非线性规划的理论与算法

(2)
将问题（）转化为无约束问题： 1 min T X,M n
X R
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项， 这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当 X D 时，满足 各 gi X 0, hi X = 0 ，故罚项为0，不受惩罚．当 X D 时,必 有约束条件 gi X 0或hi X 0 ，故罚项大于0，要受惩罚．
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
1．二次规划
标准型为： min Z= 1 XTHX+cTX
2
s.t. AX≤b
Aeq X = beq
VLB≤X≤VUB
用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1．x=quadprog(H,C,A,b); 2．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4．x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5．x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options); 6．[x,fval]=quaprog(…); 7．[x,fval,exitflag]=quaprog(…); 8．[x,fval,exitflag,output]=quaprog(…);
s.t.
1 1
x1 x2
2．输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
5
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
s.t.hgji
X X
0 0
i 1,2,...,m; j 1,2,...,l.
(1)
m
l
可设：TX , M f X M min0, gi X 2 M hj X 2 (2)
i1
j 1
D X | giX 0,hj X 0,X En
问题(1)可简记为 min f X ． XD
定义2 对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切
X D，且 X X * ，都有 f X* f X ，则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X *时，若 f X* f X ，
非线性规划
非线性规划的基本概念 *非线性规划的基本解法
返回 1
非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
m in f X
s.t.hgijX X Nhomakorabea0 0
i 1,2,...,m ; j 1,2,...,l.
（1）
其中 X x1, x2,, xn T En，f , gi , h j 是定义在 En 上的实值函
function f=fun4(x); f=exp(x(1))
*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

第六章 非线性规划由前几章知道，线性规划的目标函数和约束条件都是其自变量的线性函数，如果目标函数或约束条件中包含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划。

第一节 基本概念一、 非线性规划的数学模型非线性规划数学模型的一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≥==),,2,1(0)(),,2,1(0)()(min l j x g m i x h x f ji （6.1）其中，X=（n χχχ,,,21 ）T 是n 维欧氏空间E n 中的点（向量），目标函数)(X f 和约束函数)()(X j X i g h 、为X 的实函数。

有时，也将非线性规划的数学模型写成 ⎩⎨⎧=≥),,2,1(0)()(min l j X g X f j (6.2)即约束条件中不出现等式，如果有某一约束条件为等式0)(=X g j ，则可用如下两个不等式约束替代它： ⎩⎨⎧≥-≥0)(0)(X g X g jj模型（6.2）也常表示成另一种形式：{}⎩⎨⎧=≥=⊂∈),,2,1(,0)(|),(min l j X g X R E R X X f j n (6.3)上式中R 为问题的可行域。

若某个约束条件氏“≤”不等式的形式，只需用“-1”乘这个约束的两端，即可将其变成“≥”的形式。

此外，由于[])(m in )(m ax x f X f --=，且这两种情况下求出的最优解相同（如有最优解存在），故当需使目标函数极大化时，只需求其负函数极小化即可。

二、二维问题的图解当只有两个自变量时，求解非线性规划也可像对线性规划那样借助于图解法。

考虑非线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+=-+-+-=000505)1()2()(min 212122212221x x x x x x x x x X f (6.4)如对线性规划所作的那样，在21Ox x 坐标平面画出目标函数的等值线，它是以点（2.1）为圆心的同心圆，再根据约束条件画出可行域，它是抛物线段ABCD （图6-1）。

例1
min
f
x1
2x2
1 2
x12
1 2
x22
2x1 3x2 6
s.t.
x1
4x2
5
x1, x2 0
1.写成标准形式： min
f
x1
2 x2
1 2
x12
1 2
x22
2x1 3x2 6 0 x1 4x2 5 0
s.t. 0 x1 0 x2
例1
min
f
x1
2）当用新建原料场时,决策变量为：xij，xj，yj
1.使用临时原料场
模型求解
使用两个临时原料场A(5,1)，B(2,7). 求从料场j 向使用单位i 的运送量
xij，在各建筑工地使用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，
使总的吨千米数最小，此时由于ai，bi 、xj，yj都是已知的，故这是一个线性
输出极值点 M文件 迭代的初值
(6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8) [x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
变量上下限
参数说明
注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认 时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函 数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用 中型算法。 [2] fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每 一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日 Hessian矩阵。 [3] fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取 有关。

