其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕
B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A
描述
的旋转矩阵。
解：Θ坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变
换顺序为依次右乘。
∴对P A 描述有 P T P B
A B A = ；
其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A
B = 。
9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法1）
对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ；
对楔块2进行的变换矩阵为：
)180,()90,()90,()4,0,3(o
o 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；
其中 ?
?
???
????
???=10000100501000010
2T ； 所以 ：??
???????
???=1000
00100001
01001T ；?????
?
?
??
???--=10
004010000121
002T 对楔块2的变换步骤：
① 绕自身坐标系X 轴旋转?90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转?180； ③ 绕定系的Z 轴旋转?-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。
方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法2）
对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：
)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ；
所以 ：??
???????
???=100000100001
01001T ；?????
?
?
??
???--=10009010000121
002T 。 备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。 （2）、（3）略。
2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程式。
解：方法1建模：
如图3建立各连杆的坐标系。
图3：机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。
表1：机械手的连杆参数
连杆
i α
i a i d i θ
1
o 90
1L
1θ
2 0
2L
2θ 3 0 0 0
3θ
该3自由度机械手的变换矩阵： 32130A A A T = ；
??
??????????-=10
00001000
111
1
111
11θθθθθθs L c s c L s c A ； ?
?
???
???????-=100
010000222
22222
2θθθθθθs L c s c L s c A ； ??
???
???????-=1000
010000003
3
333θθθθc s s c A ； ?
??
????
????
?+-++----+---=10
002
23
23232322121113
213213213
212121113213213
2132130
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθs L c c s s s c c s c s L s L c c s s s c s s s s c c s c c L c L s c s c s c c s s c c c c T
方法二进行建模：
坐标系的建立如图4所示。
图4：机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。
表2：机械手的连杆参数
??
??????????-=10000100000011
111θθθθc s s c A ； ??
?????
?????--=100
00001000
22122
2θθθθc s L s c A ； ??
???
???????-=100
010000033
2333θθθθc s L s c A ； ?
????
?
?
????
?+-++----+---=10
002
23
23232322121113
213213213
2121211132132132132130
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθs L c c s s s c c s c s L s L c c s s s c s s s s c c s c c L c L s c s c s c c s s c c c c T
3. 图3-12 所示3 自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵10T ，21T 和32T 。
解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。 方法1建模：
按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。
图5：机械手的坐标系建立
连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H 参数值见表3。
表3：机械手的连杆参数
连杆
i α
i a i d i θ
1 o 90
21L L + 1θ 2
0 3L
2θ 3
0 4L
0 3θ
末端执行器
4θ
注：关节变量 04321====θθθθ 。
将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：
??
???????
???+-=100001001000
0012110
L L T ；?
?
????
?
?????=1000
010********
321L T ； ??
???????
???=1000
01000010001432
L T ； ?
?
???
??
?????=1000
010*********
3末
T
方法2建模：
按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。
图6：机械手的坐标系建立
3自由度机械手的D-H参数值见表4。
表4：机械手的连杆参数
连杆
1-i
α
1-i
a
i
d
i
θ
100
2
1
L
L+
1
θ
2o
90002θ
30
3
L0
3
θ末端执行器04L04θ
注：关节变量0
4
3
2
1
=
=
=
=θ
θ
θ
θ。
将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
=
1
1
1
1
2
1
1
L
L
T；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
=
1
1
1
1
2
1T；
??
???????
???=100001000010001332
L T ； ??
???
?
?
?????=10000100001000
143L T 末
1. 已知坐标系}C {对基座标系的变换为：?
?
???
????
???=100000013100
4010C ；对于基座标系的微分平移分量分别为沿X 轴移动0.5，沿Y 轴移动0，沿Z 轴移动1；微分旋转分量分别为0.1，0.2和0。
（1） 求相应的微分变换；
（2） 求对应于坐标系}C {的等效微分平移与旋转。 解：（1）对基座标系的微分平移：T d ]1,0,5.0[=；
对基座标系的微分旋转： T ]0,2.0,1.0[=δ；
?
????????
???--=?0000
101.02.001.0005.02.000
； 相应的微分变换：?????
