中考数学培优专题复习反比例函数练习题附答案
一、反比例函数
1．如图，已知抛物线y=﹣ x2+9 的顶点为A，曲线 DE 是双曲线y=（3≤x≤）12的一部分，记作 G1，且 D（ 3， m）、 E（12， m﹣3），将抛物线y=﹣ x2 +9 水平向右移动 a 个单位，得到抛物线 G2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）设抛物线 y=﹣ x2+9 与 x 轴的交点为 B、 C，且 B 在 C 的左侧，则线段 BD 的长为
________；
（3）点（ 6，n ）为 G1与 G2的交点坐标，求 a 的值．
（4）解：在移动过程中，若G1与 G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于M、 N 两点，若MN ＜，直接写出 a 的取值范围．
【答案】（1）把 D（ 3， m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得，解得，
所以双曲线的解析式为y=；
（2） 2
（3）解：把（ 6， n）代入 y= 得 6n=12，解得 n=2，即交点坐标为（ 6， 2），抛物线
G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，
把（ 6， 2）代入 y=﹣（ x﹣ a）2 +9 得﹣（ 6﹣ a）2+9=2，解得 a=6 ±，
即 a 的值为 6±；
（4）抛物线 G2 的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9，
把 D（ 3，4）代入 y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 3﹣a）2+9=4，解得 a=3﹣或 a=3+ ；
把 E（ 12， 1 ）代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 12﹣ a）2+9=1，解得a=12﹣ 2 或 a=12+2 ；
∵G1 2
与 G 有两个交点，
∴3+ ≤ a ≤﹣12 ，
设直线 DE 的解析式为y=px+q，
把 D（ 3，4）， E（12， 1）代入得，解得，
∴直线 DE 的解析式为y=﹣x+5，
∵G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于 M、 N 两点，
∴M （ a，﹣a+5）， N（ a，），
∵MN ＜，
∴﹣a+5﹣＜，
整理得 a2﹣13a+36 ＞0，即（ a﹣ 4）（ a﹣ 9）＞ 0，
∴a＜ 4 或 a＞ 9，
∴a 的取值范围为9＜ a ≤ 12﹣ 2 ．
【解析】【解答】解：（2）当 y=0 时，﹣ x2+9=0，解得 x1=﹣ 3， x2=3，则 B（﹣ 3， 0），
而 D（ 3，4），
所以 BE= =2 ．
故答案为 2 ；
【分析】（ 1）把 D（ 3，m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得关于k、m的方程组，然后解方
程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、 E 点坐标；（ 2）先解方程﹣x2+9=0 得
到 B（﹣ 3， 0），而D（3， 4），然后利用两点间的距离公式计算DE 的长；（ 3）先利用
反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6， 2），然后把（ 6 ， 2）代入y=﹣（ x ﹣a）2+9 得 a 的值；（ 4）分别把 D 点和 E 点坐标代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得 a 的值，则利用
图象和 G1与 G2有两个交点可得到3+≤ a≤﹣122 ，再利用待定系数法求出直线DE 的解析式为y=﹣ x+5，则 M（ a，﹣a+5）， N（ a，），于是利用MN ＜得到﹣a+5 ﹣＜，然后解此不等式得到a＜ 4 或 a＞ 9，最后确定满足条件的 a 的取值范围．
2．已知点 A， B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，点 C， D 是某个函数图象上的点，当四边形
ABCD（ A， B， C， D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方
形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1 图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数y= （ k＞ 0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点 D（ 2，
m）（ m＜ 2）在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（ a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD， C、D 中的一个点坐标为（ 3， 4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇
数还是偶数 ________．
【答案】（1）解：如图1，
当点 A 在 x 轴正半轴，点 B 在 y 轴负半轴上时，
∵O C=0D=1，
∴正方形 ABCD的边长 CD=；∠ OCD=∠ODC=45，°
当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在 y 轴正半轴上时，
设小正方形的边长为a，
易得 CL=小正方形的边长=DK=LK，故 3a=CD=．
解得 a=，所以小正方形边长为，
∴一次函数y=x+1 图象的伴侣正方形的边长为或
（2）解：如图2，作 DE， CF分别垂直于x、 y 轴，
易知△ ADE≌ △ BAO≌△ CBF
此时， m＜ 2， DE=OA=BF=m， OB=CF=AE=2﹣ m，
∴O F=BF+OB=2，
∴C 点坐标为（ 2﹣m， 2），
∴2m=2 （ 2﹣ m），解得 m=1．
反比例函数的解析式为 y= ．
（3）（ 3， 4）； y=﹣x2+ ；偶数
【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在
（3， 4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
①当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点
为（ 4， 1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；
②当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：不存在，
③当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（ 3，4）时：不存在
④当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点
C 为（﹣
⑤ 当点
1， 3），对应的函数的解析式是
A 在 x 轴负半轴上，点
B 在 y
y= x2+ ；轴负
半轴上，点 D 坐标为（3， 4）时，另一个顶点 C
的坐标是（ 7，﹣ 3）时，对应的函数解析式是y=﹣⑥当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点
；
C 坐标为（3， 4）时，另一个顶点 D
的坐标是（﹣ 4， 7）时，对应的抛物线为y= x2+；
∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，
∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．
【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A， B 分别是x 轴、 y 轴上的动点，点C， D 是某个函数图象上的点。
