一.基础题组
1. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】函数)22
sin(2x y -=π
是
( )
A .最小正周期为π的奇函数
B . 最小正周期为
2
π
的奇函数
C .最小正周期为π的偶函数
D .最小正周期为
2
π
的偶函数
2. 【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题(理科)】函数
)sin()(?ω+=x A x f (0,0>>ωA )的图象如右图所示,为了得到x A x g ωsin )(=的
图象,可以将)(x f 的图象( ) A .向右平移
6
π
个单位长度 B .向左平移
3
π
个单位长度
C .向左平移
6π个单位长度 D .向右平移3
π
个单位长度
【答案】A 【解析】
试题分析:由题意知721,4(
),2123A T T
πππ
πω==-===,所以()sin(2)f x x ?=+,将点(,0)3π代入解析式,可取3π?=,故()sin(2)sin[2()]
3
6
f x x x π
π
=+=
+,因此可以将)
(x f 的图象向右平移
6
π
个单位长度得到函数()sin 2g x x =的图象.
考点:1.图象平移;2.知图求解析式.
3. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】把函数sin ()y x x R =∈图像上所有
点的横坐标缩短到原来的
12倍(纵坐标不变),再把图像上所有的点向左平行移动6
π个单位长度,得到的图像所表示的函数是( )
A .sin
2)()3
y x x R π
=-∈( B . sin
+)()26
x y x R π
=∈( C . sin
2+)()3
y x x R π
=∈(
D . 2sin
2+)()3y x x R π
=∈(
4. 【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学(理科)】25
24
2sin =
a ,
2
0π
α<
<)4
π
α-的值为( )
A .
51 B .51- C .51± D . 57
5. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】设函数()sin cos 2f x x x =图象的一
个对称轴是( )
A .
B .0x =
C D
6. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知5
3)sin(=
+απ,,则)2cos(πα-= .
7. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学(理)】设θ为第二象限角,若tan(θ+π
4)
=1
2,则sin θ+cos θ= . 【答案】-10
5
8. 【2014届广东高三六校第一次联考理】在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、
b 、
c ,已知5=a ,3
2
5=
b ,4π=A ,则=B cos .
9. .【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试(理)】若53,42ππθ?
?
∈?
??
?,则
可化简为 .
【答案】2cos θ. 【解析】
试题分析:当53,42ππθ??∈?
???时,544πππθ≤-≤
,则sin cos 04πθθθ?
?-=-≤ ??
?,
且
37244πππθ≤-≤,sin cos 04πθθθ?
?∴+=+< ??
?= ()()sin cos sin cos cos sin cos sin 2cos θθθθθθθθθ--+=-++=.
考点:1.辅助角公式;2.同角三角函数的基本关系;3.二倍角
二.能力题组
1. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】若()2cos()f x x m ω?=++ 对任
意实数t 都有()()4f t f t π
+=- ,且()18
f π
=-,则实数m 的值等于( ) A .1±
B .-1或3
C .3±
D .-3或1
2. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】将函数x x y sin cos 3+=的
图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.
12π B.6π C.3π D.6
5π
3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】ABC ?的内角C B A ,,的对边分
别为c b a ,,,且B b C a C c A a sin sin 2sin sin =-+. 则=∠B ( ) A .
6
π
B .
4
π
C .
3
π
D .
4
3π
4. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理)】将函数y =2cos2x 的
图象向右平移
2
π
个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的
2
1
倍(纵坐标不变),得到的函数解析式为( )
A .y =cos2x
B .y =-2cos x
C .y =-2sin4x
D .y =-2cos4x
5. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】如图所示,M ,N 是函数y
=2sin (wx +?)(ω>0)图像与x 轴的交点,点P 在M ,N 之间的图像上运动,当△MPN 面
积最大时PM uuu r ·PN uuu r
=0,则ω= ( )
A .
4π B .3π C .2
π
D .8
考点:三角函数图像与性质,向量的数量积,学生的数形结合能力以及化归与转化的数学思想.
6. 【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】已知函数()()?+=x x f 2sin ,其中?为
实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2
f f π
π<.则下列结论正确的是( )
A.11211-=???
??πf B.???
??>??? ??5
107ππf f C.()x f 是奇函数 D.()x f 的单调递增区间是()Z ∈??
?
??
?+
-
k k k 6,3
πππ
π
【答案】D 【解析】
7. .【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试(理)】若函数()
tan y x N ωω*
=∈的一个对称中心是,06π??
???
