1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)
函数1
()(2(0)x
F x dt x =
>?
的单调减少区间为______________. (2) 由曲线223212,
x y z ?+=?=?绕y
轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧
的单位法向量为______________.
(3) 设函数2
()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为
01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑,则其中系数3b 的值为______________. (4)
设数量场u =则(grad )div u =______________.
(5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1n -,则线性方程组0Ax =的通解
为______________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设sin 20
()sin()x
f x t dt =
?
,34()g x x x =+则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )
(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小
(2) 双纽线2
22
2
2
()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )
(A) 40
2
cos 2d π
θθ?
(B) 40
4cos 2d π
θθ?
(C) 2
θ (D) 240
1(cos 2)2d π
θθ?
(3) 设有直线1158
:121x y z L --+==-与26:23
x y L y z -=??+=?,则1L 与2L 的夹角为 ( ) (A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π
(4) 设曲线积分
[()]sin ()cos x
L
f x e ydx f x ydy --?与路径无关,其中()f x 具有一阶连续
导数,且(0)0f =,则()f x 等于 ( )
(A) 2x x e e -- (B) 2x x
e e --
(C) 12x x e e -+- (D) 12
x x
e e -+- (5) 已知12324369Q t ?? ?
= ? ???
,P 为三阶非零矩阵,且满足0PQ =,则
(A) 6t =时,P 的秩必为1 (B) 6t =时,P 的秩必为2
(C) 6t ≠时,P 的秩必为1 (D) 6t ≠时,P 的秩必为2
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 21lim(sin
cos )x x x x
→∞
+. (2) 求
x
. (3) 求微分方程2
2
x y xy y '+=,满足初始条件1|1x y ==的特解.
四、(本题满分6分)
计算
2
2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
+-??,其中∑
是由曲面z =
与
z =所围立体的表面外侧.
五、(本题满分7分)
求级数20
(1)(1)
2n n
n n n ∞
=--+∑的和.
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,+)∞
内有且仅有一个零点. (2) 设b a e >>,证明b a
a b >.
七、(本题满分8分)
已知二次型222
12312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>,通过正交变换化成标准形
222
12325f y y y =++,求参数a 及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分6分)
设A 是n m ?矩阵,B 是m n ?矩阵,其中n m <,E 是n 阶单位矩阵,若AB E =,证明B 的列向量组线性无关.
九、(本题满分6分)
设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与
A 同时出发,其速度大小为2v ,方向始终指向A ,试建立物体
B 的运动轨迹所满足的微分方
程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第
二次抽出的是次品的概率为_______. (2) 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2
Y X =在(0,4)内的概率分布密
度()Y f y =_______.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X 的概率分布密度为||
1()2
x f x e -=
,x -∞<<+∞. (1) 求X 的数学期望()E X 和方差()D X .
(2) 求X 与||X 的协方差,并问X 与||X 是否不相关？ (3) 问X 与||X 是否相互独立？为什么？
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】104
x <≤
【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.
将函数1
()(2,x
F x dt =
?
两边对x 求导,得
()2F x '=-.
若函数()F x 严格单调减少,
则()20F x '=-
<,
1
2<.
所以函数()F x 单调减少区间为1
04
x <≤
. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.
(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.
(2)
【解析】先写出旋转面S 的方程：222
3()212x z y ++=. 令 2
2
2
(,,)3()212F x y z x z y =++-. 则S 在点(,,)x y z 的法向量为
{},,6,4,6F F F n x y z x y z ?????=±=±???????
,
所以在点处的法向量为
{
{2n =±=±. 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为
()
02
20,0,||
n n n ==
=
=. (3)【答案】2
3
π
【解析】按傅式系数的积分表达式 1
()sin n b f x nxdx π
ππ
-
=?,
所以 2231
1
()sin 3sin 3sin 3b x x xdx x xdx x xdx π
π
π
π
π
π
ππ
π
-
--
=
+=+
???.
