2021年高考数学摸底测试试题文（含解析）
【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
{}{}()
12,1
R
A x x
B x x A
C B
=-≤≤=
，则
=（）。
A． B．C．D．
【知识点】交集与补集的运算.
【答案解析】D解析：解：解：因为，所以=，则
=，故选D.
【思路点拨】先求出，再求其与A的交集即可.
2．已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（）。
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【知识点】充分、必要条件；充分必要条件的判断.
【答案解析】A解析：解：若与夹角为锐角，则即，可得，即，必要性成立；当时与共线，夹角为0，不是锐角，充分性不成立；综上可知：“”是“与夹角为锐角”的必要而不充分条件，故选A.
【典型总结】进行双向判断即可.
3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）。
A． B． C．． D．
【知识点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【答案解析】C解析：解：A中，为奇函数，故排除A；
B中，为非奇非偶函数，故排除B；
C 中，的图象关于轴对称，故为偶函数，且在上单调递减，
D 中，为偶函数，在时，单调递减，在时，单调递增，故排除D,所以在上不单调.故选C ． 【思路点拨】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可． 4．如图给出的是计算的值的一个程序框图，
则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 （ ）。
A ．
B ．
C ．
D ．
【知识点】循环结构的程序框图.
【答案解析】C 解析 ：解：∵算法的功能是计算的值， ∴终止程序运行的i 值为55，∴判断框的条件为i ＞54； 根据n 值的规律得：执行框②应为n=n+2，故选：C ．
【思路点拨】根据算法的功能确定跳出循环的i 值，可得判断框内的条件，根据n 值的出现规律可得执行框②的执行式子． 5．，，，则与的大小关系为（ ）。
A ．
B ．
C ．
D ．不确定 【知识点】换底公式；比较大小. 【答案解析】C 解析 ：解：因为，，，所以，然后两边同时取以为底的对数可以得到，，所以由两式可得，即，故选C.
【思路点拨】首先根据的范围判断出，然后两边同时取以为底的对数即可比较大小.
6．若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）。
A ．
B ．
C ．
D ．.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【答案解析】A 解析 ：解：令，则； 又∵，∴；∴函数在上是增函数． 又∵，∴，即，∴． 故选：A.
【思路点拨】构造，求，利用利用导数判定g （x ）的单调性，可以得出结论． 7．函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）。 A ． B ． C ． D ．
【知识点】函数的图象变换；函数的值域.
【答案解析】A 解析 ：解：函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为
)32sin(])6(2sin[)(j p x j p x x f ++=++
=．
再由所得图象关于原点对称，可得为奇函数，故，
∴．可得函数，又因为，，所以就有
，故当，函数有最小值，最小值为，故选A.
【思路点拨】根据的图象变换规律可得，所得图象对应的函数解析式为．根据为奇函数， 可得,求得的值可得函数解析式，然后在定义域内求最值即可.
8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（ ）。
A ．2
B ．
C ．
D ．3 【知识点】由三视图求几何体的体积．
【答案解析】D 解析 ：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：
故选D ．
【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x 即可． 9．如图，、是双曲线的左、右焦
点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ▲ ）。 A ．4 B ．
C ．
D ． 【知识点】双曲线的几何性质. 【答案解析】B 解析 ：解：设的边长为，则由双曲线的定义， 可得,∴∵,∴
在中，，，，,
∴由余弦定理可得 ∴,∴,故答案为：．
【思路点拨】设的边长为，则由双曲线的定义，为等边三角形，可求的值，在中，由余弦定理，可得结论．
10．某校数学复习考有位同学参加﹐评分后校方将此位同学依总分由高到低排序 如下﹕前人为组﹐次人为组﹐再次人为组﹐最后人为组﹒
校方进一步逐题分析同学答题情形﹐将各组在填充第一题（考排列组合）和填充第二题 （考空间概念）的答对率列表如下﹕
组 组 组 组 第一题答对率 100% 80% 70% 20% 第二题答对率
100%
80%
30%
0%
A ．第一题答错的同学﹐不可能属于组
B ．从第二题答错的同学中随机抽出一人﹐此人属于组的机率大于
C ．全体同学第一题的答对率比全体同学第二题的答对率低15%
D ．从组同学中随机抽出一人﹐此人第一﹑二题都答对的机率不可能大于﹒ 【知识点】概率的简单计算.