九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。

由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。

非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。

非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。

解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。

评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。

试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。

x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。

由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。

output = iterations: 2 funcCount: 9 stepsize: 1 algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'
firstorderopt: [ ] cgiterations: [ ] lambda =
3、问题：
4、外点法（外部惩罚函数法）
（1）几何解释
（2）算法步骤（外点法）：
（3）外点法框图
No
yes
（4）应注意的问题
例 :
（5）一般模型的外点法

算法步骤相同
(6)算法收敛性
5、内点法（障碍函数法） （1）集合结构
（2）算法思想
内点法（障碍函数法）的迭代点是在可行域点集内 部移动的，对接近可行域边界上的点施加越来越大的惩 罚，对可行域边界上的点施加无限大的惩罚，这好比边 界是一道障碍物，阻碍迭代点穿越边界。
内点法要求可行点集的内点集合非空，否则算法无法 运行。这样一来内点法只对不等式约束的优化问题才可能 有效。
（3）算法分析
（4）算法步骤（内点法）：
内点法框图
No
yes
例 解
（5）算法收敛性： （6）罚函数法的缺点
(7)内、外点法的优缺点的比较
外点法
内点法
1.任意x(0)∈Rn
1. x(0)∈S 0(参阅P220讨论内点的选取)
二次规划问题（quadratic programming）的Matlab解
函数 quadprog
格式: x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x
为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件

非线性规划的解法非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。

由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。

本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。

一、梯度法首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。

梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。

特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。

然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。

当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。

因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。

二、牛顿法在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。

牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。

因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。

但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。

此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。

三、共轭梯度法共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。

共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。

基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。

共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。

四、拟牛顿法拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。

非线性规划如果目标函数或约束条件中含有一个或多个是变量的非线性函数，我们称这类规划问题为非线性规划（nonlinear programming ，可简记为NP ）。

一般地，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难的多，因为它不像解线性规划问题有单纯形法这一通用的方法，非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的应用范围。

非线性规划的基本概念和基本原理第一节 非线性规划的数学模型例：某金属制品厂要加工一批容积为1米3的长方形容器，按规格要求，上下底的材料为25元/m2，侧面的材料为40元/m2，试确定长、宽、高的尺寸，使这个容器的成本最低。

设容器的长为1x ，宽为2x ，则高为211x x 。

根据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≥++=0,)](1[8050),(min 2121212121x x x x x x x x x x f 例：某公司经营两种设备，第一种设备每件售价30元，第二种设备每件售价为450元，根据统计，售出一件第一种设备所需营业时间平均为0.5小时，第二种设备为()225.02x +时，其中2x 是第二种设备的售出数量，已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时，试决定使其营业额最大的营业计划。

解：设该公司计划经营第一种设备为错误！未找到引用源。

件，第二种设备为错误！未找到引用源。

件，根据题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++=0,800)25.02(5.045030),(max 212212121x x x x x x x x x f 由这两个例子可以看出，这两个例子在高等数学中代表了两类不同类型的极值问题。

例1是无条件极值；例2是有条件极值。

如果令),,,(21n x x x X =是n 维空间)(n E上的点，则一般非线性的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=≥==l j X g m i X h X f ji ,,2,1 ,0)(,,2,1 ,0)()(min)(X f 为目标函数，)()(X g X h j i ，为约束条件，X 为自变量。