（1）一次函数 y=x+1 的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再
利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；
（2）由于 ABCD 是正方形，添加辅助线，作DE， CF 分别垂直于 x、 y 轴，得到的等腰直角
三角形都是全等的，再利用点D（ 2， m）的坐标表示出点 C 的坐标，从而可以求解；
（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点
也在抛物线上，这个点可能在（ 3 ， 4 ）的左侧，也可能在（ 3， 4）的右侧，因此过点（3，
4）作 x 轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长，即可求出抛物线上另一个点的坐
标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条
抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为
偶数。
3．给出如下规定：两个图形 G 和 G ，点 P 为 G 上任一点，点 Q 为 G 上任一点，如果
1 2 1 2
线段 PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1 2
之间的距离．在平面直角坐
和 G
标系 xOy 中， O 为坐标原点．
（1）点 A 的坐标为A（ 1， 0），则点B（ 2， 3）和射线OA 之间的距离为 ________，点 C （﹣ 2， 3）和射线OA 之间的距离为________；
（2）如果直线y=x+1 和双曲线y=之间的距离为，那么k=________；（可在图 1 中进行研究）
（3）点 E 的坐标为（ 1，），将射线OE 绕原点 O 顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE， OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ．
①请在图 2 中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以
用阴影表示）．
②将射线 OE， OF 组成的图形记为图形W，直线 y=﹣ 2x﹣ 4 与图形 M 的公共部分记为图形N，请求出图形W 和图形 N 之间的距离．
【答案】（1） 3；
（2）﹣ 4
（3）解：①如图， x 轴正半轴，∠GOH 的边及其内部的所有点（OH、 OG 分别与OE、 OF 垂直），
；
②由① 知 OH 所在直线解析式为y=﹣x， OG 所在直线解析式为y=x，
由得，即点M（﹣，），
由得：，即点N（﹣，），
则﹣≤x≤﹣，
图形 N（即线段 MN ）上点的坐标可设为（ x，﹣ 2x﹣ 4），即
图形 W 与图形 N 之间的距离为 d，
d=
=
=
∴当 x=﹣时，d的最小值为=，
即图形 W 和图形 N 之间的距离．
【解析】【解答】解：（1）点（ 2， 3）和射线OA 之间的距离为3，点（﹣ 2， 3）和射线OA 之间的距离为=，
故答案分别为：3，；
（2）直线 y=x+1 和双曲线y= k x 之间的距离为，
∴k＜0（否则直线y=x+1 和双曲线y=相交，它们之间的距离为0）．
过点 O 作直线 y=x+1 的垂线 y=﹣ x，与双曲线y=交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，
由得，即点F（﹣，），
则 OF==，
∴O E=OF+EF=2 ，
在 Rt△ OEG中，∠ EOG=∠OEG=45°， OE=2，
则有 OG=EG= OE=2，
∴点 E 的坐标为（﹣ 2， 2），
∴k=﹣ 2 × 2=﹣4 ，
故答案为：﹣4；
【分析】（ 1）由题意可得出点B（ 2， 3）到射线 OA 之间的距离为 B 点纵坐标，根据新定
义得点 C（﹣ 2，3）和射线 OA 之间的距离；
（2）根据题意即可得 k＜ 0（否则直线y=x+1 和双曲线 y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点 O 作直线 y=x+1 的垂线 y=﹣ x，与双曲线 y= k x 交于点 E、 F，过点 E 作 EG⊥ x 轴，如图 1，将其联立即可得点 F 坐标，根据两点间距离公式可得OF 长，再由 OE=OF+EF 求出 OE 长，在 Rt△ OEG 中，根据等腰直角三角形的性质可得点 E 的坐标为（﹣ 2，2），将 E 点代入反比例函数解析式即可得出k 值.
（3）①如图， x 轴正半轴，∠ GOH 的边及其内部的所有点（OH、OG 分别与 OE、OF 垂直）；
②由① 知 OH 所在直线解析式为y=﹣x， OG 所在直线解析式为y=x，分别联立即
可得出点M 、N 坐标，从而得出x 取值范围，根据题意图形N（即线段MN ）上点的坐标可设为（x，﹣ 2x﹣4 ），从而求出图形W 与图形N 之间的距离为d，由二次函数性质知 d 最小值 .
4．如图，矩形OABC的顶点 A、 C 分别在 x、 y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比
例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点D（ m ， 2）和AB 边上的点E（ 3 ，
）．
（1）求反比例函数的表达式和m 的值；
（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O 于点 D 重合，折痕分别与x 轴、 y 轴正半轴交于点F， G，求折痕FG所在直线的函数关系式．
【答案】（1）解：∵反比例函数y=（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（ 3，），∴k=3 × =2，
∴反比例函数的表达式为y=．
又∵ 点 D（m， 2）在反比例函数y=的图象上，
∴2m=2 ，解得： m=1
（2）解：设 OG=x，则 CG=OC﹣ OG=2﹣ x，∵点 D（ 1， 2），
∴C D=1．
在Rt△ CDG中，∠DCG=90°， CG=2﹣ x， CD=1，
DG=OG=x，∴CD2+CG2=DG2，即 1+（ 2﹣ x）2=x2，
解得： x=，
∴点 G（ 0，）．
过点 F 作 FH⊥ CB于点 H，如图所示．
由折叠的特性可知：∠ GDF=∠ GOF=90°， OG=DG， OF=DF．
∵∠ CGD+∠ CDG=90 ，°∠CDG+∠ HDF=90 ，°
∴∠ CGD=∠ HDF，
∵∠ DCG=∠ FHD=90 ，°
∴△ GCD∽ △ DHF，
∴=2，
∴D F=2GD= ，
∴点 F 的坐标为（，0）．
设折痕 FG 所在直线的函数关系式为y=ax+b，
∴有，解得：．
∴折痕 FG 所在直线的函数关系式为y=﹣x+
【解析】【分析】（ 1）由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值，再由点 B 在反比例函数图象上，代入即可求出m 值；（ 2）设 OG=x，利用勾股定理即可得出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出x 值，从而得出点G 的坐标．再过点 F 作FH⊥CB 于点 H，由此可得出△ GCD∽△ DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF 的长度，从而得出点 F 的坐标，结合点G、 F 的坐标利用待定系数法即可求出结论．
5．如图，已知直线y＝x 与双曲线y＝交于A、B两点，且点A 的横坐标为.
（1）求 k 的值；
（2）若双曲线 y＝上点 C 的纵坐标为 3，求△ AOC的面积；
（3）在坐标轴上有一点 M ，在直线 AB 上有一点 P，在双曲线 y＝上有一点 N，若以 O、M、 P、 N 为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P 的坐标 .
