《矩阵理论》第一二章 典型例题
一、 判断题
1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量，
||x |A
x =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( )
提示：因为非负性不成立，故结论错误。
2．设A n 为阶Hermite 矩阵，
12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2
2
21
||||n
m i i A λ==∑.
( )
提示：A n 为阶Hermite 矩阵?22
2
212||||||(,,
,)||H m n m A Udiag U λλλ= 2
212||(,,
,)||n m diag λλλ=21
n
i i λ==∑.
3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( )
提示：AA -为幂等矩阵?AA -
的特征值为0或1。又0A ≠,?A AA -
≥秩()=秩()1?
0AA -≠?1是AA -的特征值
?2||||AA -=max ()i AA λ-=
=1
4. 若设n
x R ∈
，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 提示： 2
2
2
2
2
2
1221
||||||||||||||x x x x x =++
+≤， 11||||||n i i x x ==∑1
||1n
i i x ==?∑
21/21
||)n
i i x =≤
∑2||x =
5. 设m n
A R
?∈的奇异值为12n σσσ≥≥
≥，则2
22
1
||||n
i i A σ==∑. ( )
6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11
||()||1||||
E A A -->
-,
其中E 为n 阶单位矩阵. ( )
提示：
111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---?11()()E A E A E A ---=+-? 11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-?
1||||1
||()||1||||1||||
E E A A A --≤
=--
7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =
( )
提示：(2)H H H A E uu =- (2)H H E uu =-2H E uu =-A =
(2)(2)H H H A A E u u E
u u =--224H H H
H E u u u u u u u u E
=--+=
2||||m
A n
∴8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )
9.设n
n C
A ?∈可逆，n
n C
B ?∈，若对算子范数有1
||||||||1A B -?<，则B A +可逆.
( ∨ )
10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n
A C
?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )
12. 如果12(,,
,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n
x x ≤≤=是向量范数. ( )
13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数m
A ∞
与向量的1-范数相容. ( )
14、设n n
A C
?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数
有1I A -≥, 其中I 为单位矩
阵. ( )
二、 设m n
A C
?∈，,||
||||ij i j
A a =，证明:
(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.
三、 试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且Ax x λ=和Ay y μ=，其中，λμ≠，那么x 与y
正交.
证： A 为n 阶正规矩阵?H
A U U =Λ?
Ax x λ=?H
U Ux x λΛ=?Ux Ux λΛ='
''x Ux
x x λ=Λ=
'''1(,,)T n x x x =设?',0i i x λλ≠=时
Ay y λ=?H U Uy y μΛ=?Uy Uy μΛ=?'''y Uy y y λ=Λ=
?'
,0i i y μμ≠=时
λμ≠?''
(,)0x y =
()
''0,()H x y Ux Uy ==H
H
x U Uy =H
x y =(),x y =
四、 (1) 设(1)n n
A C
n ?∈>为严格对角占优矩阵，1122(,,
,)nn D diag a a a =，其中
(1,2,
,)ii a i n =为A 的对角元，E 为n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数||||?使得
1()1r E D A --<.
(2) 设n n
A C ?∈, ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。证明：至少存在一
个矩阵范数||||A 使得||||().A r A ε≤+
五．设矩阵U 是酉矩阵, 12diag(,,
,)n A a a a =, 证明: UA 的所有特征值λ满足不等式
{||}||{||}max min i i i
i
a a λ≤≤.
六. 设||||a ?是n n
C
?上的相容的矩阵范数, 矩阵,B C 都是n 阶可逆矩阵, 且1
||||a B
-及
1||||a C -都小于或等于1, 证明: 对任意矩阵n n A C ?∈
||||||||b a A BAC =
定义了n n
C
?上的一个相容的矩阵范数.
七．设A 是可逆矩阵,
λ是A 的一个特征值, 对于任意的算子范数||||?, 证明1
1
||||||
A λ-≥
. 八. 设A 是Hermite 矩阵()H
A A =，且A 的特征值12n λλλ===，证明矩阵A 的
Rayleigh 商恒等于1λ.
九．已知n n C ?中的两种矩阵算子范数|| ||a 与|| ||b , 对于任意矩阵n n A C ?∈, 验证
||||||||||a b A A A =
+ 是n n C ?中的相容矩阵范数.
十．设矩阵m n
r
A C ?∈的非零奇异值为12,,
,r σσσ(0r >), 求证
1
22
1
||||().r
F i i A σ==∑
十一. 设矩阵n n
A C
?∈可逆, 矩阵范数||||?是n
C 上的向量范数||||v ?诱导出的算子范数, 令
()L x Ax =, 证明:
||||11||||1
max ||()||||||||||min ||()||v v v
x v
y L x A A L y =-==?.
证明: 根据算子范数的定义, 有||||1
max ||()||||||x L x A ==,
1
11
00||||1||||1
0||||||||111
||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||
y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,
结论成立.
十二. 设矩阵n n
A C ?∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定
矩阵n n
H C
?∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.
证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)H
H
H
H
x HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,
R λ∈.
(必要性) A 为单纯矩阵, 所以1
1, (,
,),n i A P DP D diag R λλλ-==∈,
令H H P P =, 则1H H
HA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵. 十三. (1) 设矩阵()ij n n A a ?=, 则
,||||max ||a ij i j
A n a =?
是矩阵范数.
(2) 设,,,n x y p q C ∈, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||||m A .
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； } （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算 1．加法 ~ （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 . （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置 ~ （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )(=， （2）运算规律 ①;)(A A T T = ②T T T B A B A +=+)(；
《矩阵理论》第一二章 典型例题 一、 判断题 1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |A x =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( ) 提示：因为非负性不成立，故结论错误。 2．设A n 为阶Hermite 矩阵， 12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2 2 21 ||||n m i i A λ==∑. ( ) 提示：A n 为阶Hermite 矩阵?22 2 212||||||(,, ,)||H m n m A Udiag U λλλ= 2 212||(,, ,)||n m diag λλλ=21 n i i λ==∑. 3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( ) 提示：AA -为幂等矩阵?AA - 的特征值为0或1。又0A ≠,?A AA - ≥秩()=秩()1? 0AA -≠?1是AA -的特征值 ?2||||AA -=max ()i AA λ-= =1 4. 若设n x R ∈ ，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 提示： 2 2 2 2 2 2 1221 ||||||||||||||x x x x x =++ +≤， 11||||||n i i x x ==∑1 ||1n i i x ==?∑ 21/21 ||)n i i x =≤ ∑2||x = 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥ ≥，则2 22 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11 ||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 提示：
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )( 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算
1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A k 为常数，则mn ij ka kA )( （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则 ,)(mp ij C C AB 其中 n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB ；②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )( ，则K k A A A ②运算规律：n m n m A A A ；mn n m A A )( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ②;00,0 B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB )( 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )( ， （2）运算规律 ①;)(A A T T ②T T T B A B A )(； ③;)(T T KA kA ④T T T A B AB )(。
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
一、填空题: １．若A ，B 为同阶方阵，则2 2 ))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是 BA AB =。 2. 若n 阶方阵A ,B ,C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵,则1 -C ＝ AB 。 3. 设A ,B 都是n 阶可逆矩阵,若??? ? ??=00A B C ,则1 -C ＝ ??? ? ??--00 11B A 。 ４. 设A=? ??? ??--1112,则1 -A =??? ? ??2111。 5. 设???? ??--=111111A , ??? ? ??--=432211B .则= +B A 2??? ? ??--731733。 6.设???? ? ??=300020001A ,则1 -A ＝ ??????? ? ? ? 310 0021000 1 7.设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ????== ? ? ???? ,T A 为A 的转置，则B A T =???? ? ??-160222. 8. ??? ? ? ??=110213021A ,B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 . 二、判断题（每小题2分，共12分） 1. 设B A 、均为n 阶方阵,则 k k k B A AB =)((k 为正整数）。……………（ × ) 2． 设,,A B C 为n 阶方阵,若ABC I =，则1 11C B A ---=。…………………………… ( × ) 3． 设B A 、为n 阶方阵,若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。……………………… ( × )
4. 设B A 、为n 阶方阵,且0AB =,其中0A ≠,则0B =。……………………… ( × ) 5． 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,,则C B =。……………………（ √ ） 6. 若A 是n 阶对角矩阵,B 为n 阶矩阵，且AC AB =,则B 也是n 阶对角矩阵。…（ × ） 7. 两个矩阵A 与B ，如果秩(A ）等于秩（B ),那么A 与B 等价。 …………（ × ） ８. 矩阵A 的秩与它的转置矩阵T A 的秩相等。 ……………………………………（ √ ) 三、选择题(每小题3分，共12分) 1.设A 为3×4矩阵，若矩阵A 的秩为２，则矩阵T A 3的秩等于( B ） (A) １ (Ｂ) 2 (C) ３ （Ｄ) 4 2.假定A 、B 、C 为n 阶方阵,关于矩阵乘法,下述哪一个是错误的 ( C ) (A))(BC A ABC = (B))(kB A kAB = (C ）BA AB = (D)CB CA B A C +=+)( 3. 已知B A 、为n 阶方阵,则下列性质不正确的是( A ) (Ａ) BA AB = (B) )()(BC A C AB = （C ） BC AC C B A +=+)( (Ｄ) CB CA B A C +=+)( ４. 设I PAQ =，其中P 、Q 、A 都是n 阶方阵，则（ D ) （A ）111 ---=Q P A (B ）111---=P Q A （C ）PQ A =-1 （D)QP A =-1 ５. 设n 阶方阵A ，如果与所有的n 阶方阵B 都可以交换，即BA AB =,那么A 必定是（ Ｂ ) (A)可逆矩阵 （B)数量矩阵 (C)单位矩阵 （D)反对称矩阵 ６. 两个n 阶初等矩阵的乘积为（ C ） (A ）初等矩阵 (B ）单位矩阵 (Ｃ）可逆矩阵 （Ｄ)不可逆矩阵 7. 有矩阵 23?A ，32?B ，33?C A ） (A ）AC (B ）BC (C)ABC (D ）C AB - 8. 设A 与B 为矩阵且AC CB =,C 为m n ?的矩阵，则A 与B 分别是什么矩阵( Ｄ ) (A) n m m n ?? (B) m n n m ??
华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得
矩阵理论 通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。 本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。 一 线性方程组 对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。 由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。 对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。 判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。 对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系： 23(1)(log )()(log )()() (2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<< LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。 但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。 如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ，使得方阵A 满足P A L U =，称作带置换的LU 分解。
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。2016矩阵论试题A20170109 (1)