科目：数学
（试题卷）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答尤效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共5 页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓名:
准考证号:
绝密★启用前
郴州市2021届高三第一次教学质量监测试卷
数学
一、单项选择题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集 U =R ，集合 M={x ∈R |x 2-x <0}，集合 N={y ∈R |y=sin x ，x ∈B}，则 M ?N = A . (0，1]
B . (0，1)
C . (-1，0)
D . ?
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1-i)=1+2i ，则复数 z 在复平面上所对应点位于 A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 下列函数中，在(0，+∞)上是减函数且是偶函数的是 A. f (x )=x 2+1
B. f (x )=-x 3
C. f (x )=lg 1
|x |
D. f (x )=2 |x |
4. 已知角 α 的终边经过点(2，4)，则 cos2α= A. -35
B. 35
C.± 35
D.45
5. “00”成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 《 易经》 是中国传统文化中的精髓. 图 1 是易经先天八卦图， 每一卦由三根线组成(“───”表示一根阳线，“─ ─”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为
A.114
B.17
C.314
D.328
图 1
7. 已知 P 是边长为 3 的正方形 ABCD 内(包含边界)的一点，则AP AB ?的最大值是 A. 6
B. 3
C. 9
D. 8
8. 若实数 x ，y 满足 x |x | +y | y | =1，则点(x ，y )到直线 x +y =-1 的距离的取值范围是 A. (0，1] B. [1， 2 ] C . 22(
,1]22
+ D . (1， 2]
二、 多项选择题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
9. 定义：若函数 f (x )的图像经过变换 r 后所得图像对应的函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换Г是f (x )的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Г，其中 Г属于f (x )的“同值
变换“的是
A.f(x)=x2-2x，Г：将函数f(x)的图像关于y 轴对称
B.f(x)=2x-1，Г：将函数f(x)的图像关于x 轴对称
C.f(x)=log2x，Г：将函数f(x)的图像关于y=x 直线对称
D.f(x)=cos(x+π
3
)，Г：将函数f(x)的图像关于点(-2，0)对称
10.若将函数 f(x)=sin2x的图象向左平移π
6
个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说
法正确的是
A.g(x)的最小正周期为π
B. g(x)=sin(2x+π6
)
C.
5π
12
x=-是函数g(x)图象的一条对称轴D.g(x)在
ππ
[,]
66
-上的最大值为
1
2
11.已知a>0，b>0，且 a2+b2=2，则下列不等式中一定成立的是
A. ab≤1
B.11
2
a b
+≤ C. lg a+lg b≤0 D. a+b≤ 2
12.已知函数 y= f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数f ′(x)满足(x+1)[ f ′(x)-f(x)]>0，对
于函数g(x)=
()
e x
f x
，下列结论正确的是
A.函数g(x)在(-∞，-1)上为增函数
B. x=-1 是函数g(x)的极小值点
C. 函数g(x)必有2 个零点
D. e2 f(e)>e e f(2)
三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13.已知(x+2y)n展开式的二项式系数和为 64，则其展开式中含 x4y2项的系数是 .
14.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=2a n，则a n= .
15.已知双曲线C :
22
22
1
x y
a b
-= (a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，直线l 过点F2交
双曲线右支于P，Q 两点，若| PF1 | =3| PF2 |，| PQ |=3 |PF2 | ，则双曲线C 的离心率为.
16.四棱锥P-ABCD各顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为矩
形，PA=AB=2，AD=4，则球O 的体积是；设E、F 分别是PB、BC 中点，则平面AEF 被球O所截得的截面面积为.
四、解答题(本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10 分)
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上
，并解答.
①6AB AC ?=-，②|i |213b c +=,i 为虚数单位 ③△ ABC 的面积为 315.
在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b -c=2，cos A=14
- ， . (I)求 a ； (II)求 sin π
()6
C -
的值. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. ( 本小题满分 12 分)
已知公差不等于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4=16，a 1，a 2，a 5成等比数列. (I)求数列{a n }的通项公式； (II)求数列22
1
8{}n n n
a a +的前 n 项和 T n .
19. (本小题满分 12 分)
如图 2，四棱锥 P-ABCD 中，L.PAB 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，且平面
PAB⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E 为PD 上一点，满足
1
2
PE ED
=.
(I)证明：AB⊥PC;
(II)求二面角P-AC-E 的余弦值
20.(本小题满分12分)
某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8 . 现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2 万元，只有一天有雨收益为1 万元，两天都有雨收益为0.75 万元。
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘。当天无雨收益为2 万元，有雨收益为 1万元。额外聘请工人的成本为a 万元.
问：(I)若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益；
(II)该基地是否应该外聘工人?请说明理由.
21.( 本小题满分12 分)
如图 3,在平面直角坐标系 xOy 中, 巳知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为22 ,且
右焦点 F (c ,0)(c >0)到直线 l : x=2a c
-
的距离为 3.
(I)求椭圆 C 的方程；
(II)过点F 的直线与椭圆交于 A ,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P ,C ,当∠PAC 取得最小值时,求直线 AB 的方程 .
22. ( 本小题满分 12 分)
巳知函数 J (x )=e x +a (x +1) (I)若 f (x )≥0,求 a 的取值范围； (II)证明：
11
e
ln(1)n
k
k n n =>++∑.