【答案】（ 1）解：把x=代入，得y=，
∴A（，1），
把点代入，解得：；
（2）解：∵把 y=3 代入函数，得x=，
∴C，
设过，两点的直线方程为：，
把点，，代入得：
，
解得：，
∴，
设与轴交点为，
则点坐标为，
∴；
（ 3 ）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，
∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，
∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，
根据，即得：，
解得：.
故点坐标为：或.
【解析】【分析】（ 1）先求的 A 点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出 C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC 的解析式，然后求得直线AC 与 x 的交点坐标，再根
据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于
a 的式子表示出N 的坐标，再根据菱形的性质得，求出 a 的值即可 .
6．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相
交不同的点A、B，过点 A 作 AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为 2.
（1）求的值及=4 时的值；
（ 2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设,若
，求值
【答案】（1）解：设 A（ x0 0 0 0
， y ），则 OD=x ， AD=y
，
∴S△AOD= OD?AD=x0y0=2，
∴k=x0y0=4；
当x0=4 时， y0=1，
∴A（4， 1），
代入 y=mx+5 中得 4m+5=1， m=-1
（2）解：∵，
∴＝ mx+5，整理得， mx2+5x-4=0，
∵A 的横坐标为x0，
∴m x 02+5x0=4，
当y=0 时， mx+5=0，
x=-，
∵OC=-，OD=x0，
∴m2?t=m 2?（ OD?DC），
=m2?x0（ --x0），
=m（ -5x0-mx02），
=-4m，
∵-＜ m＜- ，∴5
＜ -4m ＜6，
∴[m 2?t]=5
【解析】【分析】 (1）根据反比例函数比例系数k 的几何意义，即可得出k 的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出 A 点的坐标，再将 A 点的坐标代入直线
y=mx+5 中即可求出 m 的值；
（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx 2+5x-4=0，将 A 点的横坐标代入得出 mx020 22 +5x =4，根据直线与 x 轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由 m ?t=m ? （OD?DC） =-4m，根据 m 的取值范围得出5＜-4m ＜6 ，从而答案。
7．如图，直线y=kx 与双曲线=－交于A、B两点，点C 为第三象限内一点．
（1）若点 A 的坐标为（ a， 3），求 a 的值；
（2）当 k=－，且 CA=CB，∠ ACB=90°时，求 C 点的坐标；
（3）当△ ABC 为等边三角形时，点 C 的坐标为（ m， n ），试求 m、 n 之间的关系式．
【答案】（1）解：把（ a，3）代入=－，得，解得a=－2；
（2）解：连接CO，作 AD⊥ y 轴于 D 点，作 CE垂直 y 轴于 E 点，
则∠ ADO=∠ CEO=90°，
∴∠ DAO+∠ AOD=90 ，°
∵直线 y=kx 与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，
当CA=CB，∠ ACB=90°时，∴ CO=AO，∠BOC=90°，即∠ COE+∠ BOE=90°，
∵∠ AOD=∠ BOE，∴ ∠ DAO=∠ EOC，
∴△ ADO≌ △ OEC，
又 k=－，由y=－x 和 y=－解得，，所以 A 点坐标为（－2，3），
由△ ADO≌ △ OEC得， CE=OD=3， EO=DA=2，
所以 C（ -3， -2）；
（3）解：连接CO，作 AD⊥ y 轴于 D 点，作 CE⊥ y 轴于 E 点，
则∠ ADO=∠ CEO=90°，
∴∠ DAO+∠ AOD=90 ，°
∵直线 y=kx 与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，
∵△ ABC为等边三角形，∴ CA=CB，∠ACB=60 ，°∠ BOC=90 ，°即∠ COE+∠
BOE=90 ，°∵∠ AOD=∠ BOE，∴ ∠ DAO=∠ EOC，
∴△ ADO∽ △ OEC，
∴，
∵∠ ACO=∠ACB=30，°∠AOC=90，°∴，
∵C 的坐标为（ m， n），∴ CE=-m， OE=-n，∴AD=－n， OD=－m，
∴A（n，－m），代入 y=－中，
得 mn=18.
【解析】【分析】（ 1）将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出 a 的值；
（ 2）连接CO，作 AD⊥ y 轴于 D 点，作 CE 垂直 y 轴于 E 点，根据垂直的定义得出
∠ADO=∠ CEO=90 ，°故∠ DAO+∠ AOD=90 ，°根据双曲线的对称性得出OA=OB，当 CA=CB，∠ACB=90 时°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出
CO=AO，∠ BOC=90°，即∠ COE+∠ BOE=90°，根据等角的余角相等得出∠ DAO=∠EOC，从而利用 AAS 判断出△ADO≌ △ OEC，，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出 A 点的坐标，由△ ADO≌ △ OEC得， CE=OD=3， EO=DA=2，进而得出 C 点坐标；
（ 3 ）连接 CO，作 AD⊥y 轴于 D 点，作 CE⊥ y 轴于 E 点，根据垂直的定义得出
∠ADO=∠ CEO=90 ，°故∠ DAO+∠ AOD=90 ，°根据双曲线的对称性得出OA=OB，△ ABC 为等边三角形，故 CA=CB，∠ACB=60°，∠ BOC=90°，即∠COE+∠ BOE=90°，根据等角的余角相等
得出∠ DAO=∠EOC，从而判断出△ ADO∽ △ OEC，根据相似三角形的旋转得出,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出
m，从而得出
,C 的坐标为（m， n ），故CE=-m， OE=-n， AD=－
A 点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.
n， OD=－
8．如图 1，已知直线y=x+3 与 x 轴交于点沿 x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的A，与 y 轴交于点
“V形折
现”）
B，将直线在x 轴下方的部分
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C(1， a)，点 D 是线段AC 上一动点
括端点 )，过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
(不包
①试求△ PAD的面积的最大值；
②探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC能否为平行四边形 ?若能，求出此时点 D 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，新函数的性质： 1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.
由题意得，点 A 的坐标为（ -3， 0），分两种情况：
①当 x-3 时， y=x+3；
②当 x<-3 时，设函数解析式为y=kx+b，
在直线 y=x+3 中，当 x=-4 时， y=-1，
则点（ -4，-1）关于 x 轴的对称点为（-4， 1），
把点（ -4，1），（ -3，0），代入y=kx+b 中，
得：，
解得：，
∴y=-x-3.
