专题 数列求和在全国高中数学联赛中的应用
数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。
一、 基础知识
1.常用的数列求和公式：
(1)d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
(2)=n S ?
??
??≠--=--=)1(11)1()1111q q q
a a q
q a q na n n （
(3))1(211+=∑
=n n k n
k ；)12)(1(61
1
2++=∑
=n n n k n
k ；
21
3
)]1(2
1
[+=∑=n n k
n
k 2.累加法：给出数列｛a n ｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。
3.错位相减法：主要用于求形如{n n b a ?}数列前n 项的和，其中｛a n ｝、｛b n ｝分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当1≠q 时的情况：
q
q a S n n --=1)1(1就是通过错位相减法得到的。
4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：2
)
(1n n a a n S +=
就是用倒序相加法推导出来的。 5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。
例1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是：)12)(1(++=n n n a n ，试求｛a n ｝ 的前n 项和n S 。
导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。
把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。
)21()21(3)21(2222333n n n S n +++++++++=∴ 利用求和公式可得：
2)2()1(2)1(6)12)(1(32)1(222
++=++++?+??
?
???+?=n n n n n n n n n n S n 6.裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法实质是将数列中的某些项分解而后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。
7.利用数列周期性求和：有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和。关键之处是寻找周期。
例2. 已知数列且中,212121,2,1,}{++++++===n n n n n n n a a a a a a a a a
21++n n a a ∑==
≠1999
1
1999,1n n
a
S 则= 。（1999年河南省高中数学竞赛）
二、 综合应用
例3. 设2
44)(+=
x
x
x f ，那么和式 +++)10013()10012()10011(f f f + )1001
1000
(f 的值等于： 。
（1986年全国高中数学联赛） 例4.对于每个自然数n ，抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴交于
n n B A ,两点，以||n n B A 表示两点间的距离，则||||2211B A B A +++
||19921992B A 的值是（ ）（1992年全国高中数学联赛）
A ．
19921991 B ．19931992 C ．19931991 D ．1992
1993
例5. )4(2≥n n 个正数排成n 行n 列，
n a a a a a 114131211 n a a a a a 224232221 n a a a a a 334333231 n a a a a a 444434241 ……
nn n n n n a a a a a 4
3
2
1
其中每一行数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都有相等，已知16
3
,81,1434224===a a a ，求nn a a a a S ++++= 332211。（1990年
全国高中数学联赛）
例6.设数列}{n a 前n 项和),2,1(12 =-=n a S n n ，数列}{n b 满足：31=b ，
),2,1(1 =+=+k b a b k k k 。求数列}{n b 的前n 项和。（1996年全国高中数学联
赛，第二试第一题）
课后：1.设n 为自然数，且3232321
2112+-+-+++=n n n n n a n 则
531111a a a ++999
9971
1a a +++ 的值是（ ）（《中等数学》竞赛训练题） A.3 B.4 C.5 D.6 2.设N n n S n ∈++++=,321 。求1
)32()(++=n n
S n S n f 的最大值。（2000
年全国高中数学联赛）
3.设n n x a )3(-是的展开式中x 项的系数（n=1,2,3,…），则：
=???
?
?
?+++∞→n n n a a a 333lim 3322 。（2000年全国高中数学联赛） 4.数列+=-==-=+++n n n n n n a a a a a n a a a a 321321,2,1,1,}{有若对自然数中
且
321+++++n n n a a a 1321≠+++n n n a a a 则 该数列的前
4321项和
432
S = 。（2000年上海高中数学竞赛）
5.已知abx x f x 2
1
)13(log )(3
1++=为偶函数，x
x b a x g 22)(++
=为奇函数，
其中C b a ∈,，则200032200032b b b b a a a a +++++++++ = 。 （2000年河北省高中数学竞赛）
6.设正数列 ,,,,,210n a a a a 满足12122----=-n n n n n a a a a a )2(≥n 且110==a a ，求}{n a 通项公式。（1993年全国高中数学联赛）
答案提示：1.5),
11(2
1
15001
1233=--+=∑
=-i i n a n n a ； 2.
50
1
； 3.18； 4.利用周期性可得：-4321； 5.-2； 6.利用累加法和递推关系可得：当n=0时10=a ;当N n ∈时，∏=-=
n
k k
n a 1
2)12
(
）
1.导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规
律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。
把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。)21()21(3)21(2222333n n n S n +++++++++=∴ 利用求和公式可得：
2)2()1(2)1(6)12)(1(32)1(222
++=++++?+??
?
???+?=n n n n n n n n n n S n 2.导析：此题中给出的是数列递推式，不难想到｛a n ｝是周期数列。
把2,121==a a 代入 2121++++++=n n n n n n a a a a a a (1)，可求出33=a ；再用n+1去换（1）式中n 可得： =+++321n n n a a a 321+++++n n n a a a (2)。由（2）-（1）得：0)1)((213=--+++n n n n a a a a 。
121≠++n n a a 故n n a a =+3，周期为3，通过计算可得39971999=S
3.导析：题中的
10011，,,10012 1001999,1001
1000直接代入)(x f 不仅计算量大，而且很难得到正确结果，于是转而寻求这些变量的关系。设x+y=1,
则有：
12
4
42
442
442
44)()(11=++
+=
++
+=
+--x
x x
x y
y x
x y f x f ，故此题可用倒序相加法。
)10011000
()10013()10012()10011(f f f f S +++= （1）
)1001
1()1001998()1001999()10011000(f f f f S +++= （2）
由（1）+（2）可得2S=
个
10001111++++，∴所求的值为500。值得说明的是：此题不用倒序相加法，而用首尾相加法也可，不过这样必须讨论n 是奇数还是偶数，从本题中也可以看到倒序相加法可以避免讨论的优点。
4.导析：设计此题目的是考察数列的通项知识和数列的裂项求和法。
当y=0时可求得：,11,121+==
n x n x 1
1
1||+-
=∴n n B A n n 。
故 ||||2211B A B A +++ ||19921992B A )19931
19921()3121()211(-++-+-=
.1993
1992
199311)1993119921()3121()211(=-=-++-+-=
需要指出的是：对于形如：)
)((q n p n t
a n ++=（其中t 、p 、q 是常数），
一般用裂项法，把n a 拆成
)11(q
n p n p q t +-+?-形式，使中间的一些项能够消去，从而实现求和的目的。
5
导析：设第一行数的公差为d,各列的公比为q ，则第四行数列公
差是dq 3
,于是，由题设得出方程组：???
?
??
???
=+==+==+=1638181)(1)3(3
43311421124dq a q d a a q d a a 解之得：
2
1
11±
===q d a
因为这n 2个数均为正数，故2
111=
==q d a 。 而对于任意的n k ≤≤1有：.2
1])1([11111k
k k k kk k q d k a q a a ?=-+==--
故 n n S 2
1
212212?++?+=
①， 这类数列求和，我们通常考虑用错位相减法，在①两边同时乘以2
1
可得： 1322
1
2122121+?++?+=n n S ② 由①-②得：
132212*********+?-++++=n n n S n n n S 2
2121--=∴- 6.导析：此题n n a b 依赖于，故应先求出n a 。
由12-=n n a S ① 可得： )2(1211≥-=--n a S n n ②。
由①-②得12-=n n a a )2(≥n ，当n=1时：12111-==a S a ∴11=a 。因此}{n a 是以1为首项，公比为2的等比数列。 对于),2,1(1 =+=+k b a b k k k 有： 31=b
223b a b += 334b a b += ……
11--+=n n n b a b
将上列等式两端相加，得：2232
12111
11+=+--=+=---n n n n b S b 。所以}{n b 的
前n 项和：1222222112/-+=+++++=∴-n n S n n n 。值得说明的是：如上式的递推关系求数列通项时一般用累加法，即把n 个等式右分别相加。从而消去一些项，以利于求和。
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
专题 数列求和在全国高中数学联赛中的应用 数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。 一、 基础知识 1.常用的数列求和公式： (1)d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)=n S ? ?? ??≠--=--=)1(11)1()1111q q q a a q q a q na n n （ (3))1(211+=∑ =n n k n k ；)12)(1(61 1 2++=∑ =n n n k n k ； 21 3 )]1(2 1 [+=∑=n n k n k 2.累加法：给出数列｛a n ｝的递推式和初始值（等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式），求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。 3.错位相减法：主要用于求形如{n n b a ?}数列前n 项的和，其中｛a n ｝、｛b n ｝分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当1≠q 时的情况： q q a S n n --=1)1(1就是通过错位相减法得到的。 4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：2 ) (1n n a a n S += 就是用倒序相加法推导出来的。 5.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。 例1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是：)12)(1(++=n n n a n ，试求｛a n ｝ 的前n 项和n S 。 导析：很多学生会试图计算出 ,84,30,6321===a a a 以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。 把通项展开得：n n n a n ++==2332，故可把｛a n ｝分成三类分别求和。
《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。
第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
第四节数列求和 、基础知识 1. 公式法 (1)等差数列｛a n｝的前n项和S n = n?1]* = na j + 卑— 推导方法：倒序相加法. 严1, q = 1, ⑵等比数列｛a n｝的前n项和S n = a1(1-q n) q^ 1 L. 1 q 推导方法：乘公比，错位相减法. ⑶一些常见的数列的前n项和: ①1 + 2+ 3+…+ n =吨严 ②2+4+6+…+ 2n= n(n+ 1); ③ 1 + 3+5+…+ 2n— 1 = n2 2. 几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. ⑵裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得前n项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解. ⑷倒序相加法：如果一个数列｛a n｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
考点一分组转化法求和 ［典例］ n 2 + n 已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = —2—，n € N . (1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵设b n = 2a n + (— 1)n a n ，求数列｛b n ｝的前2n 项和. [解](1)当 n = 1 时，a 1= S 1= 1; 2 2 当 n >2 时，a n = S n -S n — 1= 又a 1= 1也满足a n = n ,故数列｛a *｝的通项公式为a n = n. ⑵由⑴知 a n = n , 故 b n = 2"+ ( — 1) n n. 记数列｛b n ｝的前2n 项和为T 2n , 则 T 2n = (21 + 2?+ …+ 22n )+ (— 1 + 2— 3 +4—…+ 2n). 记 A =:勺 + :2+ …+ 22n , B =— 1 + 2— 3 + 4—…+ 2n , 则 A =红1二幼 22n + 1 — 2, 1 — 2 B = (— 1 + 2) + (— 3 + 4) +…+ [ — (2n — 1) + 2n] = n. 故数列｛b n ｝的前2n 项和 ［解题技法］ 1.分组转化求和的通法 若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数 解析：选C T 2n = A + B = 22n + 1+ n — 2. 数列求和应从通项入手, 列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数列求和. 2.分组转化法求和的常见类型 厂I 叫=也士*?，血｝, 为等差或竽 分组求和 ［题组训练］ 1. 已知数列｛a n ｝的通项公式是a n = 2n — g),则其前20项和为( ) 379 + 2^ B . 399 + 220 C . 419 + 尹 D . 439 + 220
数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
第四节数列求和 [备考方向要明了] 考什么怎么考 熟练掌握等差、等比数 列的前n项和公式. 1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列 求和问题，如2012年新课标全国T16等． 2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法 等求数列的前n项和，如2012年江西T16，湖北T18等. [归纳·知识整合] 数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1)等差数列的前n项和公式： S n＝ n(a1＋a n) 2＝na1＋ n(n－1) 2d； (2)等比数列的前n项和公式： S n＝ ?? ? ??na1，q＝1， a1－a n q 1－q ＝ a1(1－q n) 1－q ，q≠1. 2．倒序相加法 如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？ 提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消． 2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？
提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项． 5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [自测·牛刀小试] 1. 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) 等于( ) A.n 3n ＋1 B.3n 3n ＋1 C ．1－1 n ＋1 D ．3－1 3n ＋1 解析：选A ∵1(3n －2)(3n ＋1)＝13????1 3n －2－13n ＋1， ∴ 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) ＝13?? ? ???1－14＋????14－17＋???? 17－110＋…＋ ??????13n －2－13n ＋1＝13????1－13n ＋1＝n 3n ＋1 . 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321 64，则项数n 等于( ) A ．13 B ．10 C ．9 D ．6 解析：选D ∵a n ＝2n －12n ＝1－1 2n ， ∴S n ＝????1－12＋????1－122＋…＋????1－1 2n ＝n －????12＋12 2＋ (12)
高中数学数列求和的五种方法 一、公式法求和 例题1、设 {a n} 是由正数组成的等比数列,Sn为其前 n 项和，已知a2 ·a4=1 , S3=7，则 S5 等于( B) (A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2 解析： ∵ {a n} 是由正数组成的等比数列 , 且a2 ·a4 = 1, q > 0 , 例题1图 注： 等比数列求和公式图 例题2、已知数列 {a n} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于( B) (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定
解析： 由数列 {a n} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {a n} 是等差数列, 由S25= 1/2 ×（a1 + a25）× 25 = 100 ， 解得a1+a25 = 8, 所以a1+a25 = a12+a14 = 8。 注： 等差数列求和公式图 二、分组转化法求和 例题3、在数列 {a n} 中, a1= 3/2 ， 例题3图（1） 解析： 例题3图（2） 故
例题3图（3） ∵a n>1，∴ S < 2 , 例题3图（4） ∴有 1 < S < 2 ∴ S 的整数部分为 1。例题4、数列 例题4图（1） 例题4图（2） 解析： 例题4图（3）
三、并项法求和 例题5、已知函数 f(x) 对任意x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少？ 解析: 由条件可知：f(x)+f(1-x)=1，而x+(1-x)=1， ∴f(-2)+f(3)=1，f(-1)+f(2)=1，f(0)+f(1)=1， ∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。 例题6、数列 {a n} 的通项公式a n=ncos（nπ/2），其前 n 项和为Sn，则 S2012 等于多少？ 解析：n 取奇数和偶数分组；答案：1006 。 四、裂项相消法求和 例题7、若已知数列的前四项是 例题7图（1） 则数列前n项和是多少？ 解析： 因为通项
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：
二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案： 练习题2的前n 项和为____ 答案： 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
高中数学：数列及最全总结和题型精选 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫 这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始 依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2) n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”） (三)、等差中项的概念：
求数列前n 项和常用方法（经典讲解） 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ，即8n =时，501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那 么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是
裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1、 特别是对于? ?????+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 1+n n a a c =??? ? ??-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：1 11)1(1+-=+n n n n )1 21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=? )! 1(1!1)!1(+-=+n n n n 例1 求数列1{ }(1)n n +的前n 和n S ． 例2 求数列1{ }(2) n n +的前n 和n S ．
例3 求数列1{ }(1)(2)n n n ++的前n 和n S ． 例4 求数列 ???++???++,11,,321,211n n 的前n 项和. 例5：求数列 311?，421?，531?，…，) 2(1+n n ，…的前n 项和S 例6、 求和) 12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()n n k a a f n +=-=∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)12 (1)(1)1 n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则
数列求和的七种基本方法 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过题目(这些题目基本涵盖了2016年高考卷中的数列求和题)简单介绍数列求和的七种基本方法． 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列前n 项和n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记： 22 1 231 123(1)2 135(21)12222111111122222 n n n n n n n n n -++++= ++++ +-=++++=-++++=- 还要记住一些正整数的幂和公式： 2 233332222)1(41 321)12)(1(6 1 321+=++++++= ++++n n n n n n n 题1 (2016年高考全国卷I 文科第17题)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和． 解 (1)在11n n n n a b b nb +++=中选1n =，得1221a b b b +=，即1111 1,233 a a + ==． 又因为{}n a 是公差为3的等差数列，所以23(1)31n a n n =+-=-． （2）由（1）得()1131n n n n b b nb ++-+=，即11 3n n b b += ，得{}n b 是以1为首项，13 为公比的等比数列，得1 13n n b -?? = ??? .
所以{}n b 的前n 项和11 1313122313 n n n S -- = =-?-． 2 倒序相加法 事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法． 题2 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S ． 解 显然，这些既约分数为： 31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m 有 )31 ()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S 也有 )3 1 ()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S 所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-?+= 题3 求数列{}123n ++++的前n 项和n S . 解法1 因为211 123(1)()22 n n n n n +++ += +=+，所以 22221 [(123)(123)]2 n S n n =+++ +++++ + 1111 (1)(21)(1)(1)(2)2626 n n n n n n n n ??= ++++=++???? 解法2 因为 233 1211123(1)C C C (2)2 n n n n n n n ++++++ += +==-≥ 所以 33333 333 343542121 C (C C )(C C )(C C )C (1)(2)(2)6 n n n n S n n n n +++=+-+-+ +-== ++≥ 进而可得1 (1)(2)(6 n S n n n n = ++∈N *). 解法3 (倒序相加法)可得 1(12)(123)(123)n S n =+++++++++++ 1(21)(321)[(1)(2)1]n S n n n =++++++ ++-+-+ + 1 212[(1)(1)][(2)(2)(2)](1111)n n n S n n n n n n --=+-+-+-+-+-+ ++++ +个个() 3个() 把它们相加，得 31(2)2(2)3(2)(2)n S n n n n n =++++++ ++
数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。 模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 n a d n ，则 )1 1(111 1 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为' ()62f x x ，数列{}n a 的前 n 项和为n S ，点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T 对所有n N 都成立的最小正整数m ； （2020年湖北省数学高考理科试题） 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2 －2n ）－ )1(2)132 n n （ ＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13 n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3 n n ＝)1 61 561(21 n n ， 故T n ＝ n i i b 1 ＝ 2 1 )161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161 n ）. 因此，要使 21（1－161 n ）<20m （n N ）成立的m,必须且仅须满足21≤20 m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.. 例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P ),(222y x P ，…， ),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在函数)0(2 x x y 的图象上， 以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x 11,1且. （I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:2 n n n n S T S S S T L 求证 解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径，
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝
高考数学专题-数列求和及综合应用 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真 题 感 悟 1.(·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列???? ?? ????a n 2n ＋1的前n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2 2n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2 2n －1 . (2)记?????? ??? ?a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－1 2n ＋1 ， 则S n ＝? ? ???1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 2.(·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列???? ? ?b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题意知???a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2 ，