二次根式 （第 1课时）
-大竹县双拱镇中心小学
张平
一、学生起点分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习 了有理数的平方根、立方根，认识了实数.这些都为本课时学习二次根式的运算 公式提供了知识基础?当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运 算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基 础情况，控制上课速度和题目的难度.
二、教材任务分析
本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念， 探索 二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形 式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法 则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算， 发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活 性和解决问题的能力.
三、教学目标
1. 认识二次根式和最简二次根式的概念.
2. 探索二次根式的性质.
3. 利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
四、教学重难点:
重点：二次根式的概念和性质。
难点：利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
五、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质; 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节: 布置作业。
第一环节：明晰概念
式子有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数
介绍二次根式的概念。一般地，式子、.a （a_O ）叫做二次根式。a 叫做被开
问题 1 :' 5，
11
（其中b=24,c=25 ），上
方数?强调条件：a_0 .
问题2: 二次根式怎样进行运算呢？
答：这是我们本节课要解决的新问题. 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础.
第二环节：探究性质
（一）内容：通过探究得出b ，〔：「：-
具体过程如下:
,.4 9 =
6
；万=-
问题1:观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2:从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律 吗？ 问题3:其中的字母a ，b 有限制条件吗？
‘ _ ____ 厂
意图：最终归纳出Uhb
（a >0，b >0），孚=旷
vb \ b
说明：公式中字母a >0, b >0 （或b >0）这一条件是公式的一部分，不应忽 略.
第三环节：知识巩固
例 1 化简(1)、81 64 ; (2) '? 25 6 ; (3)
观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
意图：由于现在还没有最简二次根式的概念， 学生实际上并不知道化简的 方向，
因此，这里以例题的形式呈现了有关结论 ?
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分 母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 最简二次根式 化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根
.16 .25 =
,、16 25 =
9
（2）用计算器计
，箱
16 25
16 ，:25
,,6 7 =
a
(a>0， b >0).
问题：
(1) 你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断 弓4是最简二次 根式的？ (2) 将二次根式化成最简二次根式时， 你有哪些经验与体会，与同伴交流。 说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前 面，并省略去乘号.
反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移 到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面.从而明 确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简.
第四环节：知识拓展
说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍， 程度好的班级可选用，基础不好 的班级舍去. 练习：
1■
下列平方根中 ,已经简化的是( )
A. , 1
B.
20 C.
2.2 D.
.121
式。
例2.化简:
⑴⑷;(2). 27
; (3) 1
3 ； (4「9 ；( 5)囂
答案：(1 ) ■. 45 二 9 5=9 .5=3 、5 = 35 ;
(2)
27 “9 3「9 . 3 =3
. ^33 ;
1 = 1.J3 爲 、3= 3
? 3「3
：
125 ■- 16
..125 ■ 25 5
、. 25 ■.
5 .16
5 , 5
5,5
-~~4~
2.判断下列各式是否成立。 你认为成立的请在()内打对号 ,不成立的打错号
你判断完以后，发现了什么规律？请用含有 n 的式子将规律表示出来，并说明 的取值范围？
第五环节：课堂小结
本节课主要内容：
(1) 掌握并会运用公式：uGb=&a 虽(a >0, b >0),塑=上(a >0, b >
Vb V b
0).
(2) 理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结.
第六环节：布置作业 六、教学反思
(一) 关注类比，提出重点
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运 算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系.
(二) 对运算技能要求恰当定位
根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则 的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进 行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否 会使用计算器进行运算.因此，注意对运算技能要求作恰当的定位， 特别是在开 始运算的第一课时，不要提高要求。
(三) 分层教学
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有 所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用
.
