巧解双曲线的离心率
离心率是双曲线的重要性质,也是高考的热点。经常考查:求离心率的值,求离心率的取值范围,或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值
(1)利用离心率公式a
c e =,先求出c a ,,再求出e 值。 (2)利用双曲线离心率公式的变形: 2)(1a b a c e +==,先整体求出a
b ,再求出e 值。 例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3
4=,则双曲线的离心率为__________.
分析:双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=,由已知可得3
4=a b 解答:由已知可得3
4=a b ,再由2)(1a b a c e +==,可得35=e . (3)构造关于c a ,的齐次式,再转化成关于e 的一元二次方程,最后求出e 值,即“齐次化e ”。例如:010222=-+?=-+e e a ac c
例2 设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为____________.
分析:利用两条直线垂直建立等式,然后求解。 解答:因为两条直线垂直,011)(2222=--?-=?=?-=-?e e a c c a b c
b a b 所以2
15+=e (负舍) 2、求离心率的取值范围
求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
(1)直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22
221x y a b
-=(0>>b a ),则双曲线离心率的取值范围是_________. 分析:注意到0>>b a 的条件 解答:),(21)(10102∈+=?>>?>>a
b e a b b a
(2)利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
例4 双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点为21,F F ,若P 为其上非顶点的一点,且212PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为__________.
分析:由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形,利用三角形性质构建不等式。 解答:因为?????=-=a
PF PF PF PF 222121a PF a PF 2,421==?,而c F F 221=,又因为三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,a c a 622<<,所以31< (3)利用圆锥曲线相关性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。 例5 已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线离心率e 的取值范围是__________. 分析:此题和上题类似,但也可以换一种办法找不等关系。 解答:由?????=-=a PF PF PF PF 242121可得322a PF =,又因为点P 在双曲线的右支上,a c PF -≥2,即3532≤=?-≥a c e a c a ,所以3 51≤ 例6 双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是______ 分析:由直线和双曲线的位置关系得到不等关系 解答:由图象可知渐近线斜率360tan =≥ a b ,再由2)(12≥+==a b a c e 。 (5)运用函数思想求解e 的取值范围。 例7 设1>a ,则双曲线22 22 1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是________. 分析:把离心率e 表示成关于a 的函数,然后求函数的值域 解答:把e 或2e 表示成关于a 的函数,212)1(1222222 ++=++=a a a a a e ,然后用 求函数值域的方法求解,)5,2(∈e 。 小结:通过以上例题,同学们应该体会到求离心率e 的值或取值范围有很多种办法,求值不一定非要先求出c a ,的值,能够得到c b a ,,中某两者的关系即可;求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式,不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之,要认真审题、分析条件,巧解离心率。 练习: (1)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ). A. 2 B. 3 C .2 D .3 解:设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b 2=1,焦点F (-c,0),将x =-c 代入x 2a 2-y 2 b 2=1 可得y 2 =b 4a 2,所以|AB |=2×b 2a =2×2a ,∴b 2=2a 2,3)(12=+==a b a c e 答案:B (2)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( ). A .y =±14x B .y =±13x C .y =±12x D .y =± x 解:由题意可知,双曲线的渐近线方程为y =±b a x ,又离心率为e =c a = 1+? ?? ??b a 2=52,所以b a =12,所以双曲线的渐近线方程为y =±12x . 答案:C (3)双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为l 1,l 2,点P 在第一象限内且在l 1上,若l 2⊥PF 1,l 2∥PF 2,则双曲线的离心率是( ). A. 5 B .2 C. 3 D. 2 解:如图1,由l 2⊥PF 1,l 2∥PF 2,可得PF 1⊥PF 2,则|OP |=12|F 1F 2|=c , 设点P 的坐标为? ????m ,b a m ,则 m 2+? ????b a m 2=c a m =c , 图3 形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为________. 解:由题意知,△ABE 为等腰三角形.若△ABE 是锐角三角形,则只需要∠AEB 为锐角.根据对称性,只要∠AEF <π4即可.直线AB 的方程为x =-c ,代入双曲 线方程得y 2