,则ω的最小值为 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9
8. 【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试(理)】若()tan lg 10a α=,
1tan lg a β=,且4
π
αβ+=,则实数a 的值为 ( )
A.1
B.110
C.1或1
10
D.1或10
9. 【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试(理)】在ABC ?中,
“()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是 “ABC ?是直角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
sin 1B =≥,故“()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是 “ABC ?是直角三角形”的
充分不必要条件,故选A.
考点:1.两角和的正弦公式;2.充分必要条件
10. 【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试(理)】已知方程sin x
k x
=在
()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<,则下列结论正确的是( )
A.2
sin 22cos ααα= B.2
cos 22sin ααα=
C.2sin 22cos βββ=
D.2cos22sin βββ=
当[],2x ππ∈时,()sin f x x =-,则()cos f x x '=-,故()cos k f ββ'==-,在切点处有()k f
ββ=
sin β=-,即sin cos βββ-=-,sin cos βββ∴=,两边同时乘以2cos β得,
2sin 22cos βββ=,故选C.
考点:1.函数的零点;2.函数的图象;3.利用导数求切线的斜率
11. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】设当x θ=时,函数
x x x f cos 2sin )(+=取得最大值,则cos θ= .
12. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】已知x ,y 均为正数,
)2,4(π
πθ∈,
且满足y x θθcos sin =,)
(310
sin cos 222222y x y x +=+θθ,则y x 的值为 ____ .
考点:本小题主要考查三角函数、不等式、方程,以及换元思想,考查学生的分析、计算能力.
13. 【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学(理科)】将函数
()
sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y
轴对称,则m 的最小值是___________________.
14. 【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试(理)】在锐角ABC ?中,1BC =,
2B A =,则
cos AC
A
的值等于 ;AC 的取值范围为 .
三.拔高题组
1. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知函数
(sin cos )()2cos ,x f x x x x R -=∈.
(I)求函数()f x 图像的对称中心;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间??
?
???43,8ππ上的最小值和最大值.
2. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别
为,,a b c 且2
2sin
cos 212
A B
C ++=. (I )求角的C 大小;
(II )若向量(3,)m a b =,向量(,)3
b n a =-,m n ⊥,()()16m n m n +?-=,求,,a b
c 的值.
【答案】(Ⅰ)3
C π
=;(Ⅱ)1,3,a b c ===;
【解析】
3. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学(理)】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边
分别为a ,b ,c .已知2cos(B -C )+1=4cos B cos C .
(Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)若a =27,△ABC 的面积为23,求b +c . 【答案】(Ⅰ)3
2π=A ;(Ⅱ)6. 【解析】
试题分析:(Ⅰ) 对于2cos(B -C )+1=4cos B cos C 通过三角恒等变换,再结合角的范围即可得;(Ⅱ)利用余弦定理、面积公式可求.
试题解析:(Ⅰ) 由2cos(B -C )+1=4cos B cos C ,得
2(cos B cos C +sin B sin C )+1=4cos B cos C ,
即2(cos B cos C -sin B sin C )=1,亦即2cos(B +C )=1, ∴cos(B +C )=12. ∵0<B +C <π,∴B +C =π
3.
∵A +B +C =π, ∴A =2π
3.………………………………………………6分
4. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】在△ABC 中,内角C
B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知cos sin a b
C c B =+. (Ⅰ)求B ;
(Ⅱ)若2=b ,求△ABC 面积的最大值.
由已知及余弦定理得4
cos 242
2π
ac c a -+= ……10分
又ac c a 22
2
≥+.故2
24-≤
ac ,当且仅当c a =时,等号成立.
因此⊿ABC 的面积的最大值为12+. ……14分
考点:解三角形,正余弦定理,基本不等式
5. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理)】(本题满分12分)已
知函数22()sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求: (I)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; (II)求函数()f x 在区间[,]63
ππ
-
上的值域.
试题解析:(I)由二倍角的正余弦公式及其变形,得
1cos 23(1cos 2)
()222
x x f x x -+=
++
22cos2x x =++
1
22(
2cos 2)22
x x =++ 2sin(2)26
x π
=++………………………4分
6. 【2014届广东高三六校第一次联考理】已知函数
()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ππ???
?=++--+ ? ?????
(,a R a ∈为常数)
. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调增区间;
(2)若函数()f x 的图像向左平移()0m m >个单位后,得到函数()g x 的图像关于y 轴对称,求实数m 的最小值.
当222()2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-≤-
≤+
∈Z ,即()6
3
k x k k π
π
ππ-
≤≤+
∈Z 时,函数()f x 单调递增,
故所
7. 【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题(理科)】(本题满分14分) 设
)2
(cos )cos sin (cos )(,2x x x x x f R -+-=∈πλλ满足)0()3
(f f =-π
.
