BOXCAR 取样积分器实验
(凝聚态物理 北京师范大学)
[摘要] 本实验利用Boxcar 取样积分器探测微弱光电信号，对含有噪声的信号进行取样处理，根据相关原理，信号经过多次重复提取，从而使噪声的统计平均趋于零，提高了信噪比。本实验通过设计Boxcar 参数，验证了原理中改善信噪比的公式，并设计电路，探测仪器中内置电路的exponential curves 。
一、 实验原理
1. 取样积分器
取样积分器又称Boxcar ，是测量噪声中微弱的周期性重复信号的有力工具。取样积分器利用一个与信号重复频率一致的参考信号，对含有噪声的信号进行取样处理。根据相关原理，信号经过多次重复提取，从而使噪声的统计平均趋于零。
1.1取样积分原理
设输入信号f (t )由被测信号S (t )和大小由方均根给出的随机噪声N (t )组成，且以周期T 重复，则：
??=+++=+=2,,1 n ,)()()
()()(2nT t N nT t S t N t S t f
对其进行m 次取样积分后累加得：
)
()()2()()()
()(22111
t N m t mS T t N T t N nT t S nT t N nT t S m n m
n m n +=??+++++
+=+++∑∑∑=== 输入输出的信噪改善比为：m t N t S t N m t mS SNR SNR SNIR in out ===)
()()()()()( 即若取样100次，则改善10倍。而每一次取样积分相当一次互相关检测。
1.2两种工作方式
取样积分器一般有两种工作模式，其原理框图如下：
个周期T 的同一固定点进行取样积分，从而测量该点的瞬时值。此时，若被测信号S (t )不是周期信号，但相对周期T 而言是缓变的，则可将其从噪声中提取并记录下来。此种情况相当于，门不动而波形动。但m 次取样积分累积的结果抹去了mT 间隔内波形的变化。
当使用顺序延时器时，仪器处于“波形测量方式”。此时，信号周期T ，或其一部分，即时基范围被分为若干相等的间隔，每次取样积分顺延一个间隔，从而可以对重复性好的信号进行波形扫描。此种情况相当于，波形不动而门动。在理想情况下，可以完全复原被测波形。
主要参数
● 取样门宽度T g
为了使信号波形得到恢复，要求：T g ≤0.5T ，门宽越窄信号恢复越精细。 ● 时基T d
是可取样积分的整个时间范围。为了能完整扫过整个整个信号波形，T d 应大于等于信号周期T 。当然，如果只想测量信号的一部分，T d 也可小于T 。 ● 积分常数T c
积分器本身的积分常数RC ，故完全积分时间一般约为2RC ，但是，取样门的开门时间为门宽T g ，称为有效积分时间。若开门时间与时基相等，即：T g = T b ( = T )，也即排满完全积分时间，则取样积分器积分次数为：N = 2RC /T g ，相应的信噪改善比为：
g T RC N /2 ，仪器的积分常数为
完全积分时间：
T c ＝NT b ＝NT g ＝(2RC /T g )T g ＝2RC 。
若开门时间不能排满完全积分时间，即存在无效积分时间，则：
T c ＝NT b ＝ (2RC /T g ) T b ＝2RC T b /T g 。
此时，仪器的积分常数为不完全积分时间。可见，提高RC 和减少T g 有利于增加积分时间，从而提高信噪比。
1.3 噪声来源及其特性
与有用光电信号相伴随的噪声可按来自测量系统的内部和外部来划分。
（1）外部噪声源包括：市电、无线电、电火花、脉冲放电等。
（2）内部噪声源是由各种器件，部件产生的，包括：
①热燥声，由有功元件中电子无规运动产生的电压起伏引起；
②散粒噪声，电子发射的不规则离散性产生的电流起伏引起；
③闪烁噪声，器件中局部位垒不均匀引起，正比于1/f，是低频段的主要噪声源，频率上限约500Hz。
一般，外部噪声易于克服，抑制内部噪声是弱光电信号检测的主要任务。
1.4 氩离子激光器
Ar+激光器是离子气体激光器中应用最广泛的，它具有良好的单色性、稳定性和高功率。Ar+激光器一般充纯Ar约0.2乇，弧光放电电流约数十安培。
（1）工作原理
Ar+的能级图如下，存在三种可能的激发过程。
a) e + Ar(3p6) → Ar+(3p5) + 2e，
e + Ar+(3p5) → (Ar+)* + e
b) e + Ar(3p6) → Ar+(3p5M)* + 2e，
e + Ar+(3p5M)* → (Ar+)* + e
c) e + Ar(3p6) →(Ar+)* + 2e，
(Ar+)* → Ar+(4p)
图2. 与氩离子激光器有关的能级跃迁示意图
激光上、下能级分别为Ar +(4p)和Ar +(4s)，波长在455nm~529nm 范围内的激光共有10条，较强的有6条，最强的两条为514.536nm 和478.995nm 。
（2）基本结构
