韩山师范学院
学生毕业论文
（2008届）
韩山师范学院教务处制
诚信声明
我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日
摘要
极限概念是微积分学中最重要，最基本的概念。掌握好利用定义证明函数极限是学好高等数学的基础。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，本文直接或间接地用极限定义来证明一些我们经常见到高等数学问题。
关键词：极限；极限定义；数列极限；函数极限
Abstract
The definition of the limit is the most important and basic concept in the infinitesimal calculus. Mastering the ways of using the definition to probe the limit of function lays a foundation for studying the higher mathematics well. There are the limit of series, limit of function and functional limit of several variables and so on. In this paper, the definition of the limit is used directly or indirectly to prove some common problems of higher mathematics.
Keywords: limit, definition of limit, limit of series, limit of function
目录
1.数列极限 (1)
1.1 适当放大法 (1)
1.2 分步法 (2)
2.函数极限 (2)
3.一元函数极限 (3)
3.1 限制法 (4)
4.左、右函数极限 (4)
5.二元函数极限 (5)
5.1 放缩法 (7)
参考文献 (9)
致谢 (10)
极限定义在高等数学中的应用
在高等数学中我们经常见到很多证明问题可以直接或间接用极限定义来证明，极限定义本身很优美，在利用它证明其他问题的时候会起到很好的效果，能使整个证明过程简洁优美起来，参看文献[1，2，3，4，5，6，7，8]．极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，我们在每个不同类型的极限中都先列出定义，然后试图把每一类的不同应用整理出来．
1、数列极限
数列极限定义: 设{n a }是一个数列，a 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，都有
n a a ε-<，
则称数列n a 收敛于a ，a 称为它的极限，并记作
lim n n a a
→∞
= 或 ()n a a n →→∞.
数列极限的“N ε-”定义中含有ε和N ，其中ε是预先给定的，关键是求出N ，而N 的取值一般是由ε决定的，有时记作()N N ε=.
定义中的常数ε具有二重性．即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性．[3]
当ε固定时，逼近的程也就确定了；当ε不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻画出来了．
一般地来说，ε越小N 就越大．由于N 是通过n a a ε-<求得的，因而对应ε的N 不是唯一的，关键是找出存在的N ，一旦合乎定义的N 找到了，用比它大的任何自然数n 来代替均可，但要找到存在的N 不是那么容易的，下面介绍一些技巧： 1.1 适当放大法
有时不等式n a a ε-<比较复杂，不便解出n ，于是可将绝对值不等式n a a ε-<适当放大,转化为12n a a a a ε-<<<< 的形式,然后在放大化简的不等式的基础上再讨论极限证明问题．这样可把问题简化，
例 1. 证明2
2212lim
35
3
n n n n n →∞
+-=
++
证明：用适当放大法估计不等式
2
22
2
2
21213135
3
3(35)
3(35)
9n n n n n n n n n n n n
n
ε+---
=
<
<
<
<++++++
1
0,[],N εε
∴?>?=当n N
>时，都有
2
2
21235
3
n n n n ε+--
<++.
1.2 分步法
有时为了解题的方便，要对n 作某些限制，使n a a ε-<更容易简化，于是先假定
1n N >(1N 是某个常数)，然后放大n a a -()H n <，再解不等式()H n ε<，求出2n N >.令
12m ax{,}N N N =则n N
>时，有n a a ε-<.
例2．设lim n n a a →∞
=,证明12lim n
n
n a a a a a
n
→∞
+++=
证明[4] :因为 lim n n a a →∞
=，于是0ε?>，? 1N , 当1n N >时，2
n a a ε
-<
，
111112N N n n
a a a a a a a a
a a a a n
n
+-++-+-++-+++-≤
1112
N a a a a
n N n
n ε
-++--≤
+
? 当1N 固定，取n 充分大，?2N ，当2n N >时，
11N a a a a
n
-++- <
2
ε
，
于是当12m ax{,}n N N N >=时，
122
2
n
a a a a n
ε
ε
ε
+++-≤
+
= ，
即12lim n
n
n a a a a a
n
→∞
+++= .