非线性规划的算法研究非线性规划是指目标函数或约束条件中至少包含一个非线性项的数学优化问题。

由于非线性项的存在，非线性规划问题的求解相对较为复杂。

为了解决这类问题，研究者们提出了许多非线性规划的算法，下面将介绍其中几种典型的算法。

一、基本方法：基本方法是一类旨在找到局部最优解的算法。

其中最简单的方法是暴力，即将问题的所有可能解进行穷举，并计算它们对应的目标函数值，从中选择最优解。

虽然暴力方法可以找到全局最优解，但是由于计算量大，适用于问题规模较小的情况。

二、梯度方法：梯度方法是一类基于目标函数的梯度信息进行的方法。

最常用的是梯度下降法，它通过迭代的方式，沿着目标函数的负梯度方向逐步逼近最优解。

梯度方法有很好的收敛性质，但是可能会陷入局部最优解。

三、牛顿法和拟牛顿法：牛顿法是通过对目标函数进行泰勒展开，利用二阶导数矩阵（Hessian矩阵）信息进行的方法。

牛顿法具有快速收敛的特点，但是计算Hessian矩阵比较困难，尤其在高维问题上。

为了克服这一问题，人们提出了拟牛顿法，通过动态更新具有类似于Hessian矩阵的矩阵来近似二阶导数信息。

四、分解策略：分解策略是一种将大规模非线性规划问题分解为多个子问题进行求解的方法。

常见的分解策略包括拉格朗日乘子法、逐步规划法等。

分解策略将原问题分解为小规模子问题，降低了问题的复杂性，但是可能会降低求解的精度。

五、进化算法：进化算法是另一类常用于求解非线性规划问题的算法。

典型的进化算法包括遗传算法、粒子群优化算法等。

进化算法通过模拟自然进化过程，通过交叉、变异等操作不断解空间中的潜在解，并通过适应度函数的评估来更新解的位置。

进化算法适用于复杂的非线性规划问题，但是求解效率相对较低。

综上所述，非线性规划的算法研究涵盖了基本方法、梯度方法、牛顿法和拟牛顿法、分解策略以及进化算法等多个方向。

针对具体问题选择合适的算法可以提高非线性规划问题求解的效率和精度。

但是需要注意的是，不同算法的适用性和性能与问题的特性有关，研究者们需要结合具体问题进行算法选择和优化。

非线性规划的理论与算法非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）是数学规划的一个重要分支，其研究对象是带有非线性约束条件的最优化问题。

非线性规划模型常见于各类工程技术问题的优化，如工业系统优化、经济系统优化、交通运输系统优化等。

本文将介绍非线性规划的基本理论和常用的求解算法。

一、非线性规划模型min f(x)s.t.g(x)≤0,h(x)=0其中，f(x)为目标函数；g(x)≤0与h(x)=0为约束条件；x为决策变量，其取值范围由约束条件决定。

非线性规划模型常见的类型包括无约束问题、等式约束问题和不等式约束问题等。

二、非线性规划的求解算法1. 顺序二次规划算法（Sequential Quadratic Programming, SQP）顺序二次规划算法是一种常用的非线性规划求解算法。

该算法通过构造拉格朗日函数来将非线性规划问题转化为一系列二次规划子问题。

通过迭代求解这些二次规划子问题，最终得到原始非线性规划问题的最优解。

SQP算法具有高效、稳定性强等优点，已广泛应用于实际问题中。

2. 内点法（Interior Point Methods）内点法是一种常用的非线性规划求解算法，可以有效处理约束条件较多的非线性规划问题。

该算法通过构造适当的增广 Lagrange 函数，将非线性规划问题转化为一系列无约束优化问题。

通过迭代求解这些无约束优化问题，最终找到原始非线性规划问题的解。

内点法具有收敛速度快、计算精度高等优点。

3. 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化算法，常用于求解非线性规划问题。

该算法通过借鉴自然选择、交叉和突变等遗传操作，逐步演化出一组较好的解，寻找最优解。

遗传算法不需要假设目标函数和约束条件的具体形式，因此适用于复杂的非线性规划问题。

4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，也常用于求解非线性规划问题。

则称 gi ( x) 0 是点 x 处的积极约束。
或起作用约束（紧约束\积极约束\有效约束）。
记 I ( x ) { i | gi ( x ) 0,1 i l }, 称 I ( x )为点 x 处的积极约束指标集。
2 例：设 g1 ( x) 2 x12 x2 0, g 2 ( x) x12 x2 1 0, g3 ( x) x1 0 .
定义4: 可行下降方向
设点 x Q ， 给定向量 d ，如果 d 既是点 x 处的可行方向， 又是该点的下降方向，则称 d 为点 x 处的可行下降方向。 6
min f ( x ) 给定点 x Q , 记点 x 的积极约束指标集为 ( x )。给定 s .t . g(x) 0 I
定理2:
向量 d ，如果 d 满足 gi ( x )T d 0 f ( x )T d 0 i I ( x)
则向量 d 是点 x 处的可行下降方向。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q，( x*)是其积极约束指标集。 I
f ( x ) 和 gi ( x ) (i I ( x*) ) 在点 x * 处可微，
9
最优性条件
无约束规划
min f ( x ) n
xR
定理：可微函数解的必要条件：x*是局部解,则： f ( x*) 0. x*是驻点(稳定点)
可微凸函数解的充要条件：x*是整体极小解当且仅当 f ( x*) 0.
(t ) f ( x * td )
10
约束规划最优性条件的几何表述
共面梯度被线性标示
12
约束规划最优性条件的几何表述
min f ( x ) s .t . ci ( x ) 0, i 1, ..., p

