第二章函数与导数第10课时函数与方程(对应学生用书(文)、(理)26～27页
)
考情分析考点新知
① 函数与方程中函数的零点及二分法在高
考中必将有所考查.
②以难度较低的填空题为主，考查函数的图
象及根的存在性问题．
了解二分法求方程近似解的方法，体会函数
的零点与方程根之间的联系，形成用函数观
点处理问题的能力.
②会利用函数的图象求方程的解的个数以
及研究一元二次方程的根的分布.
1. (必修1P43练习2改编)若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案：0、－
1
2
解析：由题意可得，b＝－2a且a≠0，由g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或x＝－
1
2.
2. (必修1P111复习13改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数________．
答案：2
解析：(解法1)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.
(解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内．3. (必修1P96练习2改编)方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．答案：1
解析：令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n ＝1.
4. (必修1P97习题8)若关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．
答案：(－4，－2)
解析：设f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则
??
?
??
f（0）>0，
f（1）<0，
f（2）>0，
解得－4 5. (必修1P96练习5改编)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5) ＝0.625 f(1.25) ＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054 答案：1.4 解析：f(1.40625)＝－0.054<0，f(1.4375)＝0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4. 1. 函数零点的定义 (1) 方程f(x)＝0的实数根又叫y＝f(x)的零点． (2) 方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点对函数f(x)＝0有零点． 2. 函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间上有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是函数f(x)＝0的零点．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理． 3. 与零点的关系 Δ＝ b2－4ac Δ>0Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点两个交点一个交点无交点零点个数 2 1 0 第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)f(b)<0； 第二步，求区间(a，b)的中点x1； 第三步，计算f(x1)； ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； ②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))； ③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))； 第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步． [备课札记] 题型1零点的求法及零点的个数 例1 (1) 求函数f(x)＝x3－2x2－x ＋2的零点； (2) 已知函数f(x)＝ln(x ＋1)－1 x ，试求函数的零点个数． 解：(1) ∵ f(x)＝x3－2x2－x ＋2＝x2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x ＋1)(x －1)．令f(x)＝0，得x ＝±1，2， ∴ 函数f(x)的零点是－1，1，2. (2) 令f(x)＝0，即ln(x ＋1)＝1x ，在同一坐标系中画出y ＝ln(x ＋1)和y ＝1 x 的图象，可知两个图象有两个交点，所以f(x)有两个零点． 备选变式（教师专享） (1) 已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，解不等式bf(ax)>0； (2) 已知f(x)＝2x ，g(x)＝3－x2，试判断函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数． 解：(1)由题意，得f ()x ＝(x ＋2)(x －3)＝x2－x －6， 所以a ＝－1，b ＝－6， 所以不等式bf(ax)>0，即为f(－x)<0，即x2＋x －6<0，解得－3 例2 (1) 已知α、β是方程x2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个实根，且α<2<β，求m 的取值范围； (2) 若方程x2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求a 的取值范围． 解：(1) 设f(x)＝x2＋(2m －1)x ＋4－2m. ∵ α、β是方程f(x)＝0的两个根，且α<2<β， ∴ f(2)<0，即22＋2(2m －1)＋4－2m<0，得m<－3. (2) 设f(x)＝x2＋ax ＋2, f(－1)＝1－a ＋2，Δ＝a2－8.由题意，得??? ??f （－1）>0， Δ≥0， －a 2<－1， ∴ 22≤a<3. 变式训练 已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m 的取值范围； (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m 的取值范围． 解：设二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0所对应的函数为f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1. (1) 要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则结合函数图象(如图)，有 ?????f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1） ＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0， 解得－56 12. (2) 要使方程两根均在区间(0，1)内，则结合函数图象(如图)，有?????f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0， Δ≥0，0<－m<1， 解得???? ?m>－12， m ≤1－2或m≥1＋ 2， －1 即－1 2 题型3 函数与方程的相互转换 例3 设函数f(x)＝|x| x ＋2 －ax2，a ∈R. (1) 当a ＝2时，求函数f(x)的零点； (2) 当a>0时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点； (3) 若函数f(x)有四个不同的零点，求a 的取值范围． (1) 解：当x≥0时，由f(x)＝0，得x x ＋2－2x2＝0，即x(2x2＋4x －1)＝0，解得x ＝0或x ＝－2±62 (舍负)； 当x<0时，由f(x)＝0，得－x x ＋2－2x2＝0， 即x(2x2＋4x ＋1)＝0(x≠－2)，解得x ＝－2±2 2. 综上所述，函数f(x)的零点为0，x ＝－2＋62，x ＝－2＋22，x ＝－2－2 2. (2) 证明：当a>0且x>0时，由f(x)＝0，得x x ＋2 －ax2＝0，即ax2＋2ax －1＝0. 记g(x)＝ax2＋2ax －1，则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线． 又g(0)＝－1<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点， 即函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点． (3) 解：易知0是函数f(x)的零点． 