???????--=?=00005.01.02.000001.05.0002
.0c dc （2）由相对变换C 可知n 、o 、a 、p ，
5.0))((=+??=d p n d x c
δ；5.0))((=+??=d p o d y c δ；0))((=+??=d p a d z c δ
0=?=δδn x c
；1.0=?=δδo y c ；2.0=?=δδa z c
对应于坐标系}{C 的等效微分平移：]0;5.0;5.0[=d c ；微分旋转：]2.0;1.0;0[=δc 。 2. 试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端上，其姿态与第三关节的姿态一样。 解:设第3个连杆长度为3L 。
其余的比较简单，大家可以自己考虑。 3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕 B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A 描述 的旋转矩阵。 解：Θ坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变 换顺序为依次右乘。 ∴对P A 描述有 P T P B A B A = ； 其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。 9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。 （1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。 （2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。 解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法1） 对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为： )180,()90,()90,()4,0,3(o o 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ； 其中 ? ? ??? ???? ???=10000100501000010 2T ； 所以 ：?? ??????? ???=1000 00100001 01001T ；????? ? ? ?? ???--=10 004010000121 002T 对楔块2的变换步骤： ① 绕自身坐标系X 轴旋转?90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转?180； ③ 绕定系的Z 轴旋转?-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。 方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
机器人学蔡自兴课后 习题答案
其余的比较简单，大家可以自己考虑。 3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系} B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A 描 述的旋转矩阵。 解：Θ坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。 ∴对P A 描述有 P T P B A B A = ； 其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。 9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。 （1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。 （2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。 解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法1） 对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为： )180,()90,()90,()4,0,3(o o 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ； 其中 ? ? ??? ???????=100001005010000102T ； 所以 ：?? ??????? ???=1000 00100001 01001T ；????? ? ? ?? ???--=10 004010000121 002T 对楔块2的变换步骤： ① 绕自身坐标系X 轴旋转?90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转?180； ③ 绕定系的Z 轴旋转?-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。
精心整理 其余的比较简单，大家可以自己考虑。 3.坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然 后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A 描述的旋转矩阵。 解：Θ坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。 ∴对P A 其中T A B 9.图 （1 （2（3解：（1对楔块对楔块其中0 2T 所以：?? ?????? ??=1000 00100001 1T ；????? ? ?? ??-=10 00401000012T 对楔块2的变换步骤： ① 绕自身坐标系X 轴旋转?90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转?180； ③ 绕定系的Z 轴旋转?-90；
④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。 方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。 图1：楔块坐标系建立（方法2） 对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T =； 对楔块2进行的变换矩阵为： 3213? ? ??????????-=10 001000 111 1 111 11θθθθθθs L c s c L s c A ；? ? ??? ???????-=100 0100002222222 2 2θθθθθθs L c s c L s c A ； ?? ??? ???????-=100 010******* 333θθθθc s s c A ；
其余的比较简单，大家可以自己考虑。 3.坐标系｛B｝的位置变化如下：初始时，坐标系｛A｝与｛B｝重合，让坐标系｛B｝绕Z B轴旋转角；然后再绕XB旋转角。给出把对矢量B P的描述变为对A P描述的旋转矩阵。 解：坐标系｛ B｝相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变 换顺序为依次右乘。 对A P描述有A P B T B P； 其中A T Rot（z, ）Rot（x,）。 9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。 （1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移 或绕该轴旋转。 （2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。 解：（1）方法1:如图建立两个坐标系｛qx^zj、｛o2x2y2z2｝，与2个楔块相固联。 图1:楔块坐标系建立（方法1）
对楔块1进行的变换矩阵为：T1 Rot（y,90）Rot（z,90）；
对楔块2进行的变换矩阵为: 10 0 0 010 5 0 0 10 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 所以： T 1 ；T 2 0 1 0 0 0 1 0 4 0 0 0 1 1 对楔块 2的变换步骤: ① 绕自身坐标系X 轴旋转90 ; ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转180 ； ③ 绕定系的Z 轴旋转90 ； ④ 沿定系的各轴平移(3,0,4)。 与2个楔块相固联。 对楔块1进行的变换矩阵为：T 1 Rot(y,90)Rot(z,90)； 对楔块2进行的变换矩阵为: T 2 Trans( 3,0,4)Rot(z, 90o )；TRot(x,90o )Rot(z, 180°); 其中 0T 方法2:如图建立两个坐标系{o 1x 1y 1z 1} {QX z y z Z ?}与参考坐标系重合，两坐标系 (-】，5, O ( 1) ,5, 2,1) (1, 5T Z 1) II (L 0, 0,1) (1,4, a i) 图1 :楔块坐标系建立(方法2) (-〔421) / y (1,9, 0 1)