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac
初二上册知识点总结 勾股定理 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和 直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高， 三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三 角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1． （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2． （4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中 的每一条直角边． （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就 是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合 其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两 条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如： 2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它 们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；5，12，13；8，15，16；7，24， 25 ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为
初二数学 知 识 点
初二数学（上册）知识点总结 第一章勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a 2 b2 c2 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a，b，c 有关系 2 b2 c 2 a ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是 直角。 2 b c 2 2 3、勾股数：满足 a 的三个正整数，称为勾股数。 第二章实数 一、实数的概念及分 类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来 有四 类 ： （1）开方开不尽的数，如7,3 2 等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如（3）有特定结构的数，如0.1010010001?等； （4）某些三角函数值，如sin60 o 等 o 等π 3 +8 等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则 有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵 活运 用 。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 2 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x =a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根。 特别地，0 的算术平方根是0。
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C B D （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么
最新北师大版八年级数学上册知识点总结 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222 a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角 三角形。满足222 a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a （2）性质：①当a ≥0≥0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a （2a =；②3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5 （a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。 第三章 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相=b a b =
北师大版初二数学知识点总结(2020最新教材版) 知 识 点 初二数学（上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ；b 的平方和等于斜边c 的平方；即2 2 2 c b a =+
如果三角形的三边长a ；b ；c 有关系222c b a =+；那么这个三角形是直角三角形；且最长边所对的角是直角. 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数；称为勾股数. 第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数. 在理解无理数时；要抓住“无限不循环”这一时之；归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数；如32,7等； （2）有特定意义的数；如圆周率π；或化简后含有π的数；如 3 π +8等； （3）有特定结构的数；如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值；如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零）；从数轴上看；互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称；如果a 与b 互为相反数；则有a+b=0；a=—b ；反之亦成立. 2、绝对值 在数轴上；一个数所对应的点与原点的距离；叫做该数的绝对值.（|a|≥0）.零的绝对值是它本身；也可看成它的相反数；若|a|=a ；则a ≥0；若|a|=-a ；则a ≤0. 3、倒数 如果a 与b 互为倒数；则有ab=1；反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数. 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时；要注意上述规定的三要素缺一不可）. 解题时要真正掌握数形结合的思想；理解实数与数轴的点是一一对应的；并能灵活运用. 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根 1、算术平方根：一般地；如果一个正数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根.特别地；0的算术平方根是0. 表示方法：记作“a ”；读作根号a. 性质：正数和零的算术平方根都只有一个；零的算术平方根是零. 2、平方根：一般地；如果一个数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）. 表示方法：正数a 的平方根记做“a ± ”；读作“正、负根号a ”. 性质：一个正数有两个平方根；它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 开平方：求一个数a 的平方根的运算；叫做开平方.
可编辑 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解 ： 在 Rt △ ACB 中 ， AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
2016八年级数学上册知识点总结(北师大版) 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形， 且最长边所对的角是直角。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根
北师大版初二数学定理知识点汇总(上册) 第一章 勾股定理 ※直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即： 222c b a =+ （由直角三角形得到边的关系） 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 满足条件222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12， 13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数） 第二章 实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平 方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 ※平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 ※正数有两个平方根（一正一负）；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 ※正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 ())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 第三章 图形的平移与旋转 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动称为平移。
平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。 这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。 旋转的性质：旋转后的图形与原图形的大小和形状相同； 旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等； 对应点到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。 （例：如图所示，点D、E、F分别为点A、B、C的对应点，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。） 第四章四平边形性质探索 ※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。
初二数学竞赛试题 时限：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题6分，满分为60分，每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号里） 1.当x=1时，式子103-+qx px 的值是2006；当x=－1时，式子103-+qx px 的值是 . A. 2008 B. –2008 C.2026 D.-2026 2.如第2题图，AB ∥DE ，∠ABC=140°，∠DEC=160°，∠BCE= . A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 3. 三角形的边长为整数，其周长为8，这个三角形的形状为 . A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正三角形D. 钝角三角形 4. A 、B 、C 、D 四同学用五笔打一篇文章分别要用3小时、4小时、4小时、6小时才能打完，如果合理分工，让他们同时打印，则打完这篇文章需要的时间为 . A. 0.5小时 B. 1小时 C. 1.5小时 D. 2小时 5.如第5题图,图中的矩形被分成A 、B 、C 、D 、E 、F 六个正方形，且C ≌D ，已知正方形F 的面积为1，则这个矩形的面积为 . A. 143 B. 120 C. 110 D. 100 6.如第6题图，设正方形AEFD 、长方形EBCD 、等腰三角形ABC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的大小关系为 . A. S 1>S 2>S 3 B. S 1S 3 D. S 1=S 2=S 3 7.如第7题图,已知P 是边长为1的正三角形ABC 内的一个动点，如PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，PD ⊥AC 于D ，则PD+PE+PF 的值为 . A. 2 B. 23 C. 2 2 D. 21 8. 比较30 40 50 5,4,3的大小关系为 . A. 304050543<< B. 405030435<< C. 504030345<< D. 503040354<< C E D B A 第2 题图 第5题图 E D F C B A 第6题图 D F E P C B A 第7题图
北师大版八年级数学上册易错题整理 1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ） A B C D 2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） A B C D 3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时， 乙在甲前2千米处，甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时） 的函数图象（如图所示），下列说法正确的是（ ） A 、乙的速度为4千米/时 B 、经过1小时，甲追上乙 C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米 D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、4 1 - D 、1 5、若错误!未找到引用源。是169的算术平方根，错误!未找到引用源。是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。）2的平方根为（ ） A. 2 B. 4 C.±2 D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ） A 、－2,－1,0,1,2,3 B 、－1,0,1,2,3 C 、－2,－1,0,1,2 D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)． 在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的 B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ） A ．10cm B ．12 cm C ．19cm D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << x y x y x y x y O O O O S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙 甲 O t (时)
初二上册数学知识点总结(北师大版) 1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c 的平方，即 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。第二章实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0、…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意的双重非负性：