对于x>0，由(2)知，当a>0时，函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点； 当a≤0时，g(x)＝ax2＋2ax －1<0恒成立，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内无零点． 于是，要使函数f(x)有四个不同的零点，函数f(x)在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点． 当x<0时，由f(x)＝0，得－x x ＋2 －ax2＝0，即ax2＋2ax ＋1＝0(x≠－2)．① 因为a ＝0不符合题意，所以①式可化为x2＋2x ＋1a ＝0(x≠－2)，即x2＋2x ＝－1 a ＝0. 作出函数h(x)＝x2＋2x(x<0)的图象便知－1<－1 a <0，得a>1， 综上所述，a 的取值范围是(1，＋∞)． 备选变式（教师专享） 设a 是实数，讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x)＝lg(a －x)的实数解的个数． 解：原方程等价于方程组? ????1 4时，原方程只有一个实数解；当3 4时，原方程有两个不同的实数解． 1. (2013·天津)函数f ()x ＝2x ||log0.5x －1的零点个数是________． 答案：2 解析：令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝????12x .设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝????12x ，在同 一坐标系下分别画出函数g(x)、h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此， 函数f(x)有2个零点． 2. (2013·南通二模)函数f(x)＝(x －1)sin πx －1(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________． 答案：4 解析：令f(x)＝(x －1)sin πx －1＝0，则sin πx ＝1 x －1，在同一坐标系中作出函数y ＝sin πx 与y ＝ 1 x －1 的图象如图所示，易知此两函数的图象都关于点(1，0)中心对称，且它们有四个交点，即函数f(x)有四个零点，又对称的两交点横坐标之和为2，故四个零点之和为4. 3. 若{}x ＝x －[]x ([]x 表示不超过x 的最大整数)，则方程1 2 013－2 013x ＝{}x 的实数解的个数是________． 答案：2 解析：方程可化为12 013＋[x]＝2 013x ，可以构造两个函数：y ＝1 2 013＋[x]，y ＝2 013x ，由图可知，两函数图象有2个交点，故方程有两个根． 4. (2013·常州期末)已知函数f(x)＝??? ??2x ，x ≥2， （x －1）3，0＜x ＜2， 若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同 的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案：??? ?0，12 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝f(x)、y ＝kx 的图象，函数y ＝f(x)图象最高点坐标为A(2，1)，过点O 、A 的直线斜率为2，x ≥2时，f(x)＝2 x 单调减且f(x)＞0，直线y ＝kx 过原点，所以斜率0＜k ＜2时，两个函数的图象恰有两个交点． 1. 函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是________． 答案：1 解析：因为函数f(x)＝2x ＋x3－2的导数为f′(x)＝2xln2＋3x2≥0，所以函数f(x)单调递增，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以根据根的存在定理可知在区间(0，1)内函数的零点个数为1个． 2. 若关于x 的方程|x| x －1＝kx2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案：k<－4 解析：显然，x ＝0是方程的一个实数根．当x≠0时，方程可化为1k ＝|x|(x －1)，设f(x)＝1 k ，g(x) ＝|x|(x －1)，题意即为f(x)与g(x)图象有三个不同的交点，由g(x)＝? ????x （x －1），x>0， －x （x －1），x<0，结合 图象知，－14<1 k <0，所以k<－4. 3. 已知关于x 的方程x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为________． 答案：1 解析：设f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3，由f(－x)＝f(x)，知f(x)是偶函数．若方程f(x)＝0有唯一解，则f(0)＝0，代入得a ＝1或a ＝－3.令t ＝x2，则f(x)＝g(t)＝t ＋2alog2(t ＋2)＋a2－3. 当a＝1时，g(t)＝t＋2log2(t＋2)－2，由于g(t)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时取等号，符合条件；当a＝－3时，g(t)＝t－6log2(t＋2)＋6，由g(30)＝30－6×5＋6>0，g(14)＝14－6×4＋6<0，知f(x)至少有三个根，不符合．所以，符合条件的实数a的值为1. 4. 对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)． (1) 当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点； (2) 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围． 解：(1) 当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3，故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1，3. (2) ∵ f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx ＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a<0，解得0 1. 一元二次方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，但要重视条件的严谨． 2. 涉及函数零点的问题，通常有三种转化：一是用零点的定义转化为方程问题；二是利用零点存在性定理转化为函数问题；三是利用数形结合思想转化为函数图象问题． 请使用课时训练(A)第10课时(见活页)． [备课札记] 2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f（x)(x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f(x）（x∈D）的零点．（2）三个等价关系 方程f(x）＝0有实数根?函数y＝f(x）的图象与x轴有交点?函数y＝f(x）有零点．(3）函数零点的判定（零点存在性定理) 如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f（b)〈0，那么,函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系 Δ>0Δ＝0Δ〈0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c（a〉0)的图象 与x轴的交点（x1，0),(x2，0）(x1,0）无交点 零点个数210 概念方法微思考 函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f（x)只有一个零点? 提示不能． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”） （1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×） （2）函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点(函数图象连续不断），则f（a)·f（b）<0.（×） （3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．（√） （4）f(x）＝x2,g(x）＝2x，h（x)＝log2x，当x∈(4，＋∞）时，恒有h(x)〈f（x) 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关 “方程的根与函数的零点”教学设计(1) 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想． 