2、函数极限
函数极限定义: 设f 为定义在[a ,+∞)上的函数,A 是一个定数,若对任给正数0ε>,存在正数()M a ≥,使得适合x M >时有
()f x A ε-<，
则称函数f 当x 趋于+∞以A 为极限，记作
lim ()x f x A →+∞
= 或 ()()f x A x →→+∞.
函数f 趋于+∞的极限定义与数列{ n a }的极限定义很相似.因为它们的自变数的变化趋势相同(x →+∞与n →+∞)，只不过自变数的变化形态不同.函数()f x 的自变数x 取区间[a ,+∞)的一切实数，续地增大；而数列{ n a }的自变数n 只取一切正整数，离散地无限增大．证明数列极限关键是找正整数N ，证明函数极限()()f x A x →→+∞关键是找到正数M .
例3. 证明lim arctan 2
x x π
→+∞
=-
证明:0ε?>（限定02
π
ε<<），要使不等式tan ()arctan 2
2
x x π
π
ε
--
=+
<
成立.解得tan()2
x π
ε<-
.取tan()0
2A π
ε=-->.
于是，0ε?>tan()02
A π
ε?=--
>，tan()
2x A π
ε?<-=-，有
tan 2x πε
??
--< ???
，
即lim arctan 2
x x π
→+∞
=-
有时，极限不一定存在，这种情况，我们可以用反证法,反证法的根本思想也是利用极限定义，用此类方法从另一个侧面也加深了我们对极限定义的认识和理解，同时可以把复杂的问题简单化.
例4. 证明lim sin x n →∞
不存在.[1]
证明（反证法）:若lim sin x n A →∞
=，因s i (
2)-s i n
2s i n n n n +=+,知
lim 2sin 1cos(1)
x n →∞
+=lim (sin(2)-sin )x n n →∞
+=A A -＝0，从而l i m c o s x n →∞
=，
lim sin lim 1n n A n →∞
→∞
===.但sin 22sin cos n n n =?，取极限A ＝0,矛盾.
3、一元函数极限
一元函数极限定义: 设函数()f x 在点0x 的某个空心领域内0(;')x δ 有定义, A 是定数，若对任给的0ε>,存在正数δ (<'δ),使得当00x x δ<-<时有
()f x A ε-<,
则称函数f 当趋于0x 时以A 为极限，记作
lim ()x x f x A →= 或 0()()f x A x x →→.
函数极限是数列极限的推广，数列极限是函数极限的特殊情形（自变量取自然数的情形）[5].两者都是关于自变量ε的极限，只是数列极限中的因变量N ，在函数极限中用另一种表达方式δ，函数极限中的δ一般也依赖于ε，一般来说，ε愈小，δ也相应地要小一些.数列极限是研究n 趋于无穷过程中数列值的变化趋势，而函数极限是研究当
000
,,,,x x x x x x x x -
+
→-∞→+∞→→→过程中函数值的变化趋势.所以数列极限和函数极限
有相通性，解决函数极限问题关键是找出具有可变性的δ，一旦δ找到了，就可以用任意比它小的正数代替. 3.1 限制法
例5． 证明2
21
12lim
21
3
x x x x →-=
--[2]
证明：当1x ≠时有
2
21121221
3
21
3
321
x x x x x x x --+-
=
-
=
--++,
若限制x 于011x <-<（此时0x >）则211x +>. 于是，对任给的0ε>，只要取
min{3,1}δε=，则当01x δ<-<时便有
2
21221
3
x x x --
--13
x ε-<
<.
注：解题时，要注意对x -1的限制，如果不限制，那么题中就变成了
1321
x x ε-<+，也
就是321x δ=+，但这是不充许的，因为δ我们要求所求的δ只和ε，0x 有关.因此需要限制，且要适当.如上例中的限制011x <-<，对x 所做的限制是为了简化解题做服务，上例
中是为了使分母211x +>，便于放大从而有
11321
3
x x x ε--<
<+，但如果限制012x <-<，
由于()21213x x +=-+不一定1>，所以达不到放大的效果.
