】（-1，0）【详解】21,2y x y '''=+=，代入曲率公式()3221y K y ''='+32221(21)x =⎡⎤++⎣⎦，解得1x =-或1x =.又0x <，故1,0x y =-=.（14）设A 为三阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则*BA =_________ 【答案】应填-27. 【详解】设12010100001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则12B E A =，从而3**1227BA E AA A ==-=-.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）已知函数()11sin x f x x x+=- 记()0lim x a f x →=（1）求a 的值；（2）当0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.【详解】（1）()3222200001sin sin 6lim lim lim 1lim 1sin x x x x xx x x x x x a f x x x x x →→→→+-+-====+=（2）方法一：利用泰勒公式()()3323212000166sin sin lim lim lim 0sin k k k x x x x x x x x x x o x f x x x x x x x x x x++→→→⎛⎫⎛⎫+----+ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭==≠解得1k =.方法二：利用等价无穷小量代换()()()21sin sin sin 1sin sin x x x x x x x x f x x x x x+-+---==当0x →时，()3211616xf x x x -=:，所以1k =.（16）求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值.【详解】令()2222222100x y x x y y f e x f xye+-+-⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩ 解得1,0,x y =⎧⎨=⎩ 1.0.x y =-⎧⎨=⎩()()22222223222123x y x y x y xxA f xe x xex x e+++---''==---=-()2222x y xyB f x y y e +-''==-()2222x y yyC f xy x e +-''==-代入（1，0），得122A e -=-，0B =，12C e-=-，从而20AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在（1，0）取得极大值，极大值为12e -；代入（-1，0），得122A e-=，0B =，12C e-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，0）取得极小值，极小值为12e--.（17）过（0，1）点作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【详解】设切点A 坐标为00(,ln )x x ，则切线斜率为01x ，切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，代入（0，1）点，解得20x e =，从而切线方程为211y x e=+，B 点坐标为2(,0)e -，所以 区域D 的面积2220(1)1y S e e y dy e ⎡⎤=--=-⎣⎦⎰. D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积22222211(1)(ln )e e e V x dx x dxeππ-=+-⎰⎰2222118ln |ln 3e e e x x xdx ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰()2228222233e e e ππππ=--=+ （18）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中区域D 为曲线1cos (0)r θθπ=+≤≤与极轴围成.【详解】利用极坐标变换，1cos 3401cos sin cos sin (1cos )4Dxyd d r dr d πθπσθθθθθθθ+==+⎰⎰⎰⎰⎰ 144011116cos (1cos )cos (1)4415d t t dt πθθθ-=-+=+=⎰⎰（19）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e '+=（1）求()f x 的表达式； （2）求曲线220()()xy f x f t dt =-⎰的拐点.【详解】（1）方法一：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，通解为212x x C e C e -+，代入()()2x f x f x e '+=，解得120,1C C ==，故 ()x f x e =.方法二：()()2()0f x f x f x '''+-=的特征方程为220r r +-=，特征根为121,2r r ==-，通解为212x x C e C e -+.又()()2x f x f x e '+=的通解为2()x x e e C -+，比较得()x f x e =.（2）方法一：()()2222x xx t y f xf t dt e e dt-=-=⎰⎰2212xxt y xe e dt-'=+⎰()2220224xxt y x x e e dt-''=++⎰()2223044128x xt y x x x e e dt-'''=+++⎰当且仅当0x =时，二阶导数等于零.又(0)40y '''=≠，所以（0，0）为曲线的拐点.方法二：()()2222x xx t y f xf t dt e e dt-=-=⎰⎰2212xxt y xe e dt-'=+⎰()2220224xxt y x x e e dt-''=++⎰当且仅当0x =时，二阶导数等于零；当0x >时，()0y x ''>；当0x <时，()0y x ''<； 所以（0，0）为曲线的拐点.（20）证明：21ln cos 1,12x x x x x ++≥+-(11)x -<< 【证明一】令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，则()00f =. 由()f x 为偶函数，只需证当01x <<时，()0f x >.()111lnsin 111x f x x x x x x x +⎛⎫'=++-- ⎪-+-⎝⎭，()00f '= ()()()2211112cos 11111f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫''=++-+-- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭+-⎝⎭()()222411cos 1111x x x x x ⎛⎫=+-+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭当01x <<时，2441x >-，()()2211011x x x ⎛⎫-+> ⎪ ⎪+-⎝⎭，cos 12x --≥-，从而 ()0f x ''>，于是()f x '单调递增，所以()()00f x f ''>=，因此()f x 单调递增，所以()()21ln cos 10012x x f x x x f x +=+-->=-，得证21lncos 1,(11)12x x x x x x ++≥+-<<- 【证明二】令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，则()00f =. 由()f x 为偶函数，只需证当01x <<时，()0f x >.()2211111ln sin ln sin 11111x x x f x x x x x x x x x x x +++⎛⎫'=++--=+- ⎪-+---⎝⎭g ，()00f '=当01x <<时，2211ln 0,sin sin 011x x x x x x x x ++>->->--g ，从而()0f x '>，于是()f x 单调递增，所以()()21ln cos 10012x x f x x x f x +=+-->=-，得证 21ln cos 1,(11)12x x x x x x ++≥+-<<-（21）（1）证明：方程11n n x x x -+++=L （n 为大于1的整数）在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；（2）记（1）中实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【详解】（1）令()11nn f x x xx -=+++-L ，则()110f n =->，1111111022222n n n f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L由零点定理，()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个零点. 又()1210n n f x nxx --'=+++>L ，从而()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，即方程11n n x x x -+++=L 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个实根.（2）比较11n nnn n x x x -+++=L 及1111111n n n n n n n xx x x -+++++++++=L ，得1n n x x +<，从而数列{}n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞存在.设lim n n x a →∞=，对11n n nn n x x x -+++=L 两边取极限，()1lim111nn n n nx x a x a →∞-==--，解得12a =，即1lim 2n n x →∞=.（22）设10010101,00100010a a A a aβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）计算A ；（2）当实数a 取何值时，Ax β=有无穷多解，并求其通解. 【详解】（1）按照第一列展开，得5441(1)1A a a =+-=-.（2）若Ax β=有无穷多解，则0A =，即410a -=，解得1a =或1a =-. 当1a =时，1100 11100 10110 10110 1001 1 0001 1 0100 1 00000 2A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()()r A r A <，方程组Ax β=无解.当1a =-时，1100 11100 10110 10110 1001 1 0001 1 0100 1 00000 0A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()34r A r A ==<，方程组Ax β=有无穷多解，其通解为11110101k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数 （23）已知110111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型123(,,)()T Tf x x x x A A x =的秩为2（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准形. 【详解】（1）对A 初等行变换，1011010110111000101000A a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由()()2,Tr A r A A ==得1a =-.（2）101111120201101010221011010224011T A A ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭由T A A 的特征多项式202202022(2)22224024T E A A λλλλλλλλ-----=--=--------- 102102(2)122(2)024(2)(6)024024λλλλλλλλλ--=----=---=------ 得矩阵T A A 的特征值12λ=，26λ=，30λ=.当12λ=时，解得(2)0T E A A x -=的基础解系1(1,1,0)T α=-；当26λ=时，解得(6)0TE A A x -=的基础解系2(1,1,2)T α=； 当30λ=时，解得(0)0TE A A x -=的基础解系3(1,1,1)T α=-； 由于123,,ααα已是正交向量组，只需单位化，1231111,1,1021γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭令()123,,Q γγγ=，经过正交变换Qy x =，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =化成标准形2212312(,,)26f x x x y y =+.。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲-数二2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学 78％线性代数 22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：和．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。