(1)求函数)(x f 的对称轴和单调递减区间; (2)设△ABC 三内角A,B,C 所对边分别为a,b,c 且
c
b a
B A 2cos cos +-=,求)(x f 在(]A ,0上的值域.
所以23λ=-----------3分
8. 【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学(理科)】(本题满分14分) 设
ABC ?的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知(1)求角A 的大小;
(2)若2a =,求b c +的最大值. 【答案】(1) 3
A π
=;(2) max ()4b c +=.
【解析】
试题分析:(1)利用两角和与差的公式展开得tan A =再求角;(2)利用正弦定理进行边
6
B π
+
的范围求解其最值.
试题解析:(1)由已知有sin cos
cos sin
cos 6
6
A A A π
?-?=,
1
cos cos 2
A A A -=, ……… 3分
则sin A A , ……… 5分
tan A =
9. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】(本小题满分12分)
设函数f (x )=2
sin x -sin (2x -
2
).
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? , 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?, 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈,() 32 61g t t t =--+为减函数,且102g ??= ??? , 所以当03 x π <<时, ()1 1,02 t g t <<<,从而()'0f x <; 当 3 2 x π π << 时,()1 0,02 t g t << >,从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题. 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=,
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
三角函数专题训练 19.(本小题满分12分) 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、,设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且, (Ⅰ)若sin sin A B +=6,求A ; (Ⅱ)若ABC ?的外接圆半径为1,且,abx a b =+试确定x 的取值范围. 17.(本小题共12分) 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示. (I )求函数()f x 的解析式; (II )在△ABC 中,角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围.
17.(本小题满分12分)已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==.记()n m x f ?= (I )若32f ()α=,求23 cos()πα-的值; (Ⅱ)在?ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足 ()2cos cos a c B b C -=,若13f (A )+= ,试判断?ABC 的形状. 17、海岛B 上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A ,上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上,且俯角为30°的C 处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上,且俯角45°的D 处。(假设游船匀速行驶) (1)求该船行使的速度(单位:米/分钟)(5分) (2)又经过一段时间后,游船到达海岛B 的正西方向E 处,问此时游船距离海岛B 多远。(7分) 19.解:因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且, 所以cos cos a A b B =,-------------------------------------------1分 由正弦定理,得sin cos sin cos A A B B =,
2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一:在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(),2a c b =-m ,()cos ,cos C A =n ,且⊥m n . (1)求角A 的大小; (2)若5b c +=,ABC △a . 例题二:如图,在ABC △中,π 4A ∠=,4AB =,BC =点D 在AC 边上,且1cos 3 ADB ∠=-. (1)求BD 的长; (2)求BCD △的面积. 例题三: ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos 0a c B b A ++=.
(1)求B ; (2)若3b =,ABC △的周长为3+ABC △的面积. 例题四:已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-. (1)求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间; (2)已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()1f C =,2c =,()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.
例题一:【答案】(1)π3 A =;(2 )a = 【解析】(1)由⊥m n ,可得0?=m n ,即2cos cos cos b A a C c A =+, 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,即()2sin cos sin B A A C =+, ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=,∴2sin cos sin B A B =,即()sin 2cos 10B A -=, ∵0πB <<,∴sin 0B ≠,∴1cos 2 A = , ∵0πA <<,∴π3A =. (2 )由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△,∴4bc =, 又5b c +=,由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=, ∴a = 例题二:【答案】(1)3;(2 ) 【解析】(1)在ABD △中,∵1cos 3 ADB ∠=-, ∴sin 3ADB ∠=, 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠, ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠. (2)∵πADB CDB ∠+∠=, ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=. ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ,sin CDB ∠= 在BCD △中,由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠, 得21179233 CD CD =+-??,解得4CD =或2CD =-(舍). ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=. 例题三:【答案】(1)2π3 B =;(2 )ABC S =△ 【解析】(1)∵()2cos cos 0a c B b A ++=, ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=,()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
三角函数大题压轴题练习 1.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解:(1) ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ (2) 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增,在区间[,]32 ππ 上单调 递减, 所以 当3 x π= 时,()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=,当12 x π =-时,()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2.已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? (0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03 ?????? ,上的取值范围. 解:(Ⅰ)1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?. 因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以 2π π2ω =,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?. 因为2π03 x ≤≤, 所以ππ7π2666 x --≤≤, 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤, 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤,即()f x 的取值范围为302?????? ,. 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-,m ·n =1,且A 为锐角. (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解:(Ⅰ) 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = (Ⅱ) 由(Ⅰ)知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ,所以[]sin 1,1x ∈-,因此,当1sin 2x =时,f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时,()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ,
三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题