第三步：主程序main1.m
%最速下降方法实现一个非线性最优化问题 % min f(x)=2*x1^2+x2^2 global x0 x0=[ 1 1 ]; yefi=0.0001; k=1; d=-fun1gra(x0); lamada=1;
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi
对参数nonlcon的进一步示例
x12 x22 x32 100
x12 10x32 60
x1 x22 Leabharlann 3 802个不等式约束，x13
x
2 2
x3
80
2个等式约束
3个决策变量x1，x2，x3 如果nonlcon以‘mycon1’作为参数值，则程序 mycon1.m如下
对照约束条件编写myfun1.m
一、非线性规划问题的几种求解方法 1. 罚函数法（外点法）
min f (x) s.t. gi (x) 0(i 1,2,, m)
h j (x) 0( j 1,2,,l)
基本思想： 利用目标函数和约束函数构造辅助函数：
F(x,) f (x) P(x)
要求构造的函数 F(x, ) 具有这样的性质：当 点x位于可行域以外时，F(x, )取值很大，而
离可行域越远则越大；当点在可行域内时，
函数 F(x, ) f (x)
因此可以将前面的有约束规划问题转换为下 列无约束规划模型：
min F(x,) f (x) P(x)
其中称为 P(x)罚项， 称为罚因子，
F (x, ) 称为罚函数。
P( x) 的定义一般如下：
m
l
P(x) (gi (x)) (hj (x))
越是接近极值点，收敛越慢；

由于非线性规划问题在计算上常是困难的， 由于非线性规划问题在计算上常是困难的， 理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的 结果形式和全面透彻的结论. 结果形式和全面透彻的结论 这点又限制了非 线性规划的应用，所以，在数学建模时， 线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 首先考虑用线性规划模型， 首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大 时，则考虑用非线性规划. 则考虑用非线性规划
例5．（石油最优储存方法）有一石油运输公司， ． 石油最优储存方法）有一石油运输公司， 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间. 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间. 但要求存储的石油能满足客户的要求. 但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问 题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义 假设只经营两种油， 如表4所示. 如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的 速度. 速度.
目标函数为 min
z ij d ij = ∑ ∑ z ij ( x i p j ) 2 + ( yi q j ) 2 , ∑∑
i =1 j =1 i =1 j = 1
m
n
m
n
约束条件为 （1）每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的 n zij ≤ ai , i = 1,2,, m 存储容量。 存储容量。
5.非线性规划模型 5.非线性规划模型 前面介绍了线性规划问题， 前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约 束条件都是线性函数的规划问题， 束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作 还常常会遇到另一类更一般的规划问题， 中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即 目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数 的规划问题，即非线性规划问题. 的规划问题，即非线性规划问题.

非线性规划作业非线性规划是数学中的一个重要分支，它研究的是含有非线性约束条件的优化问题。

在实际应用中，非线性规划经常用于解决各种复杂的实际问题，如经济学、工程学、管理学等领域。

本文将详细介绍非线性规划的基本概念、求解方法以及实际应用。

一、非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和约束条件中至少存在一个是非线性的优化问题。

它的一般形式可以表示为：最小化（或最大化）目标函数 f(x)约束条件g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，x 是决策变量，f(x) 是目标函数，g(x) 和 h(x) 是约束条件。

二、非线性规划的求解方法1. 无约束问题的求解方法对于无约束的非线性规划问题，可以使用以下方法进行求解：（1）梯度法：通过计算目标函数的梯度来确定搜索方向，从而逐步逼近最优解。

（2）牛顿法：通过计算目标函数的一阶导数和二阶导数来确定搜索方向，从而更快地逼近最优解。

（3）拟牛顿法：通过逼近目标函数的梯度和海森矩阵来确定搜索方向，从而更快地逼近最优解。

2. 有约束问题的求解方法对于有约束的非线性规划问题，可以使用以下方法进行求解：（1）拉格朗日乘子法：通过构建拉格朗日函数，将带约束的优化问题转化为无约束的优化问题，然后使用无约束问题的求解方法进行求解。

（2）KKT 条件法：通过构建 KKT 条件，将带约束的优化问题转化为无约束的优化问题，然后使用无约束问题的求解方法进行求解。

三、非线性规划的实际应用非线性规划在实际应用中具有广泛的应用价值，下面以几个典型的实际问题为例进行说明：1. 生产计划问题：假设某公司有多种产品需要生产，每种产品的生产成本和销售利润不同，公司希望通过优化生产计划，使得总利润最大化。