4、左、右函数极限
（左、右）极限定义：设函数f 在()0'0;U x δ+（()0'0;U x δ-）内有定义，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()'δδ<，使得当00x x x δ<<+（00x x x δ-<<）时有
()f
x A
ε
-<，
则称A 为函数f 当趋于0x 时的右（左）极限，记作 ()0
lim x x f x A +
→=（()0
lim x x f x A -
→=）.
例6． 设()1
1
110x
g x =
+证明[6]
（1）()0
lim 0x g x +
→=； （2）()0
lim 1x g x -
→=
证明： （1）0x ?>，0ε?>（限定102
ε<<），要使不等式
()1
1
0110x
g x ε-=
<+
成立．解得11lg 1x ε<
??
- ???
，取11l g 1δε=
??
- ???
。于是，0ε?>，1.01lg 1δε?=
>??
- ???
，
:0x x δ?<<，有()0g x ε-<，即 ()0
lim 0x g x +
→=
（2）0x ?<，0ε?>（限定102
ε<<
），要使不等式
()1
1
1
1
111110110x x
g x ε-=
-=-<++
成立.解得1
lg
1x ε
ε
>
-。取1
lg 1δε
ε
=-
-.
于是，0ε?>，10lg
1δε
ε
?=-
>-，:0
x x δ?-<<有()1g x ε-<，即
()0
lim 1x g x -
→=
函数f 趋近于0x 的左极限和右极限与函数趋近于0x 的极限，有着一定的联系.如果函数
f
趋近于0x 左极限等于右极限，则函数趋近于0x 的极限存在，且等于左右极限.否则函数趋
近于0x 的极限不存在.如上例中()()0
lim lim x x g x g x +
-
→→≠，则函数在0的邻域不存在极限.
5、二元函数极限
二元函数极限定义： 设f 为定义在2D R ?上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数.若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当00(;)P U P D δ∈ 时，都有
()-f P A ε<，
则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记作
lim ()P D
P P f P A ∈→=.
当P ，0P 分别用坐标(),x y ，()00,x y 表示时也可写作
00(,)(,)
lim
(,)x y x y f x y A →=.
二重极限
00(,)(,)
lim
(,)x y x y f x y A →=是指点(),P x y 在函数(),z f x y =的定义域内以任意方式
趋近于点()00,P x y 时，(),f x y 都趋近于确定的常数A .这里要强调点()00,P x y 的邻域以“任意方式”趋近于点()00,P x y 这一点.这个邻域可以是圆，矩形或更复杂的形式，可以说是“全面包围”，在做题时应注意.
例7．依定义验证()
()2
2
(,)2,1
lim 7x y x
xy y
→++=.
[2]
证明： 因为
()()
2
2
2
2
7421x xy y x
xy y ++-=
-+-+-
()()()()()()2222111x x x y y y y =
+-+-+-++-
2213x x y y y ≤-+++-+.
先限制在点（2,1）的δ＝1的方邻域满足21x -<，11y -<于是有
314145y y y +=-+≤-+<，
()()2215
x y x y ++=
-+-+2721157x x y y ≤-<-+-+-+<。
所以,()2277251721x xy y x y x y ++-≤-+-<-+-. 设ε为任给的正数，取m in 1,
14εδ?
?
= ???
，则当2x δ-<，1y δ-<，()(),2,1x y ≠ 时，
就有2277214x xy y δδε++-≤?=<.即
()
()2
2
(,)2,1
lim
7x y x xy y
→++=
如果，当(),P x y 以x 轴或y 轴的方式趋向于()00,P x y 时，(),x y 能趋向于一个确定的常数A ，也不能说函数(),z f x y =极限是A .例如函数()2
2
2xy f x x y
=
+在坐标原点附近的情形，
由于对任何0x <，有2
2
2lim
0y xy x y →=+，
从而有2
2
00
2lim lim 0x y xy x y
→→=+，
同样也有2
2
00
2lim lim 0y x xy x y
→→=+.
以2
2
2
2
00
00
22lim lim
lim lim
0x y y x xy xy x y
x y
→→→→==++. 点
（0,0）的任何邻域包含有0,0x y =≠的点也包含有0x y =≠这样的点，我们易证明2
2
0,0
2lim x y xy x y
→→+不存在.
但是如果(),P x y 以某两种方式趋近于()00,P x y 时，(),f x y 不能趋向于同一个数，那我们倒可以说(),P x y →()00,P x y 时，(),f x y 肯定不会有极限. 5.1 放缩法
例8．用定义证明2
2
2
(,)(0,0)
lim
02()
x y x y x y →=+.
证明: 因为
222
x x y ≤+,y ≤
所以
2
2
2
22
2
2
2
2
02()
2()
2()
x y
x y x y
x y x y
x y
-==
++
+ 3
3
22
2
2
2
2
2
2
2
2
()
()2()
x y x y x y x y
++≤
≤
≤
++
于是对
0,
ε?>.
δε?=当
0.
δ<<有
2
2
2
02()
x y x y ε
-≤+,即
2
2
2
(,)(0,0)
lim
02()
x y x y x y →=+.
本例是用放缩法证明的.通过放大
3
2
22
22
2
2
2
()2()
2()
x y x y x y x y +≤
++，然后对分母的缩小
2
2
2
2()x y x y
+≥+从而使问题简化．但放缩的时候要注意不能改变其定义域．
如上例证: 因为222x y xy +≥，
2
2
12()
4
xy x y ≤
+，
2
2
2
12()
4
xy
y x y ≤
≤
+≤
于是对0,ε?>.δε?=当0.δ<
<有
2
2
2
02()
x y x y ε-≤+
即
2
22
(,)(0,0)
lim
02()
x y x y
x y →=+.
上面是错误的证明，因为其忽略了函数的定义域，尽管利用不等式
2
2
2
2
2()
4xy
x y x y xy
≤
+能
求出极限为0，但不等式两端的函数的定义域不同，左端{(,)(,)(0,0)}D x y x y =≠ 面右端为
{(,)00}D x y x y =≠≠或，所以此不等式改变了原函数的定义域．所以在用放缩法的时候要
多加注意其定义域的一致性．
参考文献
[1] 裴礼文编.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社.2005.1．
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析[M].第三版.高等教育出版社.2004.1．
[3] 明清河著. 数学分析的思想与方法[M]. 山东大学出版社.2004.7．
[4] 吴良森. 数学分析学习指导书[M]. 北京：高等教育出版社.2004．
[5] 朱时编著. 数学分析札记[M]. 贵州教育出版社.1994.2．
[6] 欧阳光中，姚允龙，周渊编.数学分析（上册）[M].上海，复旦大学出版社.2002.4．
[7] 杜先能，孙国正.高等数学[M].安徽，安徽大学出版社.2003．
[8] Jacobson, B.On the mean value theorem for integrals[J], Amer. Math. Monthly,
89(1982), 300-301．
致谢
特别感谢指导老师林齐平老师的悉心指导，耐心解答。
感谢所有在我毕业论文设计过程中给予无私帮助的同学和老师。
林晓鹏
2008年4月于韩师
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
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为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →
等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结， 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
专题一 求极限的方法 【考点】求极限 1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的 概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、 单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在） 3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理 化，变量代换等等。 4、 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 1 01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式 子1 lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞ ”的形式的典型求极 限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解 题，如 11 1 lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发） （3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法： ①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 （4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0 （5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。 【例题精解·求极限的方法】 方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。 【例1】求极限 11 lim 1 m n x x x →--
第一章极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义： 数列极限、函数极限， 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：0)1(1 lim 2=+-∞→n n ；5)13(lim 2=-→x x ；1,0lim <=∞ →q q n n 当等。 定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限 作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在， 且（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 0)1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。 （2）一定注意两个重要极限成立的条件。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ， )(x g ～)(1x g ，则当)()(lim 110x g x f x x →存在时，)()(lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5．连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内
总结求极限的常用方法，详细列举，至少4种 极限定义法 泰勒展开法。 洛必达法则。 等价无穷小和等价无穷大。 极限的求法 1. 直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是X趋近而不是N趋近！！！！！ 必须是函数的导数要存在！！！！！！！！ 必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0