因为2
sin 3x x 为奇函数,所以
2sin 30x xdx π
π
-
=?；
sin3x xdx 为偶函数,所以
30
sin 32sin 3b x xdx x xdx ππ
π
-==??
01222(cos3)cos3cos3333x xd x x xdx π
π
π
??=-=-+?????
?
22sin 32
3333x π
ππ??=+=????. (4)【答案】
222
1
x y z ++
【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z
???=
++???, 所以 222222(grad ),,u u u u u u
div u div x y z x y
z ????????==++??????????.
数量场u =,,x y z 求偏导数,得
2
22u
x
x
x y z
?==?++, 由对称性知
222u y y x y z ?=?++, 222u z
z x y z
?=?++, 将
,,u u u
x y z
??????分别对,,x y z 求偏导,得 2222222
222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ?++-?+-==?++++, 222222222()u z x y y x y z ?+-=?++, 2222
22222()
u x y z z x y z ?+-=?++,
因此, 222222222
1
(grad )u u u div u x y z x y z ???=++=???++.
(5)【答案】(1,1,
,1)T k
【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故
0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.
各行元素的和均为0,即
1112
12122212
000
n n n n nn a a a a a a a a a ++=??++=????++=?,
而齐次方程组0Ax =为
111122121122221122000
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??
??+++=?. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,
,1)T k .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B) 【解析】0
()lim
()x f x g x →为“0
”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有
sin 2220
3423
2300000sin()()sin(sin )cos sin(sin )lim lim lim lim lim cos ()3434x
x x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===?+++?洛
223
0sin(sin )lim 34x x x x →=+.
因为当0x →,sin 0,x →所以2
22sin(sin )
sin x x x ,所以
222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343
x x x x x x x x x x →→→===+++,
所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()
lim ()
x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()
()x x αβ；
(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()
lim
()
x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)
【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单：2
cos 2ρθ=.
显然,在第一象限部分θ的变化范围是
[0,]4
π
θ∈.再由对称性得
2
4410
01442cos 22S S d d ππ
ρθθθ==?=??,
应选(A). (3)【答案】(C)
【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是
12(1,2,1),110(1,1,2)0
2
1
i j k l l =- =-=--,
1L 与2L 的夹角?的余弦为
121212||1
cos |
cos(,)|2
||||6l l l l l l ??==
==,
所以3
π
?=
,应选(C).
(4)【答案】(B)
【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关?
((())sin )(()cos )x f x e y f x y y x
??
-=-??, 即 (())cos ()cos x
f x e y f x y '-=-,
化简得 ()()x
f x f x e '+=, 即 2()x x e f x e '
??=??
, 解之得 21()2x
x e f x e C =
+, 所以 21
()()2x x f x e e C -=+. 由(0)0f = 得12C =-,因此 1()()2
x x
f x e e -=-,故应选(B).
【相关知识点】曲线积分
L
Pdx Qdy +?
在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是
P Q
y x
??=??. (5)【答案】(C)
【解析】若A 是m n ?矩阵,B 是n s ?矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤.
当6t =时,矩阵的三行元素对应成比例,()1r Q =,有()()3r P r Q +≤,知()2r P ≤, 所以,()r P 可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；
当6t ≠时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,()2r Q =,于是从()()3r P r Q +≤得()1r P ≤,又因0P ≠,有 ()1r P ≥,从而()1r P =必成立,所以应当选(C).
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】令
1
t x
=,则当x →∞时,0t →, 1
021lim(sin cos )lim(sin 2cos )x
t x t t t x x
→∞→+=+, 这是1∞
型未定式,
1
1sin 2cos 1
sin 2cos 10
lim(sin 2cos )lim(1sin 2cos 1)
t t t t t t
t t t t t t +-?
+-→→+=++-,
而1
sin 2cos 1
lim(1sin 2cos 1)
t t t t t +-→++-是两个重要极限之一,即
1
sin 2cos 1
lim(1sin 2cos 1)
t t t t t e +-→++-=.
所以 01sin 2cos 1
sin 2cos 1lim
lim(sin 2cos )lim t t t t t t t
t
t t t t e
e
→+-+-→→+==.
而 00sin 2cos 12cos 2sin lim lim 21
t t t t t t
t →→+--=洛,
故 2
21lim(sin cos )x x e x x
→∞+=.
(2)【解析】方法一
：
222x
==?.
t =,则 2
2
2ln(1),1
tdt
x t dx t =+=
+, 所以
222221
22(1)111
tdt t t dt dt t t t =?==-+++???
22arctan t t C C =-+=, 所以
22x
=
2C =. 方法二
t =,则 2
2
2
21,ln(1),1
x
tdt
e t x t dx t =+=+=
+, 所以
2222(1)ln(1)22ln(1)1x
t t t dt t dt t t ++=?=++??
2
2
2
2
2
2ln(1)2ln(1)2ln(1)41t t t td t t t dt t =+-+=+-+??. 关于2
2
1
t dt t +?的求解同方法一,所以
22ln(1)4(arctan )x
t t t t C =+--+
2C =. (3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以2
y 得
2211x y y xy --'+=,即211()1x y xy --'-+=.
令1
y
z -=,则方程化为21x z xz '-+=,即211z z x x
'-
=-, 即 3
1
()z x x '=-, 积分得 2
12
z x C x -=+.
由1
y
z -=得
2
112
x C xy -=+, 即 2
212x
y Cx
=
+, 代入初始条件1|1x y ==,得 1
2
C =
,所以所求方程的特解是2
21x y x =+. 解法二：所给方程可写成 2()y y
y x x
'=-的形式,此方程为齐次方程.
令y
u x
=,则,y xu y u xu ''==+,所以方程可化为 2u xu u u '+=-,分离变量得
(2)du dx
u u x
=-,
积分得
112ln ln ||2u x C u -=+, 即22u Cx u
-=. 以
y
u x
=代入上式,得22y x Cx y -=.代入初始条件1|1x y ==,得1C =-, 故特解为2
21x
y x =+.
四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑
=
++??,则
22P Q R z z z z x y z
???++=+-=???. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.
记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得
P Q R I dV zdV x y z ΩΩ
?????=++= ????????????.
用球坐标变换求这个三重积分.
在球坐标变换下,Ω
为：02,0,04
π
θπ?ρ≤≤≤≤
≤≤,于是
2240
cos sin I zdV d d d π
π
θ??ρ?ρΩ
==?????
340
2sin sin d d π
π??ρ=??
4
240
1112sin 212442π
ππ?ρπ???=??=??=??
??????.
五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,
2000
(1)(1)(1)(1)1()222n n n
n n
n n n n n n n A ∞
∞∞===--+--==+-∑∑∑. 第二个级数是几何级数,它的和已知
112()1231()
2
n n ∞
=-==--∑. 求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察
1
(1)(||1)1n n n x x x
∞
=-=
<+∑. 2
()(1)(1)((1))n
n n n n n S x n n x
x ∞
∞
-==''=--=-∑∑3
12
()1(1)x x ''==++, 所以 2
3
(1)(1)11124
()1222427(1)2
n n n n n S ∞
=--===+∑. 因此原级数的和 422227327
A =
+=.
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得
()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,
即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.
因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞.
由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.
又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于
()(0)()(0)(0)x x
f x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+??,
以下同方法1.
(2)【解析】先将不等式做恒等变形:
因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或
ln ln a b
a b
>
. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln a
f x a x
'=-.
因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0a
f x a x
'=->.
从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 b
a
a b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =
>,则 2
1ln ()x
f x x -'=
. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得
ln ln ()()b a
f b f a b a
=
<=
成立.即b
a
a b >.
七、(本题满分8分)
【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ?? ?
= ? ???
,它的特征方程是
222
00
||03
(2)(69)00
3
E A a a a
λλλλλλλ--=
--=--+-=--.
f 经正交变换化成标准形222
12325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的
特征值.
把1λ=代入特性方程,得2
40a -=2a ?=±.
因0a >知2a =.这时 200032023A ?? ?
= ? ???
.
对于11λ=,由()0E A x -=, 100100022011022000-???? ? ?--→ ? ? ? ?--????,得 1(0,11)T
X =-.
对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000???? ? ?--→ ? ? ? ?--????,得2(1,0,0)T
X =.
对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000???? ? ?-→- ? ? ? ?-????
,得3(0,1,1)T
X =.
将123,,X X X 单位化,得
1230101,0,1101γγγ??????? ??===? ??? ??
-????
. 故所用的正交变换矩阵为
123010(,,)00
P γγγ?
?
? ? ==
?
. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二
次的多项式)
()1211
,,
,,n n
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,
称为n 元二次型.令()12,,
,T
n x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为
()12,,,,T n f x x x x Ax =
其中A 是对称矩阵()
T
A A =,称A 为二次型()12,,
,n f x x x 的矩阵.
八、(本题满分6分)
【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若
11220n n k k k βββ+++=,
即 1212(,,
,)0n n k k k βββ??
? ?= ?
?
??
, 亦即 120n k k B
k ?? ? ?= ? ???. 两边左乘A ,得 120n k k AB k ?? ? ?= ? ???,即 12
0n k k E k ?? ? ?= ? ???,亦即 120n k k k ?? ? ?= ? ???
.
所以12,,
n βββ线性无关.
证法二：因为B 是m n ?矩阵,n m <,所以()r B n ≤. 又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,
n βββ线性无关.
【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,
使11220m m k k k ααα++
+=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无
关．
2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩
九、(本题满分6分)
【解析】如图,设当A 运动到(0,)Y 时,B 运动到(,)x y . 由B 的方向始终指向A ,有0
dy y Y
dx x -=
-,即 .dy
Y y x
dx
=- (1) 又由dY
v dt =
,2v =得
2dY dt
=. 由题意,()x t 单调增,
0dx
dt
>,所以
2dY dt =.亦即
2dY dx
=. (2) 由(1),(2)消去Y ,
dY
dx
,便得微分方程
20xy ''=. 初始条件显然是(1)0,(1)1y y '-=-=.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.
方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.
设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210
(),(),1212
P B P B =
= 121212
(|),(|)1111
P B B P B B =
=.应用全概率公式 1121212211021
()()(|)()(|)121112116
P B P B P B B P B P B B =+=
?+?=. 方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.
由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是
21126
=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.
由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为
1
,02
()2
0,X x F x ? <
. 先求F 的分布函数2
()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.
当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,
{}{
}{
2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤
1()2X x dx dx dx =
=+=?
. 即
0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,
?=<
于是,对分布函数求导得密度函数
04
()()
0,
Y Y
y
f y F y
<<
'
==
?其他
.
故随机变量2
Y X
=在(0,4)
内的概率分布密度()
Y
f y=
方法二：也可以应用单调函数公式法.
由于2
y x
=在(0,4)内单调,
反函数()
x h y
=(0,2)内可导,且导数
()
h y
'=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y的概率密度为
[
]1,04,04, ()(),04
2
()
0,
0,0,
X
Y
y y
h y f h y y
f y
<< << '
? <<
?
===
?
??
??
其他
其他,其他.
故随机变量2
Y X
=在(0,4)
内的概率分布密度()
Y
f y=
十一、(本题满分6分)
【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.
||
()()0
2
x
x
E X xf x dx e dx
+∞+∞
-
-∞-∞
===
??.
(因为被积函数||
2
x
x
e-是奇函数,积分区域关于y轴对称,所以积分值为0.)
2
2||
2||2
()()
2
11
2
22
x
x x
x
D X x f x dx e dx
x e dx x e dx
+∞+∞-
-∞-∞
+∞+∞
--
-∞
==
=?
??
??
偶函数积分的性质
22
00
00
2
2
2() 2.
x x x
x x
x
x e dx x e xe dx
xe e dx
e
+∞+∞
--+∞-
+∞
-+∞-
-+∞
==-+
=-
=-=
??
?
（+）
(2) 根据协方差的计算公式(,)(||)()(||)
cov X Y E X X E X E X
=-来计算协方差.
因为||
()()0
2
x
x
E X xf x dx e dx
+∞+∞
-
-∞-∞
===
??,所以
||
(,)(||)0(||)(||)
1||()||0.2
x Cov X Y E X X E X E X X x x f x dx x x e dx +∞+∞
--∞
-∞
=-====?
?
(因为被积函数
||||2
x x
x e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 所以X 与||X 不相关. (3) 方法一：
对于任意正实数(0)a a <<+∞,事件{}||X a <含于事件{}X a <,且
{}01P X a <<<,
所以 {}{},||||P X a X a P X a <<=<,{}{}{}||||P X a P X a P X a <<<<, 可见 {}{}{},||||P X a X a P X a P X a <<≠<<, 因此X 与||X 不独立.
方法二：因为1
1
1
11111
{1}()1112
22
2x x x P X f x dx e dx e dx e e
+∞
---+∞
-∞-∞≤===-=+=-
???； 又1
11
10
11011
{1}()12
x x x
P X f x dx e dx e dx e e
-----≤====-=-???，显然有
{,}{}{}{}P X X P X P X P X ≤≤=≤≠≤≤11111，因此X 与||X 不独立.
Born to win
世纪文都教育科技集团股份有限公司 2018 考研数学（一）真题（完整版） 来源：文都教育 一、选择题 1.下列函数中，在 x = 0 处不可导的是： A. f ( x ) = x sin x B. f ( x ) = x sin x C. f ( x ) = cos x D. f ( x ) = cos x 2.过点(1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ), 且与曲面 z = x 2 + y 2 相切的平面为： A. z = 0 与 x + y ? z =1 B. z = 0 与 2 x + 2 y ? z = 2 C. x = y 与 x + y ? z = 1 D. x = y 与 2 x + 2 y ? z = 2 ∞ 2 n + 3 3. ∑(? 1)n = ( 2 n +1)! n =0 A. sin1 + cos1. B. 2 sin1 + cos1. C. 2 sin1 + 2 cos1. D. 2 sin1 + 3 cos1. π 1 + x 2 π 2 ) 2 1+ x 2 (1 + cos x ) d x .则： 4.设 M = ∫? d x , N = ∫? d x , K = ∫? 1 + x 2 e x 2 2 2 A. M > N > K B. M > K > N C. K > M > N D. K > N > M
世纪文都教育科技集团股份有限公司 110 01相拟的为： 1 00 1 11?1 011 001 10?1 011 001 11?1 010 001 10?1 010 001 6.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X Y)表示分块矩阵，则 A. r ( A AB )= r ( A) B. r ( B BA)= r ( A) C.r( A B )=max{ r ( A), r ( B)} D.r( A B )= r ( A T B T) 7.设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1?x)，且∫02f(x)d x=0.6，则P{x<0}= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 8.设总体X服从正态分布 N (μ,σ2). X 1, X 2, X n是来自总体X的简单随机样本，据此样本检 验假设： H 0:μ=μ0, H1:μ≠μ0.则： A.如果在检验水平α=0.05下拒绝H0，那么在检验水平α=0.01下必拒绝H0 .