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断． 二、目标和目标解析 1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。 3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断． 4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用． 三、教学问题诊断分析 1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍． 2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a， 《方程的根与函数的零点》教学案例 肃南一中程斌斌 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。 总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 二学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。 知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。 三、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生 教学方法：启发诱导式 四、教学目标 2011年高考理科数学函数、导函数试题汇编 一、选择题： 1. 【2011安徽理】（3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 2.【2011安徽理】（10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是 (A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1 3. 【2011北京理】6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ?≥<=A x A c A x x c x f ,, ,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件 产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 4.【2011广东理】4. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列 结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数 5.【2011湖北理】6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a -+=-+（a ＞0,且0a ≠）．若()2g a =，则()2f = A ．2 B ． 15 4 C ． 17 4 D ．2 a 6.【2011湖南理】8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ． 12 C D 7.【2011江西理】3 ．若()f x = ，则()f x 的定义域为 A ．(,)1-02 B ．(,]1-02 C ．(,)1 - +∞2 D ．(,)0+∞ 8.【2011江西理】4．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为 A ．(,)0+∞ B ．-+10?2∞（，）（，） C ．(,)2+∞ D ．(,)-10 9.【2011辽宁理】9．设函数? ??>-≤=-1,log 11 ,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞] 10.【2011辽宁理】11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞） 11.【2011全国理】2 ．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥ 12. 【2011全国理】9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则 5()2f -= A ．-1 2 B ．1 4 - C ． 14 D ． 12 第三章 函数的应用 一、课程要求 本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系. 2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想. 3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 . 4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识. 二、 编写意图和教学建议 1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）. 2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配 方法、待定分数法等数学思想方法. 3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率. 4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养. 5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 . 三、教学内容与课时的安排建议 全章教学时间约需9课时. 3.1 函数与方程 3课时 3.2函数模型及其应用 4课时 实习作业 1课时 高考理科常用数学公式总结 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2.U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 3.()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②函数()y f x =的图象关于直线 2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线 0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m +=对称.③函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 11.11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 12.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 13.等比数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -==?∈； 第二章函数与导数第10课时函数与方程(对应学生用书(文)、(理)26～27页 ) 考情分析考点新知 ① 函数与方程中函数的零点及二分法在高 考中必将有所考查. ②以难度较低的填空题为主，考查函数的图 象及根的存在性问题． 了解二分法求方程近似解的方法，体会函数 的零点与方程根之间的联系，形成用函数观 点处理问题的能力. ②会利用函数的图象求方程的解的个数以 及研究一元二次方程的根的分布. 1. (必修1P43练习2改编)若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 答案：0、－ 1 2 解析：由题意可得，b＝－2a且a≠0，由g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或x＝－ 1 2. 2. (必修1P111复习13改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数________． 答案：2 解析：(解法1)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. (解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内．3. (必修1P96练习2改编)方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．答案：1 解析：令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n ＝1. 4. (必修1P97习题8)若关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________． 