【答案解析】D 解析 ：解：因为B 组第一题答对率不是100%﹐所以第一题答错 的同学有可能属于B 组﹒故A 错误；
因为A ﹐B ﹐C ﹐D 四组答错第二题的人数分别是0﹐20﹐70﹐100﹐所以随机抽 出一人﹐此人属于B 组的机率为﹒故B 错误；
正视图 侧视图
x
A
因为全体第一题与第二题答对率分别为 ﹐﹐
所以﹒故C 错误；
因为在C 组中﹐两题都答对的最大值为30%﹐即30人﹐所以从C 组中随机抽出一人﹐此人两题都答对的机率不可能大于﹒故D 正确； 故选D ﹒
【思路点拨】由已知条件依次判断选项即可. 非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．已知是虚数单位，若 ，则的值为 ▲ 。 【知识点】复数代数形式的乘除运算;复数相等的条件. 【答案解析】解析 ：解：由，得． 所以．则． 故答案为．
【思路点拨】把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a ，b 的值，则答案可求． 12．在等差数列中，，则数列的前5项和= 。 【知识点】等差数列的通项公式以及前n 项和公式.
【答案解析】90解析 ：解：设的公差为，首项为，由题意得 ，解得；∴，∴，且，公差为6， ∴．故答案为：90
【思路点拨】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于，的方程组，解出，，可得，进而得到，然后利用前n 项和公式求解即可． 13．已知函数，则 。 【知识点】求函数值.
【答案解析】5解析 ：解：因为， 所以，故，
则有，而，所以 5，故答案为5.
【思路点拨】通过已知条件找到，进而得到，再求出即可得到结果. 14．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→
BC ＝1，则BC ＝ 。 【知识点】向量的数量积；余弦定理的运用.
【答案解析】解析 ：解：设的夹角为θ，，∵AB ＝2，→AB ·→
BC ＝1，∴，又由余弦定理可得：,∴∴， 故答案为：
【思路点拨】利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC 的值． 15．已知椭圆C ：的左右焦点分别为，点P 为椭圆C 上的任意一
点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心 率的取值范围是 。
【知识点】椭圆的定义与离心率.
【答案解析】解析 ：解：因为点P 的横坐标满足，且当点P 在短轴顶点时，一定是锐角或直角，所以椭圆C 的离心率的取值范围是，故答案为.
【思路点拨】先确定出点P的横坐标的范围，在根据是锐角或直角解不等式组即可. 16．若实数满足，且的最大值等于34，则正实数的值等于
。
【知识点】简单线性规划．
【答案解析】解析：解：作出可行域
表示点与距离的平方，
由图知，可行域中的点B与最远
故最大值为（负值舍去）．
故答案为：．
【思路点拨】作出可行域，给目标函数赋予几何意义：到距离的平方，据图分析可得到点B 与距离最大．
17．把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少
一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为：。（用数字作答）
【知识点】排列、组合的应用.
【答案解析】解析：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有种情况，再对应到4个人，有种情况，则共有种情况．
故答案为．
【思路点拨】根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，用隔板法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，再由分步计数原理，计算可得答案．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）在中，三个内角分别为，且．
（1）若,,求．
（2）若，且，求．
【知识点】两角和差的正余弦公式的应用; 正弦定理.
【答案解析】（1）（2）.
解析：解：因为，得，
即，因为，且，
所以，所以。
（1）因为，，，所以
又
632333213623sin cos cos sin )sin(sin +=?+?=
+=+=C A C A C A B ，
由正弦定理知：，即。 （2）因为，所以， ，所以，
所以
()()103
34)sin(cos )cos(sin sin sin -=
---=--=B A A B A A B A A B .
【思路点拨】先结合已知条件利用三角公式进行化简可求出角A ，（1）先求，再利用正弦定理可求结果，（2）先求，再求即可. 19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式；
（2）设，＝，记数列的前项和.若对， 恒成立，求实数的取值范围．
【知识点】等比数列的通项公式；对数的运算性质；裂项求和；恒成立问题的等价转化；基本不等式的性质. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）当时，，当时， 即：，数列为以2为公比的等比数列
（2）由bn ＝log2an 得bn ＝log22n ＝n ，则cn ＝＝＝－， Tn ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. ∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.
∵n ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n ＝，即n ＝2时等号成立， ∴≤，因此k≥，故实数k 的取值范围为 【思路点拨】（1）当时，解得．当时，，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得，利用“裂项求和”即可得出：数列的前项和．由于对，恒成立，可得≤k(n＋4)，化为k≥ ，利用基本不等式的性质即可得出． 20．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面， ，，是中点，为上一点． （1）求证：平面； （2）当为何值时，二面角为．
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 【答案解析】（1）见解析（2） 解析 ：解：（1）证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
P F
E
D
C
B
A
∵，，是中点， ∴A （0，0，0），P （0，0，1），B （0，1，0），C （，1，0）， ＝(0，1，?1)，＝(，1，?1)，F （0，，），=（0，，）， ∵，∴，∴平面．
（2）设BE=a ，∴E （a ，1，0），＝(a ?，1，0)，＝(，0，?1)， 设平面PDE 的法向量＝(x ，y ，z)， 则，
取x=1，得=（1，?a ，）， 平面PCE 的法向量为＝(0，，)， ∵二面角C-PE-D 为45°，
∴
213
22
cos 2
2
2372
a n AF
a a ，
解得a=∴当BE=时，二面角C-PE-D 为45°． AF ⊥平面PBC ． 【思路点拨】（1）以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ⊥平面PBC ．（2）设BE=a ，求出平面PDE 的法向量和平面PCE 的法向量，利用向量法能求出当BE=时，二面角为45°．
21．（本小题满分15分）已知函数)
()()(21
)()(2x g x f x h ,bx ax x g ,x ln x f -=-==设. （1）若g(2)=2，讨论函数h(x)的单调性；
（2）若函数g(x)是关于x 的一次函数，且函数h(x)有两个不同的零点x1,x2. ①求b 的取值范围； ② 求证：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【答案解析】（1）见解析（2）①（，0）② 见解析 解析 ：解：（1）∵g(2)=2 ∴a-b=1 ∴ ，其定义域为（0，+），
21(1)1(1)(1)()(1)=ax a x ax x h x ax a x x x -+-+-+-'=-+-=
，
（Ⅰ）若a0,则函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.
（Ⅱ）若a<0,令得，
①当a<-1时，则，所以函数h(x)在区间（0,）上单调增；在区间（1,+）上单调增；在区间（,1）上单调减.
②当a=-1时，所以函数h(x)在区间（0，+）单调减.
③当-1 （2）∵函数g(x)是关于x 的一次函数 ，∴ ，其定义域为（0，+） ①由得，记，则 ∴在单调减，在单调增，∴当时取得最小值，又，所以时，而时，∴b 的取值范围是（，0）， ②由题意得，∴0)(ln ln 0)(ln 12122121=-+-=++x x b x x ,x x b x x ∴，不妨设x1 ∴函数在（1，+）上单调增，而，所以即， ∴. 【思路点拨】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）当a=0时，若函数f （x ）有两个不同的零点，①利用数形结合即可求b 的取值范围；②求函数的导数，构造函数，根据x1、x2为函数f （x ）的两个不同的零点，即可证明不等式． 22．（本小题满分14分）设椭圆 ，其长轴长是短轴长的倍， 过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上横坐标大于的动点，点在轴上，圆内 切于，试判断点在何位置时的面积最小，并证明你的判断. 【知识点】椭圆方程的求法；点在何处时三角形面积最小的判断和证明；函数的单调性的合理运用． 【答案解析】（1）（2）函数在上单调递减，当时，取到最小值，此时，即点的横坐标为时，的面积最小. 解析 ：解：（1）由已知，，解得：， 故所求椭圆方程为. （2）设，. 不妨设，则直线的方程为 即，又圆心到直线的距离为， 即，化简得， 同理，，∴是方程的两个根， ∴，则， ∵是椭圆上的点，∴，∴. 则222222 00000000222 0002824412(2)8(2)2(2)2(2)x x x x x x x x x x x -+-+-+?=?=?---， 令，则，令， 化简，得，则， 令，得，而， ∴函数在上单调递减，当时，取到最小值， 此时，即点的横坐标为时，的面积最小. 【思路点拨】（1）由已知条件推导出，，解得，由此能求出椭圆方程．（2）设，.不妨设，由已知条件推导出m，n是方程(x0?2)x2+2y0x?x0＝0的两个根，由此能求出点P的横坐标为时，△PBC的面积S最小． V23159 5A77 婷25753 6499 撙32451 7EC3 练35576 8AF8 諸t31111 7987 禇23521 5BE1 寡z26200 6658 晘36469 8E75 蹵'k~
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