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知0()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000 000,0000 0n n a a A a a -?? ??? ? ? ?=???????? 其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________. (5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等 品,则取到的是一等品的概率为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 曲线2 1 21 arctan (1)(2) x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( ) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程 1 ()0() x x a b f t dt dt f t +=? ? 在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 (3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( ) (A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14), ααα=-==4(1,2,2,0),α=- 5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( ) (A) 123,,ααα (B) 124,,ααα
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)0 11 limcot ( )sin x x x x →-=_____________. (2)曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设sin x x u e y -=,则2u x y ???在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D 为2 2 2 x y R +≤,则22 22()D x y dxdy a b +=??_____________. (5)已知11(1,2,3),(1,,)23 αβ==,设T A αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)设422 2 sin cos 1x M xdx x π π-=+?,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+?,23422(sin cos )P x x x dx π π-=-?, 则() (A)N P M <<(B)M P N << (C)N M P <<(D)P M N << (2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的() (A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0λ>,且级数 21 n n a ∞=∑收敛, 则级数1 (1)n n ∞ =-∑() (A)发散(B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关 (4)2 tan (1cos )lim 2ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有() (A)4b d =(B)4b d =- (C)4a c =(D)4a c =- (5)已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组() (A)12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关 (B)12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关
1994年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)0 11 lim cot ( )sin x x x π→-= _____________. (2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,x x u y -=则2u x y ???在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D 为2 2 2 ,x y R +≤则22 22()D x y dxdy a b +??=_____________. (5)已知11 [1,2,3],[1,,],23 ==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 434234222 2222 sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x π ππ πππ--- ==+=-+???则有 (A)N P M << (B)M P N << (C)N M P << (D)P M N << (2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数2 1 n n a ∞ =∑收敛, 则级数1 (1)n n ∞ =-∑ (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2 tan (1cos )lim 2,ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有 (A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441 ,,,----αααααααα
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -???? ?? ??=???????? L L M M M M L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为 2,01, ()0,x x f x <,而级数 21 n n a ∞ =∑收敛, 则级数 1 (1) n n ∞ =-∑ ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ?矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则 ( ) (A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定
1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二) 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) （1）已知()()==?????=≠=-a x x a x xosx x f x 处连续，则，在， ，000 2 _____________. （2）设则,11ln 2 x x y +-==''=0x y _____________. （3） () =-? x x dx 4_____________. （4）设 =++? +∞ 28 4x x dx _____________. （5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1--==-= ααα），（），（t 的秩为2，则t =_____________. 二、选择题 1.设n x x x e e x 与时，-→tan ,0是同阶无穷小，则n 为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>记1231 (),()(),[()()](), 2 b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-?则（ ） (A)123S S S << (B) 231S S S << (C)312S S S << (D)213S S S << (3)已知函数()x f y =对一切x 满足()()()()则若,00,1][3002≠='-='+''-x x f e x f x x f x x （ ） (A)()()的极大值是x f x f 0 (B)()()的极小值是x f x f 0 (C)()）的拐点（是，x f y x f x =)(00 (D)()()()()的拐点也不是曲线的极值， 不是x f y x f x x f x f =)(,000 (4)设2sin ()e sin ,x t x F x tdt π += ? 则()F x （ ） (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 （5）.设()()()为则][,0,0,,0 ,20 ,22x f g x x x x x f x x x x x g ???? ????≥-<=>+≤-=（ ） （A ）?<+0 ,22x x （B ）?<-0,22x x
2007年考研数学一真题 一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 (2)曲线渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3 【答案】D。 【解析】 由于
， 则是曲线的垂直渐近线； 又 所以是曲线的水平渐近线； 斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。 则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下 半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设 ,则下列结论正确的是 (A)
(B) (C) (D) 四个选项中出现的 由定积分几何意义知,排除又由 的图形可知 的奇函数，则 显然排除(A)和(D),故选(C)。 综上所述，本题正确答案是C 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4)设函数在 处连续，下列命题错误．． 的是 (A)若 存在，则
(B)若存在，则 (C)若存在，则存在 (D)若存在，则存在 若因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A) 若存在，则,， 正确。 (C)存在，知，则 存在，故 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题(D)不正确。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下
1 / 26 历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示