答案：(－4，－2) 解析：设f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则 ?? ? ?? f（0）>0， f（1）<0， f（2）>0， 解得－4 本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学3中算法内容的学习做了铺垫。 2.学情分析学生在学习了上小节的内容后，对方程的根的存在性有了一定的了解。在使用计算器上也不会有任何问题。主要的困难在于对这种算法的理解以及对教材中归纳的使用二分法求方程近似解一般步骤和精确度的理解。因此在教学上可设置生动的情境（比如价格竞猜）引入，来帮助学生理解二分法的实质。同时应放慢教学速度，用3课时把这些内容讲清楚。具体课时分布如下： 中学课堂教学设计表 教学手段通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用． 教学过程设计（详细过程）【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标 教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用 3.1.1方程的根与函数的零点 教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就 要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此， 我们还要做一些基本的知识储备。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我 们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节 课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。 教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。 【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想 教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？ （1）；（2）. 学生活动：回答，思考解法。 教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决 第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打 破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假 如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？ 学生活动：思考作答。 教师活动：用屏幕显示函数的图象。 学生活动：观察图像，思考作答。 教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写的实数 根和函数图象与x轴的交点。 学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。 教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点． 【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系 教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。 教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？ 学生活动：对比定义，思考作答。 高三数学专题复习（函数与方程练习题） 一、选择题 1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］ 2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（ ） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ? （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ? （a ，b ） 3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋3 2 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2 π］∪（65π，π） D 、［0，2 π ］∪［32π，π） 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝1 3 2+-m m ，则m 的取 值范围为（ ） A 、m ＜ 32 B 、m ＜32且m ≠－1 C 、－1＜m ＜32 D 、m ＞3 2 或m ＜－1 5、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（ ） A 、f (－1)＜f (3) B 、f (0)＞f (3) C 、f (－1)＝f (3) D 、f (0)＝f (3) 6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（ ） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y ＝log 2 1 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（ ） A 、［22 ，＋∞］ B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］ 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 第6讲 函数与方程 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】 一．【课标要求】 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．【命题走向】 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关 预计2010年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力 （1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．【要点精讲】 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02 =++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)()( 函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： 第四章 函数应用 §1 函数与方程 1．1 利用函数性质判定方程解的存在 教学目标： 1. 知识与技能 （1）正确认识函数与方程的关系，求方程0)(=x f 的实数解就是求函数)(x f 的零点，体会函数知识的核心作用。 （2）能够利用函数性质判定方程解的存在性。 2. 过程与方法 : 结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。 3. 情感、态度与价值观 通过本节课的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间的内在联系。 重点和难点 重点：函数的零点，函数零点存在性判断。 难点：函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系。 教学过程 预习清单 1. … 2. 问题引入： 请同学们思考讨论以下问题：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与相应二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像有什么关系 3. 函数的零点： （1）定义：函数)(x f y =的图像与横坐标的交点的横坐标称为这个函数的零点。 （2）意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数解。 3.函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图像与x 轴有交点 ?函数)(x f y =有零点． 。 4.函数零点存在性定理： 若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )<0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解． 引导清单 题型一：求函数的零点 例1. 求下列函数的零点： （1）)0(322>++-=x x x y （2）42-=x y 解：（1）由0322=++-x x 得31=-=x x 或 30=∴>x x [ 故函数)0(322>++-=x x x y 的零点为3. （2）由2042==-x x 得 故函数42-=x y 的零点为2. 重点难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●重点难点磁场 1.（★★★★★）关于x的不等式2?32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为. 2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0) （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点； （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=logm (1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1）x＜–3或x＞3. ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有 当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数. （2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数. ∴ 即 即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴∴0＜m＜ 故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在. ［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5; (2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m. 命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属 精华练习答案 函数三性，两域部分 1、【06江苏1】已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （A ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 2、【08全国II 9】． 设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式 0) ()(<--x x f x f 的解集为（D ） (A) ),1()0,1(+∞?- (B) )1,0()1,(?--∞ (C) ),1()1,(+∞?--∞ (D) )1,0()0,1(?- 3、【06北京理5】已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+0）的单调递增区间是)∞+???,1e . 解析：用求导法：.10ln 0)(1ln 1ln )('' e x x x f x x x x x f ≥?≥≥=? +=，，令＋ 5、【05江苏15】 答案：?? ? ?????????- 1,430,41 6、【08上海理8】：设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是()()+∞?-,10,1 7、【08广东理19】设A ∈R ，函数 试讨论函数F(x)的单调性． 【解析】1 ,1,1()(),1, kx x x F x f x kx kx x ?- 年级八年级课题一次函数与一元一次方程课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．用一次函数观点认识一元一次方程。 2．用一次函数的方法求解一元一次方程。 3．加深理解数形结合思想。 过程 方法 学习用函数的观点看待方程的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思 想。 情感 态度 经历了方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩 证思想。 教学重点一次函数与一元一次方程关系的理解 教学难点一次函数与一元一次方程关系的理解 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、情境引入 问题1：解方程2x+20=0 问题2：当x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 问题3：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点 思考：问题1、2有什么关系？ 问题1、3有什么关系？ 二、自主探究 1．针对以上思考、讨论后，师生归纳 2．问题拓展，形成规律 （1）方程ax+b=0(a，b为常数，a≠b的解是_____ （2）当x_____时，一次函数y=ax+b( a≠0)的值为0？（3）直线y=ax+b与x轴的交点坐标是______ 3．知识点归纳 4．归纳结论 任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0(ab为常数a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应自变量的值。 从图象上看，求直线y=ax+b与x轴的交互的横坐标 三、课堂训练 1．根据表格填空 序号一元一次方程的一次函数问题 学生独立思考问题 完成画图，相互交 流结果 问题1解方程x=– 10 问题2可以通过解 方程2x+20=0得 x=-10 因此问题1、2是同 一个问题的两种不 同表达方式 从“数”角度看问题 1议程的解为x=-10 从“形”角度看直线 y=2x+20与x的交点 (-10,0)也就是方程 2x+20=0的解是 x=-10 学生在此活动中，体 会一次函数与一元 一次方程在数和形 两方面联系 教师引导学生从特 殊事例中寻找一般 规律，进而总结出 一次函数与一元一 次方程的内在联 系，学生通过自主 合作分析思考，归 纳，概括出定理的 关系 直接出示问题， 便于学生快速 思考，减少干扰 通过活动逐步 学会从特殊到 一般的归纳概 括能力，进一步 认识函数与一 元一次方程的 内在联系 通过这一活动， 2014-2015高考理科数学《函数的图象》练习题 [A 组 基础演练·能力提升] 一、选择题 1．函数f (x )＝log 12cos x ? ????－π 2 解析：由f (x )＝??? 3x x ≤1 log 1 3x x >1 ，得f (1－x )＝??? 31－x x ≥0log 1 3 1－x x <0 . 因此，x ≥0时，y ＝f (1－x )为减函数，且y >0；x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.故选C. 答案：C 5．对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝?? ? a ，a － b ≤1， b ，a －b >1. 设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴上恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－1,1]∪(2，＋∞) B ．(－2，－1]∪(1,2] C ．(－∞，－2)∪(1,2] D ．[－2，－1] 解析：令(x 2 －2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，∴f (x )＝?? ? x 2 －2－1≤x ≤2x －1x <－1或x >2 ，∵y ＝f (x ) －c 与x 轴恰有两个公共点，画出函数的图象得知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．故选B. 答案：B 6．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ?? －12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 解析：由题意得f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，则f (x )的图象关于x ＝1对称，满足f (x )＝f (2－x )，∴a ＝f ? ????－12＝f ? ????52. 又由已知得f (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴f (2)>f ? ?? ??52>f (3)，即b >a >c . 答案：D 二、填空题 7.直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 解析：如图，作出y ＝x 2 －|x |＋a 的图象，若要使y ＝1与其有4个交点，则需满足a －1 4 <1
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