2-1 第一章常用逻辑用语
小结与复习(教案)
【知识归类】
1．命题：能够判断真假的陈述句.
2. 四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若p
?则?则p
?.
?;逆否命题: 若q
q
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:
原命题为真,它的逆命题真假不一定. 原命题为真,它的否命题真假不一定.
原命题为真,它的逆否命题真命题. 逆命题为真,它的否命题真命题.
原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是同真同假.
逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.
3. 充分条件与必要条件:
?:p是q充分条件; q是p必要条件;
p q
?是的充分必要条件，简称充要条件.
:
p q p q
4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“∧”“∨”“?”表示，意义为：
或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定.
按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”.
p:矩形有外接圆; :q矩形有内切圆.
或矩形有外接圆或内切圆（真）
p q
:
且矩形有外接圆且有内切圆（假）
p q
:
非p:矩形没有外接圆（假）
5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“?”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.
6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、
“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题叫特
称命题.
(1) p 与p ?的真假相异,因此,欲证p 为真,可证p ?为假,即将p ?作为条
件进行推理,如果导致矛盾,那么p ?必为假,从而p 为真.
(2) “,p q 若则”与“q p ??若则”等价.欲证“,p q 若则”为真,可由假设
“q ?”来证明“p ?”,即将“q ?”作为条件进行推理,导致与已知条件p 矛盾.
（3）由“,p q 若则”的真假表可知，“,p q 若则”为假，当且仅当p 真q 假，
所以我们假设“p 真q 假”，即从条件p 和q ?出发进行推理，如果导致与公理、
定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“,p q 若则”是真命
题.
后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”.
【题型归类】
题型一：四种命题之间的关系
例1 命题“20(b a b +=∈2若a 、R ），则a=b=0”的逆否命题是（ D ）.
(A) ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
(B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
(C) 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
(D) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a
【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键.
解: a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:
0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R),则20b +≠2a ,故应选D
【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否
命题.
题型二：充分、必要条件题型
例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ）.
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条
件
【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角
的正弦值相等是否一定有两个角相等.
解: 由,,αβγ 成等差数列,所以2αγβ+= ,所以αγβsin(+)=sin2成立,充
分;反之,由αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.
【方法总结】p q ?:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充
分条件; q 是p 不必要条件.
变式练习：“1a =”是“,21a x x x
+
≥对任意的正数”的 （ A ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分有不必要的条件
例3 221:212;:210(0)3
x p q x x m m --≤-
≤-+-≤>已知，若p ?是q ?的必要但不充分条件，求实数m 的取值范围. 【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ?和q ?的关系可以得到p 与q 的
关系,利用集合的理论方法将问题解决.
解: 由22210x x m -+-≤得：11,(0)m x m m -≤≤+>，
{}:11,0q A x x m x m m ∴?=>+<->或.
{}112210,:2103
x x p B x x x -≤-≤-≤≤∴?=<->由-2得或. 由p ?是q ?的必要但不充分条件知：p 是q 的充分但不必要条件，即B A
?于是：
012110m m m >??-≥-≤??+≤?
解得0 【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能 把各种关系清楚地描绘出来. 题型三：复合命题真假的判断 例4 已知2:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根； q ： 方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围. 【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m 的取值范围. 解：240,:2;0 m p m m ??=->>?>?解得 ()()2 2:16216164301 3.q m m m m ?=--=-+<<<解得 p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真， 2,2,3121 3. 13m m m m m m m >≤??≥<≤??<<≤≥??即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和 根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复 合命题的真假判断. 变式练习：设有两个命题, p :不等式1x x a ++>的解集为R, q :函数 ()f x = ()73x a --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<. 题型四：全称命题、特称命题 例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题: (1),A B x A x B ???∈?有 (2) A B A B ??=? (3) A B B A ??? (4) A B x A x B ???∈?使得 其中真命题的序号为(4). 【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题. 解: {}{}{}1231241112A B A B A B A B ==?∈∈=若，，，，，，满足，但且，，, 所以(1),(2)是假命题; {}{}1241A B A B B A ==??若，，，，满足但,所以(3) 是假命题,只有(4)为真命题. 【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定. 变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ). (A) ()n 90sin ααα?-=有一个使si (B) sin 2x x π =存在实数，使 (C) (),sin 180sin ααα?-=对一切 (D) sin15sin 60cos 45cos60sin 45?????=- 题型五：综合应用 例 6 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证明: 2α< 且2244b βα<<+<是且b 的充要条件. 【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论，从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条件，244b α<+<且b 是结论，由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与x 轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。 证明：（1）充分性：由韦达定理得224αβαβ== 设2()f x x ax b =++,则函数()f x 的图象是开口向上的抛物线,又 2α<,2β<,(2)0f ∴±>.即有420a b ++>,420a b -+> 联立解得24a b <+. (2)必要性: 由24a b <+(2)0f ?±>且()f x 的图象是开口向上的抛物 线,∴方程 ()0f x =的两根,αβ同在(2,2)-内或无实根. ,αβ是方程()0 f x =的根, ,αβ同在(2,2)-内,即2α<且2β<. 【方法总结】从本题的要求看,需首先判定条件的充分性和必要性,判定的 一般步骤是(1)先分清条件与结论,(2)进行互推,(3)根据定义下结论. 【思想方法】 1.数学思想：本部分用到的数学思想有：划归思想，分类讨论思想亦即否定 思想. 2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过“举 反例”来说明. 1．对任意实数给出下列命题： （1）“a b =”是“ac bc =”的充要条件； （2）“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； （3）“a b >”是“22a b >” 的充分条件； （4）“5a <”是“3a <”的必要条件 其中真命题的个数是 （ B ）. （ A ） 1 ( B ) 2 （ C ） 3 （ D ） 4 2. “x y =”是“x y =”的 （ B ）. （ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不 必要条件 3.设a ∈R 则111a a ><是 的 （ A ）. （ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不 必要条件 4. “5x >”的一个必要不充分条件是 （ B ）. （ A ）6x > ( B ) 3x > （ C ）6x < （ D ）100x > 5.在ABC ?中， “A>30?”是“1sin 2 A > ”的 （ B ）. （ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不 必要条件 6. 设,M N 是两个集合，则“M N ≠?”是“M N ≠?”的 ( B ) . （ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 （ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件 7. 已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题 中为真命题的是 （ D ）. （ A ）()p q ?∨ （ B ）p q ∧ C ）()()p q ?∧? （ D ）()()p q ?∨? 8. 已知命题：对任意的实数x ，若2x >则24x >.写出它的逆、否、逆否命题，并判断其真假. 解: 逆命题: x ?∈R, 2若x >4则x>2 (假) 否命题: x ?∈R, 4≤≤2若x 2则x （假） 逆否命题: x ?∈R, ≤≤2若x 4则x 2 （假） 9.已知命题：矩形的对角线相等. (1)写出这个命题的否命题,并判断真假； （2）写出这个命题的否定，并判断真假. 解：（1）先将命题改写成“若p 则q ”的形式：若四边形是矩形，则它的对角线相等. 否命题:若四边形不是矩形,则它的对角线不相等(假). 这是一个全称命题,所以它的否定是:有些矩形的对角线不相等(假). 10.已知方程()22210x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件. 解：令()22()21f x x k x k =+-+，方程有两个大于1的实数根 ()22 1,2140,42111,.22(1)0,210.k k k k k f k k ?≤???=--≥??-???-><-????><->?????即或 所以其充要条件为 2.k <-
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