落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！） E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！ 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
求函数极限的方法和技巧 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由2 44122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 232x x x 由函数极限δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00
（IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 22 x x x ---→ 解: 原式=)2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→
高等数学中求极限方法总结 高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。 1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cos sin lim 20→。解：x x x x 1cos sin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=x x x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~ sin ,~3x x x x x tgx x tgx ??。2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdt x 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 2 1211 lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限????? ???→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11???=????? ???→→21111lim 1ln 11lim 211=+=?+?=→→x x x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）
关于高等数学中求极限的 方法小结 This manuscript was revised on November 28, 2020
高等数学中求极限的方法小结 2.求极限的常用方法 利用等价无穷小求极限 这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3] 设αα'~、~ββ'且lim lim ββαα ' =；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+． 常用等价无穷小：当变量0x →时， 2 1sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~ ,2 x x x x x x x x x e x x x x x -+ -~,(1)1~x x x αα+-． 例1 求0 1cos lim arctan x x x x →-． 解 2 10,1cos ~ ,arctan ~2 x x x x x →-时， 故，原式220112lim 2 x x x →== 例2 求123 0(1)1 lim cos 1 x x x →+--． 解 1 2223 11 0,(1)1~ ,1cos ~32 x x x x x →+--时,因此: 原式2 02123lim 132 x x x →==-． 例3 求 1 lim tan x x →． 解 0,x → 时11~,tan ~3 x x x ，故:原式=0113lim 3x x x →=．
假如高等数学是棵树木的话,那么极限就是他的根,函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面：首先对极限的总结如下：极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。极限分为一般极限,还有个数列极 限,(区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种)。 解决极限的方法如下： 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数
形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。
求极限的方法总结 [摘要] 极限是数学分析中的一个重点内容，对极限的求法可谓是多种多样，本文归纳了数学分析中求极限 的十三种方法，并通过一些实例加以分析，说明如何应用. [关键词] 极限；方法；实例 1引言 极限是数学分析（高等数学）中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态，是数学分析中许多重要概念的基础，但在数学分析课本中只简单的介绍了极限的定义和一些基本解法,而没有详细的研究其内容.文献[14]-中对极限的性质及求极限的算法进行了研究，比如介绍了用夹逼法则求极限；单调有界准则求极限；导数定义求极限等.而本课题主要是对散见于文献中的极限求解的各种研究结果进行系统地归纳总结，并考虑这些方法的具体应用. 2极限的求法 2.1 利用两个准则求极限 定理1[4]函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数 N ,当n N >时，有n n n x y z ≤≤且 lim lim n n x x x z a →∞ →∞ ==，则lim n x y a →∞ =. 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z 、，使得n n n y x z ≤≤. 例 1 2 2 2 1111 2 n x n n n n = + ++ +++ ，求n x 的极限. 解 因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项 2 2 2 2 111n n x n n n n n n n n ≥+++=++++ , 22221111 1 1 1 n n x n n n n ≤ + ++ = ++++ , 则 22 1 n n n x n n n ≤≤ ++, 又因为 2 2 lim lim 11 x x n n n n n →∞ →∞ ==++, 所以lim 1n x x →∞ =. 定理 2[4]单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一. 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.。 例2 证明下列数列的极限存在，并求极限 123,,,,n y a y a a y a a a y a a a a = = + = + + = + + ++ . 证明 从这个数列构造来看 n y 显然是单调增加的，用归纳法可证 21y a y = +，32y a y =+， ，1n n y a y -=+， 所以得2 1n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的. 两端除以 n y 得1n n a y y < +，因为