《矩形的性质和判定》教学设计
第一课时：矩形的性质
教材分析:
本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。
教学目标：
【知识与技能】
(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;
(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．
【过程与方法】
（1）经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；
（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．
【情感态度与价值观】
(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
(2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。
(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。
教学重难点：
【教学重点】
掌握矩形的性质。
【教学难点】
运用综合法证明矩形的性质。
课前准备：多媒体，平行四边形教具，矩形纸片
教学过程：
一．创设情景，导入新课
活动内容：1、观察图形，都是一种特殊的平行四边形,说一说他们的特殊之处
2、探究矩形的定义
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？
（3）在运动过程中四边形改变的是什么？
不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形
变：角的大小
（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形）
矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
活动：1.复习平行四边形的性质和菱形的性质
2.平行四边形的面积
【设计意图】从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念。
二、分组讨论，探究新知
活动内容：
1.做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
教师在学生口答的基础上，引导学生猜想（板书）：
角：矩形的四个角都是直角.
对角线：矩形的对角线相等.
【设计意图】让学生分组探索。教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质。
层层递进，推理论证
活动内容：怎样证明你的猜想？
（写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过
程）
订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
归纳概括矩形的性质：
从边来说，矩形的对边平行且相等； 从角来说，矩形的四个角都是直角；
从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；
从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
【设计意图】根据新课标的精神，不仅要发展学生的合情推理能力，还要发展学生的演绎推理能力。在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较易得出结论。但结论是否真的正确，
必须经过严谨的证明。该环节旨在训练学生规范写出推理过程。 例1：如图,在矩形
ABCD 中,两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
例2：如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 上一点,AE=AD,DF ⊥AE ,垂足为F. 求证：DF=DC.
建构新知，发展问题
活动内容：（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形
ABC 中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明吗？
（2）教师板书推论及推理语言:
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
例3：如图，已知BD ，CE 是△ABC 不同边上的高，点G ，F 分别是BC ，DE 的中点，试说明GF ⊥DE.
A
B
C
D
O
E
A
B
C
D
【设计意图】通过例题让学生对矩形形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。 三、应用与巩固 当堂练习：
1.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC , BD 交于点O ,已知∠AOB=60° , AC=16,则图中长度为8的线段有（ ）A.2条 B.4条 C.5条
D.6条
2. 如图,四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,BE ∥AC 交DC 的延长线于点E. （1）求证：BD=BE （2）若∠DBC=30°,BO=4 ,求四边形ABED 的面积
【设计意图】
应用矩形的边和对角线的性质来解决问题。在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题，就是关键。 四、课堂小结
活动内容：本节课你学到了什么？
（1
）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）矩形的性质
A
B
C
D
O
60°
（3）直角三角形的性质
（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题【设计意图】让学生对学习情况进行小结，主要包括：知识小结和学法小结。通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课重点知识以及该掌握的解题方法和技巧，使教师及时了解学生对本节课重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况，以便答疑补漏。及时的课堂检测，及时反馈学生学习的效果便于进行课堂教学和优化。
五、布置作业:
课本课后练习；
【设计意图】教师根据学生掌握水平的不同把作业分层，必做题是学生必须掌握的题目，对于巩固本节课的基础知识能起到较好的作用，选做题是对于学有余力的学生准备的，让他们在掌握基础的同时向更高的目标迈进。
教学反思：
本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，以便提高学生的探索创新思维和创造能力。首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望；教学过程中充分利用学生手中的矩形实物：如书本，课桌等，让学生通过观察、测量和思考讨论等活动，得出矩形性质，在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识；再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，开拓学生的思路，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握矩形性质定理，体验数学学习过程中的探索性和挑战性以及推理的严谨性。
第二课时：矩形的判定
教材分析：
对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。
教学目标：
【知识与技能】
能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；【过程与方法】
1．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
2．学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；
【情感态度与价值观】
通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
教学重难点：
【教学重点】
掌握矩形的判定以及证明方法．
【教学难点】
运用综合法证明矩形的判定。
课前准备：
多媒体，平行四边形教具
教学过程：
一、导入新课
问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？
【设计意图】通过这个活动，首先是学生能够主动地对平行四边形的相关知识有一个系统的回顾和认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习，激发学生对本节知识的学习兴趣。
二、讲授新课
活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度.
问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？
板书本题证明过程。
定理两条对角线相等的平行四边形是矩形。
（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
（3）请学生交流大体思路；
（4）用规范的数学语言写出证明过程；
（5）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
【设计意图】矩形的性质学生已经非常熟悉，对比矩形的性质得到矩形的判定，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。
活动2: 李芳同学通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.