离子激光器的发光介质是离子，由于整个系统呈电中性，离子浓度N I 与电子浓度N e 相当，故激光上能级粒子数N 2 的增加与放电电流密度的平方2J 的关系为 222J N N N dt
dN e e I ∝=∝，即激光器的增益正比于2J 。这就要求在细的放电管内通过大电流。
大功率放电管为有效降低管壁温度，一般用高导热系数的石墨或BeO 陶瓷制成，并加水冷装置。为了将离子约束在放电管轴心附近，需加轴向磁场，一般由环绕在管壁上的螺线管形成，强度一般为400～800Gs 。
二、 实验内容
Ⅰ、测He-Ne 光源旁侧光谱
(1) 打开He-Ne 光源；
(2) 开启单色仪，Boxcar 等仪器的电源；
(3) 设定Boxcar 参数：
①设定扫描点数：1000点。参数选择1000是因为本次实验中我们所使用的单色仪中光栅精度为0.1，单色仪扫描波长范围是550nm 至650nm 。又由于Boxcar 信号平均器的容量有限，故将其分两次进行扫描，即扫描波段
Ar(3p 6)
Ar +(3p 5)
Ar +(4s)
Ar +(4p)
分为550nm-600nm与600nm-550nm两组；每点的扫描65次。再根据实验规则要求后面仪器的精度必须大于等于前面仪器已有的精度，所以我们最终决定选择设定Boxcar参数中的扫描点数为1000点；
②触发选择：Normal；
③输入条件设定：耦合方式，直流；（光致实验我们都选择直流）
④输入阻抗选择高阻状态。因为我们的光电倍增管是属于电压源，所以选择
高阻；
⑤采用静态门测量方式，设定初始延迟为10ns，门宽为15μs，测量的固定
延迟为100ns；
(4)设定单色仪参数：光栅转动速度设为3档；
(5)参数设定完毕，开始实验。首先将单色仪上的旋转方向调至“反”向，并“启
动”单色仪使波长起始点回到549.5处，然后“停止”，接着使用“手动扫描”将波长起点调至550nm，关掉“手动扫描”，并将旋转方向调回“正”向；
(6)按下Boxcar界面上的“start”键，当工作灯亮起时，立即“启动”单色仪；
(7)扫描结束，立即关闭单色仪；
(8)保存数据，将数据另存为txt文件；
(9)重复(5)-(8)，测量第二段600nm-650nm。
Ⅱ、微弱信号检测
(1)打开激光，调整其功率至预设范围300mw左右，预热，并同时打开制冷装
置（保持其水温在17℃左右）；
(2)由于实验光路事先已布置好，所以开启单色仪，Boxcar等仪器的电源；
(3)设定Boxcar参数：
与上面的设定不同的是：扫描波长范围为550nm到650nm，分两段进行扫描，每段测量500个点，每个点测量65次共500个点，测32500次，共用400s，频率为81.25/s；先后将Average旋至1和100检测两组微弱信号，进行对比。
(4)设定单色仪参数：光栅转动速度设为3档；
(5)参数设定完毕，开始实验。首先将单色仪上的旋转方向调至“反”向，并“启
动”单色仪使波长起始点回到549.5nm处，然后“停止”，接着使用“手动扫描”
将波长起点调至550nm处，关掉“手动扫描”，并将旋转方向调回“正”向；
(6)按下Boxcar界面上的“start”键，当工作灯亮起时，立即“启动”单色仪；
(7)扫描结束，立即关闭单色仪；
(8)保存数据，将数据另存为txt文件。
(9)重复(5)-(8)，测量第二段600nm-650nm，实验完成并关闭所有的实验仪器。
(10)将弱信号局部多次平均，如前保存扫描数据。
Ⅲ仪器内部的exponential curve
按照下面的步骤连接电路，并绘制exponential curve。
The following example is designed to introduce you to the SR272 software. In this example, you will collect 2 exponential curves off the SR245 that will be generated by the SR250. In order to perform this exercise, you will need the following:
1. SR280 Mainframe
2. SR250 Gated Integrator and Boxcar Averager
3. SR245 Computer Interface module
4. The inline BNC high-pass filter that was included with the boxcar
5. 5 BNC cables
6. 1 BNC T connector
Device Setup:
1) Set the SR245 configuration switches for GPIB communication. Make note of the address.
2) Connect the BNC T connector to the SR245 "Sync" input. Connect a BNC cable from the SR250 "Busy" output to one end of this T.
3) Connect a BNC cable to the free end of the T and attach the other end to the high-pass filter. Connect the high-pass filter to the SR250 "Signal Input".Leave the "Signal Output" disconnected.
4) Using a BNC cable, connect the SR250 "Averaged Output" to Channel 1 of the
SR245. Using a BNC cable connect the SR250 "Last Sample" to Channel 2 of the
SR245.
5) Using a BNC cable, connect Channel 8 of the SR245 to the "External Delay Control" on the back of the SR250. This sets up the hardware portion of the time scan.
6) Adjust the boxcar to the following settings:
Internal trigger=100hz
Delay Multiplier 0-10=0 (It is a good idea to lock it at this value by pushing down on the black tab on the side of the multiplier knob).
Width Scale=30ns
Width Multiplier=3
Signal Sensitivity=0.5V
Set the Signal "Input Filter" toggle to DC
Averaging Samples=10
SR272 Setup
1) Click on the speed button or select Scan/Connection from the main menu. Select the GPIB page.
a) If necessary, select which type of GPIB board you are using (If you have a CEC card and no National card, the National Option may show up anyway, USE THE CEC NOT THE NATIONAL).
b) Enter the address of the SR245.
c) Enter the address of the computer (typically 0).
d) Click on Connect. The graph should disappear and then reappear. The new graph will have a light bulb in the upper left hand corner.
2) Click on the speed button or select Scan/Set up from the main menu. Go to the Scan Parameters page and select the following:
a) 2 in the Number of Channels radio box.
b) Single in the Scan Type radio box.
c) In the Data Points box, type in 100 for number of points and 1 for
Triggers/Point.
d) Click on the Apply button.
3) Go to the Time Scan page. Select Yes in the Time Scan radio box. Click on the Change button. The Time Scan dialog box will appear:
Delay Scale on the SR250.
c) Press OK. The Time Scan dialog box will disappear and the initial and final delay values you have set will appear on the Time Scan page of the Set Up dialog box.
d) Press OK in the Set Up dialog box. The Set Up dialog box will disappear.
4) Press the speed button, select Scan/Start from the main menu or press ctrl+B、。start the scan.
注意事项：
(1) 在本次实验中，主要的噪声来源有三个方面：
a) 背景光的影响
b) 电磁干扰
c) 电路本身材料造成实验过程中的热噪声的产生
(2) 因为有背景光所产生的噪声影响，所以在实验中我们要关掉会产生较大噪声
影响的灯光
(3) 当我们使用手电照射单色仪上的波长数据方便记录时，注意不要用手电直射，
可将手电的光打在台面上，通过散射的光来观察数据以减少外部噪声。
(4) 当我们使用单色仪上的手动扫描旋钮调节波长时，要注意力度不要太大，以
免影响仪器的放置位置导致光路被破坏并漏光。
(5) 手动扫描旋钮使用后，一定要记住轻轻把它往外拉出（即关上手动扫描）。
(6) 制冷装置的水温一般在17℃左右，每次进行一组实验前，都要记住去观察
一下水温是否正常。
(7) 完成实验后，记住关掉仪器的电源。
三、实验结果及数据分析
1. He-Ne旁侧光谱
2.微弱光电信号测量
图2 没有取样积分的结果
图3 通过取样积分得到的信号
图2为没有经过取样积分得到的信号，图3为经过100次平均以后的信号探测结果，经过对比信噪比由原来的1.71提高到15，提高了10倍左右，验证了取样积分原理中的改善信噪比公式。
3.仪器中内置电路的exponential curves
四、实验结论
Boxcar是测量噪声中微弱的周期性重复信号的有力工具。取样积分器利用一个与信号重复频率一致的参考信号，对含有噪声的信号进行取样处理。根据相关原理，信号经过多次重复提取，从而使噪声的统计平均趋于零，并提高了信噪比。并连接电路，绘制仪器内置电路的exponential curves。
目录 一、kalman滤波简介 (1) 二、kalman滤波基本原理 (1) 三、Kalman滤波在运动跟踪中的应用的建模 (3) 四、仿真结果 (6) 1、kalman的滤波效果 (6) 2、简单轨迹的kalman的预测效果 (7) 3、椭圆运动轨迹的预测 (9) 4、往返运动归轨迹的预测 (10) 五、参数的选取 (11) 附录： (13) Matlab程序： (13) C语言程序： (13)
Kalman滤波在运动跟踪中的应用 一、kalman滤波简介 最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。 Kalman滤波是卡尔曼(R.E.kalman)于1960年提出的从与被提取信号的有关的观测量中通过算法估计出所需信号的一种滤波算法。他把状态空间的概念引入到随机估计理论中，把信号过程视为白噪声作用下的—个线性系统的输出，用状方程来描述这种输入—输出关系，估计过程中利用系统状态方程、观测方程和白噪声激励(系统噪声和观测噪声)的统计特性形成滤波算法，由于所用的信息都是时域内的量，所以不但可以对平稳的一维随机过程进估计，也可以对非平稳的、多维随机过程进行估汁。 Kalman滤波是一套由计算机实现的实时递推算法．它所处理的对象是随机信号，利用系统噪声和观测噪声的统计特性，以系统的观测量作为滤波器的输入，以所要估计值(系统的状态或参数)作为滤波器的输出，滤波器的输入与输出之间是由时间更新和观测更新算法联系在一起的，根据系统方程和观测方程估计出所有需要处理的信号。所以，Kalman滤波与常规滤波的涵义与方法不同，它实质上是一种最优估计法。 卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法），对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的 二、kalman滤波基本原理 Kalman滤波器是目标状态估计算法解决状态最优估计的一种常用方法具有计算量小、存储量低、实时性高的优点。实际应用中，可以将物理系统的运行过程看作是一个状态转换过程，卡尔曼滤波将状态空间理论引入到对物理系统的数学建模过程中来。其基本思想是给系统信号和噪声的状态空间建立方程和观测方程，只用信号的前一个估计值和最近一个观察值就可以在线性无偏最小方差估计准则下对信号的当前值做出最优估计。 设一系统所建立的模型为：
10.6 卡尔曼滤波器简介 本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。 对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。这项研究是用于防空火力控制系统的。维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。 在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。 对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。 维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。空间时代的到来推动了这种滤波理论的发展。 维纳滤波与卡尔曼滤波所研究的都是基于最小均方误差准则的估计问题。 维纳滤波理论的不足之处是明显的。在运用的过程中，它必须把用到的全部数据存储起来，而且每一时刻都要通过对这些数据的运算才能得到所需要的各种量的估值。按照这种滤波方法设置的专用计算机的存储量与计算量必然很大，很难进行实时处理。虽经许多科技工作者的努力，在解决非平稳过程的滤波问题时，给出能用的方法为数甚少。到五十年代中期，随着空间技术的发展，这种方法越来越不能满足实际应用的需要，面临了新的挑战。尽管如此，维纳滤波理论在滤波理论中的开拓工作是不容置疑的，维纳在方法论上的创见，仍然影响着后人。 五十年代中期，空间技术飞速发展，要求对卫星轨道进行精确的测量。为此，人们将滤波问题以微分方程表示，提出了一系列适应空间技术应用的精练算法。1960年
Kalman滤波原理及算法 kalman滤波器 一(什么是卡尔曼滤波器 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯, 我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(线性滤波与预测问题的新方法)。 二.卡尔曼滤波器算法的介绍 以下是卡尔曼滤波器核心的5个式子。 X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1) P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2) X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3) Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4) P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) (5) 下面我们详细介绍卡尔曼滤波的过程。 首先，我们要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程来描述: X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值: Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪
声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。 对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。 下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出。 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态: X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1) 式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance: P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2) 式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值 的最优化估算值X(k|k): 和测量值，我们可以得到现在状态(k) X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3) 其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain): Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4)
Kalman滤波和数字滤波 一、kalman滤波 卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。其他的就不介绍了。 公式简介 卡尔曼滤波主要是由5个经典公式组成： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1) 式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。我们用P表示协方差： P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2) 式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3) 其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)： Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4) 到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5) 其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。 参数整定 卡尔曼滤波参数的调整：其参数有三个，P0是初始化最优角度估计的协方差（初始化最优角度估计可设为零），它是一个初值。Q是预测值的协方差，R是测量值的协方差。对Q 和R的设定只需记住，Q/(Q+R)的值就是卡尔曼增益的收敛值，比如其值为0.2，那么卡尔曼增益会向0.2收敛（对于0.2的含义解释一下，比如预测角度值是5度，角度测量值是10度，那么最优化角度为：5+0.2*（10-5）=6。从这里可以看出，卡尔曼增益越小，说明预测
Kalman 滤波原理及仿真手册 KF/EKF/UKF 原理+应用实例+MATLAB 程序 本手册的研究内容主要有Kalman 滤波，扩展Kalman 滤波，无迹Kalman 滤波等，包括理论介绍和MATLAB 源程序两部分。本手册所介绍的线性滤波器，主要是Kalman 滤波和α-β滤波，交互多模型Kalman 滤波，这些算法的应用领域主要有温度测量、自由落体，GPS 导航、石油地震勘探、视频图像中的目标检测和跟踪。 EKF 和UKF 主要在非线性领域有着重要的应用，目标跟踪是最主要的非线性领域应用之一，除了讲解目标跟踪外，还介绍了通用非线性系统的EKF 和UKF 滤波处理问题，相信读者可以通过学习本文通用的非线性系统，能快速掌握EKF 和UKF 滤波算法。 本文所涉及到的每一个应用实例，都包含原理介绍和程序代码（含详细的中文注释）。 一、四维目标跟踪Kalman 线性滤波例子 在不考虑机动目标自身的动力因素，将匀速直线运动的船舶系统推广到四 维，即状态[]T k y k y k x k x k X )() ()()()( =包含水平方向的位置和速度和纵向的位置和速度。则目标跟踪的系统方程可以用式（3.1）和（3.2）表示， )()()1(k u k X k X Γ+Φ=+ （2-4-9） )()()(k v k HX k Z += （2-4-10） 其中，? ? ???? ??? ???=Φ10 00 1000010 001 T T ，???? ???????? ??=ΓT T T T 05.00005.022，T H ?? ??????????=00100001 ，T y y x x X ? ????? ??????= ，??? ???=y x Z ，u ,v 为零均值的过程噪声和观测噪声。T 为采样周期。为了便于理解， 将状态方程和观测方程具体化：
卡尔曼滤波器综述 瞿伟军 G10074 1、卡尔曼滤波的起源 1960年，匈牙利数学家卡尔曼发表了一篇关于离散数据线性滤波递推算法的论文，这意味着卡尔曼滤波的诞生。斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器，卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)、Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表。 2、卡尔曼滤波的发展 卡尔曼滤波是一种有着相当广泛应用的滤波方法，但它既需要假定系统是线性的，又需要认为系统中的各个噪声与状态变量均呈高斯分布，而这两条并不总是确切的假设限制了卡尔曼滤波器在现实生活中的应用。扩展卡尔曼滤波器（EKF）极大地拓宽了卡尔曼滤波的适用范围。EKF的基本思路是，假定卡尔曼滤滤对当前系统状态估计值非常接近于其真实值，于是将非线性函数在当前状态估计值处进行台劳展开并实现线性化。另一种非线性卡尔曼滤波叫线性化卡尔曼滤波。它与EKF的主要区别是前者将非线函数在滤波器对当前系统状态的最优估计值处线性化，而后者因为预先知道非线性系统的实际运行状态大致按照所要求、希望的轨迹变化，所以这些非线性化函数在实际状态处的值可以表达为在希望的轨迹处的台劳展开式，从而完成线性化。 不敏卡尔曼滤波器（UKF）是针对非线性系统的一种改进型卡尔曼滤波器。UKF处理非线性系统的基本思路在于不敏变换，而不敏变换从根本上讲是一种描述高斯随机变量在非线性化变换后的概率分布情况的方法。不敏卡尔曼滤波认为，与其将一个非线性化变换线性化、近似化，还不如将高斯随机变量经非线性变换后的概率分布情况用高斯分布来近似那样简单，因而不敏卡尔曼滤波算法没
kalman滤波器 一．什么是卡尔曼滤波器 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯, 我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。 二.卡尔曼滤波器算法的介绍 以下是卡尔曼滤波器核心的5个式子。 X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ………(1)由（K-1）时刻的最优值X(k-1|k-1)得出K 时刻系统的预测值X(k|k-1)，U(k)为控制量。 P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ………(2)由（K-1）时刻最优值的偏差P(k-1|k-1) 及系统本身偏差Q得到K时刻系统预测值的偏差P(k|k-1) X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ………(3)由K时刻系统预测值X(k|k-1)及测量值Z（K）还有卡尔曼增益Kg(k)得到K时刻系统的最优值估计，即X(k|k) Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)由K时刻系统预测值的偏差P(k|k-1)及预测值误差R得到卡尔曼增益Kg(k) P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) …………(5)由K时刻系统预测值的偏差P(k|k-1)及卡尔曼增益得到K时刻最优值X(k|k)的估计偏差P(k|k) 以上介绍是针对单值卡尔曼滤波的预测，若为多值，则相应Q,R等应为矩阵形式。三．卡尔曼滤波的Matlab仿真 源程序如下： clear clc; N=600;%采样点的个数 CON=25;%室内温度的理论值 x=zeros(1,N);%用来记录温度的最优化估算值 y=randn(1,N)+CON;%温度计的观测值，其中叠加了噪声 x(1)=20;%为x(k)赋初值 p(1)=2;%x(1)对应的协方差 Q=cov(randn(1,N));%过程噪声的协方差 R=cov(randn(1,N));%测量噪声的协方差 for k=2:N%循环里面是卡尔曼滤波的具体过程 x(k)=x(k-1); p(k)=p(k-1)+Q; Kg(k)=p(k)/(p(k)+R);%Kg为Kalman Gain,卡尔曼增益
1、c语言实现 1//1. 结构体类型定义 2typedef struct 3{ 4 float LastP;//上次估算协方差 初始化值为0.02 5 float Now_P;//当前估算协方差 初始化值为0 6 float out;//卡尔曼滤波器输出 初始化值为0 7 float Kg;//卡尔曼增益 初始化值为0 8 float Q;//过程噪声协方差 初始化值为0.001 9 float R;//观测噪声协方差 初始化值为0.543 10}KFP；//Kalman Filter parameter 11 12//2. 以高度为例 定义卡尔曼结构体并初始化参数 13KFP KFP_height={0.02,0,0,0,0.001,0.543}; 14 15/** 16 *卡尔曼滤波器 17 *@param KFP *kfp 卡尔曼结构体参数 18 * float input 需要滤波的参数的测量值（即传感器的采集值） 19 *@return 滤波后的参数（最优值） 20 */ 21 float kalmanFilter(KFP *kfp,float input) 22 { 23 //预测协方差方程：k时刻系统估算协方差 = k‐1时刻的系统协方差 + 过程噪声协方差 24 kfp‐>Now_P = kfp‐>LastP + kfp‐>Q; 25 //卡尔曼增益方程：卡尔曼增益 = k时刻系统估算协方差 / （k时刻系统估算协方差 + 观测噪声协方差） 26 kfp‐>Kg = kfp‐>Now_P / (kfp‐>NOw_P + kfp‐>R); 27 //更新最优值方程：k时刻状态变量的最优值 = 状态变量的预测值 + 卡尔曼增益 * （测量值 ‐ 状态变量的预测值） 28 kfp‐>out = kfp‐>out + kfp‐>Kg * (input ‐kfp‐>out);//因为这一次的预测值就 是上一次的输出值 29 //更新协方差方程: 本次的系统协方差付给 kfp‐>LastP 威下一次运算准备。 30 kfp‐>LastP = (1‐kfp‐>Kg) * kfp‐>Now_P; 31 return kfp‐>out； 32 } 2、初值
卡尔曼滤波器 来这里几个月，发现有些问题很多人都很感兴趣。所以在这里希望能尽自己能力跟大家讨论一些力所能及的算法。现在先讨论一下卡尔曼滤波器，如果时间和能力允许，我还希望能够写写其他的算法，例如遗传算法，傅立叶变换，数字滤波，神经网络，图像处理等等。 因为这里不能写复杂的数学公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是这方面的专家，欢迎讨论更正。 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1 954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach t o Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： https://www.doczj.com/doc/0c14334848.html,/~welch/media/pdf/Ka lman1960.pdf。 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是1 00%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Nois e），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
设计Kalman Filter的一个实例 1 背景 Kalman滤波是卡尔曼(R。E。Kalman)于1960年提出的从与被提取信号有关的观测量中通过算法估计出所需信号的一种滤波算法。他把状态空间的概念引入到随机估计理论中，把信号过程视为白噪声作用下的一个线性系统的输出，用状态方程来描述这种输入一输出之间的关系，估计过程中利用系统状态方程、观测方程和白噪声激励(系统噪声和观测噪声)的统计特性形成滤波算法，由于所有的信息都是时域内的量，因此不但可以对平稳的一维的随机过程进行估计，也可以对非平稳的、多维随机过程进行估计。这就完全避免了Wiener滤波在频域内设计时遇到的限制，使用范围比较广泛。 实际上，Kalman滤波是一套由计算机实现的实时递推算法，它所处理的对象是随机信号，利用系统噪声和观测噪声的统计特性，以系统的观测量作为滤波器的输入，以所要估计值(系统的状态或参数)作为滤波器的输出，滤波器的输入与输出之间是由时间更新和观测更新算法联系在一起的，根据系统方程和观测方程鼓励出所有需要处理的信号。继1960年，R。E。Kalman提出了离散系统的Kalman滤波之后，次年，他与布西(R。s。Bucy)合作，把这一滤波方法推广到连续时间系统中去lv]，从而形成Kalman滤波估计理论。这种滤波方法采用了与Wiener滤波相同的估计准则，二者的基本原理是一致的。但是，Kalman滤波是一种时域滤波方法，采用状态空间方法描述系统，算法采用递推形式，数据存储量小，不仅可以处理平稳随机过程，也可以处理多维和非平稳随机过程。 正是由于Kalman滤波具有以上一些其他滤波方法所不具备的有点，Kalman 滤波理论一提出，立即应用到实际工程中。阿波罗登月计划和C一SA飞机导航体统的设计是最早应用中最成功的实例。随着电子计算机的迅速发展和广泛应用，Kalman滤波在工程实践中，特别实在航空空间技术中迅速得到应用。目前，Kalman滤波理论作为一种最重要最优估计理论被广泛应用于各种领域，如惯性导航(INS)、制导系统、全球定位系统(GPs)、目标跟踪、通信于信号过程、金融、电机等。进一步，Kalman滤波理论被应用于最优控制问题、故障诊断等应用领
卡尔曼滤波器介绍 Greg Welch1and Gary Bishop2 TR95-041 Department of Computer Science University of North Carolina at Chapel Hill3 Chapel Hill,NC27599-3175 翻译：姚旭晨 更新日期:2006年7月24日，星期一 中文版更新日期：2007年1月8日，星期一 摘要 1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。 卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述。它们提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。 这篇文章介绍了离散卡尔曼理论和实用方法，包括卡尔曼滤波器及其衍生：扩展卡尔曼滤波器的描述和讨论，并给出了一个相对简单的带图实例。 1welch@https://www.doczj.com/doc/0c14334848.html,,https://www.doczj.com/doc/0c14334848.html,/?welch 2gb@https://www.doczj.com/doc/0c14334848.html,,https://www.doczj.com/doc/0c14334848.html,/?gb 3北卡罗来纳大学教堂山分校，译者注。 1
Welch&Bishop,卡尔曼滤波器介绍2 1离散卡尔曼滤波器 1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文[Kalman60]。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。[Maybeck79]的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以参考[Sorenson70]，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。更广泛的参考包括[Gelb74,Grewal93,Maybeck79,Lewis86,Brown92,Jacobs93]。 被估计的过程信号 卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量x∈ n。这个离散时间过程由以下离散随机差分方程描述： x k=Ax k?1+Bu k?1+w k?1,(1.1)定义观测变量z∈ m，得到量测方程： z k=Hx k+v k.(1.2)随机信号w k和v k分别表示过程激励噪声1和观测噪声。假设它们为相互独立，正态分布的白色噪声： p(w)～N(0,Q),(1.3) p(v)～N(0,R).(1.4)实际系统中，过程激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R可能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。 当控制函数u k?1或过程激励噪声w k?1为零时，差分方程1.1中的n×n 阶增益矩阵A将上一时刻k?1的状态线性映射到当前时刻k的状态。实际中A可能随时间变化，但在这儿假设为常数。n×l阶矩阵B代表可选的控制输入u∈ l的增益。量测方程1.2中的m×n阶矩阵H表示状态变量x k 对测量变量z k的增益。实际中H可能随时间变化，但在这儿假设为常数。滤波器的计算原型 定义?x?k∈ n（?代表先验，?代表估计）为在已知第k步以前状态情况下第k步的先验状态估计。定义?x k∈ n为已知测量变量z k时第k步的后验状态估计。由此定义先验估计误差和后验估计误差： ≡x k??x?k, e? k e k≡x k??x k 1原文为process noise，本该翻译作过程噪声，由时间序列信号模型的观点，平稳随机序列可以看成是由典型噪声源激励线性系统产生，故译作过程激励噪声。 UNC-Chapel Hill,TR95-041,July24,2006
3 卡尔曼滤波器的简介 3.1 卡尔曼滤波器的概述 卡尔曼滤波器[4] 由一系列递归数学公式描述，它们提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大，它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise ），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution ）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k 时刻的是实际温度值。首先你要根据1k -时刻的温度值，来预测k 时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k 时刻的温度预测值是跟1k -时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果1k -时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k 时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k 时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差来判断。因为 252(52 42)Kg ∧∧∧∧ =+，所以0.78 Kg =，我们可以估算出k 时刻的实际温度值是：230.78(2523)24.56+*-=度。可以看出，因为温度计的协方差比较小（比较相信温度计），所以估算 出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k 时刻的最优温度值了，下一步就是要进入1k -时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入1k -时刻之前，我们还要算出k 时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1)5 2)0.5 2.35Kg ∧ ∧-*=。这里的5就是上面的k 时刻你预测的 那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入1k +时刻以后k 时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把协方差递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的协方差。上面的Kg ，就是卡尔曼增益（Kalman Gain ）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值！ 3.2 卡尔曼滤波器的算法
自适应卡尔曼滤波 卡尔曼滤波发散的原因 如果卡尔曼滤波是稳定的，随着滤波的推进，卡尔曼滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差阵也应趋于稳定值或有界值。但在实际应用中，随着量测值数目的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大，使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。 引起滤波器发散的主要原因有两点：（1）描述系统动力学特性的数学模型和噪声估计模型不准确，不能直接真实地反映物理过程，使得模型与获得的量测值不匹配而导致滤波发散。这种由于模型建立过于粗糙或失真所引起的发散称为滤波发散。 （2）由于卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差将逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差很有可能使估计误差方差阵失去非负定性甚至失去对称性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。这种由于计算舍入误差所引起的发散称为计算发散。 针对上述卡尔曼滤波发散的原因，目前已经出现了几种有效抑制滤波发散的方法，常用的有衰减记忆滤波、限定记忆滤波、扩充状态滤波、有限下界滤波、平方根滤波、和自适应滤波等。这些方法本质上都是以牺牲滤波器的最优性为代价来抑制滤波发散，也就是说，多数都是次优滤波方法。 自适应滤波 在很多实际系统中，系统过程噪声方差矩阵Q和量测误差方差阵R事先是不知道的，有时甚至连状态转移矩阵或量测矩阵H也不能确切建立。如果所建立 的模型与实际模型不符可能回引起滤波发散。自适应滤波就是这样一种具有抑制滤波发散作用的滤波方法。在滤波过程中，自适应滤波一方面利用量测值修正预测值，同时也对未知的或不确切的系统模型参数和噪声统计参数进行估计修正。自适应滤波的方法很多，包括贝叶斯法、极大似然法、相关法与协方差匹配法，其中最基本也是最重要的是相关法，而相关法可分为输出相关法和新息相关法。 在这里只讨论系统模型参数已知，而噪声统计参数Q和R未知情况下的自适应滤波。由于Q和R等参数最终是通过增益矩阵K影响滤波值的，因此进行自适应滤波时，也可以不去估计Q和R等参数而直接根据量测数据调整K就可以了。 输出相关法自适应滤波的基本途径就是根据量测数据估计出输出函数序列 {C k}，再由{C讣推算出最佳增益矩阵K,使得增益矩阵K不断地与实际量测数据 {C k} 相适应。
卡尔曼滤波的原理说明 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：https://www.doczj.com/doc/0c14334848.html,/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。 另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。 首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测
为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入
Kalman滤波
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卡尔曼生平
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? 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，美籍匈牙利数学 家，1930年出生于匈牙利首 都布达佩斯。1953，1954年 于麻省理工学院分别获得电 机工程学士及硕士学位。 1957年于哥伦比亚大学获得 博士学位。我们要学习的卡 尔曼滤波器，正是源于他的 博士论文和1960年发表的论 文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》 （线性滤波与预测问题的新 方法）。
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1.引言
? 卡尔曼(Kalman)滤波和维纳(Wiener)滤波都是 以最小均方误差为准则的最佳线性估计或 滤波。 ? 维纳滤波只适用于平稳随机过程(信号) ? 卡尔曼滤波没有这个限制，信号可以是平 HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 稳的，也可以是非平稳的。
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2.处理方法——维纳滤波器
根据全部过去的和当前的观测数据x(n),x(n-1), … 来估计信号的当前值
HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 以均方误差最小条件下求解
系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)
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2.处理方法——卡尔曼滤波器
不需要全部过去的观察数据 只根据前一个估计值 来估计信号的当前值
? k -1 x
和最近一个观察数据
yk
它是用状态空间法描述系统，即由状态方程和观 HANGZHOU DIANZI UNIVERSITY 测方程组成。 解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的 其算法是递推 且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法 适用于多维随机过程的估计，适用于计算机处理
在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：https://www.doczj.com/doc/0c14334848.html,/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance