第五章
1.
（3）给定样条在左右端点的一阶导数的三次样条
Matlab代码如下：
M文件fun1_1.m
x=[0,1,3,6,8,9];y=[-1,3,1,2,0,2,4,1];
pp=csape(x,y,'complete'),pp.coefs
s=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4);
d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3);
d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2);
d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t));
for k=1:pp.pieces
c=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c);
v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c);
plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on
end
legend('三次样条（给定样条在左右端点的一阶导数）','样条的一阶导函数',...
'样条的二阶导函数','样条的三阶导函数');
y1=[3,1,2,0,2,4];
plot(x,y1,'ko'),hold off
输出图像
输出结果
pp =
form: 'pp'
breaks: [0 1 3 6 8 9]
coefs: [5x4 double]
pieces: 5
order: 4
dim: 1
ans =
1.4903 -
2.4903 -1.0000
3.0000
-0.4879 1.9807 -1.5097 1.0000
0.1795 -0.9469 0.5580 2.0000
-0.0157 0.6691 -0.2754 0
-0.7874 0.5749 2.2126 2.0000
计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为
3232323232
1.4903
2.490330.4879(1) 1.9807(1) 1.5097(1)10.1795(3)0.9469(3)0.5580(3)2
0.0157(6)0.6691(6)0.2754(6)0.7874(8)0.5749(8) 2.212,01,13()66,36,8x x x x x x x x x x x x x s x x x x x x --+--+---+---+-+--+-----+≤≤≤≤-+=≤≤≤≤,89
(8)2
x x ??
??
???
?≤≤?-+ （4）给定样条在左右端点的二阶导数的三次样条 Matlab 代码如下： M 文件fun1_2.m
x=[0,1,3,6,8,9];y=[0,3,1,2,0,2,4,0]; pp=csape(x,y,'second'),pp.coefs
s=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t)); for k=1:pp.pieces
c=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c); v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c); plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on end
legend('三次样条（给定样条在左右端点的二阶导数）','样条的一阶导函数',... '样条的二阶导函数','样条的三阶导函数'); y1=[3,1,2,0,2,4]; plot(x,y1,'ko'),hold off
输出图像
输出结果
pp =
form: 'pp'
breaks: [0 1 3 6 8 9]
coefs: [5x4 double]
pieces: 5
order: 4
dim: 1
ans =
0.5134 0 -2.5134 3.0000
-0.4018 1.5402 -0.9732 1.0000
0.1754 -0.8706 0.3661 2.0000
-0.0741 0.7084 -0.1204 0 -0.0880 0.2639 1.8241 2.0000
计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为
332323232
0.5134 2.513430.4018(1) 1.5402(1)0.9732(1)10.1754(3)0,01,13().8706(3)0.3661(3)2
0.0741(6)0.7084(6)0.1204(6)0.0880(8)0.2639(8) 1.8241
,36,6(8x x s x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--+---+---+-+--+-----+-+≤≤≤≤=≤≤≤≤-,89
8)2x ????
?≤≤+??
?? （5）按照非结点方法得到的三次样条 Matlab 代码如下： M 文件fun1_3.m
x=[0,1,3,6,8,9];y=[3,1,2,0,2,4]; pp=csape(x,y,'not-a-knot'),pp.coefs
s=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t)); for k=1:pp.pieces
c=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c); v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c); plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on end
legend('三次样条（非结点方法）','样条的一阶导函数',... '样条的二阶导函数','样条的三阶导函数'); plot(x,y,'ko'),hold off
输出图像
输出结果
pp =
form: 'pp'
breaks: [0 1 3 6 8 9]
coefs: [5x4 double]
pieces: 5
order: 4
dim: 1
ans =
-0.3240 2.1291 -3.8052 3.0000
-0.3240 1.1573 -0.5188 1.0000
0.1633 -0.7864 0.2229 2.0000
-0.0700 0.6833 -0.0866 0
-0.0700 0.2633 1.8066 2.0000
计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为
323232323
20.3240 2.1291 3.805230.3240(1) 1.1573(1)0.5188(1)10.1633(3)0.7864(3)0.2229(3)2
0.0700(6)0.6833(6)0.0866(6)0.07,01,13(),36,600(8)0.2633
(8)8x x s x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--+---+---+-+-≤≤≤≤=-+----+≤≤-≤≤-,81.8066(8)29
x x ??
??
???
?≤≤?+-+ （6）周期的三次样条 Matlab 代码如下： M 文件fun1_4.m
x=[0,1,3,6,8,9];y=[3,1,2,0,2,4]; pp=csape(x,y,'periodic'),pp.coefs
s=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t)); for k=1:pp.pieces
c=pp.coefs(k,:);u=x(k):.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c); v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c); plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on end
legend('三次样条（周期的）','样条的一阶导函数',... '样条的二阶导函数','样条的三阶导函数'); plot(x,y,'ko'),hold off
输出图像
输出结果
pp =
form: 'pp'
breaks: [0 1 3 6 8 9]
coefs: [5x4 double]
pieces: 5
order: 4
dim: 1
ans =
1.9961 -3.7833 -0.2127 3.0000
-0.5296 2.2048 -1.7912 1.0000
0.1754 -0.9728 0.6728 2.0000
0.0537 0.6061 -0.4272 0
-1.5706 0.9285 2.6421 2.0000
计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为
323232323
21.9961 3.78330.212730.5296(1) 2.2048(1) 1.7912(1)10.1754(3)0.9728(3)0.6728(3)2
0.0537(6)0.6061(6)0.4272(6)1.570,01,13(),36,686(8)0.9285
(8)2x x x x x x x x x x x x x s x x x x x x --+--+---+---+-+-+-----+-≤≤≤≤=≤≤≤≤+,8.6421(8)9
2x x ??
??
???
?≤≤?-+ 2.
（1）多项式插值 Matlab 代码如下： M 文件polyinterp.m
function yi=polyinterp(x,y,xi) n=length(x);m=length(xi); for k=1:m z=xi(k);s=0; for i=1:n p=1; for j=1:n if j~=i
p=p*(z-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=p*y(i)+s; end yi(k)=s; end
M 文件fun2_1.m
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y=[0,1.8,2.2,2.7,3.0,3.1,2.9,2.5,2.0,1.6]; z=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
xi=-1:.01:16;yi=zeros(size(xi));zi=zeros(size(xi)); figure(1) for k=1:10
w=zeros(1,10);w(k)=w(k)+1; wi=polyinterp(x,w,xi); yi=yi+y(k).*wi;
subplot(5,2,k),plot(x,w,'ko',xi,wi,'k'),axis([-1,16,-1,3]) end figure(2) for k=1:10
w=zeros(1,10);w(k)=w(k)+1; wi=polyinterp(x,w,xi);
zi=zi+z(k).*wi;
subplot(5,2,k),plot(x,w,'ko',xi,wi,'k'),axis([-1,16,-1,3])
end
figure(3)
plot(x,y,'ko',xi,yi,'k'),hold on
plot(x,z,'ko',xi,zi,'k'),hold off
axis([-1,16,-1,5])
title('Lagrange插值多项式')
gtext('L_16(x)=1.8*I_1+2.2*I_2+2.7*I_3+3*I_4+3.1*I_5+2.9*I_6+2.5*I_7+2*I_8+1.6*I_9'); gtext('R_16(x)=1.2*I_1+1.7*I_2+2.0*I_3+2.1*I_4+2*I_5+1.8*I_6+1.2*I_7+1*I_8+1.6*I_9');
输出图像
Figure 1
Figure 2
Figure 3
由Figure 1和Figure 2可以看出多项式插值波动幅度过大，不能用来求截面面积。（2）分段线性插值
Matlab代码如下：
M文件fun2_2.m
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];y=[0,1.8,2.2,2.7,3.0,3.1,2.9,2.5,2.0,1.6];
z=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
xi=-1:.1:16;yi=zeros(size(xi));zi=zeros(size(xi));
figure(1)
for k=1:10
w=zeros(1,10);w(k)=w(k)+1;
wi=interp1(x,w,xi);
yi=yi+y(k).*wi;
subplot(5,2,k),plot(x,w,'ko',xi,wi,'k'),axis([-1,15,-1,3]);
end
s1=trapz(x,y);
figure(2)
for k=1:10
w=zeros(1,10);w(k)=w(k)+1;
wi=interp1(x,w,xi);
zi=zi+z(k).*wi;
subplot(5,2,k),plot(x,w,'ko',xi,wi,'k'),axis([-1,15,-1,3])
end
s2=trapz(x,z);
s=s1-s2
figure(3),
plot(x,y,'ko',xi,yi,'k'),hold on
plot(x,z,'ko',xi,zi,'k'),hold off,
axis([-1,15,-1,5])
title('Lagrange插值多项式')
gtext('S_16(x)=1.8*I_1+2.2*I_2+2.7*I_3+3*I_4+3.1*I_5+2.9*I_6+2.5*I_7+2*I_8+1.6*I_9'); gtext('R_16(x)=1.2*I_1+1.7*I_2+2.0*I_3+2.1*I_4+2*I_5+1.8*I_6+1.2*I_7+1*I_8+1.6*I_9');
输出图像
Figure 1
Figure 2
Figure 3 输出结果
s =
10.7500
即截面面积为s=10.75。
（3）三次样条插值
通过Matlab计算上轮廓线的三次样条，代码如下：
M文件fun2_3.m
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y=[0,1.8,2.2,2.7,3.0,3.1,2.9,2.5,2.0,1.6];
pp=csape(x,y),pp.coefs;
s=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3);
d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2);
d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t));
for k=1:pp.pieces
c=pp.coefs(k,:);u=x(k):.1:x(k+1);v=s(u,x(k),c);
v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c);
plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on
end
legend('三次样条','样条的一阶导函数','样条的二阶导函数','样条的三阶导函数',4) plot(x,y,'ko'),hold off
b=trapz(0:.01:15,ppval(pp,0:.01:15))
输出图像
输出结果
pp =
form: 'pp'
breaks: [0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]
coefs: [9x4 double]
pieces: 9
order: 4
dim: 1
b =
33.8639
通过Matlab计算下轮廓线的三次样条，代码如下：
M文件fun2_4.m
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
z=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
pp=csape(x,z),pp.coefs;
s=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4);
d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3);
d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2);
d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t));
for k=1:pp.pieces
c=pp.coefs(k,:);u=x(k):.1:x(k+1);v=s(u,x(k),c);
v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c);
plot(u,v,'k',u,v1,'k-.',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on
end
legend('三次样条','样条的一阶导函数','样条的二阶导函数','样条的三阶导函数',4) plot(x,z,'ko'),hold off
b=trapz(0:.01:15,ppval(pp,0:.01:15))
输出图像
输出结果
pp =
form: 'pp'
breaks: [0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]
coefs: [9x4 double]
pieces: 9
order: 4
dim: 1
b =
22.5722
即截面面积为11.2917。
4.
问题分析
根据表5.5的数据估计一天有多少辆车过桥，则可分别用5.1节的3种一维插值方法来进行插值，再用复化梯形公式来求面积，从而得出一天有多少辆车过桥，而这3种一维插值方法中，多项式插值一般仅适合于节点数目较少，也就是多项式次数较低的情况，所以不适用于该题，故只用其余两种方法进行插值；
模型建立和求解
通过Matlab进行线性分段插值和三次样条插值，然后用复化梯形求积公式求出一天过桥的车辆数，代码如下：
x=[0,2,4,5,6,7,8,9,10.5,12.5,14,16,17,18,19,20,21,22,23,24];
y=[2,2,0,2,5,8,25,12,10,12,7,9,28,22,10,9,11,8 9,3];
x0=x+(1/60)*(1/2);
y0=y/(1/60);
u=(1/60)*(1/2):(1/60):24+(1/60)*(1/2);
y1=interp1(x0,y0,u);
sum1=trapz(y1)*(1/60)
y2=spline(x0,y0,u);
sum2=trapz(y2)*(1/60)
figure(1)
plot(u,y1)
xlabel('次/h')
ylabel('车辆数'),title('线性分段插值')
figure(2)
plot(u,y2)
xlabel('次/h')
ylabel('车辆数'),title('三次样条插值')
输出图像
Figure 1
Figure 2
输出结果
sum1 = 13425 sum2 = 1.3192e+04
结果分析
（1）通过分段线性插值方法进行插值得到一天有13425辆车过桥； （2）通过三次样条插值方法进行插值得到一天有13192辆车过桥；
（3）结合数据与图像，可知分段线性插值拟合效果更好，即一天有13425辆车过桥。 5.