最新机器人学蔡自兴课后习题答案 3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕 B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A 描述 的旋转矩阵。 解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变 换顺序为依次右乘。 ∴对P A 描述有 P T P B A B A = ； 其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。 9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。 （1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。 （2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。 解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。 图1：楔块坐标系建立（方法1） 对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为： )180,()90,()90,()4,0,3(o o 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ； 其中 ? ? ??? ???? ???=10000100501000010 2T ； 所以 ：?? ??????? ???=1000 00100001 01001T ；????? ? ? ?? ???--=10 004010000121 002T 对楔块2的变换步骤：
其余得比较简单,大家可以自己考虑。 ３、坐标系得位置变化如下:初始时,坐标系与重合,让坐标系绕轴旋转角;然后再绕旋转角。给出把对矢量得描述变为对描述得旋转矩阵。 解:坐标系相对自身坐标系(动系)得当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变换顺序为依次右乘。 对描述有; 其中。 9、图2-1０a示出摆放在坐标系中得两个相同得楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。 (1）用数字值给出两个描述重新摆置得变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。 (２)作图说明每个从右至左得变换序列。 (３）作图说明每个从左至右得变换序列。 解:（1)方法1:如图建立两个坐标系、，与2个楔块相固联。 图1：楔块坐标系建立（方法１) 对楔块1进行得变换矩阵为: ; 对楔块２进行得变换矩阵为: ; 其中;
所以 : ; 对楔块２得变换步骤: ① 绕自身坐标系Ｘ轴旋转; ② 绕新形成得坐标系得Ｚ轴旋转； ③ 绕定系得Z 轴旋转; ④ 沿定系得各轴平移。 方法２:如图建立两个坐标系、与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。 图1:楔块坐标系建立(方法2) 对楔块1进行得变换矩阵为: ; 对楔块2进行得变换矩阵为: )90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ； 所以 : ; 。 备注:当建立得相对坐标系位置不同时，到达理想位置得变换矩阵不同。 （2）、(3)略。 2、 图3－11 给出一个3自由度机械手得机构。轴1与轴２垂直。试求其运动方程式。 解:方法１建模: 如图３建立各连杆得坐标系。
其余的比较简单，大家可以自己考虑。 ３. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时,坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕 B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A 描述 的旋转矩阵。 解: 坐标系}B {相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺 序为依次右乘。 ∴对P A 描述有 P T P B A B A = ; 其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。 9． 图2-１０a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图２-10b 所示位置。 （1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。 (2）作图说明每个从右至左的变换序列。 (３）作图说明每个从左至右的变换序列。 解:(1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。 图1:楔块坐标系建立(方法１） 对楔块1进行的变换矩阵为:)90,()90,(1z Rot y Rot T = ；
对楔块２进行的变换矩阵为： )180,()90,()90,()4,0,3(o o 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ； 其中 ? ? ??? ???? ???=10000100501000010 2T ； 所以 :?? ??????? ???=1000 00100001 01001T ；????? ? ? ?? ???--=10 004010000121 002T 对楔块2的变换步骤: ① 绕自身坐标系X 轴旋转?90; ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转?180; ③ 绕定系的Z 轴旋转?-90; ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。 方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合,两坐标系与２个楔块相固联。 图1:楔块坐标系建立（方法2） 对楔块1进行的变换矩阵为:)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为:
其余的比较简单,大家可以自己考虑。 3、 坐标系}B {的位置变化如下:初始时,坐标系}A {与}B {重合,让坐标系}B {绕 B Z 轴旋转θ角;然后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A 描述的 旋转矩阵。 解:Θ坐标系}B {相对自身坐标系(动系)的当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变换顺序 为依次右乘。 ∴对P A 描述有 P T P B A B A = ; 其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。 9、 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。 (1)用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。 (2)作图说明每个从右至左的变换序列。 (3)作图说明每个从左至右的变换序列。 解:(1)方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ,与2个楔块相固联。 图1:楔块坐标系建立(方法1) 对楔块1进行的变换矩阵为:)90,()90,(1z Rot y Rot T = ;
对楔块2进行的变换矩阵为: )180,()90,()90,()4,0,3(o o 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ; 其中 ? ? ??? ???? ???=10000100501000010 2T ; 所以 :?? ??????? ???=1000 00100001 01001T ;????? ? ? ?? ???--=10 004010000121 002T 对楔块2的变换步骤: ① 绕自身坐标系X 轴旋转?90; ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转?180; ③ 绕定系的Z 轴旋转?-90; ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。 方法2:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合,两坐标系与2个楔块相固联。 图1:楔块坐标系建立(方法2) 对楔块1进行的变换矩阵为:)90,()90,(1z Rot y Rot T = ; 对楔块2进行的变换矩阵为: