2019-2020学年福建省厦门市思明区双十中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形中，是轴对称图形的为（）
A．B．C．D．
2．（4分）2x3可以表示为（）
A．x3+x3B．2x4﹣x C．x3?x3D．2x6÷x2
3．（4分）下列计算的依据是同底数幂乘法的性质的是（）
A．（ab）2B．a2?a3C．（a3）2D．2a2﹣a2
4．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（）可得△AFC≌△AEB．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
5．（4分）若一个等腰三角形的两边长分别是1和3，则它的周长为（）
A．5B．7C．5或7D．4或7
6．（4分）如图，下列角中是△ACD的外角的是（）
A．∠EAD B．∠BAC C．∠ACB D．∠CAE
7．（4分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
8．（4分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有（）
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③AD+DE+AE＝AB+AC；④BF＝CF．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（4分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①：
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（）
A．AC平分∠BAD B．BC＝CH
C．S△ABC＝BC?AH D．BH平分线段AD
10．（4分）当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（）
A．a和b B．a和c C．b和c D．a、b和c
二、填空题（本大题有6小题，第1题每空2分其余每题4分，共26分
11．（6分）计算：（1）a4?a＝．
（2）（x5）2＝．
（3）（﹣3ab3）2＝．
12．（4分）在平面直角坐标系内，点（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是．
13．（4分）一个n边形的内角和是540°，那么n＝．
14．（4分）如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，则△ABD的面积为．
15．（4分）已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x结果为．
16．（4分）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．
三、解答题（本题有9小题，共84分）
17．（6分）计算：（2x2）3+x4?x2
18．（8分）如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB＝DF，∠A＝∠F，求证：BC＝DE．
19．（9分）已知点A（0，3），B（﹣3，0），C（﹣1，1）．请在平面直角坐标系中画出△ABC，并画出与△ABC关
于y轴对称的图形．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；
②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，写出点P的坐标．
21．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）求证：点D在AB的垂直平分线上；
（2）若CD＝2，求BC的长．
22．（8分）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BD＝CA，③∠B＝∠C，④∠BAD＝∠CDA．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，△AED是等腰三角形作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．（写出一种即可）
已知：如图，AC、BD交于点E，．
求证：．
23．（11分）在直角坐标系中，A（m，0）为x轴负半轴上的点，B（0，n）为y轴负半轴上的点．（1）如图，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．若已知m＝﹣2，n＝﹣4，试求C点的坐标；
（2）若∠ACB＝90°，点C的坐标为（4，﹣4），请在坐标系中画出图形并求n﹣m的值．
24．（12分）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
25．（12分）在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．
（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．
试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．
①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：．
②直接写出NP+MP的最小值．
（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：PC＝P A．
2019-2020学年福建省厦门市思明区双十中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．【答案】A
【解答】解：
A选项，x3+x3＝2x3，选项符合
B选项，2x4﹣x不能合并同类项，不符合
C选项，x3?x3＝x6，不符合
D选项，2x6÷x2＝2x4，不符合
∴只有选项A符合题意
故选：A．
3．【答案】B
【解答】解：A．（ab）2，根据积的乘方运算法则计算，故本选项不合题意；
B．a2?a3，根据同底数幂乘法的性质计算，故本选项符合题意；
C．（a3）2，根据幂的乘方运算法则计算，故本选项不合题意；
D.2a2﹣a2，根据合并同类项法则计算，故本选项不合题意．
故选：B．
4．【答案】B
【解答】解：∵BE、CF是中线，
∴AE＝AC，AF＝AB，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE，
在△AFC和△AEB中，
∴△AFC≌△AEB（SAS），
故选：B．
5．【答案】B
【解答】解：当1是腰时，则1+1＜3，不能组成三角形，应舍去；
当3是腰时，则三角形的周长是1+3×2＝7．
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：三角形的一边与另一边的延长线的夹角是三角形的外角，图中∠ACB是△ACD的外角．故选：C．
7．【答案】A
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故选：A．
8．【答案】C
【解答】解：①∵∠B、∠C的平分线相交于F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF．
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠CBF，∠CFE＝∠BCF，
∴∠DBF＝∠BFD，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝FD，CE＝EF．
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形．故①正确；
②根据①得DE＝DF+EF＝DB+CE．故②正确；
③根据②得AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC．故③正确；
④AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等．故④错误．
故选：C．
9．【答案】D
【解答】解：根据作图可知：
∴连接CD，BD，
AC＝CD，AB＝DB，
∴BH是AD的垂直平分线，
∴BH平分线段AD．
故选：D．
10．【答案】A
【解答】解：要想求AD的长，仅需知道BC和BD的长，理由是：如图4，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∵
∴△DEB≌△DCB（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝a，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝a，
∵BD＝DF＝b，
∴AD＝AF+DF＝a+b．
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题，第1题每空2分其余每题4分，共26分11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）．a4?a＝a4+1＝a5；
故答案为：a5；
（2）（x5）2＝x5×2＝x10，
故答案为：x10；
（3）（﹣3ab3）2＝（﹣3）2?a2（b3）2＝9a2b6．
故答案为：9a2b6．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：点（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）．13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5．
故答案为：5．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵点D的坐标是（0，﹣4），
∴OD＝4，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，
∴DE＝OD＝5，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故答案为24．
15．【答案】．
【解答】解：∵3x+2＝3x×32＝9×3x，
∴9×3x＝m．
∴3x＝．
故答案为：．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故答案为：7．
三、解答题（本题有9小题，共84分）
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝8x6+x6
＝9x6．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥DE
∴∠B＝∠EDF；
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
∴BC＝DE．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，△ABC和△AB′C′为所作．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）作图如右，点P即为所求作的点．
（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，
由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，且OF＝3，
∵OP是坐标轴的角平分线，
∴P（3，3），
同理可得：P（3，﹣3），
综上所述：符合题意的点的坐标为：（3，3），（3，﹣3）．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上；
（2）在Rt△ADC中，AD＝2CD＝4，
∴BD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+2＝6．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】已知：如图，AC、BD交于点E，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：△AED是等腰三角形．
证明：在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴EA＝ED，即△AED是等腰三角形．
故答案为：AB＝DC，∠B＝∠C；△AED是等腰三角形．23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）过C点作CQ⊥x轴，垂足为Q，如图：
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠CAB＝90°，AC＝AB
∴∠QAC+∠OAB＝90°
又∵CQ⊥x轴，∠AOB＝90°
∴∠QAC＝∠ABO，∠OAB＝QCA
∴△AQC≌△BOA（ASA）
∴AQ＝BO，CQ＝OA
∴m＝﹣2，n＝﹣4时，C点坐标（﹣6，﹣2）
答：C点坐标（﹣6，﹣2）
（2）作图如下：
根据勾股定理可得：
AC2+BC2＝AB2
OA2+OB2＝AB2
∴（m﹣4）2+[0﹣（﹣4）]2+（4﹣0）2+（﹣4﹣n）2＝m2+n2
化简得：n﹣m＝﹣8
答：n﹣m的值是﹣8．
24．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）如右图所示，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）（2）解：∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA＝CD．
∵∠ACN＝α，
∴∠ACD＝2∠ACN＝2α．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵等边△ABC，
∴CA＝CB＝CD，∠ACB＝60°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．
∴∠BDC＝∠DBC＝（180°﹣∠BCD）＝60°﹣α．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（3）结论：PB＝PC+2PE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
本题证法不唯一，如：
证明：在PB上截取PF使PF＝PC，如右图，连接CF．
∵CA＝CD，∠ACD＝2α
∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α．
∵∠BDC＝60°﹣α，
∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
∴PD＝2PE．
∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF＝∠CFP＝60°．
∴∠BFC＝∠DPC＝120°．
∴在△BFC和△DPC中，
∴△BFC≌△DPC．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
25．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①如图2所示：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P，
∵点M与点M'关于EC对称，
∴MP＝M'P，
∴NP+MP＝NP+M'P，
∴点N，点P，点M'三点共线，且M'N⊥BC时，NP+MP的值最小；
故答案为：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P；
②∵∠ACB＝120°，BC＝CA，AB＝16，E是AB中点，
∴∠B＝30°，BE＝AE＝8，且EM＝2，
∴BM'＝10，
∵∠B＝30°，M'N⊥BC，
∴MN'＝5，
∴NP+MP的最小值为5，
故答案为：5；
（2）如图3，在BE上截取EF＝PE，
∵∠BPC＝75°，BC＝BP，
∴∠BCP＝∠BPC＝75°，
∴∠CBP＝30°，
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠ABP＝15°，
∵∠BPC＝∠PBE+∠BEP＝75°，
∴∠BEP＝60°，且EF＝PE，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF＝EF，∠FPE＝60°＝∠PFE，
∵∠PFE＝∠PBE+∠BPF，∠PEF＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BPF＝∠BAC＝45°，∠ACE＝∠PBF＝15°，且BP＝BC＝AC，∴△BPF≌△CAP（ASA）
∴PF＝AE，
∴PE＝AE，∠PEA＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴∠EP A＝∠P AE＝30°，
∵∠EP A＝∠PCA+∠P AC＝30°，
∴∠PCA＝∠P AC＝15°，
∴PC＝P A．