问题分析
根据表5.6的数据设该汽车在t 时刻的位置为x(t)，则x(t)关于t 的一阶导数x ()t '即为该汽车在t 时刻的速度，由表可知x (0)20'=，x (13)20'=，通过三次样条插值方法建立模型求出x(t)的表达式，再结合图像进行求解问题；
模型建立
通过Matlab 进行三次样条插值，代码如下： M 文件fun5_1.m
x=[0,3,5,8,13];y=[20,0,65,121,194,313,20]; pp=csape(x,y,'complete'),pp.coefs
s=@(t,tj,c)c(1).*(t-tj).^3+c(2).*(t-tj).^2+c(3).*(t-tj)+c(4); d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*(t-tj).^2+2.*c(2).*(t-tj)+c(3); d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*(t-tj)+2.*c(2); d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t)); for k=1:pp.pieces
c=pp.coefs(k,:);u=x(k):0.01:x(k+1);v=s(u,x(k),c); v1=d1s(u,x(k),c);v2=d2s(u,x(k),c);v3=d3s(u,x(k),c); plot(u,v,'k',u,v1,'k-',u,v2,'k--',u,v3,'k:'),hold on end
legend('三次样条','样条的一阶导函数','样条的二阶导函数','样条的三阶导函数') y1=[0,65,121,194,313]; plot(x,y1,'ko'),hold off
输出图像
输出结果
pp =
form: 'pp'
breaks: [0 3 5 8 13]
coefs: [4x4 double]
pieces: 4
order: 4
dim: 1
ans =
0.3008 -0.3469 20.0000 0
-0.6904 2.3605 26.0407 65.0000
0.2757 -1.7820 27.1976 121.0000
-0.1460 0.6997 23.9507 194.0000
计算结果说明该三次样条的分段多项式形式为
第一章引言 众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。 1.1 数学建模的作用和地位 我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。因此，开展数学建模活动将会在人才培养的过程中有着重要的地位和起着重要的作用。 1.1.1 数学建模的创新作用 数学科学在实际中的重要地位和作用已普遍地被人们所认识，它的生命力正在不断地增强，这主要是来源于它的应用地位。各行各业和各科学领域都在运用数学，或是建立在数学基础之上的，正像人们所说的“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在生产实践中运用数学的过程就是一个创造性的过程，成功运用的核心就是创新。我们这里所说的创新是指科技创新，所谓的科技创新主要是指在科学拘束领域的新发明、新创造。即发明新事物、新思想、新知识和新规律；创造新理论、新方法和新成果；开拓新的应用领域、解决新的问题。大学是人才培养的基地，而创新人才的培养核心是创新思想、创新意识和创新能力的培养。传统的教学内容和教学方法显然不足以胜任这一重担，数学建模本身就是一个创造性的思维过程，从数学建模的教学内容、教学方法，以及数学建模竞赛活动的培训等都是围绕着一个培养创新人才的核心这个主题内容进行的，其内容取材于实际、方法结合于实际、结果应用于实际。总之，知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现，这也正是数学建模的创新作用所在。 1.1.2 数学建模的综合作用 对于我们每一个教数学基础科的教师来说，在上第一堂课的时候，按惯例都会讲一下课
兰州交通大学 数学建模大作业 学院：机电工程学院 班级：车辆093 学号：200903812 姓名：刘键学号：200903813 姓名：杨海斌学号：200903814 姓名：彭福泰学号：200903815 姓名：程二永学号：200903816 姓名：屈辉
高速公路问题 1 实验案例 (2) 1.1 高速公路问题(简化) (2) 1.1.1 问题分析 (3) 1.1.2 变量说明 (3) 1.1.3 模型假设 (3) 1.1.4 模型建立 (3) 1.1.5 模型求解 (4) 1.1.6 求解模型的程序 (4) 1实验案例 1.1 高速公路问题(简化) A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？ A B 图8.2 高速公路修建地段
1.1.1 问题分析 在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌 中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。 1.1.2 变量说明 i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标） x=[x 1，x 2，x 3，x 4]T l i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5) S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5) 由问题分析可知， () ()() () 2 542552 432442 322332212 222 1211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+= C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里） C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里） 1.1.3 模型假设 1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比； 2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上，可以使得建造费用最少， 当然实际中一般达不到。 1.1.4 模型建立 在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。 () 4,3,2,1300. .)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i