综上，新函数的解析式为y=.
（2）解：如图2，
① ∵点 C（ 1， a）在直线y=x+3 上，
∴a=4，
∵点 C（ 1， 4）在反比例函数y= 上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y= .
∵点 D 是线段 AC 上一动点，
∴设点 D 的坐标为（ m， m+3），且 -3 ∵DP∥ x 轴，且点P 在双曲线上， ∴点 P 的坐标为（， m+3）， ∴PD=-m， ∴S△PAD= （-m）（m+3）=m2- m+2=（m+）2+， ∵a=<0， ∴当 m=时，S有最大值，最大值为， 又∵ -3<<1， ∴△ PAD的面积的最大值为. ②在点 D 的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下： 当点 D 为 AC 的中点时，其坐标为（ -1， 2），此时点 P 的坐标为（ 2， 2），点 E 的坐标为（- 5， 2）， ∵DP=3， DE=4， ∴EP 与 AC 不能互相平分， ∴四边形 PAEC不能为平行四边形. 【解析】【分析】（ 1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用 待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（ 2 ）① 先求出点 C 的坐标，再利用 待定系数法求出反比例函数解析式，设出点 D 的坐标，进而得到点P 的坐标，再根据三角 形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出 A 的中点 D 的坐 标，再计算 DP、 DE 的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不 互相平分，则不能成为平行四边形 . 9．如图，已知二次函数的图象与y 轴交于点A(0， 4），与x 轴交于点B， C，点 C 坐标为 (8， 0），连接AB，AC. （1）请直接写出二次函数的解析式. （2）判断△ ABC 的形状，并说明理由 . （3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A， N， C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时 点 N 的坐标 . 【答案】（ 1）解：∵二次函数的图象与y 轴交于点A(0,4),与 x 轴交于点 B.C,点C 坐标 (8,0), ∴ 解得 ∴抛物线表达式： （2）解：△ ABC 是直角三角形 . 令y=0,则 解得 x1=8,x2=-2, ∴点 B 的坐标为 (-2,0), 由已知可得 , 在Rt△ ABO 中 AB2=BO2+AO2=22+42 =20, 在Rt△ AOC中 AC2=AO2+CO2 =42+82=80, 又∴ BC=OB+OC=2+8=10, ∴在△ ABC中 AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ ABC是直角三角形 （3）解：∵ A(0,4),C(8,0), AC= =4, ①以 A 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆 ,交轴于 N,此时 N 的坐标为 (-8,0), ②以 C 为圆心 ,以 AC 长为半径作圆, 交 x 轴于 N, 此时 N 的坐标为 ( ,0) 或( ,0) ③作 AC 的垂直平分线 ,交 g 轴于 N,此时 N 的坐标为 (3,0), 综上 ,若点 N 在轴上运动 ,当以点 A、 N、 C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标分别为(-8,0) 、( ,0)、 (3,0)、,0) 【解析】【分析】 (1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得 B 的坐标 ,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10 然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形 (3)分别以 A.C 两点为圆心 ,AC 长为半径画弧 ,与 m 轴交于三个点 ,由 AC 的垂直平分线与 c 轴交于一个点 ,即可求得点 N 的坐标 10．如图，已知一次函数y= ﹣x+4 的图象是直线l，设直线l 分别与y 轴、 x 轴交于点A、 B. （1）求线段AB 的长度； A 按逆时针方向旋转90°到点 N，以点N 为圆（2）设点M 在射线A B 上，将点M 绕点 心， NA 的长为半径作⊙ N. ①当⊙ N 与 x 轴相切时，求点M 的坐标； ②在① 的条件下，设直线AN 与 x 轴交于点C，与⊙ N 的另一个交点为D，连接MD 交 x 轴于点 E，直线 m 过点 N 分别与 y 轴、直线 l 交于点 P、 Q，当△ APQ 与△ CDE相似时，求点 P 的坐标 . 【答案】（ 1）解：当x=0 时， y=4， ∴A（0， 4）， ∴O A=4， 当y=0 时， - x+4=0， x=3， ∴B（ 3，0）， ∴O B=3， 由勾股定理得： AB=5 （2）解：①如图 1，过 N 作 NH⊥ y 轴于 H，过 M 作 ME⊥ y 轴于 E， tan∠ OAB=， ∴设 EM=3x， AE=4x，则 AM=5x ， ∴M （ 3x， -4x+4）， 由旋转得： AM=AN ，∠ MAN=90°， ∴∠ EAM+∠ HAN=90 ，° ∵∠ EAM+∠ AME=90 ，° ∴∠ HAN=∠ AME， ∵∠ AHN=∠ AEM=90 ，° ∴△ AHN≌ △ MEA， ∴AH=EM=3x， ∵⊙ N 与 x 轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x 轴，∴NG=OH， 则 5x=3x+4， 2x=4， x=2， ∴M （ 6，-4）； ②如图 2，由①知 N（ 8， 10）， ∵AN=DN， A（ 0， 4）， ∴D（ 16， 16）， 设直线 DM ： y=kx+b， 把 D（ 16，16）和 M（ 6， -4）代入得： ， 解得：， ∴直线 DM 的解析式为：y=2x-16， ∵直线 DM 交 x 轴于 E， ∴当 y=0 时， 2x-16=0， x=8， ∴E（ 8， 0）， 由① 知：⊙ N 与 x 轴相切，切点为G，且 G（ 8，0），∴E 与切点 G 重合， ∵∠ QAP=∠ OAB=∠ DCE， ∴△ APQ 与△ CDE相似时，顶点 C必与顶点 A 对应，分两种情况： i）当△DCE∽ △ QAP 时，如图 2，∠ AQP=∠ NDE，∵∠ QNA=∠ DNF， ∴∠ NFD=∠ QAN=90 °， ∵AO∥NE， ∴△ ACO∽ △NCE， ∴， ∴， ∴CO=， 连接 BN， ∴AB=BE=5， ∵∠ BAN=∠ BEN=90 ，° ∴∠ ANB=∠ ENB， ∵EN=ND， ∴∠ NDE=∠ NED， ∵∠ CNE=∠ NDE+∠ NED， ∴∠ ANB=∠ NDE， ∴BN∥ DE， Rt△ ABN 中， BN=， sin∠ANB=∠ NDE=， ∴， ∴NF=2， ∴DF=4， ∵∠ QNA=∠ DNF， ∴tan ∠ QNA=tan∠ DNF=， 第六章反比例函数培优生试题讲义 （资料编辑：薛思优） 1．如图，函数y=与y=﹣kx+1（k≠0）在同一直角坐标系中的图象大致为（） A．B．C．D． 2．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图 象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（） A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变 3．函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（） A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2 4．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确的是（） ①常数m＜1； ②y随x的增大而减小； ③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=； ④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上． A．①②③B．①③④C．①②③④D．①④ 5．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C， 过点D作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF=；④方程 2x2﹣2x﹣k=0有解． 其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．反比例函数的图象上有两点M，N，那么图中阴影部分面积最大的是（） A．B．C．D． 7．如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=（k1≠0）过B点，反比例函数y=（k2 ≠0）过C、D点，OC=BC，B（2，3），则D点的坐标为（） A．（，）B．（，）C．（，）D．（，） 8．如图，直线y=﹣x+b与双曲线交于点A、B，则不等式组的 解集为（） A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或x＞2 C．