问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？
定理三个角是直角的四边形是矩形。
（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
（3） 请学生交流大体思路；
（4） 用规范的数学语言写出证明过程；
（5） 同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
【设计意图】通过上面的一个判定定理的证明，学生已经学会如何分析命题，找出条件和结论，画出图形，根据图形写出已知和求证，到现在为止学生有两种证明一个四边形是矩形的方法，在这个环节中，应引导学生对方法的适当选择， 并通过实物投影的方式对比较严谨清晰的方法进行展示。
三、典例精析
例1：如图,在□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O , △ABO 是等边三角形, AB=4,求□ABCD 的面积.
例2：如图，在△ABC 中, AB=AC,D 为BC 上一点，以AB,BD 为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.
（1）求证：△ADC ≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE 是矩形.
【设计意图】运用刚刚证明的两个定理解决实际问题，进一步发展学生的推理能力，将课本中的问题拆分成三个问题，发散学生思维，从而能将平行四边形菱形和矩形联系起来，分析三者之间的区别和联系。在活动2的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理
A
B
C
D
O
A
D
C
E
B
念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。 四、巩固应用 当堂练习：
1.如图,直线EF ∥MN,PQ 交EF 、MN 于A 、C 两点,AB 、CB 、CD 、AD 分别是∠EAC 、 ∠MCA 、 ∠ ACN 、∠CAF 的角平分线,则四边形ABCD 是（ ） A. 菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
2.如图，O 是菱形ABCD 对角线的交点，作DE ∥AC ，CE ∥BD ，DE 、CE 交于点E ，四边形CEDO 是矩形吗？说出你的理由.
【设计意图】通过2道练习题进一步巩固矩形的判定定理，提高学生的逻辑推理能力。 五、课堂小结，作业布置
活动内容：学生互相交流矩形的判定定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
【设计意图】鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。
作业布置不能一概而论，对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求。课后习题3.4的要求较低，要求学生都能独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求，同时，对于数学学习存在困难的学生，应该要求他们在课后，把课堂上讲过的题目进行再整理，加深印象。
教学反思：
1．灵活处理教材
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。
分层次教学
对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同，一味的提高难度满足有能力的学生和降低难度适应困难学生都不是明智的做法，在教学中选择因材施教，使每个学生都有所得才是课堂教学效果的关键。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
2．充分给学生以时间和空间
课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
3．应当注意的问题
几何教学有时对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有一些学生可能要差一点，课堂教学不能过急；此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法；还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。
第三课时：矩形的性质和判定
教材分析:
课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。
对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打
下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。教学目标：
【知识与技能】
1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。
2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
【过程与方法】
通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。
【情感态度与价值观】
通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。
教学重难点：
【教学重点】
掌握矩形的性质和判定以及证明方法．
【教学难点】
运用综合法证明矩形的性质和判定。
课前准备：
多媒体
教学过程：
一、提出问题，导入新课
问题1: 矩形有哪些性质？
问题2: 矩形有判定方法有哪些？
二、讲授新课，典例精析
例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
例2：已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ． （1）求证：四边形ADCE 为矩形； （2）连接DE ，交AC 于点F ，请判断 四边形ABDE 的形状，并证明；
（3）线段DF 与AB 有怎样的关系？请直接写出你的结论.
例3：如图，在△ABC 中, AB=AC,D 为BC 上一点，以AB,BD 为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.
（1）求证：△ADC ≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE 是矩形.
例4：如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD.连接
BF.
A
D C
E
B
(1)BD 与DC 有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．
例5：如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.
(1)求证：CM ＝CN ；
(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求
DN
MN
的值．
【设计意图】这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。 三、巩固应用，当堂练习
1.如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( ) A ．S1>S2 B ．S1＝S2
C ．S1 D ．3S1＝2S2 2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于() A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cm 3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为__________． 5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC. (1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形． 【设计意图】本题在例题的基础上，运用已有知识解决问题，进一步发展学生的推理能力，通过证明，让学生体会转化的数学思想。通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。 四、课堂小结 1、说说你的收获。 2、说说你的困惑。 3、说说你的方法。 【设计意图】鼓励学生结合前面的证明畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。 五、作业布置 （一）习题1.6 知识技能1、2、3、联系拓广4 （二）如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别 是AD，BD，BC，AC的中点。 （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形 EFGH是菱形？并证明你的结论。 【设计意图】对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求，作业（一）要求不高，要求学生独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求作业（二） 教学反思： 1．灵活处理教材，在精不在多 对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，应该视各班学生情况而定，对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。也不应加大习题量，题目在精不在多，扎实的讲解和学习比大量练习要有效果的多。把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成 的真正目标。 2、分层次教学 对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。 3、充分给学生以时间 本课时，是综合运用的一节课，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
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