·综 述· 辐射剂量数学模型在医学影像学的应用及研究进展＊ 刘 潇综述，曾勇明△审校 （重庆医科大学附属第一医院放射科 ４０００１６） 关键词：辐射剂量；医学影像学；数学模型；蒙特卡洛；仿真人体体模 ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－８３４８．２０１３．１４．０３３文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－８３４８（２０１３）１４－１６５０－０３ 随着医学的不断发展，现代医学影像技术越来越多的应用于临床实践中，尤其是在ＣＴ、ＤＳＡ的临床应用呈逐年上升趋势，辐射剂量问题已引起全世界的关注。有效实施辐射剂量检测是保证医学影像学检查合理使用的基本要求。当前，临床上主要采用影像设备的剂量测试工具来获得辐射剂量数据，并评估患者的辐射剂量，但不能前瞻性的评价和预估某一放射学检查时的辐射水平。近年来，数学模型开始应用于医学影像学领域，对研究辐射剂量的科学实验带来便利。本文就辐射剂量数学模型的临床应用及进展综述如下。 １ 辐射剂量数学模型 为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模是用数学语言描述实际现象的过程，不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容［１］。 以蒙特卡洛（Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ）为代表的数学模拟方法是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此，只是在近些年才得到广泛推广。蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论［２］。 在医学影像学中，基于蒙特卡洛模拟技术开发的软件的临床应用近年来有较大发展，如Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件包（ＶＡＭＰ Ｇｍ－ｂＨ，Ｅｒｌａｎｇｅｎ，Ｇｅｒｍａｎｙ）功能独特，目前科研中，提供快速的三维剂量分布计算，该软件可以适用于多种任务，包括普通放射学、ＣＴ、Ｃ型臂（基于平板探测器）ＣＴ等。在科研中成功的剂量分布计算已经在３０多个专业领域的国际刊物也有极好的反馈［３］。还有一些通用的软件工具常在实验研究中应用，如用来模拟辐射ＣＴ剂量沉积的基于蒙特卡洛的软件ＭＣＮＰＸ ｅｘ－ｔｅｎｄｅｄ ｖ２．６，在洛杉矶洛斯阿拉莫斯国家实验室执行模拟［４］。国内应用较广的免费软件，如Ｇｅａｎｔ４［５－６］或ＭＣＮＰ ＥＧＳ４［７］，这些软件可执行辐射剂量估算。器官剂量估算软件ＰＣＸＭＣ（ＳＴＵＫ，Ｆｉｎｌａｎｄ）是基于蒙特卡洛计算方法，用于估算人体器官所受吸收剂量（ａｂｓｏｒｂｅｄｄｏｓｅ，ＡＤ）和全身有效剂量（ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｄｏｓｅ，ＥＤ）的常用计算软件［８］。 ２ 数学模型在ＣＴ检查中的应用 在ＣＴ检查中减少辐射剂量是医学影像研究的热点问题，常用于评价ＣＴ检查的ＥＤ通过剂量长度乘积（ｄｏｓｅ ｌｅｎｇｔｈｐｒｏｄｕｃｔ，ＤＬＰ）乘以权重因子获得［９］，但与利用仿真体模检测辐射剂量的方法比较，其值不够准确［１０］。应用数学模型软件，模拟患者的辐射剂量，可避免不必要的重复照射。通过在软件中加入ＣＴ的扫描参数及患者的性别、体质量指数（ＢＭＩ）、心率等因素，因而更具个性化。辐射剂量数学模型在ＣＴ的应用已越来越受到重视。 有研究采用数学模型评估冠状动脉造影患者接受的辐射剂量，模型模拟固定管电流下ＥＤ，与常规心电门控管电流自动调制技术接受的剂量相比较。可以得到心电门控管电流自动调制技术（预设１００ｍＡｓ）的ＥＤ为（７．１±２．１）ｍＳｖ，而模拟固定管电流（１００ｍＡｓ）下肺组织的ＥＤ为（１２．５±５．３）ｍＳｖ；并证明应用心电门控管电流自动调制技术后辐射剂量减少了５２％［１１］。 Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件生成的三维剂量分布是其特点，可涉及到器官剂量的估算和计算患者个体风险的ＥＤ水平。在对每个采集的参数和重建的容积数据的基础上，进行了蒙特卡洛模拟，以计算每个像素的沉积与光子相互作用方面的剂量。它可模拟现代ＣＴ系统的所有参数，比如蝶形过滤器、管电流调制、双源ＣＴ设置和动态Ｚ轴准直等。Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件的可视仿真体模（ＮＶＩＤＩＡ ＧＰＵ）功能，模拟一个高精度的ＣＴ检查环境，因此Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ是最快最全面的蒙特卡洛模拟软件包之一。为了确保最好的结果，Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ已在三个不同的ＣＴ系统（西门子、ＧＥ、飞利浦公司产品）验证［１２］。 ＭＣＮＰＸ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｖ２．６软件能模拟以１ｋｅＶ的低能量辐射剂量为基准的剂量，这种软件可使用１２０ｋＶｐ、３００ｍＡ的条件下模拟全身ＣＴ扫描。针对普通患者，扫描范围可扩大，从头顶的底部到耻骨随意调节。利用蒙特卡洛技术模拟的人体数学模型，以现场调查（与临床应用相适应）所得的ＣＴ技术参数和几何条件为输入参数，从理论上估算了成人ＣＴ冠状动脉检查所接受各器官组织的吸收剂量［４］。一些免费软件（如Ｇｅａｎｔ４）缺乏灵活性，难以适应ＣＴ扫描技术的复杂多变，这些原因促进了开发以蒙特卡洛技术为仿真基础的应用于放射诊断的软件，尤其是与ＣＴ检查相关的应用软件［１３－１７］。 ３ 数学模型在介入治疗的应用 介入治疗是临床、医学与工程技术紧密结合，相互依存而发展起来的前沿学科，它具有微创、简便、安全等优点，为过去 ０ ５ ６ １重庆医学２０１３年５月第４２卷第１４期 ＊基金项目：重庆市卫生局科研基金资助项目（２０１０－２－０５５）。 作者简介：刘潇（１９８１～），技师，在读硕士研究生，主要从事医学影像技术研究。 △ 通讯作者，Ｔｅｌ：１３６０８３３８４８８；Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｅｎｇ－ｙｍ＠ｖｉｐ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ。
如 何 建 立 数 学 模 型 及 实 例 数学建模培训 科研处数学建模小组
第五章：如何建立数学模型 怎样撰写数学建模的论文？ 1．什么是数学模型？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 2．什么是数学建模?数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 观点：“所谓高科技就是一种数学技术” 注数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。 注 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。 3．数学建模的一般方法和步骤建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模 式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： ◆机理分析◆测试分析方法 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。
第一章 1-1习题 1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型： ?? ??? ??? ?? ?????=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=) 3,2,1,(,00 5.05.05.004.0 6.06.00 15.015.085.008.02.02.006.06.04.012002500 2000..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 33231332221232 22123121113121113332312322 21131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ij LINDO 求解程序见程序XT1-1-1。 求解结果： 1200 ,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元） 。 2.设用设备,,,,,32121B B B A A 加工产品Ⅰ的数量分别为54321,,,,x x x x x ,设备121,,B A A 加工产品Ⅱ的数量分别为876,,x x x ,设备22,B A 加工产品Ⅲ的数量分别为109,x x ,则目标函数为: 976321)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max x x x x x x S -++-+++-= 4000 7200700011478340008625010000129731260001053005 1048397261x x x x x x x x x x ?-+?-+?-++?-+? -整理后得到: ??? ??? ?=≥=-=-+=--++≤≤+≤+≤++≤+-+-++---+=)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(,00;0;0;40007;7000114;400086; 100001297;6000105..2304.19256.15.03692.115.135.04474.0375.07816.075.0max 10987654321510483972611098765 4321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x S j 整数 LINDO 求解的程序见程序XT1-1-2。 求解结果: 324,500,0,571,859,0,230,120010987654321==========x x x x x x x x x x 446.1155max =S 3.设自己生产甲、乙、丙的数量分别为312111,,x x x ,外协加工甲、乙、丙第数量分别为322212,,x x x （外协加工的铸造、机加工和装配的工时均不超过5000小时）,则
5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) 5. 6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响 3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响 1．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π 3个单位长度后所得图象的解析式为
( ) A ．y ＝sin x －π 3 B ．y ＝sin x ＋π 3 C ．y ＝sin ? ?? ?? x －π3 D ．y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3 D [根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π 3个单位长度后得到y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象．] 2．为了得到函数y ＝4sin ? ????12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ? ????x －π6， x ∈R 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的1 2倍，横坐标不变 A [函数y ＝4sin ? ???? x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不 变，得到y ＝4sin ? ?? ?? 12x －π6的图象．] 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________. 4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.] 三角函数图象之间的变换 【例1】 (1)将函数y ＝2cos ? ? ???2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下 平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________． (2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin2x ＋π 4＋1的图象？
郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217
习题2作业讲评 1. 继续考虑 2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式 20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ） 解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号： D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）； 于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取. 比较2 0.750.082678d v v =+与2D v =，得： ()0.082678 1.25d D v v -=- 所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d
v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on 51015 2025 303540 车速v （m/s ） 距离（m ） 图1
数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
数学建模章绍辉版作业集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
第四章作业 第二题： 针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。 下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。 1、 问题假设 大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设 （1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为 32 D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ； （2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0； 在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ； （3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量 无关。 2、 符号说明 酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克； 酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升； ~t 时刻（小时）； ()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；
0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）； (t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； ~V 中心室的容积（百毫升）； 1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数）； 2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数）； 3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体 积，即03/2D V ；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指03/4D V . 3、 模型建立和求解 （1） 酒是在很短时间内喝的： 记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，可用()2113 212 ()k t k t k k c t e e k k --= --来计算血液中的酒精含量，此时12k k 、为假设中所示的常数，而033155.792D k V ?? == ??? . 下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。 MATLAB 程序如下： k1=;k2=;k3=; c=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); f=@(t)c(t)-20; g=@(t)c(t)-80; h=@(t)-c(t); t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12), t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12) [t3,c3]=fminbnd(h,0,24) fplot(c,[0,20],'k') hold on plot([0,20],[20,20],'k',[0,20],[80,80],'k') hold off
数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-
第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p
数学建模期末大作业论文 题目：A题美好的一天 组长：何曦（2014112739） 组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740） 班级：交通工程三班 指导老师：陈崇双
美好的一天 摘要 关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS
1 问题的重述 Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。 我主要是想请教一下各位大神： 1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？ 2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？ 3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~ 2 问题的分析 2.1 对问题一的分析 问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。 对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。 2.2 对问题二的分析 问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。 对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。 2.3 对问题三的分析 问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。 对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。
数学建模第二章作业答案章绍辉
习题2作业讲评 1. 继续考虑 2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式 20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ） 解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号： D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）； 于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取. 比较2 0.750.082678d v v =+与2D v =，得： ()0.082678 1.25d D v v -=- 所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d
v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k') plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2) title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则') legend('两秒准则','刹车距离理论值',... '刹车距离的最小值、平均值和最大值',2) xlabel('车速v （m/s ）') ylabel('距离（m ）') hold off 51015 2025 303540 020406080100120 140160180比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则 车速v （m/s ） 距离（m ） 两秒准则 刹车距离理论值 刹车距离的最小值、平均值和最大值 图1
第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。１847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。１857年,凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时,也发现了“树”.哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图"是指某类具体事物和这些事物之间的联系.如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功.欧拉为了解决 这个问题，采用了建立数学模型的方法.他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”.问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河. 图与网络是运筹学(Operat ｉons Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域.下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题. 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题. 例1 最短路问题（ＳPP －shorte ｓｔ pat ｈ p ｒｏb ｌｅm ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来,使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市.假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本,那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总
数学建模作业 姓名：叶勃 学号： 班级：024121
一：层次分析法 1、 分别用和法、根法、特征根法编程求判断矩阵 1261/2141/61/41A ????=?????? 11/2433 217551/4 1/711/21/31/31/52111/31/5 3 1 1A ????????=? ?????? ? 的特征根和特征向量 （1）冪法求该矩阵的特征根和特征向量 程序为： #include X[i]=0; for(j=0;j
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