﹣1＜x≤1 D．﹣1＜x＜1 9．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 10．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣1，﹣2），当自变量x＞1时，函数值y的取值范围是（）A．y＞1 B．y＜1 C．y＞2 D．0＜y＜2 11．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、 D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF 与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 12．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（） A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2 13．若函数的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（） A．（3，4）B．（2，6）C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4） 14．若直线y=2x﹣1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣2，﹣3）D．（2，12） 15．如图，反比例函数y=﹣（x＞0）图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于F点，连接EF、OE、OF，则△OEF的面积是（） A．B．C．D． 中考数学培优专题复习反比例函数练习题附答案 一、反比例函数 1．如图，已知抛物线y=﹣ x2+9 的顶点为A，曲线 DE 是双曲线y=（3≤x≤）12的一部分，记作 G1，且 D（ 3， m）、 E（12， m﹣3），将抛物线y=﹣ x2 +9 水平向右移动 a 个单位，得到抛物线 G2． （1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线 y=﹣ x2+9 与 x 轴的交点为 B、 C，且 B 在 C 的左侧，则线段 BD 的长为 ________； （3）点（ 6，n ）为 G1与 G2的交点坐标，求 a 的值． （4）解：在移动过程中，若G1与 G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE 和 G1于M、 N 两点，若MN ＜，直接写出 a 的取值范围． 【答案】（1）把 D（ 3， m）、 E（ 12， m﹣ 3）代入 y=得，解得， 所以双曲线的解析式为y=； （2） 2 （3）解：把（ 6， n）代入 y= 得 6n=12，解得 n=2，即交点坐标为（ 6， 2），抛物线 G2的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9， 把（ 6， 2）代入 y=﹣（ x﹣ a）2 +9 得﹣（ 6﹣ a）2+9=2，解得 a=6 ±， 即 a 的值为 6±； （4）抛物线 G2 的解析式为 y=﹣（ x﹣ a）2+9， 把 D（ 3，4）代入 y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 3﹣a）2+9=4，解得 a=3﹣或 a=3+ ； 把 E（ 12， 1 ）代入y=﹣（ x﹣ a）2+9 得﹣（ 12﹣ a）2+9=1，解得a=12﹣ 2 或 a=12+2 ； ∵G1 2 与 G 有两个交点， ∴3+ ≤ a ≤﹣12 ， 设直线 DE 的解析式为y=px+q， 反比例函数习题精选 1、如图1，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线x 1 y = 于点A ，连结OA 。 （1） 如图1，当点P 在x 轴的正方向上运动时，Rt △AOP 的面积大小是否变化若不变， 请求出Rt △AOP 的面积；若改变，请说明理由。 （2）如图2，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x 1 y =于 点B ，连结BO 交AP 于点C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是 。 （3）如图3，AO 的延长线与双 曲线x 1 y =的另一个交点是F ， FH ⊥x 轴，垂足为H ，连接AH ，PE ，试证明四边形APFH 的面积是一个常数。 ； 2、如图2，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点c 在y 轴上， 点B 在函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上，点P(m,n)是函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂中足分别是E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部份的面积为S 。 （1）求B 点的坐标和k 的值。 （2）当S=2 9 时，求点P 的坐标。 （3）写出S 关于m 的函数关系式。 ￥ 3、如图3，直线2x 2 1 +分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥ x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9。 （1）求点P 的坐标。 （2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 和△AOC 相似时，求点R 的坐标。 # 4、如图4，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数x m y = 的图象交于A 、B 两点。 （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。 】 5、如图5，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=x k (k ≠0) 的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B 。 （1）求实数k 的取值范围。 (2)若△AOB 的面积为24，求k 的值。 ! 6、已知如图6，反比例函数x 8 y -=与一次函数y=-x+2的图象交于A 、B 两点，求： （1）A 、B 两点的坐标。 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于 D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值； （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值； （2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得， 所以一次函数解析式为y= x+ ， 把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2； （3）解：如下图所示： 设P点坐标为（t，t+ ）， ∵△PCA和△PDB面积相等， ∴? ?（t+4）= ?1?（2﹣t﹣），即得t=﹣， ∴P点坐标为（﹣，）． 【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到? ?（t+4）= ?1?（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标． 2．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点 C． （1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标． （2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标． （3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）． 【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3， ∴y= ， ∵B（3，y2）在反比例函数的图象上， ∴y2= =1， ∴B（3，1）， ∵直线y=ax+b经过A、B两点， ∴解得， ∴直线为y=﹣x+4， 令y=0，则x=4， ∴P（4，O） 反比例函数 1．函数y ax a =-与a y x = （a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 2．已知反比例函数1 y x = ，下列结论不正确．．．的是 (A)图象经过点(1,1) (B)图象在第一、三象限 (C)当1x >时，01y << (D)当0x <时，y 随着x 的增大而增大 3．反比例函数x y 6 = 图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是(▲) A ．321y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 4．