1、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB＋BD，求证：∠B＝2∠C 证明：在AC上截取AE＝AB，连结DE
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD＝∠EAD
在△BAD与△EAD中，有：
AB＝AE （已知）
∠BAD＝∠EAD （已证）
AD＝AD （公共边）
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB＞
AC，试判断AB－AC与BD－CD的大小并说明
理由。
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE
∵AD是∠CAB的角平分线
∴∠CAD＝∠EAD
在△CAD与△EAD中，有：
AC＝AE （已知）
∠CAD＝∠EAD （已证）
AD＝AD （公共边）
∴△CAD≌△EAD （SAS）
∴CD＝ED （全等三角形对应边相等）
∵AC＝AE （已知）
∴AB－AC＝AB－AE＝BE （等量代换）
∵BD－CD＝BD－DE＜BE （三角形两边之差少于第三边）
∴BD－CD＝AB－AC
3、如图，O为∠BAC内一点，且AB＝AC，OB＝OC，反向延长OB
交AC于D，反向延长OC交AB于E，求证：AD＝AE
证明方法一：连结BC
∵AB＝AC，OB=OC
∴∠ABC＝∠ACB，∠OBC＝∠OCB （等边对等角）
∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OBC
∴∠ABD＝∠ACE
在△ABD与△ACE中，有：
∠ABD＝∠ACE （已证）
AB＝AC （已知）
∠A＝∠A （公共角）
∴△ABD≌△ACE （ASA）
∴AD＝AE （全等三角形对应边相等）
证明方法二：连结AO
在△AOB与△AOC中，有：
OB＝OC （已知）
AB＝AC （已知）
∴△AOB≌△AOC （SSS）
∴∠ABD＝∠ACE （全等三角形对应角相等）
在△ABD与△ACE中，有：
∠ABD＝∠ACE （已证）
AB＝AC （已知）
∠BAC＝∠CAB （公共角）
∴△ABD≌△ACE （ASA）
∴AD＝AE （全等三角形对应边相等）
4、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点。请判断中线AD的取值范围。
解：延长AD到E，使AD＝ED
在△ABD与△ECD中，有：
BD＝CD （D是BC的中点）
∠ADB＝∠EDC （对顶角相等）
AD＝ED （已知）
∴△ABD≌△ECD （SAS）
∴CE＝AB＝6 （全等三角形对应边相等）
在△AEC中，
∵AD＝ED
∴AE＝2AD
∵AC＋CE＞AE＞AC－AE
∴8＋6＞2AD＞8－6
∴7＞AD＞1
5、如图，△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝BD，求证：CD⊥AD 证明：在AB上截取AE＝AC
∵AB＝2AC，∵AE＝AC
∴E为AB的中点
即DE是等腰△ADB底边上的中线
∴DE⊥AB （等腰三角形三线合一）
∴∠AED=90o
在△AED与△ACD中，有：
AE＝AC （已知）
∠EAD＝∠CAD （AD是∠BAC角平分线）
AD＝AD （公共边）
∴△AED≌△ACD （SAS）
∴∠AED＝∠ACD=90o（全等三角形对应边相等）
即CD⊥AC
6、如图，△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除A、
D外的任意一点。求证：AB－AC＞PB－PC
证明：在AB是截取AE＝AC
在△ACP与△AEP中，有：
∠EAP＝∠CAP （已知AD是∠BAC角平分线）
AP＝AP （公共边）
∴△ACP≌△AEP （SAS）
∴PC＝PE （全等三角形对应边相等）
∵BE＞PB－PE （三角形两边差小于第三边）
∴BE＞PB－PC （等量代换）
∵BE＝AB－AE
AC＝AE
BE＞PB－PC
∴AB－AC＞PB－PC
7、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，BC＞AB，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180o 证明：在BC是截取BE＝BA
在△ABD与△EBD中，有：
AB＝BE （已知）
∠ABD＝∠EBD （已知BD平分∠ABC）
BD＝BD （公共边）
∴△ABD≌△EBD （SAS）
∴AD＝ED，∠A＝∠BED （全等三角形对应边相等、对应角相等）
∵AD＝CD （已知）
∴ED＝CD （等量代换）
∴∠DEC＝∠C （等边对等角）
∵∠BED＋∠DEC＝∠BEC＝180o言之（B、E、C三点共线）
∠C＝∠DEC （已证）
∠A＝∠BED （已证）
∴∠A＋∠C＝180o （等量代换）