2. 交通调度问题：假设某城市有多个交通节点，每个节点之间的距离和交通流量不同，城市希望通过优化交通调度，使得总交通成本最小化。

3. 投资组合问题：假设某投资者有多个投资标的可供选择，每个标的的风险和收益率不同，投资者希望通过优化投资组合，使得总收益最大化或总风险最小化。

第七章
非线性规划的基本概念 和基本原理
1
7.1 数学模型和基本概念
非线性规划是运筹学中包含内容最多， 应用最广泛的一个分支，计算远比线性 规划复杂。
2
一、数学模型 例 某单位拟建一排 厂房，厂房建筑平面如图 所示。由于资金及材料的 限制，围墙及隔墙的总长 度不能超过80米。为使建 筑面积最大，应如何选择 长宽尺寸？
f ( X * ) 为严格全局极小值。
7
若存在 X * S , 0 ，令 N { X | X X * , 0} ， X S N ( X * ) 都有 f ( X ) f ( X * ) ， 则称 X *为 该问题的局部极小点，f ( X * ) 为局部极小值。
6
二、基本概念
1、全局极值和局部极值
f ( X ) 为目标函数，S 为可行域。若存在 X * S ， X S ，都 * 有 f ( X ) f ( X * )，则称 X 为该问题的全局极小点，
f ( X * ) 为全局极小值。
f ( X ) 为目标函数，S 为可行域。若有X * S , X X * ， X S ， * * 都有 f ( X ) f ( X ) ，则称 X 为该问题的严格全局极小点，
o如果H(x) 不定的，该驻点X*就不是f(X)极值点。
22
二、极值点的必要条件和充分条件
最优性条件的研究是非线性规划理论研究的一个 中心问题。
为什么要研究最优性条件？ o本质上把可行解集合的范围缩小。 o它是许多算法设计的基础。
23
无约束问题的最优性条件 （P1） Min f(X) X En 定理3（一阶必要条件） 设f(X)在X*点可微，则X*为（P1） 的一个局部极值点，一定有 f(X*)=grad f(X*)=0（ X*称为驻点）

非线性最优化理论与算法第一章引论本章首先给出了一些常见的最优化问题和非线性最优化问题解的定义，并且根据不同的条件对其进行了划分。

接着给出了求解非线性优化问题的方法，如图解法等，同时又指出一个好的数值方法应对一些指标有好的特性，如收敛速度与二次终止性、稳定性等。

随后给出了在非线性最优化问题的理论分析中常用到的凸集和凸函数的定义和有关性质。

最后给出了无约束优化最优性条件。

第二章线搜索方法与信赖域方法无约束优化的算法有两类，分别是线搜索方法和信赖域方法。

本章首先给出了两种线搜索方法即精确线搜索方法和非精确线搜索方法。

线搜索方法最重要的两个要素是确定搜索方向和计算搜索步长，搜索步长可确保下降方法的收敛性，而搜索方向决定方法的收敛速度。

精确线搜索方法和非精确线搜索方法对于精确线搜索方法，步长ακ满足αk=arg minƒ(x k+αd k)α≥0这一线搜索可以理解为αk是f(x k+αd k)在正整数局部极小点，则不论怎样理解精确线搜索，它都满足正交性条件：d k T∇ƒ(x k+αk d k)=0但是精确搜索方法一般需要花费很大的工作量，特别是当迭代点远离问题的解时，精确的求解问题通常不是有效的。

而且有些最优化方法，其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。

对于非精确搜索方法，它总体希望收敛快，每一步不要求达到精确最小，速度快，虽然步数增加，则整个收敛达到快速。

书中给出了三种常用的非精确线搜索步长规则，分别是Armijo步长规则、Goldstein步长规则、Wolfe步长规则。

第一个步长规则的不等式要求目标函数有一个满意的下降量，第二个不等式控制步长不能太小，这一步长规则的第二式可能会将最优步长排除在步长的候选范围之外，也就是步长因子的极小值可能被排除在可接受域之外。

但Wolfe步长规则在可接受的步长范围内包含了最优步长。

在实际计算时，前两种步长规则可以用进退试探法求得，而最后一种步长规则需要借助多项式插值等方法求得。