如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2- =交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 5．函数y 1＝x （x ≥0），y 2＝4 x （x>0）的图象如图所示，下列结论： ①两函数图象的交点坐标为A （2，2）； ②当x >2时，y 2>y 1； ③直线x ＝1分别与两函数图象相交于B 、C 两点，则线段BC 的长为3； ④当x 逐渐增大时，y 1的值随x 的增大而增大，y 2的值随x 的增大减少． 其中正确的是（ ） A ．只有①② B ．只有①③ C ．只有②④ D ．只有①③④ y y 1＝x y 2＝4x x 第5题图 6．如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x = 交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值 （ ） A ． 等于2 B ．等于 3 4 C ．等于 245 D ．无法确定 7．如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC ∥OB ，CB ⊥OB ，OB ＝18，BC ＝12，AC ＝9，对 角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图像上的是（ ） A ．点G B ．点E C ．点D D ．点F ． 8．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．如图所示，已知菱形OABC ，点C 在x 轴上，直线y =x 经过点A ，菱形OABC .若反比例函数的图象经过点B ，则此反比例函数表达式为（ ） A ．1y x = B ．y = C ．y = D ．y = （第7题） 初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围． 3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 专题11 双曲线 阅读与思考 形如(0)k y k x =≠的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中. 反比例函数的基本性质有： 1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交； 2. k 的正负性，决定双曲线大致位置及y 随x 的变化情况； 3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y x =及y x =-. 反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同. 反比例函数k y x =中k 的几何意义是：k 等于双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得的矩形的面积，如图： （1）12AOB S k =△； （2）ACOB S k =矩形. 求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到. 求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标. 解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性. 反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识. 例题与求解 【例1】（1）如图，已知双曲线(0)k y x x =>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = . （兰州市中考试题） 反比例函数培优试题 1、如图1，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线x 1 y = 于点A ，连结OA 。 （1） 如图1，当点P 在x 轴的正方向上运动时，R t △AOP 的面积大小是否变化？若不变， 请求出R t △AOP 的面积；若改变，请说明理由。 （2）如图2，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x 1 y =于 点B ，连结BO 交AP 于点C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系 是 。 （3）如图3，AO 的延长线与双 曲线x 1 y =的另一个交点是F ， F H ⊥x 轴，垂足为H ，连接AH ，PE ，试证明四边形APFH 的面积是一个常数。 2、如图2，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点c 在y 轴 上，点B 在函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上，点P(m,n)是函数x k y =(k ﹥0,x ﹥0)的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂中足分别是E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部份的面积为S 。 （1）求B 点的坐标和k 的值。 （2）当S=2 9 时，求点P 的坐标。 （3）写出S 关于m 的函数关系式。 3、如图3，直线2x 2 1 +分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，P B ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9。 （1）求点P 的坐标。 （2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 和△AOC 相似时，求点R 的坐标。 4、如图4，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数 x m y =的图 象交于A 、B 两点。 （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。 5、如图5，已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=x k (k ≠0) 的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B 。 （1）求实数k 的取值范围。 (2)若△AOB 的面积为24，求k 的值。 6、已知如图6，反比例函数x 8 y -=与一次函数y=-x+2的图象交于A 、B 两点，求： （1）A 、B 两点的坐标。 （2）求△AOB 的面积。 7、如图7，一次函数的图象经过一、二、三象限，且与 反比例函数培优 专题一、反比例函数的图像 1.在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝（k≠0）的图象大致是（） A B C C 2反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可是（）A．B．C．D． 3．函数y＝mx+n与y＝，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（） A．B．C． D 4、如图，是三个反比例函数y＝，y＝，y＝在x轴上方的图象，由此观察 得到k1、k2、k3的大小关系为（） A．k1＞k2＞k3B．k3＞k1＞k2C．k2＞k3＞k1D．k3＞k2＞k1 5．如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标是． 6．已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+2x2y1的值为． 7．设直线y＝kx（k＜0）与双曲线y＝﹣相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则x1y2 ﹣3x2y1的值为． 8．如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为． 9．如图，有反比例函数y ＝，y ＝﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S 阴影＝ ． 专题三：性质 10、在一次函数y ＝kx ﹣3中，已知y 随x 的增大而减小．下列关于反比例函数y ＝的描 述，其中正确的是（ ）A ．当x ＞0时，y ＞ 0 B ．y 随x 的增大而增大 C ．图象在第一、三 D ．图象在第二、四象限 11．已知反比例函数y ＝，当1＜x ＜3时，y 的最小整数值是 ． 12．已知函数y ＝（m +1） 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是 ． 13．反比例函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是 ． 14．对于反比例函数y ＝，当x ≤﹣6时，y 的取值范围是 ． 15．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y ＝ 的图象 在 ． 专题四:图像法比较大小： 16．若点A （﹣6，y 1），B （﹣2，y 2），C （3，y 3）在反比例函数y ＝﹣ （a 为常数）的图象上，则y 1，y 2，y 3大小关系为 17．若点A （x 1，y 1），B （x 2，2y ），C （x 3，3y ）在反比例函数y ＝﹣的图象上，若 3210y y y ，则x 1，x 2，x 3的大小关系为 （用“＜”号连接） ． 18．若点A （-m 2，y 1），B （-m 2-2，y 2）在反比例函数y ＝的图象上，则y 1，y 2的大小关 系为 （用“＜”号连接）． 19．在函数y ＝x m m 222+-的图象上有三点A 1（x 1，y 1）、A 2（x 2，y 2）、A 3（x 3，y 3），若x 1＞x 2＞0＞x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 （用“＜”号连接）． 20．已知反比例函数y ＝﹣，点A （a ﹣b ，﹣2），B （a ﹣c ，﹣3）在这个函数图象上，下 列对于a ，b ，c 的大小关系为 （用“＜”号连接）． 21、在反比例函数x k y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若 北师大版九年级数学反比例函数培优专题训练（含答案）【基础演练】 （1）反比例函数y＝的图象位于（） A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限 （2）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（） A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2 （3）如图Z3-4-1，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于（） A.-4 B.4 C.-2 D.2 图Z3-4-1 图Z3-4-2 （4）如图Z3-4-2所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C为反比例函数y＝（k>0）上不同的三点，连接OA，OB，OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B，C分别作BE，CF 垂直x轴于点E，F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（） A.S1＝S2+S3 B.S2＝S3 C.S3>S2>S1 D.S1S2 （5）已知点A 是直线y ＝2x 与双曲线y ＝ （m 为常数）一支的交点，过点A 作x 轴的垂线， 垂足为B ，且OB ＝2，则m 的值为（ ） A.-7 B.-8 C.8 D.7 （6）如图Z3-4-3，一次函数y 1＝ax+b 和反比例函数y 2＝ 的图象相交于A ，B 两点，则 使y 1>y 2成立的x 取值范围是（ ） A.-2 反比例函数的图像与性质 一、重点难点分析： 1.反比例函数的解析式有三种形式：为常数，） 2.用待定系数法求反比例函数的关系式分两步：一是设，设所求反比例函数的关系式的 ，二是代，把已知的一组x，y的值代入上式，求出反比例系数k，归根结底求反 比例函数关系式就是求比例系数。 3.反比例函数图像是关于原点对称的双曲线，双曲线的位置和增减性由比例系数k决定， 当K＞0，双曲线的两个分支分别位于第一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二，四象限，在每一个象限内，y随x 的增大而增大，但两个分支都无限接近但永远不能到达x，y轴。 难点分析： 1.若两个变量之比等于定值（常数），则这两个变量成正比例；若两个变量之积等于定值 （常数），则这两个变量成反比例。 2.反比例函数的比例系数，自变量x的取值范围是x≠0，但在实际问题中，自变量 的取值范围要符合实际意义。 3.反比例函数的图像既是中心对称图形（对称中心为原点），又是轴对称图形（对称轴是 一，三或二，四象限角平分线） 4.过反比例函数图像上的点作一条坐标轴的垂线段，则该点与垂足，原点组成的直角三角 形面积，这一特征可用于解决与反比例函数有关的图形面积问题。很多 人把这叫做k的几何意义。 5.反比例函数是最简单的函数，因为它只有一个字母系数。考试出题的话，只能和几何图 形的面积融合在一起。 二、例题精选 例1.对于反比例函数，下列说法正确的是（） A.图形经过（1，-1） B.图像位于二、四象限 C.图像是中心对称图形 D.当x＜0时，y随x增大而增大 例2.如图，D是反比例函数(k＜0)的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=-x+m与y＝?x+2的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为______． 反比例函数培优训练题 1、在函数 1 y x =的图象上有三个点的坐标分别为（1， 1 y）、（ 1 2 ， 2 y）、（3-， 3 y），函数值y1、y2、y3的大小关系是. 2、已知点A（ 11 x y ，）、B（ 22 x y ，）是反比例函数 x k y=（0 > k）图象上的两点，若 2 1 0x x< <，则（） A． 2 1 0y y< 20XX年全国各地中考数学精选反比例函数培优题 （附答案） 1. （2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分 别平行于坐标轴，点C在反比例函数 221 k k y x ++ =的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为 A．1 B．－3 C．4 D．1或－3 2. （2011四川乐山10，3分）（6），直线6 y x =-交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 4 (0) y x x =>图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AF BE ?= A．8 B．6 C．4 D．62 3（2011山东东营，10，3分）, 如图直线l和双曲线(0) k y k x =>交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△B OD面积是S2、△P OE面积是S3、则（） A S1 y x O y x O y x O y x O A B C D 5. （2011浙江台州，9,4分）如图，反比例函数x m y = 的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程 x m =b kx -的解为（ ） A. －3,1 B. －3,3 C. －1,1 D.3，-1 6. （2011河北，12，3分）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P,Q ，连接OP,OQ.则以下结论 ①x ＜0时，x 2 y = ，②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大④MQ=2PM ⑤∠POQ 可以等于90° 图5—2 图5—1 输出y 取相反数 4 2 取倒数 取倒数 输入非零数x P Q M 其中正确的结论是（ ） A ．①②④ B ．②④⑤ C ．③④⑤ D ．②③⑤ 7 （2011湖北宜昌，15，3分）如图，直线y=x +2与双曲线y=x m 3 -在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ） 第六章反比例函数培优生试题讲义 (资料编辑：薛思优) 1.如图,函数y＝与ｙ=﹣kx+1(k≠0)在同一直角坐标系中的图象大致为( ) A．?B. C.D． 2.如图,等腰三角形ABC的顶点A在原点,顶点Ｂ在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动,且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（) A.一直不变?Ｂ.先增大后减小 C.先减小后增大?D．先增大后不变 3.函数ｙ＝(m2﹣m）是反比例函数,则( ) A.m≠0?Ｂ.ｍ≠0且m≠1 C．m＝2? D.ｍ=1或2 4.反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论正确的是( ） ①常数m<１； ②y随x的增大而减小； ③若Ａ为x轴上一点，Ｂ为反比例函数上一点，则S△ＡＢC=; ④若P(x,ｙ）在图象上，则P′(﹣ｘ,﹣ｙ)也在图象上. Ａ.①②③?Ｂ．①③④?Ｃ．①②③④D．①④ 5．如图,在直角坐标系中,直线y1=2x﹣２与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y２＝(ｘ>0)交于点C,过点D作CD⊥x轴,垂足为D，且OA=ＡＤ，则以下结论： ①S△ADB＝S△ADC;②当０ 7.如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=(k1≠0）过B点,反比例函数y=(k2≠0）过C、Ｄ点，OC=ＢＣ,B(2,3），则D点的坐标为（) A.(,)?B．(,）?C．（,)?Ｄ．(，) ８.如图，直线y=﹣x+b与双曲线交于点A、B，则不等式组的 解集为( ) Ａ．﹣1＜x<0 Ｂ．x＜﹣1或ｘ＞2?C．﹣1 实用文档反比例函数 a ）a（≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（1．函数与a?y?ax?y x 1?y的是2．已知反比例函数，下列结论不正确．．．x(1,1)图象在第一、三象限(B) (A)图象经过点 y x1y?0?0?xx?1随着时，的增大而增大(C)当时，(D)当 6?y x0??x?x，图象上有三个点，．反比例函数，，其中3)y(x，(x，y))(x，y312123312xyyy) (，▲则的大小关系是， 321yy?y?y?yy?yy?yy?y?y?．C．A ．D．B3121221133322)yx,,y),B(A(x??y)?0y?kx(k 则,与双曲线线4．如图,直交于两点2211xy8x?3xy( ) 的值为1122y y xy＝1Aox4 ＝y2x B x 题图第5 A.-5 B.-10 C.5 D.10 4 x>0）的图象如图所示，下列结论：＝≥0），y（＝5．函数yx（x21x 2）；①两函数图象的交点坐标为A（2，；时，y>yx②当>212的长为；3、1分别与两函数图象相交于BC两点，则线段BC＝③直线x的增大而增大，y的值随x的值随x的增大减少．y④当x逐渐增大时，21其中正确的是（） A．只有①②B．只有①③C．只有②④D．只有①③④ 标准文案． 实用文档 k y x CABABCOAOAOBCAO的底边⊥在的双曲线如图，已知梯形轴上，，过点∥交，6．x OBDOD：DB=△OBCk的值（，则，且 1:2，若）的面积等于3于324 D等于2 B．等于．无法确定 C．等于 A．54y BD题）（第7 xAO题）（第6 ，对＝9＝12，AC⊥OB，OB＝18，BCAC7．如图，已知在直角梯形AOBC中，∥OB，CB为原点，直的中点，以OBD、BC分别是E、F、GCD、角线OC、AB交于点D，点在同一反比例函四个点中与点AD、F为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、线OB ）数图像上的是（．D．点FC．点D GA．点B．点E kBC、，分别与AB0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M＞8．如图，反比例函数y＝(x x 的 值为，则kE．若四边形ODBE的面积为6相交于点D、y E B C D M x OA 4 D．C．3 2 A．1 B．.OABC的面积是x经过点A，菱形直线已知菱形．如图所示，OABC，点C在x轴上，y=92 ），则此反比例函数表达式为（若 九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析 一、反比例函数 1．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”． （1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围； （3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”， 理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1， ∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大， ∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1， 即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数” （2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a， ∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1）， ∴顶点坐标为：（1，a﹣1）， 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上， ∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a， ∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即， ∴0≤a≤1 （3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4， ∵y= +2x﹣4 反比例函数 一、例题分析 例1、如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x =的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程x m b kx =+的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<- +x m b kx 的解集（请直接写出答案）. 例2、在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)k y k x = ≠满足：当0x <时，y 随x 的增大而减小．若 该反比例函数的图象与直线y x =-都经过点P ，且OP =，则实数k=________ _. 例3、直线y =a 分别与直线x y 2 1= 和双曲线x y 1 =交于A 、D 两点，过点A 、D 分别作x 轴的垂线段，垂足 为点B ，C . 若四边形ABCD 是正方形，则a 的值为 ． 例4、如图，已知△OP 1A 1、△A 1P 2A 2、△A 2P 3A 3、……均为等腰直角三角形，直角顶点P 1、P 2、 P 3、……在 函数4 y x = （x ＞0）图象上，点A 1、A 2、 A 3、……在x 轴的正半轴上， 则点P 2012的横坐标为 . 例5、已知：如图，矩形OABC 的边OA 在x 轴的负半轴 上，边OC 在y 轴的正半轴上，且OA=2OC ，直线 y=x+b 过点C ，并且交对角线OB 于点E ，交x 轴于 点D ，反比例函数x a y = 过点E 且交AB 于点M ， 交BC 于点N ，连接MN 、OM 、ON,若△OMN 的面积 是9 80 ，则a 、b 的值分别为 例6如图，Rt ABO ?中，90,3,ABO AC BC D OA ∠==为中点， 反比例函数经过C 、D 两点，若ACD ?的面积为3，则反比例函数 的解析式为（ ） A 、2y x = B 、2y x =- C 、4y x = D 、4y x =- 例7如图，在直角坐标系中，点P 为菱形OACB 的对角线AB 、OC 的交点，其中点B 、P 在双曲线(x 0)k y x => 上。若点P 的坐标为（1，2）， 则点A 的坐标是（ ） A 、10(1,)3- B 、7 (2,)2- C 、1314(,)99- D 、18(3,)5 - 反比例函数专题综合讲解(解答题) 1．（2010 四川成都）如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． 【答案】解：（1）∵已知反比例函数经过点， ∴，即∴∴A(1，2) ∵一次函数的图象经过点A(1，2)， ∴∴ ∴反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为。 （2）由消去，得。即,∴或。 ∴或。∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。 由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。 2．（2010江苏徐州）如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的 两个交点，直线AB与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC的面积； (3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)． 【答案】 3．（2010 浙江义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象 限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交轴、轴于点C 、D ， 且S △PBD =4， ． （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的解析式； （3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例 函数的值的的取值范围. 【答案】解：（1）在 中，令 得 ∴点D 的坐标为（0，2） （2）∵ AP ∥OD ∴Rt △P AC ∽ Rt △DOC ∵ ∴ ∴AP =6 又∵BD = ∴由S △PBD =4可得BP =2 ∴P (2，6) 把P (2，6)分别代入 与 可得 一次函数解析式为：y =2x +2 反比例函数解析式为： （3）由图可得x ＞2 4．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润 为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即 ；②当 时， ，所以当 ＞5时， ； ⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月． 5．（2010 山东）如图,已知直线 与双曲线 交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值； （2）若双曲线 上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； y x P B D A O C反比例函数培优生试题讲义
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